Теорема о представлении Рисса

Теорема о двойственном пространстве Гильберта

Теорема о представлении Рисса , иногда называемая теоремой о представлении Рисса–Фреше в честь Фридьеса Рисса и Мориса Рене Фреше , устанавливает важную связь между гильбертовым пространством и его непрерывным сопряженным пространством . Если основное поле — это действительные числа , то они изометрически изоморфны ; если основное поле — это комплексные числа , то они изометрически антиизоморфны . (Анти-) изоморфизм — это частный естественный изоморфизм .

Предварительные сведения и обозначения

Пусть будет гильбертовым пространством над полем, где есть либо действительные числа , либо комплексные числа Если (соотв., если ), то называется комплексным гильбертовым пространством (соотв. действительным гильбертовым пространством ). Каждое действительное гильбертово пространство может быть расширено до плотного подмножества уникального (с точностью до биективной изометрии ) комплексного гильбертова пространства, называемого его комплексификацией , поэтому гильбертовы пространства часто автоматически считаются комплексными. Действительные и комплексные гильбертовы пространства имеют много общих, но далеко не все, свойств и результатов/теорем. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$

Эта статья предназначена как для математиков , так и для физиков и описывает теорему для обоих. И в математике, и в физике, если гильбертово пространство предполагается действительным (то есть, если ), то это обычно будет ясно указано. Часто в математике, и особенно в физике, если не указано иное, «гильбертово пространство» обычно автоматически подразумевается как «комплексное гильбертово пространство». В зависимости от автора, в математике «гильбертово пространство» обычно означает либо (1) комплексное гильбертово пространство, либо (2) действительное или комплексное гильбертово пространство. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

Линейные и антилинейные отображения

По определению, антилинейное отображение (также называемое сопряженно-линейным отображением ) — это отображение между векторными пространствами , которое является аддитивным : и антилинейным (также называемым сопряженно-линейным или сопряженно-однородным ): где — сопряженное комплексное число , заданное формулой . ${\displaystyle f:H\to Y}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ $${\displaystyle f(cx)={\overline {c}}f(x)\quad {\text{ for all }}x\in H{\text{ and all scalar }}c\in \mathbb {F} ,}$$ ${\displaystyle {\overline {c}}}$ ${\displaystyle c=a+bi}$ ${\displaystyle {\overline {c}}=a-bi}$

Напротив, отображение является линейным, если оно аддитивно и однородно : ${\displaystyle f:H\to Y}$ $${\displaystyle f(cx)=cf(x)\quad {\text{ for all }}x\in H\quad {\text{ and all scalars }}c\in \mathbb {F} .}$$

Каждое постоянное отображение всегда является как линейным, так и антилинейным. Если то определения линейных отображений и антилинейных отображений полностью идентичны. Линейное отображение из гильбертова пространства в банахово пространство (или, в более общем смысле, из любого банахова пространства в любое топологическое векторное пространство ) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено ; то же самое верно для антилинейных отображений. Обратное любой антилинейной (соответственно линейной) биекции снова является антилинейной (соответственно линейной) биекцией. Композиция двух антилинейных отображений является линейным отображением. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

Непрерывные двойственные и антидвойственные пространства

Функционал на — это функция , областью значений которой является базовое скалярное поле Обозначим через (соответственно, через множество всех непрерывных линейных (соответственно, непрерывных антилинейных) функционалов на , которое называется (непрерывным) сопряженным пространством (соответственно, (непрерывным) анти-сопряженным пространством ) ^[1] Если то линейные функционалы на являются теми же, что и антилинейные функционалы, и, следовательно, то же самое верно для таких непрерывных отображений: то есть, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*})}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}.}$

Взаимно-однозначное соответствие между линейными и антилинейными функционалами

Для любого функционала сопряжение является функционалом ${\displaystyle f~:~H\to \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\overline {f}}:\,&H&&\to \,&&\mathbb {F} \\&h&&\mapsto \,&&{\overline {f(h)}}.\\\end{alignedat}}}$$

Это назначение наиболее полезно, когда , потому что если , то и назначение сводится к отображению тождества . ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f={\overline {f}}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

Задание определяет антилинейное биективное соответствие из множества ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

все функционалы (соотв. все линейные функционалы, все непрерывные линейные функционалы ) на ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle H,}$

на набор

все функционалы (соотв. все антилинейные функционалы, все непрерывные антилинейные функционалы ) на ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle H.}$

Математические и физические обозначения и определения внутреннего произведения

Гильбертово пространство имеет связанный скалярный продукт , оцененный в базовом скалярном поле , которое линейно по одной координате и антилинейно по другой (как указано ниже). Если — комплексное гильбертово пространство ( ), то существует принципиальное различие между обозначениями, преобладающими в математике и физике, относительно того, какая из двух переменных является линейной. Однако для действительных гильбертовых пространств ( ) скалярный продукт является симметричным отображением, которое линейно по каждой координате ( билинейным ), поэтому такой путаницы быть не может. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\times H\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

В математике скалярное произведение в гильбертовом пространстве часто обозначается как или , а в физике обычно используется обозначение скобка или . В этой статье эти два обозначения будут связаны равенством: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}}$

$${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$Они обладают следующими свойствами:

1. Карта линейна по своей первой координате ; эквивалентно, карта линейна по своей второй координате . То есть, для фиксированной карта с является линейным функционалом на Этот линейный функционал непрерывен, поэтому ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle y\in H,}$ ${\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot \,,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F} }$ ${\textstyle h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y\,\right\rangle }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.}$
2. Карта антилинейна по своей второй координате ; эквивалентно , карта антилинейна по своей первой координате . То есть, для фиксированной карта с является антилинейным функционалом на Этот антилинейный функционал непрерывен, поэтому ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle y\in H,}$ ${\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F} }$ ${\textstyle h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h\,\right\rangle }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*}.}$

