Неравенство Буля

Неравенство в применении к вероятностным пространствам

В теории вероятностей неравенство Буля , также известное как граница объединения , гласит, что для любого конечного или счетного набора событий вероятность того , что хотя бы одно из событий произойдет, не превышает сумму вероятностей отдельных событий. Это неравенство дает верхнюю границу вероятности появления хотя бы одного из счетного числа событий с точки зрения индивидуальных вероятностей событий. Неравенство Буля названо в честь его первооткрывателя Джорджа Буля . ^[1]

Формально для счетного множества событий A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... имеем

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

В терминах теории меры неравенство Буля следует из того факта, что мера (и, конечно, любая вероятностная мера ) является σ - субаддитивной .

Доказательство

Доказательство с помощью индукции.

Неравенство Буля можно доказать для конечного набора событий методом индукции. ${\displaystyle n}$

Для случая отсюда следует, что ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

Для случая у нас есть ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Поскольку операция объединения ассоциативна , мы имеем ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

С

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}$

по первой аксиоме вероятности имеем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

и поэтому

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Доказательство без использования индукции.

Для любых событий в нашем вероятностном пространстве мы имеем ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если являются непересекающимися подмножествами вероятностного пространства, то ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});}$

это называется счетной аддитивностью.

Если мы изменим множества так, что они станут непересекающимися, ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}}$

мы можем это показать

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

доказав оба направления включения.

Предполагать . Тогда для некоторого минимума такого, что . Поэтому . Итак, первое включение верно: . ${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i<k\implies x\notin A_{i}}$ ${\displaystyle x\in B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$

Далее предположим, что . Отсюда следует, что для некоторых . И так , и у нас есть другое включение: . ${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$ ${\displaystyle x\in B_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}$ ${\displaystyle x\in A_{k}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

По построению каждого , . Ибо это тот случай, ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$ ${\displaystyle B\subset A,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}$

Итак, можно сделать вывод, что искомое неравенство верно:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Неравенства Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхние и нижние границы вероятности конечных объединений событий. ^[2] Эти границы известны как неравенства Бонферрони в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Бонферрони (1936).

Позволять

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

для всех целых чисел k из {1, ..., n }.

Тогда, когда нечетно: ${\displaystyle K\leq n}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}$

выполняется, и когда четно: ${\displaystyle K\leq n}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}$

держит.

Равенства следуют из принципа включения-исключения , а неравенство Буля является частным случаем . ${\displaystyle K=1}$

Доказательство нечетного K

Пусть , где для каждого . Они разделяют выборочное пространство, и для каждого из них оно либо содержится в нем , либо не пересекается с ним. ${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Если , то вносит 0 в обе части неравенства. ${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}}$ ${\displaystyle E}$

В противном случае предполагается, что он содержится именно в файле . Тогда вносит вклад точно в правую часть неравенства, а вносит вклад ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)}$

в левую часть неравенства. Однако по правилу Паскаля это равно

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}\left({L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}\right)\mathbb {P} (E)}$

который телескопирует в

${\displaystyle \left(1+{L-1 \choose K}\right)\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)}$

Таким образом, неравенство справедливо для всех событий и, таким образом, суммируя по , получаем искомое неравенство: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}$

Доказательство четности почти идентично. ^[3] ${\displaystyle K}$

Пример

Предположим, что вы оцениваете 5 параметров на основе случайной выборки и можете контролировать каждый параметр отдельно. Если вы хотите, чтобы ваши оценки всех пяти параметров были хорошими с вероятностью 95 %, что вам следует сделать с каждым параметром?

Настроить вероятность того, что каждый параметр будет хорошим, с точностью до 95 % недостаточно, потому что «все хороши» — это подмножество каждого события «Оценка i — хорошо». Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать неравенство Буля. Найдя дополнение к событию «все пятёрки хороши», мы можем изменить этот вопрос на другое условие:

P( хотя бы одна оценка плохая) = 0,05 ≤ P( A ₁ плохая) + P( A ₂ плохая) + P ( A ₃ плохая) + P ( A ₄ плохая) + P ( A ₅ плохая )

Один из способов — сделать каждый из них равным 0,05/5 = 0,01, то есть 1%. Другими словами, вы должны гарантировать точность каждой оценки до 99% (например, путем построения доверительного интервала 99%), чтобы гарантировать, что общая оценка будет хорошей с вероятностью 95%. Это называется методом одновременного вывода Бонферрони.

Смотрите также

• Принцип разбавленного включения-исключения
• Формула Шютта – Несбитта
• Неравенства Буля – Фреше
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Рекомендации

1. Буль, Джордж (1847). Математический анализ логики. Философская библиотека. ISBN 9780802201546.
2. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистические выводы. Даксбери. стр. 11–13. ISBN 0-534-24312-6.
3. Венкатеш, Сантош (2012). Теория Вероятности. Издательство Кембриджского университета. стр. 94–99, 113–115. ISBN 978-0-534-24312-8.

Другие статьи по теме

• Бонферрони, Карло Э. (1936), «Теория статистики классов и расчет вероятностей», Pubbl. ДР Ист. Супер. Ди Наука. Эконом. E Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8 : 1–62, Zbl  0016.41103
• Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и тождества типа включения-исключения , Конспект лекций по математике, вып. 1826, Берлин: Springer-Verlag , стр. viii+113, ISBN. 3-540-20025-8, МР  2019293, Збл  1026.05009
• Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями , вероятность и ее приложения, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. x+269, ISBN 0-387-94776-0, МР  1402242, Збл  0869.60014
• Галамбос, Янош (1977), «Неравенства Бонферрони», Annals of Probability , 5 (4): 577–581, doi : 10.1214/aop/1176995765 , JSTOR  2243081, MR  0448478, Zbl  0369.60018
• Галамбос, Янош (2001) [1994], «Неравенства Бонферрони», Математическая энциклопедия , EMS Press

Эта статья включает в себя материал о неравенствах Бонферрони на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .