Вероятностная мера

Мера общего значения один, обобщающая распределения вероятностей

В математике вероятностная мера — это вещественнозначная функция , определенная на множестве событий в σ-алгебре , которая удовлетворяет свойствам меры , таким как счетная аддитивность . ^[1] Разница между вероятностной мерой и более общим понятием меры (которое включает в себя такие понятия, как площадь или объем ) заключается в том, что вероятностная мера должна присваивать значение 1 всей σ-алгебре.

Интуитивно, свойство аддитивности говорит о том, что вероятность, приписываемая мере объединению двух непересекающихся (взаимоисключающих) событий, должна быть суммой вероятностей событий; например, значение, присвоенное результату «1 или 2» при броске игральной кости, должно быть суммой значений, присвоенных результатам «1» и «2».

Вероятностные меры находят применение в самых разных областях: от физики до финансов и биологии.

Определение

Вероятностная мера , отображающая σ-алгебру событий на единичный интервал . ${\displaystyle 2^{3}}$

Требования к тому, чтобы функция множества была вероятностной мерой в σ-алгебре, заключаются в следующем: ${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu }$должен возвращать результаты в единичном интервале , возвращающемся для пустого набора и для всего пространства. ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mu }$должно удовлетворять свойству счетной аддитивности , которое для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств : ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$
  $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).}$$

Например, даны три элемента 1, 2 и 3 с вероятностями и присвоенное им значение , как на диаграмме справа. ${\displaystyle 1/4,1/4}$ ${\displaystyle 1/2,}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle 1/4+1/2=3/4,}$

Условная вероятность , основанная на пересечении событий, определяется как:

$${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$$

^[2][3] ${\displaystyle \mu (A)}$

Вероятностные меры отличаются от более общего понятия нечетких мер , в котором не требуется, чтобы нечеткие значения суммировались до, а аддитивное свойство заменяется отношением порядка, основанным на включении множества . ${\displaystyle 1,}$

Примеры приложений

Во многих случаях статистическая физика использует вероятностные меры , но не все используемые ею меры являются вероятностными мерами. ^{[4] [5]}

Рыночные меры , которые присваивают вероятности пространствам финансового рынка на основе фактических движений рынка, являются примерами вероятностных мер, представляющих интерес для математических финансов ; например, в ценообразовании производных финансовых инструментов . ^[6] Например, нейтральная к риску мера — это вероятностная мера, которая предполагает, что текущая стоимость активов — это ожидаемая стоимость будущих выплат, полученных по отношению к той же самой нейтральной к риску мере (т. е. рассчитанная с использованием соответствующей функции плотности нейтральной к риску). ) и дисконтированы по безрисковой ставке . Если существует уникальная вероятностная мера, которую необходимо использовать для оценки активов на рынке, то рынок называется полным рынком . ^[7]

Не все меры, которые интуитивно представляют случайность или вероятность, являются вероятностными мерами. Например, хотя фундаментальным понятием системы в статистической механике является пространство меры, такие меры не всегда являются вероятностными мерами. ^[4] В общем, в статистической физике, если мы рассматриваем предложения вида «вероятность того, что система S примет состояние A равно p», геометрия системы не всегда приводит к определению вероятностной меры при конгруэнтности , хотя это может произойти в случае систем всего с одной степенью свободы. ^[5]

Вероятностные меры также используются в математической биологии . ^[8] Например, при сравнительном анализе последовательностей мера вероятности может быть определена для вероятности того, что вариант может быть допустимым для аминокислоты в последовательности. ^[9]

Ультрафильтры можно понимать как -значные вероятностные меры, позволяющие проводить множество интуитивных доказательств, основанных на мерах. Например, теорема Хиндмана может быть доказана путем дальнейшего исследования этих мер и, в частности, их свертки . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Смотрите также

• Борелевская мера  - мера, определенная на всех открытых множествах топологического пространства.
• Нечеткая мера  - теория обобщенных мер, в которой аддитивное свойство заменено более слабым свойством монотонности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Мера Хаара  - левоинвариантная (или правоинвариантная) мера на локально компактной топологической группе.
• Мера Лебега  - понятие площади в любом измерении.
• Мера Мартингейла  - Вероятностная мераPages displaying short descriptions of redirect targets
• Функция набора  – функция преобразования наборов в числа.
• Распределение вероятностей

Рекомендации

1. Введение в теорию вероятности, основанную на теории меры, Джордж Г. Руссас, ISBN 2004 г.  0-12-599022-7, стр. 47
2. Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в вероятность и статистику». Спрингеровские тексты в статистике . дои : 10.1007/1-84628-168-7. ISSN  1431-875X.
3. Вероятность, случайные процессы и эргодические свойства, Роберт М. Грей, 2009 ISBN 1-4419-1089-1 , стр. 163 
4. Курс математики для студентов-физиков, Том 2, Пол Бамберг, Шломо Штернберг, 1991, ISBN 0-521-40650-1 , стр. 802 
5. Концепция вероятности в статистической физике Яира М. Гутмана, 1999 ISBN 0-521-62128-3, стр. 149 
6. Количественные методы ценообразования деривативов Доминго Тавелла, 2002 ISBN 0-471-39447-5 , стр. 11 
7. Необратимые решения в условиях неопределенности , Светлана И. Боярченко, Серж Левендорский, 2007 ISBN 3-540-73745-6 , стр. 11 
8. Математические методы в биологии Дж. Дэвида Логана, Уильяма Р. Волесенски, 2009 ISBN 0-470-52587-8 , стр. 195 
9. Открытие биомолекулярных механизмов с помощью вычислительной биологии Фрэнка Эйзенхабера, ISBN 2006 г. 0-387-34527-2, стр. 127 

дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Джон Уайли. ISBN 0-471-00710-2.
• Эш, Роберт Б.; Долеанс-Дейд, Кэтрин А. (1999). Теория вероятностей и меры . Академическая пресса. ISBN 0-12-065202-1.
• Различение вероятностной меры, функции и распределения

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с мерой вероятности, на Викискладе?