Полукольцо

Алгебраическое кольцо, в котором не обязательно должны быть аддитивные отрицательные элементы.

В абстрактной алгебре полукольцо является алгебраической структурой . Это обобщение кольца , в котором отпадает требование о том, что каждый элемент должен иметь аддитивный обратный . В то же время это обобщение ограниченных дистрибутивных решеток .

Наименьшее полукольцо, не являющееся кольцом, — это двухэлементная булева алгебра , например, с логической дизъюнкцией в качестве сложения. Мотивирующим примером, который не является ни кольцом, ни решеткой, является набор натуральных чисел при обычном сложении и умножении, включая число ноль. Полуколец много, потому что подходящая операция умножения возникает как композиция функций эндоморфизмов над любым коммутативным моноидом . ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Теорию (ассоциативных) алгебр над коммутативными кольцами можно обобщить на теорию над коммутативными полукольцами. ^{[ нужна цитата ]}

Терминология

Некоторые авторы называют полукольцом структуру без требования наличия или . Это делает аналогию между кольцом и полукольцом , с одной стороны, и группой и полугруппой, с другой, более плавной. Эти авторы часто используют установку для определения концепции, определенной здесь. ^{[1] [a]} Это возникло как шутка, предполагающая, что оснастка — это кольца без отрицательных элементов . (И это похоже на использование rng для обозначения существа без мультипликативной идентичности .) ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Термин диоид (от «двойного моноида») использовался для обозначения полуколец или других структур. Его использовал Кунцман в 1972 году для обозначения полукольца. ^[2] (В качестве альтернативы он иногда используется для естественно упорядоченных полуколец ^[3] , но этот термин также использовался для идемпотентных подгрупп Бачелли и др. в 1992 году. ^[4] )

Определение

Полукольцо — это множество , снабженное двумя двоичными операциями , называемое сложением и умножением, такое, что: ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot ,}$

• ${\displaystyle (R,+)}$представляет собой моноид с единичным элементом , называемым : ${\displaystyle 0}$
  • ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
  • ${\displaystyle 0+a=a}$
  • ${\displaystyle a+0=a}$
• ${\displaystyle (R,\,\cdot \,)}$представляет собой моноид с единичным элементом, называемым : ${\displaystyle 1}$
  • ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
  • ${\displaystyle 1\cdot a=a}$
  • ${\displaystyle a\cdot 1=a}$
• Сложение коммутативно :
  • ${\displaystyle a+b=b+a}$

Явно указано, что это коммутативный моноид. Кроме того, следующие аксиомы связаны с обеими операциями: ${\displaystyle (R,+)}$

• Посредством умножения любой элемент аннулируется слева и справа аддитивным тождеством:
  • ${\displaystyle 0\cdot a=0}$
  • ${\displaystyle a\cdot 0=0}$
• Умножение влево и вправо распределяет над сложением:
  • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$
  • ${\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$

Обозначения

Символ обычно в обозначениях опускается; то есть просто написано ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle ab.}$

Аналогично, условен порядок операций , при котором применяется перед . То есть обозначает . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle a+b\cdot c}$ ${\displaystyle a+(b\cdot c)}$

В целях устранения неоднозначности можно написать или подчеркнуть, к какой структуре принадлежат рассматриваемые единицы. ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle 1_{R}}$

Если - элемент полукольца и , то -кратно повторенное умножение на самого себя обозначается и аналогично пишется для -кратно повторенного сложения. ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x\,n:=x+x+\cdots +x}$ ${\displaystyle n}$

Изготовление новых полуколец

Нулевое кольцо с базовым множеством также является полукольцом, называемым тривиальным полукольцом. Эта тривиальность может быть охарактеризована через и поэтому часто молчаливо предполагается, как если бы это была дополнительная аксиома. Теперь, учитывая любое полукольцо, есть несколько способов определить новые. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle 0\neq 1}$