В вычислениях необходимо последовательно использовать либо математическую нотацию , которая есть (линейная, антилинейная); либо физическую нотацию , которая есть (антилинейная | линейная). ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$

Каноническая норма и скалярное произведение в дуальном пространстве и антидуальном пространстве

Если то — неотрицательное действительное число и отображение ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle }$ $${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x\rangle }}}$$

определяет каноническую норму на , которая превращает в нормированное пространство . ^[1] Как и все нормированные пространства, (непрерывное) двойственное пространство несет каноническую норму, называемую двойственной нормой , которая определяется как ^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in H^{*}.}$$

Каноническая норма на (непрерывном) антидвойственном пространстве, обозначенная как , определяется с помощью того же уравнения: ^[1] ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ ${\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}},}$ $${\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {H}}^{*}.}$$

Эта каноническая норма на удовлетворяет закону параллелограмма , что означает, что тождество поляризации может быть использовано для определения канонического внутреннего произведения, на котором эта статья будет обозначать обозначениями , где это внутреннее произведение превращается в гильбертово пространство. Теперь есть два способа определения нормы на норме, индуцированной этим внутренним произведением (то есть нормой, определяемой ) и обычной дуальной нормой (определяемой как супремум по замкнутому единичному шару). Эти нормы одинаковы; явно, это означает, что следующее выполняется для каждого ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle H^{*},}$ $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\right\rangle _{H^{*}},}$$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}:}$ ${\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}}$ ${\displaystyle f\in H^{*}:}$ $${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.}$$

Как будет описано далее, теорему Рисса о представлении можно использовать для того, чтобы дать эквивалентное определение канонической нормы и канонического скалярного произведения на ${\displaystyle H^{*}.}$

Те же уравнения, которые были использованы выше, можно использовать для определения нормы и скалярного произведения в антидвойственном пространстве ^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}.}$

Каноническая изометрия между дуальным и антидуальным

Комплексное сопряжение функционала , который был определен выше, удовлетворяет для любого и каждого Это точно говорит о том, что каноническая антилинейная биекция, определяемая как , а также ее обратная являются антилинейными изометриями и, следовательно, также гомеоморфизмами . Скалярные произведения в двойственном пространстве и антидвойственном пространстве, обозначенные соответственно и , связаны соотношениями и ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}}$$ ${\displaystyle f\in H^{*}}$ ${\displaystyle g\in {\overline {H}}^{*}.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},}$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in H^{*}}$$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.}$$

Если то и это каноническое отображение сводится к тождественному отображению. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$

Теорема о представлении Рисса

Два вектора и ортогональны , если что происходит тогда и только тогда, когда для всех скаляров ^[2] Ортогональное дополнение подмножества есть , которое всегда является замкнутым векторным подпространством Теорема о проекции Гильберта гарантирует, что для любого непустого замкнутого выпуклого подмножества гильбертова пространства существует единственный вектор такой, что то есть является (единственной) глобальной точкой минимума функции, определяемой формулой ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0,}$ ${\displaystyle \|y\|\leq \|y+sx\|}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle X\subseteq H}$ $${\displaystyle X^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,x\rangle =0{\text{ for all }}x\in X\,\},}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m\in C}$ ${\displaystyle \|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;}$ ${\displaystyle m\in C}$ ${\displaystyle C\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle c\mapsto \|c\|.}$

Заявление

Теорема о представлении Рисса  — Пустьбудетгильбертовым пространствомскалярное произведениекотороголинейно попервомуаргументу иантилинейнопо второму аргументу, и пустьбудет соответствующей физической нотацией. Для каждого непрерывного линейного функционаласуществует уникальный вектор,называемый ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle :=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*},}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in H,}$Представление Рисса такое ${\displaystyle \varphi ,}$, что^[3] $${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x\in H.}$$

Важно, что для комплексных гильбертовых пространств всегда находится в антилинейной координате внутреннего произведения. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle f_{\varphi }}$

Более того, длина вектора представления равна норме функционала: и является единственным вектором с Он также является единственным элементом минимальной нормы в ; то есть является единственным элементом, удовлетворяющим Более того, любое ненулевое значение можно записать в виде $${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|_{H}=\|\varphi \|_{H^{*}},}$$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in \left(\ker \varphi \right)^{\bot }}$ ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}.}$ ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|.}$ ${\displaystyle q\in (\ker \varphi )^{\bot }}$ ${\displaystyle q=\left(\|q\|^{2}/\,{\overline {\varphi (q)}}\right)\ f_{\varphi }.}$

Следствие  —  Каноническое отображение из в его двойственное ${\displaystyle H}$ ^[1] является инъективной антилинейной операторной изометрией ^{[примечание 2] [1]} Теорема о представлении Рисса утверждает, что это отображение является сюръективным (и, следовательно, биективным ), когда является полным, и что его обратным является биективный изометрический антилинейный изоморфизм Следовательно, каждый непрерывный линейный функционал в гильбертовом пространстве может быть записан единственным образом в виде ^[1] где для каждого Задание также можно рассматривать как биективную линейную изометрию в антидвойственное пространство [ ^1], которое является комплексно сопряженным векторным пространством непрерывного двойственного пространства ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle y\,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}}$ ${\displaystyle y\in H.}$ ${\displaystyle y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle }$ ${\displaystyle H\to {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H^{*}.}$

Внутренние произведения на и связаны посредством и аналогично, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle \left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H}$$ $${\displaystyle \left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }}_{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}\varphi ,\psi \in H^{*}.}$$

