Теория возможностей — это математическая теория, предназначенная для работы с определенными типами неопределенности и являющаяся альтернативой теории вероятностей . Он использует меры возможности и необходимости от 0 до 1, от невозможного к возможному и от ненужного к необходимому соответственно. Профессор Лотфи Заде впервые представил теорию возможностей в 1978 году как расширение своей теории нечетких множеств и нечеткой логики . Дидье Дюбуа и Анри Прад внесли дальнейший вклад в его развитие. Ранее, в 1950-х годах, экономист Г. Л. С. Шекл предложил алгебру мин/макс для описания степени потенциальной неожиданности.
Для простоты предположим, что вселенная дискурса Ω представляет собой конечное множество. Мера возможности — это функция от до [0, 1] такая, что:
Отсюда следует, что, как и вероятность в конечных вероятностных пространствах , мера возможности определяется ее поведением на одиночных элементах:
Аксиому 1 можно интерпретировать как предположение о том, что Ω является исчерпывающим описанием будущих состояний мира, поскольку это означает, что элементам вне Ω не придается никакого веса доверия.
Аксиому 2 можно интерпретировать как предположение о том, что доказательства, на основе которых были построены, не содержат каких-либо противоречий. Технически это означает, что в Ω существует хотя бы один элемент с возможностью 1.
Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности вероятностей. Однако есть важное практическое различие. Теория возможностей более удобна в вычислительном отношении, поскольку аксиомы 1–3 предполагают, что:
Поскольку о возможности объединения можно узнать по возможности каждого компонента, можно сказать, что возможность композиционна по отношению к оператору объединения. Однако обратите внимание, что он не является композиционным по отношению к оператору пересечения. В целом:
Когда Ω не конечно, аксиому 3 можно заменить следующим:
В то время как теория вероятностей использует одно число, вероятность, для описания того, насколько вероятно событие произойдет, теория возможностей использует два понятия: возможность и необходимость события . Для любого множества мера необходимости определяется формулой
В приведенной выше формуле обозначает дополнение , то есть элементы, не принадлежащие . Это несложно показать:
и это:
Обратите внимание: вопреки теории вероятностей, возможность не является самодвойственной. То есть для любого события имеем только неравенство:
Однако справедливо следующее правило двойственности:
Соответственно, убеждения о событии могут быть представлены числом и битом.
Есть четыре случая, которые можно интерпретировать следующим образом:
значит, это необходимо. это конечно правда. Это подразумевает, что .
значит это невозможно. заведомо ложно. Это подразумевает, что .
значит, это возможно. Я бы совсем не удивился, если бы это произошло. Он уходит без ограничений.
значит это ненужно. Я бы совсем не удивился, если бы этого не произошло. Он уходит без ограничений.
Пересечение последних двух случаев означает , что я вообще ничему не верю . Поскольку она допускает подобную неопределенность, теория возможностей относится к градуировке многозначной логики , такой как интуиционистская логика , а не классической двузначной логики .
Обратите внимание, что в отличие от возможности нечеткая логика является композиционной как по отношению к оператору объединения, так и по отношению к оператору пересечения. Связь с нечеткой теорией можно объяснить на следующем классическом примере.
Существует обширное формальное соответствие между теориями вероятностей и возможностей, где оператор сложения соответствует оператору максимума.
Меру возможности можно рассматривать как согласную меру правдоподобия в теории доказательств Демпстера-Шейфера . Операторы теории возможностей можно рассматривать как сверхосторожную версию операторов переносимой модели убеждений , современного развития теории свидетельств.
Возможность можно рассматривать как верхнюю вероятность : любое распределение возможностей определяет уникальный набор доверенных значений допустимых распределений вероятностей с помощью
Это позволяет изучать теорию возможностей, используя инструменты неточных вероятностей .
Мы называем обобщенной возможностью каждую функцию, удовлетворяющую аксиоме 1 и аксиоме 3. Мы называем обобщенной необходимостью двойственную обобщенной возможности. Обобщенные потребности связаны с очень простой и интересной нечеткой логикой, называемой логикой необходимости . В аппарате дедукции логики необходимости логические аксиомы представляют собой обычные классические тавтологии . Кроме того, существует только нечеткое правило вывода, расширяющее обычный modus ponens . Такое правило гласит, что если α и α → β доказаны на степени λ и µ соответственно, то мы можем утверждать β на степени min{ λ , µ }. Легко видеть, что теории такой логики представляют собой обобщенные потребности и что вполне непротиворечивые теории совпадают с потребностями (см., например, Gerla 2001).