Как уже отмечалось, натуральные числа своей арифметической структурой образуют полукольцо. Множество , оснащенное операциями, унаследованными от полукольца , всегда является подполукольцом . ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{x\in R\mid x=0_{R}\lor \exists p.x=p+1_{R}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Если это коммутативный моноид, композиция функций обеспечивает умножение для формирования полукольца: набор эндоморфизмов образует полукольцо, где сложение определяется из поточечного сложения в . Нулевой морфизм и тождество являются соответствующими нейтральными элементами. Если с полукольцом, то получим полукольцо, которому можно сопоставить квадратные матрицы с коэффициентами в , матричное полукольцо с помощью обычных правил сложения и умножения матриц. Но более абстрактно, данное и полукольцо всегда является также полукольцом. Обычно он некоммутативен, даже если был коммутативным. ${\displaystyle (M,+)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Расширения Дорро : Если — полукольцо, то с поточечным сложением и умножением, заданным, определяет другое полукольцо с мультипликативной единицей . Аналогично, если есть какое-либо подполукольцо , можно также определить полукольцо на , просто заменив повторяющееся сложение в формуле умножением. Действительно, эти конструкции работают даже в более мягких условиях, поскольку структура фактически не обязана иметь мультипликативную единицу. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\times {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \langle x,n\rangle \bullet \langle y,m\rangle :=\langle x\cdot y+(x\,m+y\,n),n\cdot m\rangle }$ ${\displaystyle 1_{R\times {\mathbb {N} }}:=\langle 0_{R},1_{\mathbb {N} }\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\times N}$ ${\displaystyle R}$

Полукольца без нулевой суммы в некотором смысле далеки от колец. Учитывая полукольцо, можно присоединить новый нуль к базовому множеству и, таким образом, получить такое полукольцо без нулевой суммы, в котором также отсутствуют делители нуля . В частности, теперь и старое полукольцо фактически не является подполукольцом. Затем можно продолжать и присоединять новые элементы «сверху» по одному, всегда соблюдая ноль. Эти две стратегии также работают в более мягких условиях. Иногда обозначения соотв. используются при выполнении этих конструкций. ${\displaystyle 0'}$ ${\displaystyle 0\cdot 0'=0'}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Таким образом, присоединение нового нуля к тривиальному полукольцу приводит к получению другого полукольца, которое можно выразить через логические связки дизъюнкции и конъюнкции: . Следовательно, это наименьшее полукольцо, не являющееся кольцом. Явно он нарушает аксиомы кольца, как и для всех , т. е. не имеет аддитивного обратного. В самодвойственном определении вина лежит на . (Это не следует путать с кольцом , сложение которого действует как xor .) В модели фон Неймана натуральных чисел , , и . Двухэлементное полукольцо можно представить в терминах теоретико-множественного объединения и пересечения как . Фактически эта структура по-прежнему представляет собой полукольцо, когда ее заменяет какое-либо обитаемое множество. ${\displaystyle \langle \{0,1\},+,\cdot ,\langle 0,1\rangle \rangle =\langle \{\bot ,\top \},\lor ,\land ,\langle \bot ,\top \rangle \rangle }$ ${\displaystyle \top \lor P=\top }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \bot \land P=\bot }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \veebar }$ ${\displaystyle 0_{\omega }:=\{\}}$ ${\displaystyle 1_{\omega }:=\{0_{\omega }\}}$ ${\displaystyle 2_{\omega }:=\{0_{\omega },1_{\omega }\}={\mathcal {P}}1_{\omega }}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}1_{\omega },\cup ,\cap ,\langle \{\},1_{\omega }\rangle \rangle }$ ${\displaystyle 1_{\omega }}$

Идеалы на полукольце со своими стандартными операциями над подмножеством образуют решеточно-упорядоченное простое полукольцо без нулевой суммы. Идеалы находятся в биекции с идеалами . Совокупность левых идеалов (а также правых идеалов) также имеет большую часть этой алгебраической структуры, за исключением того, что тогда она не функционирует как двустороннее мультипликативное тождество. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Если — полукольцо и — обитаемое множество , обозначает свободный моноид , а формальные многочлены над его словами образуют другое полукольцо. Для небольших множеств образующие элементы традиционно используются для обозначения полиномиального полукольца. Например, в случае такого синглтона , как пишется . Подполукольца без нулевой суммы можно использовать для определения подполукольц . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle R[A^{*}]}$ ${\displaystyle A=\{X\}}$ ${\displaystyle A^{*}=\{\varepsilon ,X,X^{2},X^{3},\dots \}}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[A^{*}]}$

Учитывая набор , не обязательно просто одноэлементный, присоединяя элемент по умолчанию к множеству, лежащему в основе полукольца, можно определить полукольцо частичных функций от до . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

Учитывая вывод на полукольце , выполнение другой операции " " может быть определено как часть нового умножения на , в результате чего получается другое полукольцо. ${\displaystyle {\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle X\bullet y=y\bullet X+{\mathrm {d} }(y)}$ ${\displaystyle R[X]}$

Вышеизложенное отнюдь не является исчерпывающим перечнем систематических конструкций.

