Установить функцию

Функция от множеств к числам

В математике, особенно в теории меры , функция множества — это функция , областью определения которой является семейство подмножеств некоторого заданного множества и которая (обычно) принимает свои значения в расширенной строке действительных чисел , состоящей из действительных чисел и ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty .}$

Функция множества обычно предназначена для измерения подмножеств тем или иным способом. Меры являются типичными примерами «измерения» функций множества. Поэтому термин «функция множества» часто используется, чтобы избежать путаницы между математическим значением слова «мера» и его общеязыковым значением.

Определения

Если это семейство множеств над (это означает, что где обозначает набор степеней ), то функция множества on — это функция с областью определения и кодоменом или, иногда, кодоменом вместо этого является некоторое векторное пространство , как в случае с векторными мерами , комплексными мерами и проекциями . ценные меры . Область определения функции множества может иметь любые числовые свойства; Часто встречающиеся свойства и категории семейств перечислены в таблице ниже. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

В общем, обычно предполагается, что оно всегда четко определено для всех или, что эквивалентно, что не принимает оба значения и . В этой статье впредь это будет предполагаться; хотя в качестве альтернативы все приведенные ниже определения могут быть уточнены такими утверждениями, как «всякий раз, когда определяется сумма/ряд». Иногда это делается с помощью вычитания, например, с помощью следующего результата, который верен всякий раз, когда является конечно аддитивным: ${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

Формула разницы наборов :определяется с помощьюудовлетворяющихи ${\displaystyle \mu (F)-\mu (E)=\mu (F\setminus E){\text{ whenever }}\mu (F)-\mu (E)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle F\setminus E\in {\mathcal {F}}.}$

Нулевые наборы

Набор называется ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$нулевой набор (относительно) или просто ${\displaystyle \mu }$null , если Wheneverне равно тождественно ни одному из них,илитогда обычно также предполагается, что: ${\displaystyle \mu (F)=0.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

• нулевой пустой набор :если ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$

Вариация и масса

The Полная вариация набора равна ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle |\mu |(S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup\{|\mu (F)|:F\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}F\subseteq S\}}$$

абсолютное значениенормуполунормуполунормированном пространстве ${\displaystyle |\,\cdot \,|}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle |\mu |\left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$Полная ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$масса ${\displaystyle \mu .}$

Функция множества называетсяконечно, если для каждогозначениеравно ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)}$конечный (что по определению означает, чтои; ${\displaystyle \mu (F)\neq \infty }$ ${\displaystyle \mu (F)\neq -\infty }$бесконечное значение – это значение, равноеили). Каждая функция конечного множества должна иметь конечную массу. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Общие свойства функций множеств

