В математике теория Шоке , названная в честь Гюстава Шоке , является областью функционального анализа и выпуклого анализа, связанной с мерами , которые имеют поддержку в крайних точках выпуклого множества C. Грубо говоря, каждый вектор C должен выглядеть как средневзвешенное значение крайних точек. Эта концепция стала более точной за счет обобщения понятия средневзвешенного значения от выпуклой комбинации до интеграла , взятого по множеству E крайних точек. Здесь C — подмножество вещественного векторного пространства V , и основная задача теории — рассматривать случаи, когда V — бесконечномерное (локально выпуклое по Хаусдорфу) топологическое векторное пространство, аналогично конечномерному случаю. Основные интересы Гюстава Шоке касались теории потенциала . Теория Шоке стала общей парадигмой, особенно для рассмотрения выпуклых конусов , определяемых их крайними лучами , а также для многих различных понятий положительности в математике.
Два конца отрезка определяют точки между ними: в векторных терминах отрезок от v до w состоит из λ v + (1 − λ) w с 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Германа Минковского гласит, что в Евклидово пространство , ограниченное , замкнутое выпуклое множество C, является выпуклой оболочкой своего множества крайних точек E , так что любой c в C является (конечной) выпуклой комбинацией точек e из E. Здесь E может быть конечным или бесконечным множеством . В векторных терминах, присваивая неотрицательные веса w ( e ) e в E , почти всем 0, мы можем представить любой c в C как
В любом случае w ( e ) дают вероятностную меру , поддерживаемую на конечном подмножестве E. Для любой аффинной функции f на C ее значение в точке c равно
В условиях бесконечного измерения хотелось бы сделать аналогичное утверждение.
На практике V будет банаховым пространством . Исходная теорема Крейна–Мильмана следует из результата Шоке. Другим следствием является теорема о представлении Рисса для состояний непрерывных функций на метризуемом компакте Хаусдорфовом пространстве.
В более общем смысле, для V локально выпуклого топологического векторного пространства теорема Шоке – Бишопа – де Леу [1] дает то же формальное утверждение.
Помимо существования вероятностной меры, опирающейся на крайнюю границу, представляющую данную точку c , можно также учитывать уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не имеет места даже в конечномерной ситуации. В качестве контрпримера можно взять в качестве выпуклого множества куб или шар в R 3 . Однако уникальность сохраняется, когда выпуклое множество является конечномерным симплексом . Конечномерный симплекс является частным случаем симплекса Шоке . Любая точка симплекса Шоке представляется уникальной вероятностной мерой в крайних точках.