Выводы

Дифференцированиями на полукольце являются отображения с и . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }\colon R\to R}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }(x+y)={\mathrm {d} }(x)+{\mathrm {d} }(y)}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }(x\cdot y)={\mathrm {d} }(x)\cdot y+x\cdot {\mathrm {d} }(y)}$

Например, если – единичная матрица и , то подмножество заданных матрицами с является полукольцом с выводом . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle U={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(R)}$ ${\displaystyle a\,E+b\,U}$ ${\displaystyle a,b\in R}$ ${\displaystyle a\,E+b\,U\mapsto b\,U}$

Характеристики

Основное свойство полуколец состоит в том, что они не являются левым или правым делителем нуля , но также и квадратичны к самому себе, т. е. они имеют . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u^{2}=u}$

Некоторые примечательные свойства унаследованы от структур моноида: аксиомы моноида требуют существования единицы, поэтому множество, лежащее в основе полукольца, не может быть пустым. Кроме того, 2-арный предикат , определенный как , определенный здесь для операции сложения, всегда образует правое каноническое отношение предпорядка . Рефлексивность подтверждается идентичностью. Кроме того, всегда допустимо, поэтому ноль является наименьшим элементом по отношению к этому предпорядку. Рассматривая это, в частности, для коммутативного сложения, различием «права» можно пренебречь. Например, в неотрицательных целых числах это отношение антисимметрично и сильно связно и, таким образом, фактически является (нестрогим) полным порядком . ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle \exists d.x+d=y}$ ${\displaystyle y\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle 0\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Ниже обсуждаются дополнительные условные свойства.

Полуполя

Любое поле также является полуполем , которое, в свою очередь, является полукольцом, в котором существуют и мультипликативные обратные.

Кольца

Любое поле также является кольцом , которое, в свою очередь, является полукольцом, в котором существуют также аддитивные обратные. Обратите внимание, что для полукольца такое требование отсутствует, т. е. ему требуется только коммутативный моноид , а не коммутативная группа . Дополнительное требование к самому кольцу уже подразумевает существование мультипликативного нуля. Этот контраст также является причиной того, что в теории полуколец мультипликативный ноль необходимо указывать явно.

Здесь аддитивная обратная , квадраты к . Поскольку в кольце всегда существуют аддитивные разности, это тривиальное бинарное отношение в кольце. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d=y-x}$ ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$

Коммутативные полукольца

Полукольцо называется коммутативным полукольцом , если и умножение коммутативно. ^[8] Его аксиомы можно сформулировать кратко: Он состоит из двух коммутативных моноидов и на одном множестве таких, что и . ${\displaystyle \langle +,0\rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,1\rangle }$ ${\displaystyle a\cdot 0=0}$ ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Центр полукольца является подполукольцом, и его коммутативность эквивалентна тому, что он является собственным центром .

Коммутативное полукольцо натуральных чисел является исходным объектом среди своего рода, то есть существует уникальная структура, сохраняющая отображение в любое коммутативное полукольцо. ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Ограниченные дистрибутивные решетки представляют собой частично упорядоченные коммутативные полукольца, удовлетворяющие определенным алгебраическим уравнениям, связанным с дистрибутивностью и идемпотентностью. Таковы же и их двойники .

Заказал полукольца

Понятия или порядок могут быть определены с использованием строгих, нестрогих формулировок или формулировок второго порядка . Дополнительные свойства, такие как коммутативность, упрощают аксиомы.

Учитывая строгий общий порядок (также иногда называемый линейным порядком или псевдопорядком в конструктивной формулировке), тогда по определению положительные и отрицательные элементы соответствуют соотв. . В силу иррефлексивности строгого порядка, если — левый делитель нуля, то — ложно. Неотрицательные элементы характеризуются , который затем записывается . ${\displaystyle 0<x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\cdot x<s\cdot y}$ ${\displaystyle \neg (x<0)}$ ${\displaystyle 0\leq x}$

Как правило, строгий общий порядок можно отменить, чтобы определить связанный частичный порядок. Асимметрия первых проявляется как . Фактически в классической математике последний представляет собой (нестрогий) полный порядок, из которого следует . Аналогично, при наличии любого (нестрогого) полного порядка его отрицание является иррефлексивным и транзитивным , и эти два свойства, обнаруженные вместе, иногда называют строгим квазипорядком. Классически это определяет строгий тотальный порядок – действительно, строгий тотальный порядок и тотальный порядок могут быть определены в терминах друг друга. ${\displaystyle x<y\to x\leq y}$ ${\displaystyle 0\leq x}$ ${\displaystyle x=0\lor 0<x}$

Напомним, что определенное выше " " тривиально в любом кольце. Существование колец, допускающих нетривиальный нестрогий порядок, показывает, что они не обязательно должны совпадать с " ". ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$ ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$