Множество удовлетворяет и поэтому, когда то может быть интерпретировано как аффинная гиперплоскость ^{[примечание 3],} которая параллельна векторному подпространству и содержит ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)}$ ${\displaystyle C=f_{\varphi }+\ker \varphi }$ ${\displaystyle C-f_{\varphi }=\ker \varphi }$ ${\displaystyle f_{\varphi }\neq 0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle f_{\varphi }.}$

Для физики обозначение функционала — это бра, где явно это означает, что это дополняет обозначение кет, определенное как В математической трактовке квантовой механики теорема может рассматриваться как обоснование популярного обозначения бра–кет . Теорема гласит, что каждый бра имеет соответствующий кет , и последний является уникальным. ${\displaystyle y\in H,}$ ${\displaystyle \Phi (y)\in H^{*}}$ ${\displaystyle \langle y|,}$ ${\displaystyle \langle y|:=\Phi (y),}$ ${\displaystyle |y\rangle }$ ${\displaystyle |y\rangle :=y.}$ ${\displaystyle \langle \psi \,|}$ ${\displaystyle |\,\psi \rangle ,}$

Исторически теорему часто приписывают одновременно Риссу и Фреше в 1907 году (см. ссылки).

Наблюдения

Если тогда So, в частности, всегда реально и, кроме того, тогда и только тогда, когда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ $${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\langle f_{\varphi },f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}.}$$ ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }=0}$ ${\displaystyle \varphi =0.}$

Линейные функционалы как аффинные гиперплоскости

Нетривиальный непрерывный линейный функционал часто интерпретируется геометрически, отождествляя его с аффинной гиперплоскостью (ядро также часто визуализируется рядом, хотя знания достаточно для реконструкции, поскольку если то и в противном случае ). В частности, норма должна каким-то образом интерпретироваться как «норма гиперплоскости ». Когда то теорема о представлении Рисса дает такую ​​интерпретацию в терминах аффинной гиперплоскости ^{[примечание 3]} следующим образом: используя обозначения из утверждения теоремы, из следует, что и поэтому следует и таким образом Это также можно увидеть, применив теорему о проекции Гильберта к и заключив, что глобальная минимальная точка отображения, определяемая как , является Формулы дают обещанную интерпретацию нормы линейного функционала полностью в терминах его связанной аффинной гиперплоскости (потому что с этой формулой знания только множества достаточно, чтобы описать норму его связанного линейного функционала ). Определение формулы инфимума также будет справедливо, когда Когда супремум берется в (как обычно предполагается), то супремум пустого множества равен , но если супремум берется в неотрицательных действительных числах (что является образом / диапазоном нормы , когда ), то этот супремум равен , и в этом случае формула супремума также будет справедлива, когда (хотя нетипичное равенство обычно неожиданно и поэтому рискует вызвать путаницу). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \ker \varphi =H}$ ${\displaystyle \ker \varphi =A-A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0}$ ${\displaystyle \|\varphi \|}$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \|\varphi \|^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)=\|\varphi \|^{2}\varphi ^{-1}(1)=\|\varphi \|^{2}A}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=\inf _{a\in A}\|\varphi \|^{2}\|a\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle a\mapsto \|a\|}$ ${\displaystyle {\frac {f_{\varphi }}{\|\varphi \|^{2}}}\in A.}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}=\sup _{a\in A}{\frac {1}{\|a\|}}}$$ ${\displaystyle \|\varphi \|}$ ${\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0,}$ $${\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in \varphi ^{-1}(1)}\|a\|}}}$$ ${\displaystyle \varphi =0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle \dim H>0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =0,}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{a\in \varphi ^{-1}(1)}{\frac {1}{\|a\|}}}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =0}$

Построения представляющего вектора

Используя обозначения из теоремы выше, теперь описываются несколько способов построения из . Если то ; другими словами, ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }:=0}$ $${\displaystyle f_{0}=0.}$$

Этот особый случай в дальнейшем предполагается известным, поэтому некоторые из приведенных ниже конструкций начинаются с предположения ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0.}$

Ортогональное дополнение ядра

Если тогда для любого ${\displaystyle \varphi \neq 0}$ ${\displaystyle 0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },}$ $${\displaystyle f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.}$$

Если — единичный вектор (имеется в виду ), то (это верно даже если , поскольку в этом случае ). Если — единичный вектор, удовлетворяющий вышеуказанному условию, то то же самое верно и для , который также является единичным вектором в Однако, поэтому оба этих вектора приводят к одному и тому же ${\displaystyle u\in (\ker \varphi )^{\bot }}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ $${\displaystyle f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u}$$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi (u)}}u={\overline {0}}u=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u,}$ ${\displaystyle (\ker \varphi )^{\bot }.}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi (-u)}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }.}$

Ортогональная проекция на ядро

Если таково, что и если — ортогональная проекция на , то ^{[доказательство 1]} ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ ${\displaystyle x_{K}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ $${\displaystyle f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).}$$

Ортонормированный базис

При наличии ортонормированного базиса и непрерывного линейного функционала вектор может быть построен единственным образом по , где все, кроме, самое большее, счетного числа, будут равны и где значение фактически не зависит от выбора ортонормированного базиса (то есть использование любого другого ортонормированного базиса для приведет к тому же вектору). Если записывается как , то и ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*},}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$ $${\displaystyle f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}e_{i}}$$ ${\displaystyle \varphi \left(e_{i}\right)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle y\in H}$ ${\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}}$ $${\displaystyle \varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi }|y\rangle }$$ $${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\sum _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\right|^{2}=\|\varphi \|^{2}.}$$

