В математике теория нечеткой меры рассматривает обобщенные меры , в которых аддитивное свойство заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечеткой меры является нечеткая мера (также емкость , см. [1] ), которая была введена Шоке в 1953 году и независимо определена Сугено в 1974 году в контексте нечетких интегралов . Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия/доверия , меры возможности/необходимости и меры вероятности , которые являются подмножеством классических мер.
Определения
Позвольте быть вселенной дискурса , быть классом подмножеств , и . Функция , где![{\displaystyle \mathbf {X} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {X} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle E \ subseteq F \ Rightarrow g (E) \ leq g (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
называется нечеткой мерой . Нечеткая мера называется нормированной или регулярной, если .![{\displaystyle g(\mathbf {X})=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Свойства нечетких мер
Нечеткая мера – это:
- аддитивная , если для любого такого что имеем ;
![{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\cap F=\emptyset}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g (E \ чашка F) = g (E) + g (F).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- супермодульный , если для любого имеем ;
![{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle г (Е \ чашка F) + г (Е \ кепка F) \ geq г (Е) + г (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- субмодульный , если для любогоимеем;
![{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle г (Е \ чашка F) + г (Е \ кепка F) \ leq г (Е) + г (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- супераддитивен, если для любого такого что имеем ;
![{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\cap F=\emptyset}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g (E \ чашка F) \ geq g (E) + g (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- субаддитивен, если для любого такого что имеем ;
![{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\cap F=\emptyset}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g (E \ чашка F) \ leq g (E) + g (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- симметрично , если для любого мы имеем подразумеваем ;
![{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |E|=|F|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g (E) = g (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Логическое значение, если для любого у нас есть или .
![{\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(E)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(E)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Понимание свойств нечетких мер полезно при их применении. Когда нечеткая мера используется для определения такой функции, как интеграл Сугено или интеграл Шоке , эти свойства будут иметь решающее значение для понимания поведения функции. Например, интеграл Шоке по аддитивной нечеткой мере сводится к интегралу Лебега . В дискретных случаях симметричная нечеткая мера приводит к оператору упорядоченного взвешенного усреднения (OWA). Субмодулярные нечеткие меры приводят к выпуклым функциям, а супермодулярные нечеткие меры приводят к вогнутым функциям при использовании для определения интеграла Шоке.
Представление Мёбиуса
Пусть g — нечеткая мера. Представление Мёбиуса g задаётся функцией множества M , где для каждого ![{\ displaystyle E, F \ subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\обратная косая черта F|}g(F).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эквивалентные аксиомы в представлении Мёбиуса:
.
, для всех и вся![{\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle я\in E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Нечеткая мера в представлении Мёбиуса M называется нормализованной
, если![{\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M (E)=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Представление Мёбиуса можно использовать, чтобы указать, какие подмножества X взаимодействуют друг с другом. Например, аддитивная нечеткая мера имеет все значения Мёбиуса, равные нулю, за исключением одиночных. Нечеткая мера g в стандартном представлении может быть восстановлена из формы Мёбиуса с помощью преобразования Дзета:
![{\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M (F),\forall E\subseteq \mathbf {X}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Предположения упрощения для нечетких мер
Нечеткие меры определяются на полукольце множеств или монотонном классе , который может быть столь же гранулярным, как и степенное множество X , и даже в дискретных случаях число переменных может достигать 2 | Х | . По этой причине в контексте многокритериального анализа решений и других дисциплин были введены предположения упрощения нечеткой меры, чтобы ее определение и использование было менее затратным в вычислительном отношении. Например, если предполагается, что нечеткая мера является аддитивной , это будет считаться верным, и значения нечеткой меры можно оценить по значениям X. Аналогично, симметричная нечеткая мера однозначно определяется формулой | Х | ценности. Двумя важными нечеткими мерами, которые можно использовать, являются нечеткая мера Сугено или -нечеткая мера и k -аддитивные меры, введенные Сугено [2] и Грабишем [3] соответственно.![{\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сугено λ -мера
Мера Сугено представляет собой частный случай нечетких мер, определенных итеративно. Он имеет следующее определение:![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение
Пусть – конечное множество и пусть . -мера Сугено — это такая функция, что![{\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots,x_{n}\right\rbrace}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.- if (альтернативно ) с then .
![{\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\cap B=\emptyset}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle г (А \ чашка B) = г (А) + г (В) + \ лямбда г (А) г (В)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По соглашению, значение g в одноэлементном наборе
называется плотностью и обозначается . Кроме того, мы имеем, что удовлетворяет свойству![{\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Тахани и Келлер [4], а также Ван и Клир показали, что, как только плотности известны, можно использовать предыдущий полином для однозначного получения значений .![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
k -аддитивная нечеткая мера
k - аддитивная нечеткая мера ограничивает взаимодействие между подмножествами размером . Это резко сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, а поскольку k может принимать любое значение от 1 (в этом случае нечеткая мера аддитивна) до X , это позволяет найти компромисс между возможностями моделирования и простотой.![{\displaystyle E\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |E|=k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение
Дискретная нечеткая мера g на множестве X называется k-аддитивной ( ), если ее представление Мёбиуса проверяется всегда для любого и существует подмножество F с k элементами такое, что .![{\displaystyle 1\leq k\leq |\mathbf {X} |}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M(E)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |E|>k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M(F)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Шепли и индексы взаимодействия
В теории игр значение Шепли или индекс Шепли используется для обозначения веса игры. Значения Шепли можно рассчитать для нечетких мер, чтобы дать некоторое представление о важности каждого синглтона. В случае аддитивных нечетких мер значение Шепли будет таким же, как и каждый синглтон.
Для данной нечеткой меры g и индекс Шепли для каждого равен:![{\displaystyle |\mathbf {X} |=n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle я,\dots,n\in X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \обратная косая черта \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n !}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Значение Шепли — это вектор![{\displaystyle \mathbf {\phi } (g) = (\psi (1),\dots,\psi (n)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Гюстав Шоке (1953). «Теория емкостей». Анналы Института Фурье . 5 : 131–295.
- ^ М. Сугено (1974). "Теория нечетких интегралов и ее приложения. Кандидатская диссертация". Токийский технологический институт , Токио, Япония .
- ^ М. Грабиш (1997). « Аддитивные дискретные нечеткие меры k -порядка и их представление». Нечеткие множества и системы . 92 (2): 167–189. дои : 10.1016/S0165-0114(97)00168-1.
- ^ Х. Тахани и Дж. Келлер (1990). «Объединение информации в компьютерном зрении с использованием нечеткого интеграла». Транзакции IEEE по системам, человеку и кибернетике . 20 (3): 733–741. дои : 10.1109/21.57289.
дальнейшее чтение
- Беляков, Прадера и Кальво, Функции агрегирования: Руководство для практиков , Springer, Нью-Йорк, 2007.
- Ван, Чжэньюань и Джордж Дж. Клир , Теория нечеткой меры , Plenum Press, Нью-Йорк, 1991.
Внешние ссылки
- Теория нечеткой меры при обработке нечетких изображений. Архивировано 30 июня 2019 г. на Wayback Machine.