Функция множества на называется ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• неотрицательный , если он оценивается в ${\displaystyle [0,\infty ].}$
• конечно-аддитивен , еслидля всехпопарно непересекающихсяконечных последовательностейтаких, что ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • Если замкнуто относительно бинарных объединений , то конечно аддитивно тогда и только тогда, когда для всех непересекающихся пар ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Если конечно аддитивно, и если тогда взятие показывает то , что возможно только тогда или где в последнем случае для каждого (поэтому полезен только этот случай ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• счетно-аддитивная илиσ-аддитивен ^[2], если помимо того, что он конечно аддитивен, для всехпопарно непересекающихсяпоследовательностейвтаких, чтовыполняются все следующие условия: ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • Ряд в левой части определяется обычным образом как предел ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • Как следствие, если есть какая-либо перестановка / биекция , то это потому, что применение этого условия (а) дважды гарантирует, что оба и выполняются. По определению сходящийся ряд, обладающий этим свойством, называется безусловно сходящимся . Говоря простым языком , это означает, что переупорядочение/перемаркировка наборов в новом порядке не влияет на сумму их мер. Это желательно, поскольку, поскольку объединение не зависит от порядка этих множеств, то же самое должно быть справедливо и для сумм и ${\displaystyle \rho :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$ ${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$ ${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$ ${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$ ${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. если не бесконечен, то этот ряд также должен сходиться абсолютно , что по определению означает, что он должен быть конечным. Это автоматически верно, если оно неотрицательно (или даже просто оценивается в расширенных действительных числах). ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle \mu }$
     • Как и любой сходящийся ряд действительных чисел, по теореме о рядах Римана , ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда его сумма не зависит от порядка его членов (свойство, известное как безусловная сходимость ). Поскольку безусловная сходимость гарантируется пунктом (а) выше, это условие автоматически истинно, если оно оценивается в ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. если бесконечно, то также требуется, чтобы значение хотя бы одного из рядов было конечным (чтобы сумма их значений была корректно определена). Это автоматически верно, если оно неотрицательно. ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$ ${\displaystyle \mu }$
• апредмера, если она неотрицательна,счетно-аддитивна(в том числе конечно-аддитивна) и имеет нулевое пустое множество.
• амера , если это предмера, областью определения которой являетсяσ-алгебра. Другими словами, мера — это неотрицательная счетно-аддитивная функция множества на σ-алгебре, которая имеет нулевое пустое множество.
• авероятностная мера, если это мера, имеющая массу ${\displaystyle 1.}$
• авнешняя мера, если она неотрицательна, счетно субаддитивна, имеет нулевое пустое множество и имеетнабор степеней в качестве своей области определения. ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
  • Внешние меры появляются в теореме о продолжении Каратеодори и часто ограничиваются измеримыми подмножествами Каратеодори.
• азнаковая мера, если она счетно-аддитивна, имеет нулевое пустое множество ине принимает обазначенияи ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
• завершено , если каждое подмножество каждого нулевого набора является нулевым; явно это означает: всякий раз, когдаиявляется любым подмножествомthenи ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$ ${\displaystyle N\subseteq F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • В отличие от многих других свойств, полнота предъявляет требования к множеству (а не только к значениям). ${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$
• 𝜎-конечная, если существует последовательность,конечнаядля любого индекса, а также ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• разложима, если существуеттакое подсемейство попарно непересекающихся множеств, котороеконечно для каждогои также(где). ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (P)}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$
  • Любая 𝜎-конечная функция множества разложима, но не наоборот. Например, считающая мера на (область определения ) разложима, но не 𝜎-конечна. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$
• авекторная мера, если это счетно-аддитивная функция множества,имеющая значение втопологическом векторном пространстве(например,нормированном пространстве), областью определения которого являетсяσ-алгебра. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle X}$
  • Если число имеет значение в нормированном пространстве , то оно счетно-аддитивно тогда и только тогда, когда для любой попарно непересекающейся последовательности в ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• акомплексная мера , если она является счетно-аддитивнойкомплекснойфункцией множества, областью определения которой являетсяσ-алгебра. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} }$
  • По определению, комплексная мера никогда не принимает значение и поэтому имеет пустое нулевое множество. ${\displaystyle \pm \infty }$
• аслучайная мера, если этослучайный элемент.

Произвольные суммы

Как описано в разделе этой статьи, посвященном обобщенным рядам , для любого семейства действительных чисел , индексированного произвольным набором индексов , можно определить их сумму как предел сети конечных частичных сумм , где область определения направлена . Всякий раз, когда эта сеть сходится, тогда ее предел обозначается символами, а если вместо этого эта сеть расходится к, то это можно указать, написав Любая сумма по пустому множеству определяется как ноль; то есть если то по определению. ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$ ${\displaystyle I=\varnothing }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$

Например, если для каждого то И можно показать, что Если то обобщенный ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится безусловно (или, что то же самое, сходится абсолютно ) в обычном смысле. Если обобщенный ряд сходится в то и то, и другое сходится к элементам и множество обязательно счетно (т. е. либо конечно, либо счетно бесконечно ); это остается верным , если заменить его любым нормированным пространством . ^{[доказательство 1]} Отсюда следует, что для того, чтобы обобщенный ряд сходился в или необходимо, чтобы все, кроме не более чем счетного числа, были равны, что означает, что это сумма не более чем счетного числа ненулевых членов. Другими словами, если несчетно, то обобщенный ряд не сходится. ${\displaystyle z_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$

Таким образом, из-за природы действительных чисел и их топологии каждый сходящийся обобщенный ряд действительных чисел (индексированный произвольным набором) может быть сведен к обычному абсолютно сходящемуся ряду из счетного числа действительных чисел. Таким образом, в контексте теории меры рассмотрение бесчисленного множества множеств и обобщенных рядов дает мало пользы. В частности, именно поэтому определение «счетно-аддитивного» редко расширяется от счетного числа множеств в (и обычного счетного ряда ) до произвольного числа множеств (и обобщенного ряда ). ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$