Аддитивно идемпотентные полукольца

Полукольцо, в котором каждый элемент является аддитивным идемпотентом , то есть для всех элементов , называется (аддитивно) идемпотентным полукольцом . ^[9] Установления достаточно. Имейте в виду, что иногда это просто называют идемпотентным полукольцом, независимо от правил умножения. ${\displaystyle x+x=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+1=1}$

В таком полукольце эквивалентен и всегда образует частичный порядок, обозначаемый здесь . В частности, здесь . Таким образом, аддитивно идемпотентные полукольца не имеют нулевой суммы, и, действительно, единственное аддитивно идемпотентное полукольцо, которое имеет все аддитивные обратные, - это тривиальное кольцо, и поэтому это свойство специфично для теории полуколец. Сложение и умножение соблюдают порядок в том смысле, что подразумевает , и, более того, подразумевает также , для всех и . ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle x+y=y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\leq 0\leftrightarrow x=0}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x+t\leq y+t}$ ${\displaystyle s\cdot x\leq s\cdot y}$ ${\displaystyle x\cdot s\leq y\cdot s}$ ${\displaystyle x,y,t}$ ${\displaystyle s}$

Если аддитивно идемпотентны, то таковы и полиномы в . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X^{*}]}$

Полукольцо, в базовом множестве которого имеется решетчатая структура, называется решеточно упорядоченным, если сумма совпадает с пересечением , а произведение лежит под соединением . Решёточно-упорядоченное полукольцо идеалов на полукольце не обязательно является дистрибутивным относительно решеточной структуры. ${\displaystyle x+y=x\lor y}$ ${\displaystyle x\cdot y\leq x\land y}$

Более строго, чем просто аддитивная идемпотентность, полукольцо называется простым тогда и только тогда, когда для всех . Тогда также и для всех . Здесь функции сродни аддитивно бесконечному элементу. Если – аддитивно идемпотентное полукольцо, то с унаследованными операциями является его простым подполукольцом. Примером аддитивно идемпотентного полукольца, который не является простым, является тропическое полукольцо с 2-арной функцией максимума относительно стандартного порядка в качестве сложения. Его простое подполукольцо тривиально. ${\displaystyle x+1=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+1=1}$ ${\displaystyle x\leq 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{x\in R\mid x+1=1\}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

c -полукольцо — это идемпотентное полукольцо со сложением, определенным над произвольными множествами.

Аддитивно идемпотентное полукольцо с идемпотентным умножением , называется аддитивно и мультипликативно идемпотентным полукольцом , но иногда также просто идемпотентным полукольцом. Коммутативные простые полукольца с этим свойством представляют собой в точности ограниченные дистрибутивные решетки с единственными минимальным и максимальным элементом (которые тогда являются единицами). Такими полукольцами являются гейтинговские алгебры , а булевы алгебры — частный случай. ${\displaystyle x^{2}=x}$

Далее, по двум ограниченным дистрибутивным решеткам существуют конструкции, приводящие к коммутативным аддитивно-идемпотентным полукольцам, которые более сложны, чем просто прямая сумма структур.

Числовые линии

В модели кольца можно определить нетривиальный предикат положительности и предикат , поскольку он образует строгий общий порядок, который удовлетворяет таким свойствам , как или классический закон трихотомии . При стандартном сложении и умножении эта структура образует строго упорядоченное поле , полное по Дедекинду . По определению , все свойства первого порядка , доказанные в теории действительных чисел, доказуемы и в разрешимой теории действительного замкнутого поля . Например, здесь взаимоисключающее с . ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 0<x}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle 0<(y-x)}$ ${\displaystyle \neg (x<0\lor 0<x)\to x=0}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \exists d.y+d^{2}=x}$

Но помимо просто упорядоченных полей, четыре свойства, перечисленные ниже, также действительны во многих подполукольцах , включая рациональные, целые числа, а также неотрицательные части каждой из этих структур. В частности, такими полукольцами являются неотрицательные действительные числа, неотрицательные рациональные числа и неотрицательные целые числа. Первые два свойства аналогичны свойству, действительному в идемпотентных полукольцах: трансляция и масштабирование учитывают эти упорядоченные кольца в том смысле, что сложение и умножение в этом кольце подтверждают достоверность. ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x+t<y+t}$
• ${\displaystyle (x<y\land 0<s)\,\to \,s\cdot x<s\cdot y}$

В частности, и поэтому возведение в квадрат элементов сохраняет позитивность. ${\displaystyle (0<y\land 0<s)\to 0<s\cdot y}$

Обратите внимание еще на два свойства, которые всегда действительны в кольце. Во-первых, тривиально для любого . В частности, существование положительной аддитивной разности можно выразить как ${\displaystyle P\,\to \,x\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x\leq _{\text{pre}}y}$