Если ортонормированный базис является последовательностью, то это принимает вид и если записывается как, то ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_{1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle y\in H}$ ${\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{\varphi }|y\rangle .}$$

Пример в конечных измерениях с использованием матричных преобразований

Рассмотрим частный случай (где — целое число) со стандартным внутренним произведением , где представлены в виде матриц-столбцов и относительно стандартного ортонормированного базиса на (здесь — в своей ^-й координате и везде в остальном; как обычно, теперь будет связано с двойственным базисом ) и где обозначает сопряженное транспонирование Пусть будет любым линейным функционалом, а пусть — уникальными скалярами, такими что где можно показать, что для всех Тогда представлением Рисса является вектор Чтобы увидеть, почему, отождествим каждый вектор в со столбчатой ​​матрицей, так что отождествляется с Как обычно, также отождествим линейный функционал с его матрицей преобразования , которая является матрицей-строчкой, так что и функция — это присваивание , где правая часть — это умножение матриц . Тогда для всех что показывает, что удовлетворяет определяющему условию представления Рисса Биективная антилинейная изометрия , определенная в следствии к теореме о представлении Рисса, является присваиванием, которое отправляет линейному функционалу на , определенному соотношением , где при отождествлении векторов в со столбцовыми матрицами и вектора в со строковыми матрицами, является просто присваиванием Как описано в следствии, обратным к является антилинейная изометрия , которая, как было показано выше, имеет вид: где в терминах матриц, является присваиванием Таким образом, в терминах матриц, каждое из и является просто операцией сопряженной транспозиции (хотя между различными пространствами матриц: если отождествляется с пространством всех столбцовых (соответственно, строчных) матриц, то отождествляется с пространством всех строковых (соответственно, столбцовых) матриц). ${\displaystyle H=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ $${\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{ for all }}\;w,z\in H}$$ ${\displaystyle w{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]}$ ${\displaystyle {\vec {z}}.}$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \varphi \left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ for all }}\;w:=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,}$$ ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~=~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots ,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.}$$ ${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]}$ ${\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},}$ ${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,}$ $${\displaystyle \varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,}$$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}$ ${\displaystyle z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H}$ ${\displaystyle \Phi (z)\in H^{*}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{n}}}w_{n},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].}$$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto f_{\varphi },}$ $${\displaystyle \varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\right);}$$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ $${\displaystyle {\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$

В этом примере используется стандартное скалярное произведение, которое является отображением, но если используется другое скалярное произведение, например, где — любая эрмитова положительно определенная матрица , или если используется другой ортонормированный базис, то матрицы преобразования, а следовательно, и приведенные выше формулы, будут другими. ${\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},}$ ${\displaystyle \langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,}$ ${\displaystyle M}$

Связь с соответствующим реальным гильбертовым пространством

Предположим, что — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением. Когда гильбертово пространство переинтерпретируется как действительное гильбертово пространство, то оно будет обозначаться как , где (действительное) скалярное произведение на — это действительная часть скалярного произведения ; то есть: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \langle x,y\rangle .}$$

Норма на , индуцированная с помощью , равна исходной норме на , а непрерывное сопряженное пространство с является множеством всех вещественных -значных ограниченных -линейных функционалов на (см. статью о тождестве поляризации для получения дополнительных подробностей об этой связи). Пусть и обозначают вещественную и мнимую части линейного функционала так, что Формула, выражающая линейный функционал через его вещественную часть, имеет вид где для всех Отсюда следует, что и что тогда и только тогда, когда Можно также показать, что где и являются обычными нормами операторов . В частности, линейный функционал ограничен тогда и только тогда, когда его вещественная часть ограничена. ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}:=\operatorname {im} \psi }$ ${\displaystyle \psi ,}$ ${\displaystyle \psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.}$ $${\displaystyle \psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ for }}h\in H,}$$ ${\displaystyle \psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)}$ ${\displaystyle h\in H.}$ ${\displaystyle \ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \psi =0}$ ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }=0.}$ ${\displaystyle \|\psi \|=\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\psi _{i}\right\|}$ ${\displaystyle \left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }(h)\right|}$ ${\displaystyle \left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }}$

Представление функционала и его действительной части

Представление Рисса непрерывной линейной функции в комплексном гильбертовом пространстве равно представлению Рисса ее действительной части в связанном с ней действительном гильбертовом пространстве. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$

Явно, пусть и как и выше, пусть будет представлением Рисса для , полученным в , так что это единственный вектор, который удовлетворяет для всех Действительная часть является непрерывным действительным линейным функционалом на и, поэтому теорема о представлении Рисса может быть применена к и связанному действительному гильбертову пространству для получения его представления Рисса, которое будет обозначаться То есть, является единственным вектором в , который удовлетворяет для всех Вывод таков: Это следует из основной теоремы, потому что и если то и, следовательно, если то что показывает, что Более того, будучи действительным числом, следует, что Другими словами, в теореме и построениях выше, если заменяется на его действительный аналог в гильбертовом пространстве , а если заменяется на то Это означает, что вектор, полученный с использованием и действительного линейного функционала, равен вектору, полученному с использованием исходного комплексного гильбертова пространства и исходного комплексного линейного функционала (также с одинаковыми значениями нормы). ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in H.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \varphi }$ ${\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\in H.}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x\in H}$ $${\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatorname {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} }(x)}$$ ${\displaystyle m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$ ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$ ${\displaystyle \left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Кроме того, если то перпендикулярно относительно , ​​где ядро ​​является собственным подпространством ядра его действительной части. Предположим теперь, что Тогда поскольку и является собственным подмножеством Вектор подпространства имеет действительную коразмерность в , а имеет действительную коразмерность в и То есть перпендикулярно относительно ${\displaystyle \varphi \neq 0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }.}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }.}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.}$

