Ограниченный оператор

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами

В функциональном анализе и теории операторов ограниченный линейный оператор представляет собой линейное преобразование между топологическими векторными пространствами (TVS) , которое отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества If и являются нормированными векторными пространствами (специальный тип TVS), тогда он ограничен, если и только если существует такое, что для всех ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$

операторной нормойнепрерывен ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|.}$

Понятие ограниченного линейного оператора было распространено с нормированных пространств на все топологические векторные пространства.

Вне функционального анализа, когда функцию называют « ограниченной », это обычно означает, что ее образ является ограниченным подмножеством ее кодомена. Линейное отображение обладает этим свойством тогда и только тогда, когда оно тождественно. Следовательно, в функциональном анализе, когда линейный оператор называется «ограниченным», он никогда не подразумевается в этом абстрактном смысле (имеющего ограниченный образ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0.}$

В нормированных векторных пространствах

Всякий ограниченный оператор липшицев непрерывен в точке ${\displaystyle 0.}$

Эквивалентность ограниченности и непрерывности

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен .

Доказательство

Предположим, что ограничено. Тогда для всех векторов с ненулевым значением имеем ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x,h\in X}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.}$$

Переход к нулю показывает, что непрерывно при Более того, поскольку константа от этого не зависит , показывает, что на самом деле равномерно непрерывно и даже липшицево непрерывно . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle L}$

Обратно, из непрерывности нулевого вектора следует, что существует такой, что для всех векторов с Таким образом, для всех ненулевых один имеет ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$ ${\displaystyle h\in X}$ ${\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \epsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.}$$

Это доказывает, что оно ограничено. КЭД ${\displaystyle L}$

В топологических векторных пространствах

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется ограниченным линейным оператором или просто ограниченным , если всякий раз, когда он ограничен в , то ограничен в. Подмножество TVS называется ограниченным (или, точнее, ограниченным по фон Нейману ), если каждая окрестность происхождение поглощает его. В нормированном пространстве (и даже в полунормированном пространстве ) подмножество ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме. Следовательно, для нормированных пространств понятие ограниченного множества фон Неймана идентично обычному понятию подмножества, ограниченного по норме. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle Y.}$

Непрерывность и ограниченность

Каждый секвенциально непрерывный линейный оператор между TVS является ограниченным оператором. ^[1] Отсюда следует, что каждый непрерывный линейный оператор между метризуемыми TVS ограничен. Однако, вообще говоря, ограниченный линейный оператор между двумя ТВС не обязательно должен быть непрерывным.

Эта формулировка позволяет определить ограниченные операторы между общими топологическими векторными пространствами как оператор, переводящий ограниченные множества в ограниченные множества. В этом контексте по-прежнему верно, что каждое непрерывное отображение ограничено, однако обратное неверно; ограниченный оператор не обязательно должен быть непрерывным. Это также означает, что в этом контексте ограниченность больше не эквивалентна липшицевой непрерывности.

Если область определения является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS , пространством Фреше , нормированным пространством ), то линейный оператор в любые другие локально выпуклые пространства ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Для LF-пространств справедливо более слабое обращение; любое ограниченное линейное отображение из пространства ЛФ секвенциально непрерывно .

Если — линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами и если существует окрестность начала координат в таком, что является ограниченным подмножеством, то он непрерывен. ^[2] Этот факт часто резюмируют, говоря, что линейный оператор, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, обязательно непрерывен. В частности, любой линейный функционал, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, непрерывен (даже если его область определения не является нормированным пространством ). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F}$

Борнологические пространства

Борнологические пространства — это именно те локально-выпуклые пространства, для которых каждый ограниченный линейный оператор в другое локально-выпуклое пространство обязательно непрерывен. То есть локально выпуклое TVS является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда для каждого локально выпуклого TVS линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

Каждое нормированное пространство является борнологическим.