Во-вторых, при наличии трихотомического порядка ненулевые элементы аддитивной группы разбиваются на положительные и отрицательные элементы с перемещением между ними операции инверсии. При , все квадраты оказываются неотрицательными. Следовательно, нетривиальные кольца имеют положительную мультипликативную единицу: ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$

• ${\displaystyle 0<1}$

Обсудив строгий порядок, следует, что и и т. д. ${\displaystyle 0\neq 1}$ ${\displaystyle 1\neq 1+1}$

Дискретно упорядоченные полукольца

В теории порядка существует несколько противоречивых представлений о дискретности. Учитывая некоторый строгий порядок на полукольце, одно из таких понятий задается тем, что оно положительно и охватывает , т. е. между единицами нет элементов . Теперь в данном контексте порядок будем называть дискретным , если он выполнен и, кроме того, все элементы полукольца неотрицательны, так что полукольцо начинается с единиц. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \neg (0<x\land x<1)}$

Обозначим через теорию коммутативного дискретно упорядоченного полукольца, также подтверждающего указанные выше четыре свойства, связывающие строгий порядок с алгебраической структурой. Все его модели имеют модель в качестве начального сегмента, а неполнота Гёделя и неопределимость Тарского уже применимы к . Неотрицательные элементы коммутативного дискретно упорядоченного кольца всегда подтверждают аксиомы . Таким образом, несколько более экзотическая модель теории дается положительными элементами в кольце многочленов с предикатом положительности для, определенным в терминах последнего ненулевого коэффициента, и, как указано выше. Хотя доказываются все предложения , которые верны относительно , ​​за пределами этой сложности можно найти простые такие утверждения, которые не зависят от . Например, хотя -предложения, истинные относительно, по-прежнему верны для другой только что определенной модели, проверка полинома демонстрирует -независимость от -утверждения о том, что все числа имеют форму или (" нечетное или четное "). Показ того, что это также может быть дискретно упорядочено, показывает, что -утверждение для ненулевого («нет рационального квадрата, равного ») является независимым. Аналогично, анализ демонстрирует независимость некоторых утверждений о факторизации, верных в . Существуют характеристики простоты, которые не соответствуют числу . ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X]}$ ${\displaystyle p={\textstyle \sum }_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}$ ${\displaystyle 0<p:=(0<a_{n})}$ ${\displaystyle p<q:=(0<q-p)}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}}$ ${\displaystyle 2q}$ ${\displaystyle 2q+1}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y]/(X^{2}-2Y^{2})}$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$ ${\displaystyle x^{2}\neq 2y^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y,Z]/(XZ-Y^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle 2}$

С другой стороны, из любой модели можно построить упорядоченное кольцо, которое тогда имеет элементы, отрицательные по отношению к порядку, но все еще дискретное в смысле, охватывающем . Для этого определяется класс эквивалентности пар исходного полукольца. Грубо говоря, кольцо соответствует различиям элементов в старой структуре, обобщая способ определения исходного кольца из . По сути, это добавляет все обратные значения, и тогда предварительный порядок снова становится тривиальным . ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall x.x\leq _{\text{pre}}0}$

Помимо размера двухэлементной алгебры, ни одно простое полукольцо не начинается с единиц. Дискретное упорядочение также контрастирует, например, со стандартным упорядочением полукольца неотрицательных рациональных чисел , которое плотно между единицами. Другой пример: можно упорядочить, но не дискретно. ${\displaystyle {\mathbb {Q} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X]/(2X^{2}-1)}$

Натуральные числа

${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$плюс математическая индукция дает теорию, эквивалентную арифметике Пеано первого порядка . Эта теория, как известно, не является категоричной , но , конечно, является предполагаемой моделью. доказывает, что не существует делителей нуля и что оно не имеет нулевой суммы, и поэтому ни одна его модель не является кольцом. ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$

Стандартная аксиоматизация более кратка, и теория ее порядка обычно трактуется в терминах нестрогого " ". Однако простое удаление мощного принципа индукции из этой аксиоматизации не оставит работоспособной алгебраической теории. Действительно, даже арифметика Робинсона , которая устраняет индукцию, но добавляет обратно постулат существования предшественника, не доказывает аксиому моноида . ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$ ${\displaystyle \forall y.(0+y=y)}$

Полукольца цельные

Полное полукольцо — это полукольцо, для которого аддитивный моноид является полным моноидом , что означает, что оно имеет операцию бесконечной суммы для любого набора индексов и что должны выполняться следующие (бесконечные) дистрибутивные законы: ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \Sigma _{I}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}}\right),\qquad {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}}\right)\cdot a.}$

Примерами полного полукольца являются степенное множество моноида при объединении и матричное полукольцо над полным полукольцом. ^[13] Для коммутативных, аддитивно идемпотентных и простых полуколец это свойство связано с вычетаемыми решетками .