Канонические инъекции в дуальные и антидуальные

Индуцированное линейное отображение в антидвойственное

Карта, определяемая путем помещения в линейную координату внутреннего произведения и позволяя переменной изменяться по антилинейной координате, приводит к антилинейному функционалу : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ defined by }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .}$$

Это отображение является элементом , который является непрерывным антидвойственным пространством Каноническое отображение из в его антидвойственное ^[1] является линейным оператором , который также является инъективной изометрией . ^[1] Основная теорема о гильбертовых пространствах , которая связана с теоремой Рисса о представлении, утверждает, что это отображение является сюръективным (и, следовательно, биективным ). Следовательно, каждый антилинейный функционал на может быть записан (единственно) в этой форме. ^[1] ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle H}$

Если — каноническая антилинейная биективная изометрия , определенная выше, то выполняется следующее равенство: ${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.}$$

Расширение нотации бра–кет на бра и кеты

Пусть будет гильбертовым пространством и, как и прежде, пусть Пусть , которое является биективной антилинейной изометрией, удовлетворяющей условию ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$ ${\displaystyle \langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle (\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H.}$$

Бюстгальтеры

Для данного вектора обозначим непрерывный линейный функционал ; то есть, этот функционал определяется как Это отображение было обозначено как ранее в этой статье. ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \langle h\,|}$ ${\displaystyle \Phi h}$ $${\displaystyle \langle h\,|~:=~\Phi h}$$ ${\displaystyle \langle h\,|}$ ${\displaystyle g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.}$ ${\displaystyle \left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle }$

Назначение представляет собой просто изометрический антилинейный изоморфизм , который поэтому справедлив для всех и всех скаляров. Результатом подстановки некоторых данных в функционал является скаляр , который можно обозначить как ^{[примечание 6]} ${\displaystyle h\mapsto \langle h|}$ ${\displaystyle \Phi ~:~H\to H^{*},}$ ${\displaystyle ~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~}$ ${\displaystyle g,h\in H}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle g\in H}$ ${\displaystyle \langle h\,|}$ ${\displaystyle \langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},}$ ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle .}$

Бюстгальтер линейного функционального

Для данного непрерывного линейного функционала обозначим вектор ; то есть, ${\displaystyle \psi \in H^{*},}$ ${\displaystyle \langle \psi \mid }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}\psi \in H}$ $${\displaystyle \langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .}$$

Назначение — это просто изометрический антилинейный изоморфизм , который поэтому справедлив для всех и всех скаляров. ${\displaystyle \psi \mapsto \langle \psi \mid }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H,}$ ${\displaystyle ~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in H^{*}}$ ${\displaystyle c.}$

Определяющим условием вектора является технически правильное, но некрасивое равенство , поэтому вместо этого обозначения используется обозначение При таком обозначении определяющее условие становится ${\displaystyle \langle \psi |\in H}$ $${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H,}$$ ${\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.}$ $${\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H.}$$

Кеты

Для любого заданного вектора используется обозначение ; то есть, ${\displaystyle g\in H,}$ ${\displaystyle |\,g\rangle }$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \mid g\rangle :=g.}$$

Назначение — это просто тождественная карта , поэтому она справедлива для всех и каждого скаляра. ${\displaystyle g\mapsto |\,g\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{H}:H\to H,}$ ${\displaystyle ~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~}$ ${\displaystyle g,h\in H}$ ${\displaystyle c.}$

Обозначение и используется вместо и соответственно. Как и ожидалось, и на самом деле просто скаляр ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi \mid g\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},}$ ${\displaystyle ~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~}$ ${\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle ~}$ ${\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.}$

Соединения и транспонирования

Пусть — непрерывный линейный оператор между гильбертовыми пространствами и Как и прежде, пусть и ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$ ${\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.}$

Обозначим через обычные биективные антилинейные изометрии, которые удовлетворяют: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ and }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle \left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ for all }}y,z\in Z.}$$

Определение сопряженного

Для каждого скалярно-значного отображения ^{[примечание 7]} на определенном ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle h\mapsto \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle Ah,z\rangle _{Z}}$$

является непрерывным линейным функционалом на и поэтому по теореме Рисса о представлении существует единственный вектор в , обозначаемый таким образом, что или, что эквивалентно, такой, что ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle A^{*}z,}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid \cdot \,\right\rangle _{H},}$ $${\displaystyle \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H.}$$

Таким образом, присваивание индуцирует функцию, называемую сопряженной , определяющим условием которой является Сопряженная функция обязательно является непрерывным (эквивалентно, ограниченным ) линейным оператором . ${\displaystyle z\mapsto A^{*}z}$ ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$ ${\displaystyle A:H\to Z}$ $${\displaystyle \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H{\text{ and all }}z\in Z.}$$ ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$

Если является конечномерным со стандартным внутренним произведением и если является матрицей преобразования относительно стандартного ортонормированного базиса, то сопряженное транспонирование является матрицей преобразования сопряженного ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {M^{\operatorname {T} }}}}$ ${\displaystyle A^{*}.}$

Присоединённые элементы являются транспонированными.