Характеризации ограниченных линейных операторов

Пусть – линейный оператор между топологическими векторными пространствами (не обязательно Хаусдорф). Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$является (локально) ограниченным; ^[3]
2. (Определение): отображает ограниченные подмножества своего домена в ограниченные подмножества своего кодомена; ^[3] ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своего образа ; ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$отображает каждую нулевую последовательность в ограниченную последовательность; ^[3]
   • Нулевая последовательность по определению — это последовательность, которая сходится к началу координат.
   • Таким образом, любое линейное отображение, секвенциально непрерывное в начале координат, обязательно является ограниченным линейным отображением.
5. ${\displaystyle F}$отображает каждую сходящуюся нулевую последовательность Макки в ограниченное подмножество ^{[примечание 1]} ${\displaystyle Y.}$
   • Последовательность называется сходящейся к началу координат по Макки, если существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел, такая, что она является ограниченным подмножеством ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

если и локально выпуклы , то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$отображает ограниченные диски в ограниченные диски. ^[4]
7. ${\displaystyle F^{-1}}$сопоставляет бороядные диски с бороядными дисками в ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

если пространство борнологическое и локально выпуклое, то к этому списку можно добавить следующее: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$секвенциально непрерывна в некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения. ^[5]
   • Секвенциально непрерывное линейное отображение между двумя TVS всегда ограничено, ^[1] , но обратное требует выполнения дополнительных предположений (таких как борнологичность области и локальная выпуклость кодомена).
   • Если область также является секвенциальным пространством , то она секвенциально непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$секвенциально непрерывна в начале координат .

Примеры

• Любой линейный оператор между двумя конечномерными нормированными пространствами ограничен, и такой оператор можно рассматривать как умножение на некоторую фиксированную матрицу .
• Любой линейный оператор, определенный в конечномерном нормированном пространстве, ограничен.
• В пространстве последовательностей нулевых последовательностей действительных чисел, рассматриваемых с нормой, линейный оператор действительных чисел, который возвращает сумму последовательности, ограничен с нормой оператора 1. Если то же пространство рассматривается с нормой , тот же оператор не ограничен. ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Многие интегральные преобразования являются ограниченными линейными операторами. Например, если
  $${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$
  является непрерывной функцией, то оператор , определенный в пространстве непрерывных функций на наделенном равномерной нормой и значениями в пространстве с заданными формулой ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[c,d]}$ ${\displaystyle L}$
  $${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
  ограничен. Этот оператор на самом деле является компактным оператором . Компактные операторы образуют важный класс ограниченных операторов.
• Оператор Лапласа
  $${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
  (его областью определения является пространство Соболева и оно принимает значения в пространстве функций, интегрируемых с квадратом ) ограничено.
• Оператор сдвига в пространстве Lp всех последовательностей действительных чисел с ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$
  $${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$
  ограничен. Его операторная норма, как легко видеть, равна ${\displaystyle 1.}$

Неограниченные линейные операторы

Пусть – пространство всех тригонометрических полиномов с нормой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

Оператор , отображающий многочлен в его производную , не ограничен. Действительно, ибо с мы имеем пока что так не ограничено. ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$ ${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle L}$

Свойства пространства ограниченных линейных операторов

• Пространство всех ограниченных линейных операторов от до обозначается и является нормированным векторным пространством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• Если Банах, то и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$
• откуда следует, что дуальные пространства банаховы.
• Для любого ядра является замкнутым линейным подпространством ${\displaystyle A\in B(X,Y),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если банахово и нетривиально, то банахово. ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Смотрите также

• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  - Обобщение ограниченности
• Сжатие (теория операторов)  - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистая линейная карта
• Непрерывный линейный оператор
• Локальная ограниченность
• Норма (математика)  – Длина в векторном пространстве.
• Операторная алгебра  - Раздел функционального анализа.
• Норма оператора  - мера «размера» линейных операторов.
• Теория операторов  - Математическая область исследования
• Полунорма  - неотрицательная вещественнозначная функция в вещественном или комплексном векторном пространстве, удовлетворяющая неравенству треугольника и абсолютно однородная.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Неограниченный оператор  - линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.

Рекомендации

1. Доказательство: предположим, что ради противоречия, которое сходится, но не ограничено в. Выберите открытую сбалансированную окрестность начала координат в такой, которая не поглощает последовательность . Заменив при необходимости подпоследовательностью, можно без ограничения общности предположить, что для каждое положительное целое число. Последовательность сходится к началу координат по Макки (поскольку ограничена в ), поэтому по предположению ограничена в. Итак, выберите вещественное число такое, что для каждого целого числа Если является целым числом, то поскольку оно сбалансировано, что является противоречием. КЭД Это доказательство легко обобщается, чтобы дать еще более сильные характеристики « ограниченности». Например, слово «такое, что является ограниченным подмножеством » в определении «Маки, сходящееся к началу координат» можно заменить на «такое, что в » ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle i>r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

1. Wilansky 2013, стр. 47–50.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
4. Narici & Beckenstein 2011, с. 444.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 451–457.

Библиография

• «Ограниченный оператор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Крейциг, Эрвин: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989 г.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.