Мера, нейтральная к риску

Мера вероятности

В математических финансах нейтральная к риску мера ( также называемая равновесной мерой или эквивалентной мартингальной мерой ) — это вероятностная мера, при которой цена каждой акции в точности равна дисконтированному ожиданию цены акции при этой мере. Это широко используется в ценообразовании финансовых деривативов из-за фундаментальной теоремы ценообразования активов , которая подразумевает, что на полном рынке цена дериватива является дисконтированной ожидаемой стоимостью будущего платежа при уникальной нейтральной к риску мере. ^[1] Такая мера существует тогда и только тогда, когда рынок свободен от арбитража.

Нейтральная к риску мера — это вероятностная мера

Самый простой способ запомнить, что такое нейтральная к риску мера, или объяснить ее специалисту по теории вероятностей, который, возможно, не очень разбирается в финансах, — это осознать, что это:

1. Вероятностная мера преобразованной случайной величины. Обычно это преобразование — функция полезности выигрыша. Нейтральная к риску мера — это мера, соответствующая ожиданию выигрыша с линейной полезностью.
2. Подразумеваемая мера вероятности, которая подразумевается из текущих наблюдаемых/размещенных/торгуемых цен соответствующих инструментов. Подразумеваемые означают те инструменты, которые причинно связаны с событиями в рассматриваемом пространстве вероятностей (т. е. базовые цены плюс производные), и
3. Это подразумеваемая мера вероятности (решает своего рода обратную задачу), которая определяется с использованием линейной (нейтральной к риску) полезности в выплате, предполагая некоторую известную модель для выплаты. Это означает, что вы пытаетесь найти нейтральную к риску меру, решая уравнение, где текущие цены являются ожидаемой приведенной стоимостью будущих выплат при нейтральной к риску мере. Концепция уникальной нейтральной к риску меры наиболее полезна, когда кто-то представляет себе создание цен по ряду производных инструментов, которые составили бы уникальную нейтральную к риску меру, поскольку она подразумевает своего рода согласованность в ваших гипотетических неторгуемых ценах и теоретически указывает на арбитражные возможности на рынках, где видны цены спроса/предложения.

Также стоит отметить, что в большинстве вводных приложений в финансах рассматриваемые выплаты являются детерминированными, учитывая знание цен в какой-то конечной или будущей точке времени. Это не является строго необходимым для использования этих методов.

Мотивация использования мер, нейтральных к риску

Цены активов в решающей степени зависят от их риска , поскольку инвесторы обычно требуют больше прибыли за принятие большего риска. Таким образом, сегодняшняя цена требования на рискованную сумму, реализуемого завтра, как правило, отличается от его ожидаемой стоимости. Чаще всего инвесторы не склонны к риску , и сегодняшняя цена ниже ожидаемой, вознаграждая тех, кто несет риск.

Оказывается, на полном рынке без арбитражных возможностей есть альтернативный способ сделать этот расчет: вместо того, чтобы сначала взять ожидание, а затем скорректировать его с учетом предпочтений инвестора по риску, можно скорректировать раз и навсегда вероятности будущих результатов таким образом, чтобы они включали все премии за риск инвесторов, а затем взять ожидание в соответствии с этим новым распределением вероятностей, мерой нейтральности к риску . Главное преимущество вытекает из того факта, что как только будут найдены вероятности, нейтральные к риску, каждый актив можно оценить, просто взяв текущую стоимость его ожидаемой выплаты. Обратите внимание, что если бы мы использовали фактические вероятности реального мира, каждая ценная бумага потребовала бы другой корректировки (поскольку они различаются по степени риска).

Отсутствие арбитража имеет решающее значение для существования меры, нейтральной к риску. Фактически, согласно фундаментальной теореме ценообразования активов , условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию меры, нейтральной к риску. Полнота рынка также важна, поскольку на неполном рынке существует множество возможных цен на актив, соответствующих различным мерам, нейтральным к риску. Обычно утверждается, что эффективность рынка подразумевает, что существует только одна цена (« закон одной цены »); правильная мера, нейтральная к риску, должна быть выбрана с использованием экономических, а не чисто математических аргументов.

Распространенной ошибкой является путаница с построенным распределением вероятностей с реальной вероятностью. Они будут отличаться, потому что в реальном мире инвесторы требуют премии за риск, тогда как можно показать, что при нейтральных к риску вероятностях все активы имеют одинаковую ожидаемую норму доходности, безрисковую ставку (или краткосрочную ставку ) и, таким образом, не включают никаких таких премий. Метод ценообразования с нейтральным к риску следует рассматривать как множество других полезных вычислительных инструментов — удобных и мощных, даже если они кажутся искусственными.