Также возможно определить транспонированный или алгебраически сопряженный элемент , отображение которого определяется путем отправки непрерывного линейного функционала в , где композиция всегда является непрерывным линейным функционалом на и она удовлетворяет (это верно в более общем случае, когда и являются просто нормированными пространствами ). ^[5] Так, например, если то отправляет непрерывный линейный функционал (определенный на с помощью ) в непрерывный линейный функционал (определенный на с помощью ); ^{[примечание 7]} используя обозначение скобок, это можно записать как , где сопоставление с в правой части обозначает композицию функций: ${\displaystyle A:H\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle \psi \in Z^{*}}$ $${\displaystyle {}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A,}$$ ${\displaystyle \psi \circ A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|A\|=\left\|{}^{t}A\right\|}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ ${\displaystyle \langle z\mid \cdot \rangle _{Z}\in Z^{*}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g\mapsto \langle z\mid g\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\in H^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle z\mid A(h)\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle {}^{t}A\langle z\mid ~=~\langle z\mid A}$ ${\displaystyle \langle z\mid }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H\xrightarrow {A} Z\xrightarrow {\langle z\mid } \mathbb {C} .}$

Сопряженное на самом деле является просто транспонированием ^[2] , когда теорема о представлении Рисса используется для идентификации с и с ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}.}$

В явном виде связь между присоединением и транспонированием выглядит следующим образом:

что можно переписать как: $${\displaystyle A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\quad {\text{ and }}\quad {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.}$$

Доказательство

Чтобы показать, что исправить Определение подразумевает , что остается показать, что если , то как и требовалось. ${\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*},}$ ${\displaystyle z\in Z.}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ $${\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi _{Z}\right)z={}^{t}A\left(\Phi _{Z}z\right)=\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A}$$ ${\displaystyle \left(\Phi _{Z}z\right)\circ A=\Phi _{H}\left(A^{*}z\right).}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \left(\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A\right)h=\left(\Phi _{Z}z\right)(Ah)=\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid h\rangle _{H}=\left(\Phi _{H}(A^{*}z)\right)h,}$$ ${\displaystyle \blacksquare }$

В качестве альтернативы значение левой и правой частей ( Adjoint-transpose ) в любой момент времени можно переписать в терминах скалярных произведений следующим образом: так что выполняется тогда и только тогда, когда выполняется; но равенство справа выполняется по определению Определяющее условие также можно записать, если использовать обозначение скобками. ${\displaystyle z\in Z}$ $${\displaystyle \left({}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\right)z=\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\quad {\text{ and }}\quad \left(\Phi _{H}~\circ ~A^{*}\right)z=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}}$$ ${\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}}$ ${\displaystyle A^{*}z.}$ ${\displaystyle A^{*}z}$ $${\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle A^{*}z\mid }$$

Описания самосопряженных, нормальных и унитарных операторов

Предположим и пусть Пусть — непрерывный (то есть ограниченный) линейный оператор. ${\displaystyle Z=H}$ ${\displaystyle \Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}.}$ ${\displaystyle A:H\to H}$

Является ли он самосопряженным , нормальным или унитарным, полностью зависит от того, удовлетворяет ли он определенным определяющим условиям, связанным со своим сопряженным, что, как было показано ( Сопряженным-транспонированием ), по сути является просто транспонированием Поскольку транспонирование является отображением между непрерывными линейными функционалами, эти определяющие условия могут быть, следовательно, полностью перевыражены в терминах линейных функционалов, как будет подробно описано в оставшейся части подраздела. Линейные функционалы, которые участвуют, являются простейшими возможными непрерывными линейными функционалами на , которые могут быть полностью определены в терминах скалярного произведения на и некоторого заданного вектора. В частности, это и ^{[примечание 7]} , где ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle h\in H.}$ ${\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }$ $${\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ and }}\quad \langle h\mid A(\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.}$$

Самосопряженные операторы

Непрерывный линейный оператор называется самосопряженным , если он равен своему собственному сопряженному; то есть, если Используя ( Adjoint-transpose ), это происходит тогда и только тогда, когда: где это равенство можно переписать в следующих двух эквивалентных формах: ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A=A^{*}.}$ $${\displaystyle \Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi }$$ $${\displaystyle A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ or }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\circ \Phi ^{-1}.}$$

Раскрытие обозначений и определений приводит к следующей характеристике самосопряженных операторов в терминах вышеупомянутых непрерывных линейных функционалов: является самосопряженным тогда и только тогда, когда для всех линейных функционалов ^{[примечание 7]} равен линейному функционалу ; то есть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in H,}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle \langle Az\mid \cdot \,\rangle }$

где, если используется обозначение скобок, это $${\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ for all }}z\in H.}$$

Нормальные операторы

Непрерывный линейный оператор называется нормальным, если это происходит тогда и только тогда, когда для всех ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A,}$ ${\displaystyle z,h\in H,}$ $${\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .}$$

Использование ( Adjoint-transpose ) и раскрытие обозначений и определений дает ^{[доказательство 2]} следующую характеристику нормальных операторов в терминах скалярных произведений непрерывных линейных функционалов: является нормальным оператором тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$

где левая часть также равна Левая часть этой характеристики включает только линейные функционалы формы , тогда как правая часть включает только линейные функции формы (определенной, как указано выше ^{[примечание 7]} ). Таким образом, на простом английском языке характеристика ( функционалы нормальности ) говорит, что оператор является нормальным , когда скалярное произведение любых двух линейных функций первой формы равно скалярному произведению их второй формы (используя одни и те же векторы для обеих форм). Другими словами, если это так (и когда является инъективным или самосопряженным, это так), что назначение линейных функционалов хорошо определено (или, альтернативно, если хорошо определено), где пробегает по то является нормальным оператором тогда и только тогда, когда это назначение сохраняет скалярное произведение на ${\displaystyle {\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.}$ ${\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle z,h\in H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle \langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{*}.}$

Тот факт, что каждый самосопряженный ограниченный линейный оператор является нормальным, легко следует из прямой подстановки в любую часть равенства Этот же факт немедленно следует из прямой подстановки равенств ( функционалов самосопряженности ) в любую часть равенства ( функционалов нормальности ). ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}.}$