Непрерывные полукольца

Непрерывное полукольцо аналогично определяется как полукольцо, для которого моноид сложения является непрерывным моноидом . То есть частично упорядоченный со свойством наименьшей верхней границы и для которого при сложении и умножении учитываются порядок и верхняя граница. Полукольцо с обычными сложением, умножением и расширенным порядком является непрерывным полукольцом. ^[14] ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$

Любое непрерывное полукольцо полно: ^[10] это можно считать частью определения. ^[13]

Звездчатые полукольца

Звездное полукольцо (иногда пишется как звездное полукольцо ) — это полукольцо с дополнительным унарным оператором , ^{[9] [11] [15] [16]} , удовлетворяющим ${\displaystyle {}^{*}}$

${\displaystyle a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.}$

Алгебра Клини — это звездное полукольцо с идемпотентным сложением и некоторыми дополнительными аксиомами. Они важны в теории формальных языков и регулярных выражений . ^[11]

Полные звездчатые полукольца

В полном звездном полукольце звездный оператор ведет себя больше как обычная звезда Клини : для полного полукольца мы используем оператор бесконечной суммы, чтобы дать обычное определение звезды Клини: ^[11]

${\displaystyle a^{*}={\textstyle \sum }_{j\geq 0}{a^{j}},}$

где

${\displaystyle a^{j}={\begin{cases}1,&j=0,\\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что звездные полукольца не связаны с *-алгеброй , где операцию звезды вместо этого следует рассматривать как комплексное сопряжение .

Полукольцо Конвея

Полукольцо Конвея - это звездное полукольцо, удовлетворяющее уравнениям суммы-звезды и произведения-звезды: ^{[9] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{*}&=\left(a^{*}b\right)^{*}a^{*},\\(ab)^{*}&=1+a(ba)^{*}b.\end{aligned}}}$

Каждое полное звездное полукольцо является также полукольцом Конвея ^[18] , но обратное неверно. Примером неполного полукольца Конвея является набор расширенных неотрицательных рациональных чисел с обычным сложением и умножением (это модификация примера с расширенными неотрицательными действительными числами, приведенного в этом разделе, путем исключения иррациональных чисел). ^[11] Итерационное полукольцо — это полукольцо Конвея, удовлетворяющее аксиомам группы Конвея, ^[9] связанным Джоном Конвеем с группами в звездных полукольцах. ^[19] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

Примеры

• По определению любое кольцо и любое полуполе также являются полукольцом.
• Неотрицательные элементы коммутативного дискретно упорядоченного кольца образуют коммутативное дискретно (в определенном выше смысле) упорядоченное полукольцо. Сюда входят неотрицательные целые числа . ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Кроме того, неотрицательные рациональные числа , а также неотрицательные действительные числа образуют коммутативные упорядоченные полукольца. ^{[20] [21] [22]} Последний называетсявероятностное полукольцо . ^[6]То же самое относится и к кольцам и дистрибутивным решеткам. Эти примеры также имеют мультипликативные обратные.
• Новые полукольца условно можно построить из существующих, как описано. Расширенные натуральные числа со сложением и умножением расширились так, что . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$
• Совокупность обозначенных многочленов с натуральными коэффициентами образует коммутативное полукольцо. Фактически, это свободное коммутативное полукольцо с одним образующим. Также, как обсуждалось, могут быть определены полиномы с коэффициентами в других полукольцах. ${\displaystyle \mathbb {N} [x],}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
• Неотрицательные конечные дроби в позиционной системе счисления с заданным основанием образуют подполукруг рациональных чисел. Есть ‍ если делит . Для множество представляет собой кольцо всех конечных дробей до основания и плотно в . ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\subseteq {\tfrac {\mathbb {N} }{c^{\mathbb {N} }}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |b|>1}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\cup \left(-{\tfrac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} }}}\right)}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Лог -полукольцо со сложением, заданным умножением нулевого элемента на единичный элемент ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)}$ ${\displaystyle +,}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle 0.}$

Аналогично, при наличии соответствующего ордера с нижним элементом,

• Тропические полукольца имеют различное определение. Полукольцо макс-плюс представляет собой коммутативное полукольцо, в котором используется сложение полукольца (тождество ) и обычное сложение (тождество 0) , которое служит умножением полукольца. В альтернативной формулировке тропическое полукольцо представляет собой и min заменяет max в качестве операции сложения. ^[23] В качестве базового набора используется родственная версия . ^{[6] [10]} Это активная область исследований, связывающая алгебраические многообразия с кусочно-линейными структурами. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \max(a,b)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$
• Полукольцо Лукасевича : замкнутый интервал со сложением и заданным путем взятия максимума аргументов ( ) и умножением и заданным на появляется в многозначной логике . ^[11] ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \max(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \max(0,a+b-1)}$
• Полукольцо Витерби также определено над базовым множеством и имеет максимум в качестве своего сложения, но его умножение представляет собой обычное умножение действительных чисел. Он появляется при вероятностном разборе . ^[11] ${\displaystyle [0,1]}$

Обратите внимание, что . Подробнее об аддитивно идемпотентных полукольцах: ${\displaystyle \max(x,x)=x}$

• Множество всех идеалов данного полукольца образует полукольцо при сложении и умножении идеалов.
• Любая ограниченная дистрибутивная решетка представляет собой коммутативное полукольцо при соединении и пересечении. Булева алгебра является их частным случаем. Булево кольцо также является полукольцом (фактически кольцом), но оно не идемпотентно относительно сложения . Булево полукольцо — это полукольцо, изоморфное подполукольцу булевой алгебры. ^[20]
• Коммутативное полукольцо, образованное двухэлементной булевой алгеброй и определяемое . Его еще называют ${\displaystyle 1+1=1}$Булево полукольцо . ^{[6][21][22][9]}Теперь, учитывая два множестваибинарные отношениямеждуними исоответствуют матрицам, индексированнымис элементами в булевом полукольце,сложение матрицсоответствует объединению отношений, аумножение матрицсоответствуеткомпозиции отношений.. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Любой единичный квантал представляет собой полукольцо при соединении и умножении.
• Нормальная косая решетка в кольце представляет собой полукольцо для операций умножения и наблы, причем последняя операция определяется формулой ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\nabla b=a+b+ba-aba-bab}$

Больше используя моноиды,

• Описано построение полуколец из коммутативного моноида . Как уже отмечалось, дайте полукольцо , матрицы образуют другое полукольцо. Например, матрицы с неотрицательными элементами образуют матричное полукольцо. ^[20] ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {N} ),}$
• Учитывая алфавит (конечное множество) Σ, множество формальных языков над (подмножествами ) представляет собой полукольцо с произведением, индуцированным конкатенацией и сложением строк как объединением языков (то есть обычным объединением как множеств). Нулем этого полукольца является пустое множество (пустой язык), а единицей полукольца является язык, содержащий только пустую строку . ^[11] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}}$
• Обобщая предыдущий пример (рассматривая его как свободный моноид над ), примите любой моноид; степенное множество всех подмножеств формирует полукольцо при теоретико-множественном объединении путем сложения и помножественного умножения: ^[22] ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \wp (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\cdot V=\{u\cdot v\mid u\in U,\ v\in V\}.}$
• Аналогично, если — моноид, то множество конечных мультимножеств в образует полукольцо. То есть элемент — это функция ; заданный элемент функции сообщает вам, сколько раз этот элемент встречается в мультимножестве, которое он представляет. Аддитивной единицей является функция постоянного нуля. Мультипликативная единица — это функция, отображающая и все остальные элементы в . Сумма определяется выражением, а произведение — выражением ${\displaystyle (M,e,\cdot )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mid M\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}.}$

Что касается множеств и подобных абстракций,

• Для данного множества множество бинарных отношений над ним представляет собой полукольцо со сложением объединения (отношений как множеств) и умножением композиции отношений . Ноль полукольца — пустое отношение , а его единица — тождественное отношение . ^[11] Эти отношения соответствуют матричному полукольцу (фактически матричной полуалгебре) квадратных матриц , индексированных с элементами в булевом полукольце, причем сложение и умножение являются обычными матричными операциями, а ноль и единица — обычной нулевой матрицей и единичная матрица . ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$
• Набор кардинальных чисел, меньших любого заданного бесконечного кардинала, образует полукольцо при кардинальном сложении и умножении. Класс всех кардиналов внутренней модели образует (класс) полукольцо при кардинальном сложении и умножении (внутренней модели).
• Семейство (классов эквивалентности изоморфизма) комбинаторных классов (наборов счетного числа объектов с неотрицательными целочисленными размерами, таких, что существует конечное число объектов каждого размера) с пустым классом в качестве нулевого объекта, класс, состоящий только из пустых множество как единица, несвязное объединение классов как сложение и декартово произведение классов как умножение. ^[26]
• Классы изоморфизма объектов в любой дистрибутивной категории при операциях совместного произведения и произведения образуют полукольцо, известное как установка Бернсайда. ^[27] Оснащение Бернсайда является кольцом тогда и только тогда, когда категория тривиальна .