Определение

Эквивалентная мартингальная мера

Пусть будет d-мерным рынком, представляющим ценовые процессы рискованных активов, безрисковой облигации и базового вероятностного пространства. Тогда мера называется эквивалентной (локальной) мартингальной мерой, если ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle Q\approx P}$, т.е. эквивалентно ,​ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$
2. процессы являются (локальными) мартингалами относительно [ ^2] ${\displaystyle \left({\frac {S_{t}^{i}}{B_{t}}}\right)_{t}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$

Мера, нейтральная к риску

Нейтральные к риску меры позволяют легко выразить стоимость производного инструмента в формуле. Предположим, что в будущем производный инструмент (например, опцион колл на акцию ) выплачивает единицы, где — случайная величина в вероятностном пространстве, описывающем рынок. Далее предположим, что коэффициент дисконтирования от настоящего момента (нулевого времени) до времени равен . Тогда сегодняшняя справедливая стоимость производного инструмента равна ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle DF(0,T)}$

${\displaystyle H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}$

где любая мартингальная мера , решающая уравнение, является мерой, нейтральной по отношению к риску. ${\displaystyle Q}$

Изменение меры

Это можно переформулировать в терминах альтернативной меры P следующим образом:

${\displaystyle H_{0}=\operatorname {E} _{Q}\left(H_{0}\right)=\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{0}\right)={\frac {dQ}{dP}}H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{T}\right)}$

где — производная Радона–Никодима по , и, следовательно, по-прежнему является мартингалом. ^[3] ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Если на финансовом рынке есть только одна мера, нейтральная к риску, то для каждого актива на рынке существует уникальная цена без арбитража. Это фундаментальная теорема ценообразования без арбитража . Если таких мер больше, то в интервале цен арбитраж невозможен. Если эквивалентной меры мартингала не существует, возможности арбитража есть.

На рынках с транзакционными издержками, без numéraire , последовательный процесс ценообразования заменяет эквивалентную меру мартингала. Фактически существует отношение 1 к 1 между последовательным процессом ценообразования и эквивалентной мерой мартингала.

Пример 1 – Биномиальная модель цен акций

Учитывая вероятностное пространство , рассмотрим однопериодную биномиальную модель, обозначим начальную цену акций как и цену акций в момент времени 1 как которая может случайным образом принимать возможные значения: если акции растут или если акции падают. Наконец, обозначим безрисковую ставку. Эти величины должны удовлетворять, иначе на рынке есть арбитраж , и агент может генерировать богатство из ничего. ^[4] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S^{u}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$

Вероятностная мера называется нейтральной к риску, если что можно записать как . Решая для мы находим, что нейтральная к риску вероятность восходящего движения акций задается числом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$ ${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^[5]

Учитывая, что производный инструмент имеет выплату , когда цена акций растет и когда она падает, мы можем оценить производный инструмент через ${\displaystyle X^{u}}$ ${\displaystyle X^{d}}$

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

Пример 2 – Модель броуновского движения цен акций

Предположим, что наша экономика состоит из 2 активов, акций и безрисковых облигаций , и что мы используем модель Блэка-Шоулза . В этой модели эволюция цены акций может быть описана геометрическим броуновским движением :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

где — стандартное броуновское движение относительно физической меры. Если мы определим ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

Теорема Гирсанова утверждает, что существует мера , при которой происходит броуновское движение. известна как рыночная цена риска . Используя правила исчисления Ито , можно неформально дифференцировать по отношению к и переставить приведенное выше выражение, чтобы вывести SDE ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

Вернем это в исходное уравнение:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

Пусть — дисконтированная цена акций, заданная как , тогда по лемме Ито мы получаем СДУ: ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$является уникальной мерой нейтральности к риску для модели. Дисконтированный процесс выплат производного инструмента по акциям является мартингейлом при . Обратите внимание, что дрейф SDE равен , безрисковой процентной ставке , что подразумевает нейтральность к риску. Поскольку и являются -мартингалами, мы можем применить теорему о представлении мартингейла , чтобы найти стратегию репликации — портфель акций и облигаций, который окупается в любое время . ${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle t\leq T}$

Происхождение меры нейтральности к риску

Естественно спросить, как возникает нейтральная по риску мера на рынке, свободном от арбитража. Каким-то образом цены всех активов будут определять вероятностную меру. Одно из объяснений дается с использованием ценной бумаги Arrow . Для простоты рассмотрим дискретный (даже конечный) мир только с одним будущим временным горизонтом. Другими словами, есть настоящее (время 0) и будущее (время 1), и в момент времени 1 состояние мира может быть одним из конечного числа состояний. Ценная бумага Arrow, соответствующая состоянию n , A _n , — это та, которая приносит 1 доллар в момент времени 1 в состоянии n и 0 долларов в любом из других состояний мира.