Внутренние меры, внешние меры и другие свойства

Говорят, что функция множества / удовлетворяет ^[1] ${\displaystyle \mu }$

• монотонно , есливсякий разудовлетворять ${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\subseteq F.}$
• модульный, если он удовлетворяет следующему условию, известному какмодульность:для всехтаких, что ${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Любая конечно-аддитивная функция на поле множеств модулярна.
  • В геометрии функция множества, имеющая значение в некоторой абелевой полугруппе, обладающей этим свойством, известна как оценка . Это геометрическое определение «оценки» не следует путать с более сильным неэквивалентным теоретико-мерным определением «оценки» , которое дано ниже.
• субмодульный, еслидля всехтаких, что ${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• конечно субаддитивен, еслидля всех конечных последовательностей, удовлетворяющих ${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• счетно субаддитивная илиσ-субаддитивен , еслидля всех последовательностейизнего удовлетворяет ${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • Если замкнуто относительно конечных объединений, то это условие выполняется тогда и только тогда, когда для всех If неотрицательно, то абсолютные значения могут быть удалены. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • Если — мера, то это условие выполняется тогда и только тогда, когда для всех в ^[3] Если — вероятностная мера , то это неравенство является неравенством Буля . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • Если счетно субаддитивен и с то конечно субаддитивен. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$
• супераддитивны , есливсякий разне пересекаются с ${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• непрерывен сверху, еслидля всехневозрастающих последовательностеймножествизтаких, чтоси всеконечны. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$
  • Мера Лебега непрерывна сверху, но это не было бы так, если бы из определения было исключено предположение о том, что все они в конечном итоге конечны, как показывает этот пример: для каждого целого числа пусть будет открытый интервал, так что где ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (i,\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• непрерывен снизу, еслидля всехнеубывающих последовательностеймножествизтаких, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• к бесконечности приближаются снизу, если всякий раз, когдавыполняется условие,то для каждого реальногосуществуеттакое, чтои ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (F)=\infty }$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$ ${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• внешняя мера, если она неотрицательна, счетно субаддитивна, имеет нулевое пустое множество и имеет набор степеней в качестве своей области определения. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• авнутренняя мера, еслиона неотрицательна, супераддитивна, непрерывна сверху, имеет нулевое пустое множество, имеет степеннойнаборв качестве области определения и приближается снизу. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• атомарный , если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом .

Если определена бинарная операция , то говорят, что функция множества ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \mu }$

• инвариант перевода , еслидля всехитакой, что ${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

Определения, связанные с топологией

Если топология включена, то говорят, что функция множества : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$

• аБорелевская мера, если это мера, определенная на σ-алгебре всехборелевских множеств, которая является наименьшей σ-алгеброй, содержащей все открытые подмножества (то есть содержащую). ${\displaystyle \tau }$
• аМера Бэра, если она является мерой, определенной на σ-алгебре всехмножеств Бэра.
• локально конечна , если для каждой точкисуществует конечная окрестностьэтой точки. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$ ${\displaystyle \mu (U)}$
  • Если является конечно-аддитивным, монотонным и локально конечным, то обязательно конечно для любого компактного измеримого подмножества. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)}$ ${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$-аддитивный , есливсякий раз, когдаоннаправленпо отношению ки удовлетворяет ${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$направлена ​​относительно тогда и только тогда, когда она не пуста и для всех существует такое, что и ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C.}$
• внутренний регулярный илиплотно , если для каждого ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• внешний регулярный , если для каждого ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• регулярный , если он одновременно является внутренним регулярным и внешним регулярным.
• аРегулярная борелевская мера , если эта борелевская мера также являетсярегулярной.
• аМера Радона , если она является регулярной и локально конечной мерой.
• строго положительно , если каждое непустое открытое подмножество имеет (строго) положительную меру.
• аоценка , если она неотрицательна, монотонна, модульна, имеет нулевое пустое множество и имеет область определения. ${\displaystyle \tau .}$