Альтернативно, для комплексного гильбертова пространства непрерывный линейный оператор является нормальным оператором тогда и только тогда, когда для каждого ^[2], что происходит тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|Az\|=\left\|A^{*}z\right\|}$ ${\displaystyle z\in H,}$ $${\displaystyle \|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ for every }}z\in H.}$$

Унитарные операторы

Обратимый ограниченный линейный оператор называется унитарным, если его обратный оператор является его сопряженным: Используя ( Сопряженный-транспонированный ), можно увидеть, что это эквивалентно Раскрывая обозначения и определения, следует, что является унитарным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A^{-1}=A^{*}.}$ ${\displaystyle \Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}$$

Тот факт, что ограниченный обратимый линейный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда (или, что эквивалентно, ), дает другую (хорошо известную) характеристику: обратимое ограниченное линейное отображение является унитарным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}}$ ${\displaystyle {}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi }$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}$$

Поскольку является обратимым (и, следовательно, в частности, биекцией), это также верно для транспонирования Этот факт также позволяет вектору в приведенных выше характеристиках быть замененным на или тем самым производя гораздо больше равенств. Аналогично, может быть заменен на или ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.}$ ${\displaystyle z\in H}$ ${\displaystyle Az}$ ${\displaystyle A^{-1}z,}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle A(\cdot )}$ ${\displaystyle A^{-1}(\cdot ).}$

Смотрите также

• Теория Шоке  – Область функционального анализа и выпуклого анализа
• Ковариационный оператор  – Оператор в теории вероятностей
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Матричный коэффициент  – Функции на специальных группах, связанные с их матричными представлениями

Цитаты

1. Trèves 2006, стр. 112–123.
2. Рудин 1991, стр. 306–312.
3. Роман 2008, стр. 351 Теорема 13.32
4. Рудин 1991, стр. 307−309.
5. Рудин 1991, стр. 92–115.

Примечания

1. Если то скалярное произведение будет симметричным, поэтому неважно, в какую координату скалярного произведения помещен элемент, потому что результатом будет та же самая карта. Но если то за исключением постоянной карты, антилинейные функционалы на полностью отличны от линейных функционалов на , что делает координату, в которую помещается, очень важной. Для того, чтобы ненулевой элемент индуцировал линейный функционал (а не антилинейный функционал), он должен быть помещен в антилинейную координату скалярного произведения. Если он неправильно помещен в линейную координату вместо антилинейной координаты, то результирующая карта будет антилинейной картой , которая не является линейным функционалом на , и поэтому она не будет элементом непрерывного двойственного пространства ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in H}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle y,h\rangle =\langle h\mid y\rangle ,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}.}$
2. Это означает, что для всех векторов (1) является инъективным . (2) Нормы и одинаковы : (3) является аддитивным отображением , что означает, что для всех (4) является сопряженно-однородным : для всех скаляров (5) является вещественно-однородным : для всех вещественных чисел ${\displaystyle y\in H:}$ ${\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi (y)}$ ${\displaystyle \|\Phi (y)\|=\|y\|.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (x+y)=\Phi (x)+\Phi (y)}$ ${\displaystyle x,y\in H.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (sy)={\overline {s}}\Phi (y)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (ry)=r\Phi (y)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$
3. В этой сноске объясняется, как определить — используя только операции — сложение и скалярное умножение аффинных гиперплоскостей так, чтобы эти операции соответствовали сложению и скалярному умножению линейных функционалов. Пусть будет любым векторным пространством и пусть обозначит его алгебраическое сопряженное пространство . Пусть и пусть и обозначит (единственные) операции векторного пространства на , которые делают биекцию, определенную в изоморфизм векторного пространства . Обратите внимание, что тогда и только тогда, когда является аддитивным тождеством (потому что это верно для в и является изоморфизмом векторного пространства). Для каждого пусть если и пусть в противном случае; если то так, то это определение согласуется с обычным определением ядра линейного функционала. Скажем, параллельны , если , где если и не пусты, то это происходит тогда и только тогда, когда линейные функционалы и являются ненулевыми скалярными кратными друг другу. Операции векторного пространства на векторном пространстве аффинных гиперплоскостей теперь описаны таким образом, что включают только операции векторного пространства на ; это приводит к интерпретации операций векторного пространства на алгебраическом сопряженном пространстве , которая полностью находится в терминах аффинных гиперплоскостей. Исправить гиперплоскости Если является скаляром, то Описание операции в терминах только множеств и более сложно, поскольку по определению, Если (соответственно, если ) то равно (соответственно равно ), поэтому предположим и Гиперплоскости и параллельны тогда и только тогда, когда существует некоторый скаляр (обязательно ненулевой), такой что в этом случае это может быть необязательно разделено на два случая: если (что происходит тогда и только тогда, когда линейные функционалы и являются отрицательными для каждого) то в то время как если то Наконец, предположим теперь, что Тогда является единственной аффинной гиперплоскостью, содержащей как и как подмножества; явно, и Чтобы увидеть, почему эта формула для должна выполняться, рассмотрим и где и (или, в качестве альтернативы, ). Тогда по определению, и Теперь является аффинным подпространством коразмерности ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{\varphi ^{-1}(1):\varphi \in H^{\#}\right\}}$ ${\displaystyle \,{\hat {\cdot }}\,}$ ${\displaystyle \,{\hat {+}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle I:H^{\#}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(1)=\varnothing }$ ${\displaystyle \varphi =0,}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \left({\mathcal {A}},{\hat {+}},{\hat {\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle I^{-1}(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle H^{\#}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \ker A=H}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \ker A=A-A}$ ${\displaystyle A=I(\varphi )=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker A=\ker \varphi }$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \ker A=\ker B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I^{-1}(A)}$ ${\displaystyle I^{-1}(B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{\#}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s{\hat {\cdot }}A=\left\{h\in H:sh\in A\right\}.}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle B=\psi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=I(\varphi ){\hat {+}}I(\psi ):=I(\varphi +\psi )=(\varphi +\psi )^{-1}(1).}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A=rB,}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=\left\{h\in H:(1+r)h\in B\right\};}$ ${\displaystyle r=-1}$ ${\displaystyle I^{-1}(A)}$ ${\displaystyle I^{-1}(B)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=\varnothing }$ ${\displaystyle r\neq -1}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B={\frac {1}{1+r}}B={\frac {r}{1+r}}A.}$ ${\displaystyle \ker A\neq \ker B.}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle A\cap \ker B}$ ${\displaystyle B\cap \ker A}$ ${\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right)=\operatorname {span} \left(A\cap \ker B-B\cap \ker A\right)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=A\cap \ker B+\ker \left(A{\hat {+}}B\right)=B\cap \ker A+\ker \left(A{\hat {+}}B\right).}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle H:=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1),}$ ${\displaystyle B:=\psi ^{-1}(1),}$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z):=x}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z):=x+y}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z):=y}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0).}$ ${\displaystyle A\cap \ker B~=~\varphi ^{-1}(1)\cap \psi ^{-1}(0)~\subseteq ~(\varphi +\psi )^{-1}(1)}$ ${\displaystyle 2}$в (это равнозначно переносу оси ) . То же самое верно для построения поперечного сечения плоскости (то есть установки константы) множеств и (каждое из которых будет отображено как линия), множество затем будет отображено как (уникальная) линия, проходящая через и (которые будут отображены как две различные точки), в то время как будет отображена линия, проходящая через начало координат, которая параллельна Приведенные выше формулы для и естественным образом следуют из графика, и они также справедливы в общем случае. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \{(0,0)\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B\cap \ker A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=}$ ${\displaystyle \ker A,\ker B,A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A\cap \ker B}$ ${\displaystyle B\cap \ker A}$ ${\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(0)=\ker \left(A{\hat {+}}B\right)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=(\varphi +\psi )^{-1}(1).}$ ${\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)}$
4. Доказательство того, что существует ненулевой вектор в , опирается на непрерывность и полноту по Коши . Это единственное место в доказательстве, в котором используются эти свойства. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K^{\bot }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H.}$
5. Технически, означает, что отображение сложения, определенное с помощью , является сюръективным линейным изоморфизмом и гомеоморфизмом . Подробнее см. статью о дополняемых подпространствах . ${\displaystyle H=K\oplus K^{\bot }}$ ${\displaystyle K\times K^{\bot }\to H}$ ${\displaystyle (k,p)\mapsto k+p}$
6. Обычная нотация для включения элемента в линейную карту — и иногда Замена на производит или что некрасиво (несмотря на то, что соответствует обычной нотации, используемой с функциями). Следовательно, символ добавляется в конец, так что нотация используется вместо этого для обозначения этого значения ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(g)}$ ${\displaystyle Fg.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \langle h\mid :=~\Phi h}$ ${\displaystyle \langle h\mid (g)}$ ${\displaystyle \langle h\mid g,}$ ${\displaystyle \,\rangle \,}$ ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle (\Phi h)g.}$
7. Обозначение обозначает непрерывный линейный функционал, определяемый соотношением ${\displaystyle \left\langle z\mid A(\cdot )\right\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle g\mapsto \left\langle z\mid Ag\right\rangle _{Z}.}$