Какова цена A _n сейчас? Она должна быть положительной, так как есть вероятность, что вы выиграете $1; она должна быть меньше $1, так как это максимально возможная выплата. Таким образом, цена каждого A _n , которую мы обозначаем как A _n (0) , строго находится между 0 и 1.

На самом деле, сумма всех цен на ценные бумаги должна быть равна текущей стоимости $1, поскольку владение портфелем, состоящим из каждой ценной бумаги Arrow, приведет к определенному выигрышу в $1. Рассмотрим лотерею, в которой один билет выигрывает приз из всех вступительных взносов: если приз составляет $1, вступительный взнос составит 1/количество билетов. Для простоты мы будем считать процентную ставку равной 0, так что текущая стоимость $1 равна $1.

Таким образом, A _n (0) удовлетворяют аксиомам для распределения вероятностей. Каждое из них неотрицательно, а их сумма равна 1. Это мера, нейтральная к риску! Теперь осталось показать, что она работает так, как и заявлено, т. е. взятие ожидаемых значений относительно этой меры вероятности даст правильную цену в момент времени 0.

Предположим, у вас есть ценная бумага C , цена которой в момент времени 0 равна C(0) . В будущем, в состоянии i , ее выплата составит C _i . Рассмотрим портфель P, состоящий из суммы C _i каждой ценной бумаги Arrow A _i . В будущем, какое бы состояние i ни наступило, A _i выплачивает 1 доллар, в то время как другие ценные бумаги Arrow выплачивают 0 долларов, поэтому P выплатит C _i . Другими словами, портфель P повторяет выплату C независимо от того, что произойдет в будущем. Отсутствие арбитражных возможностей подразумевает, что цена P и C должна быть одинаковой сейчас, так как любая разница в цене означает, что мы можем без какого-либо риска (коротко) продать более дорогой, купить более дешевый и положить разницу в карман. В будущем нам нужно будет вернуть коротко проданный актив, но мы можем финансировать это именно путем продажи купленного нами актива, оставив нам нашу первоначальную прибыль.

Рассматривая каждую цену ценной бумаги Arrow как вероятность , мы видим, что цена портфеля P(0) является ожидаемым значением C при нейтральных к риску вероятностях. Если бы процентная ставка R была не нулевой, нам пришлось бы дисконтировать ожидаемое значение соответствующим образом, чтобы получить цену. В частности, портфель, состоящий из каждой ценной бумаги Arrow, теперь имеет текущую стоимость , поэтому нейтральная к риску вероятность состояния i становится умноженной на цену каждой ценной бумаги Arrow A _i , или ее форвардную цену . ${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$ ${\displaystyle (1+R)}$

Обратите внимание, что ценные бумаги Arrow на самом деле не обязательно должны торговаться на рынке. Вот где вступает в силу полнота рынка. На полном рынке каждая ценная бумага Arrow может быть воспроизведена с использованием портфеля реальных торгуемых активов. Приведенный выше аргумент по-прежнему работает, если рассматривать каждую ценную бумагу Arrow как портфель.

В более реалистичной модели, такой как модель Блэка-Шоулза и ее обобщения, наша ценная бумага Arrow будет чем-то вроде двойного цифрового опциона , который выплачивает $1, когда базовый актив находится между нижней и верхней границей, и $0 в противном случае. Цена такого опциона затем отражает точку зрения рынка на вероятность того, что спотовая цена окажется в этом ценовом интервале, скорректированную на премию за риск, полностью аналогично тому, как мы получили вероятности выше для одношагового дискретного мира.

Смотрите также

• Броуновская модель финансовых рынков
• Анализ условных претензий
• Вперед мера
• Основная теорема безарбитражного ценообразования
• Закон единой цены
• Ценообразование по методу Мартингейла
• Мартингейл (теория вероятностей)
• Математические финансы
• Рациональное ценообразование
• Минимальная энтропийная мартингальная мера

Примечания

1. Глин А. Холтон (2005). "Фундаментальная теорема ценообразования активов". riskglossary.com . Получено 20 октября 2011 г. .
2. Бьорк, Томас (2004). Теория арбитража в непрерывном времени . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 136 и далее. ISBN 978-0-19-927126-9.
3. Ганс Фёлльмер; Александр Шид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грютер. п. 6. ISBN 978-3-11-018346-7.
4. Шрив, Стивен Э. Стохастическое исчисление в финансах I. Биномиальная модель ценообразования активов. стр. 2–3. ISBN 978-0-387-22527-2. OCLC  1184505221.
5. Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп, П.Е. (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Springer. стр. 48–50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Внешние ссылки

• Гизигер, Николас: Объяснение нейтральных к риску вероятностей
• Тэм, Джозеф: Оценка с нейтральным риском: Небольшое введение , Часть II