Отношения между функциями множества

Если и являются двумя заданными функциями, то: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \mu }$Говорят, что этоабсолютно непрерывен относительно ${\displaystyle \nu }$илидоминирует ${\displaystyle \nu }$, записанныйif для каждого набора, который принадлежит области обоих, иifthen ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu (F)=0}$ ${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • Если и являются -конечными мерами на одном и том же измеримом пространстве и если тогда производная Радона–Никодима существует и для любого измеримого пространства ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$ ${\displaystyle F,}$
    $${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
  • ${\displaystyle \mu }$и называются ${\displaystyle \nu }$эквивалентны , если каждое из них абсолютно непрерывно относительно другого. называется ${\displaystyle \mu }$опорная мера меры,если -конечнаиониэквивалентны. ^[4] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \mu }$и являются ${\displaystyle \nu }$единственное число , записанное, если существуют непересекающиеся множестваив областяхитакие, чтодля всехв областиидля всехв области ${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$ ${\displaystyle \mu (F)=0}$ ${\displaystyle F\subseteq M}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \nu (F)=0}$ ${\displaystyle F\subseteq N}$ ${\displaystyle \nu .}$

Примеры

Примеры функций набора включают в себя:

• Функция
  $${\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\ldots ,n\}|}{n}},}$$
  присвоение плотностей достаточно хорошо управляемым подмножествам является функцией множества. ${\displaystyle A\subseteq \{1,2,3,\ldots \},}$
• Вероятностная мера присваивает вероятность каждому набору в σ-алгебре . В частности, вероятность пустого набора равна нулю, а вероятность выборочного пространства равна другим наборам с заданными вероятностями между и ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$
• Мера возможности присваивает каждому набору в наборе степеней некоторого заданного набора число от нуля до единицы. См. теорию возможностей .
• Случайный набор — это случайная величина с множеством значений . См. статью «Случайный компакт» .

Жорданова мера on — это функция множества, определенная на множестве всех ее измеримых по Жордану подмножеств, которая переводит измеримое по Жордану множество в его жорданову меру. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$

Мера Лебега

Мера Лебега on — это функция множества, которая ставит в соответствие неотрицательное действительное число каждому набору действительных чисел, принадлежащему -алгебре Лебега . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$

Его определение начинается с набора всех интервалов действительных чисел, который является полуалгеброй на . Функция, которая присваивает каждому интервалу его, является конечно-аддитивной функцией множества (явно, если имеет конечные точки , то ). Эту функцию множества можно расширить до внешней меры Лебега, на которой находится трансляционно-инвариантная функция множества , которая отправляет подмножество в нижнюю границу . ${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$

𝜎-алгебрукритерию Каратеодори ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$

мерой ЛебегаМножества Виталинеизмеримых множеств

Бесконечномерное пространство

Как подробно описано в статье о бесконечномерной мере Лебега , единственной локально конечной и трансляционно-инвариантной борелевской мерой в бесконечномерном сепарабельном нормированном пространстве является тривиальная мера . Однако можно определить гауссовы меры на бесконечномерных топологических векторных пространствах . Структурная теорема для гауссовских мер показывает, что абстрактная конструкция винеровского пространства — по существу единственный способ получить строго положительную гауссову меру в сепарабельном банаховом пространстве .

Конечно-аддитивные трансляционно-инвариантные функции множества

Единственная трансляционно-инвариантная мера на области , которая конечна на каждом компактном подмножестве, - это тривиальная функция множества , которая тождественно равна (т. е. переводит каждую в ) ^[6] . Однако, если счетная аддитивность ослаблена до конечной аддитивности, то нетривиальная функция множества с этими свойствами действительно существует, и более того, некоторые из них даже оценены в. Фактически, такие нетривиальные функции множества будут существовать, даже если ее заменить любой другой абелевой группой ^[7] ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G.}$

Теорема ^[8]  —  Если есть какая-либо абелева группа , то существует конечно-аддитивная и трансляционно-инвариантная ^{[примечание 1]} функция множества массы ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle \mu :\wp (G)\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu (G)=1.}$

Расширение функций набора

Переход от полуалгебр к алгебрам

Предположим, что это функция множества на полуалгебре над и пусть ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$

алгебройалгеброй ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$

^[9] ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$

Если оно конечно аддитивно, то оно имеет уникальное расширение до функции множества, определяемой путем отправки (где указывает, что они попарно не пересекаются ) в: ^[9] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$$

^[9] ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),}$

$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

Если, кроме того, расширено вещественнозначно и монотонно (что, в частности, будет иметь место, если оно неотрицательно), то оно будет монотонным и конечно субаддитивным: для любого такого, что ^[9] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},}$

$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

Расширение от колец до σ-алгебр.

