Подписанная мера

В математике знаковая мера — это обобщение понятия (положительной) меры , позволяющее функции множества принимать отрицательные значения, т. е. приобретать знак .

Определение

Существуют две несколько разные концепции знаковой меры, в зависимости от того, позволяет ли она принимать бесконечные значения. Знаковые меры обычно могут принимать только конечные действительные значения, в то время как некоторые учебники позволяют им принимать бесконечные значения. Во избежание путаницы в этой статье эти два случая будут называться «конечными знаковыми мерами» и «расширенными знаковыми мерами».

Учитывая измеримое пространство (то есть множество с σ-алгеброй на нем ), расширенная знаковая мера — это функция множества такая, что и является σ-аддитивной , то есть удовлетворяет равенству для любой последовательности непересекающихся множеств в ряд справа должен сходиться абсолютно , когда значение левой части конечно. Одним из последствий является то, что расширенная знаковая мера может принимать значение или , но не то и другое. Выражение неопределенно ^[1] и его следует избегать. $(X,\Sigma)$ $X$ $\Сигма$ $\mu:\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty, -\infty \}$ $\mu (\varnothing)=0$ $\mu$ $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$ $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n},\ldots$ $\Сигма.$ $+\infty$ $-\infty$ $\infty -\infty$

Конечная знаковая мера (она же реальная мера ) определяется таким же образом, за исключением того, что ей разрешено принимать только действительные значения. То есть он не может принять или $+\infty$ $-\infty .$

Конечные меры со знаком образуют реальное векторное пространство , а расширенные меры со знаком — нет, поскольку они не замкнуты при сложении. С другой стороны, меры являются расширенными знаковыми мерами, но, вообще говоря, не являются конечными знаковыми мерами.

Примеры

Рассмотрим неотрицательную меру в пространстве ( X , Σ) и измеримую функцию f : X → R такие, что $\nu$

\int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .

Тогда конечная знаковая мера определяется выражением

\mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)

для всех A из Σ.

Эта знаковая мера принимает только конечные значения. Чтобы позволить ему принимать +∞ в качестве значения, нужно заменить предположение об абсолютной интегрируемости f более расслабленным условием

\int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty,

где f ^- ( x ) = max(- f ( x ), 0) — отрицательная часть f .

Характеристики

Далее следуют два результата, из которых следует, что расширенная знаковая мера представляет собой разность двух неотрицательных мер, а конечная знаковая мера представляет собой разность двух конечных неотрицательных мер.

Теорема Хана о разложении утверждает, что для данной знаковой меры µ существуют два измеримых множества P и N такие, что:

P ∪ N = X и P ∩ N = ∅;
µ ( E ) ≥ 0 для каждого E в Σ такого, что E ⊆ P — другими словами, P — положительное множество ;
µ ( E ) ≤ 0 для каждого E из Σ такого, что E ⊆ N , то есть N — отрицательное множество.

Более того, это разложение уникально с точностью до добавления/вычитания µ - нулевых множеств из P и N .

Рассмотрим тогда две неотрицательные меры µ ⁺ и µ ⁻ , определенные формулами

\mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)

\mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)

для всех измеримых множеств E , т. е. E в Σ.

Можно проверить, что и µ ^+, и µ ⁻ являются неотрицательными мерами, причем одна из них принимает только конечные значения, и называются положительной частью и отрицательной частью µ соответственно . Имеем, что µ = µ ⁺ − µ ⁻ . Мера | | | = µ ⁺ + µ ⁻ называется вариацией µ , а ее максимально возможное значение || мкм || = | µ |( X ) называется полной вариацией µ .

Это следствие теоремы о разложении Хана называется разложением Жордана . Меры µ ⁺ , µ ⁻ и | | | не зависят от выбора P и N в теореме о разложении Хана.

Пространство подписанных мер

Сумма двух конечных мер со знаком является конечной мерой со знаком, как и произведение конечной меры со знаком на действительное число, то есть они замкнуты относительно линейных комбинаций . Отсюда следует, что множество конечных мер со знаком на измеримом пространстве ( X , Σ) является вещественным векторным пространством ; в этом отличие от положительных мер, которые замкнуты только относительно конических комбинаций и, таким образом, образуют выпуклый конус , а не векторное пространство. Более того, полная вариация определяет норму , относительно которой пространство конечных мер со знаком становится банаховым пространством . Это пространство имеет еще большую структуру: можно показать, что оно является дедекиндовой полной банаховой решеткой , и при этом можно показать, что теорема Радона – Никодима является частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя .

Если X — компактное сепарабельное пространство, то пространство конечных мер Бэра со знаком является двойственным вещественному банаховому пространству всех непрерывных вещественных функций на X по теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани .

Смотрите также

Примечания

^ Дополнительную информацию см. в статье « Расширенная строка действительных чисел ».