Доказательства

1. Это потому, что теперь используйте и и решите для ${\displaystyle x_{K}=x-{\frac {\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle }{\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}}}f_{\varphi }.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}}$ ${\displaystyle \left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\varphi (x)}$ ${\displaystyle f_{\varphi }.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. где и По определению сопряженного, поэтому взятие комплексно сопряженного значения обеих частей доказывает, что Из этого следует, что где и ${\displaystyle \left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle =\left\langle \,Az\mid Ah\,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\Phi Ah\mid \Phi Az\,\right\rangle _{H^{*}}}$ ${\displaystyle \Phi Ah:=\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }$ ${\displaystyle \Phi Az:=\left\langle Az\mid \cdot \,\right\rangle .}$ ${\displaystyle \left\langle A^{*}h\mid A^{*}z\,\right\rangle =\left\langle h\mid AA^{*}z\,\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle .}$ ${\displaystyle A^{*}=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi ,}$ ${\displaystyle \left\langle AA^{*}z\,|\,h\right\rangle _{H}=\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle _{H}=\left\langle \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi z\mid \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi h\right\rangle _{H}=\left\langle \,{}^{t}A\circ \Phi h\mid {}^{t}A\circ \Phi z\right\rangle _{H^{*}}}$ ${\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)h=\langle h\,|\,A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)z=\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Библиография

• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC  829157984.
• Фреше, М. (1907). «Sur les ансамбли функций и линейные операции». Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 144 : 1414–1416.
• П. Халмош «Теория меры» , Д. ван Ностранд и компания, 1950.
• П. Халмош, Сборник задач по гильбертову пространству , Springer, Нью-Йорк, 1982 (задача 3 содержит версию для векторных пространств с системами координат) .
• Рисс, Ф. (1907). «Sur une espèce de géométrie Analytique des systemes of sommables». Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 144 : 1409–1411.
• Рисс, Ф. (1909). «О линейных операциях». Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 149 : 974–977.

• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Уолтер Рудин, Действительный и комплексный анализ , McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6 . 
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.