Если является предмерой на кольце множеств (например, алгебре множеств ) над then , имеет расширение до меры на σ-алгебре, порожденной формулой. Если σ-конечно, то это расширение уникально. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$

Чтобы определить это расширение, сначала расширьте его до внешней меры на ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle 2^{\Omega }=\wp (\Omega )}$

$${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}}$$

измеримыми по Каратеодори множествами ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{M}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$

$${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .}$$

${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Ограничение внешних мер

Если это внешняя мера на множестве, где (по определению) область определения обязательно является степенным множеством , то подмножество называется –измеримым или измеримым по Каратеодори , если оно удовлетворяет следующему критерию Каратеодори : ${\displaystyle \mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

$${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,}$$

_ ${\displaystyle M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M}$ ${\displaystyle M.}$

Семейство всех –измеримых подмножеств является σ-алгеброй и ограничение внешней меры на это семейство есть мера . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Смотрите также

• Абсолютная непрерывность (теория меры)  - форма непрерывности функций.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Булево кольцо  – математическая концепцияPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Мера набора цилиндров  – способ создания меры по пространствам продуктов.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Поле множеств  - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Теорема Хадвигера
• Теорема Хана о разложении  - Теорема измеримости
• Инвариантная мера
• Теорема Лебега о разложении
• Положительные и отрицательные наборы
• Теорема Радона – Никодима  . Выражение меры как интеграла от другой.
• Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани
• Кольцо множеств  - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• σ-алгебра  - алгебраическая структура алгебры множеств.
• Теорема Витали–Хана–Сакса.

Примечания

1. Durrett 2019, стр. 1–37, 455–470. sfn error: no target: CITEREFDurrett2019 (help)
2. Дарретт 2019, стр. 466–470. sfn error: no target: CITEREFDurrett2019 (help)
3. Ройден и Фитцпатрик 2010, с. 30. sfn error: no target: CITEREFRoydenFitzpatrick2010 (help)
4. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
5. Колмогоров и Фомин 1975 г.
6. Рудин 1991, с. 139.
7. Рудин 1991, стр. 139–140.
8. Рудин 1991, стр. 141–142.
9. Durrett 2019, стр. 1–9. sfn error: no target: CITEREFDurrett2019 (help)

1. Функция , инвариантная к трансляции, означает, что для каждого подмножества ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=\mu (g+S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G.}$

Доказательства

1. Предположим, что сеть сходится к некоторой точке метризуемого топологического векторного пространства (например, или нормированного пространства ), где напомним, что областью определения этой сети является направленное множество. Как и любая сходящаяся сеть, эта сходящаяся сеть частичных сумм является сетью Коши , которая для этой конкретной сети означает (по определению), что для каждой окрестности начала координат в существует конечное подмножество такое , что для всех конечных надмножеств это означает, что для каждого (взяв и ). Поскольку метризуема, она имеет счетную окрестную базу в начале координат, пересечение которой обязательно (поскольку является хаусдорфовой ТВС). Для каждого положительного целого числа выберите конечное подмножество такое, что для каждого если принадлежит то принадлежит к Таким образом, для каждого индекса , который не принадлежит счетному множеству ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {Finite} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\operatorname {Finite} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Рекомендации

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей Васильевич (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Дуврские книги. ISBN 978-1-61427-304-2. ОКЛК  912495626.
• А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин (1975), Вводный реальный анализ , Дувр. ISBN 0-486-61226-0 
• Ройден, Хэлси ; Фитцпатрик, Патрик (15 января 2010 г.). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Прентис Холл . ISBN 978-0-13-143747-0. ОСЛК  456836719.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.

дальнейшее чтение

• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Функция множества», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Функция регулярного множества в Энциклопедии математики