Полукольца наборов

Полукольцо ( множеств ) ^[28] — это (непустая) совокупность подмножеств таких , что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}.}$
   • Если (3) выполнено, то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. Если тогда ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E\cap F\in {\mathcal {S}}.}$
3. Если тогда существует конечное число взаимно непересекающихся множеств таких, что ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E\setminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Условия (2) и (3) вместе с означают, что такие полукольца используются в теории меры . Примером полукольца множеств является совокупность полуоткрытых и полузакрытых действительных интервалов . ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \in S.}$ ${\displaystyle [a,b)\subset \mathbb {R} .}$

Полуалгебра ^[29] или элементарное семейство ^[30] представляет собой совокупность подмножеств, удовлетворяющих свойствам полукольца, за исключением (3), замененного на : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

• Если тогда существует конечное число взаимно непересекающихся множеств таких, что ${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Это условие сильнее, чем (3), что можно увидеть следующим образом. Если – полуалгебра и , то можно написать для непересекающегося . Затем: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup ...\cup F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}\in S}$

$${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup ...\cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup ...\cup (E\cap F_{n})}$$

и каждый , поскольку он замкнут при пересечении, и непересекающийся, поскольку они содержатся в непересекающихся . Более того, условие строго сильнее: любое кольцо, одновременно являющееся кольцом и полуалгеброй, является алгеброй, следовательно, любое кольцо, не являющееся алгеброй, также не является полуалгеброй (например, совокупность конечных множеств на бесконечном множестве ). ${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Звездчатые полукольца

Некоторые структуры, упомянутые выше, могут быть оснащены звездообразным режимом.

• Вышеупомянутое полукольцо бинарных отношений над некоторым базовым набором , в котором для всех Эта звездная операция на самом деле является рефлексивным и транзитивным замыканием ( то есть наименьшим рефлексивным и транзитивным бинарным отношением над содержащим ). ^[11] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}}$ ${\displaystyle R\subseteq U\times U.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R.}$
• Полукольцо формальных языков также является полным звездным полукольцом, в котором операция звезды совпадает со звездой Клини (для множеств/языков). ^[11]
• Набор неотрицательных расширенных действительных чисел вместе с обычным сложением и умножением вещественных чисел представляет собой полное звездное полукольцо со звездной операцией, заданной for (то есть геометрической прогрессией ) и for ^[11] ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle a^{*}={\tfrac {1}{1-a}}}$ ${\displaystyle 0\leq a<1}$ ${\displaystyle a^{*}=\infty }$ ${\displaystyle a\geq 1.}$
• Булево полукольцо с ^{[b] [11]} ${\displaystyle 0^{*}=1^{*}=1.}$
• Полукольцо с расширенным сложением и умножением, а для ^{[б] [11]} ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle 0^{*}=1,a^{*}=\infty }$ ${\displaystyle a\geq 1.}$

Приложения

Полукольца и тропические полукольца на действительных числах часто используются при оценке производительности систем дискретных событий. Тогда реальные цифры — это «затраты» или «время прибытия»; операция «макс» соответствует необходимости ожидания всех предварительных условий события (таким образом, занимая максимальное время), а операция «мин» соответствует возможности выбрать лучший и менее затратный вариант; и + соответствует накоплению по тому же пути. ${\displaystyle (\max ,+)}$ ${\displaystyle (\min ,+)}$

Таким образом, алгоритм Флойда-Уоршалла для поиска кратчайших путей можно переформулировать как вычисление над алгеброй. Аналогично, алгоритм Витерби для поиска наиболее вероятной последовательности состояний, соответствующей последовательности наблюдений в скрытой модели Маркова, также может быть сформулирован как вычисление над алгеброй вероятностей. Эти алгоритмы динамического программирования полагаются на распределительное свойство связанных с ними полуколец для вычисления величин по большому (возможно, экспоненциальному) числу термов более эффективно, чем перечисление каждого из них. ^{[31] [32]} ${\displaystyle (\min ,+)}$ ${\displaystyle (\max ,\times )}$

Обобщения

Обобщение полуколец не требует существования мультипликативного тождества, так что умножение является полугруппой, а не моноидом. Такие структуры называются полукольцами ^[33] или предполукольцами . ^[34] Дальнейшим обобщением являются левые предполукольца , ^[35] которые дополнительно не требуют правой дистрибутивности (или правые предполукольца , которые не требуют левой дистрибутивности).

Еще одним обобщением являются почти полукольца : помимо того, что они не требуют нейтрального элемента для произведения или правой дистрибутивности (или левой дистрибутивности), они не требуют сложения, чтобы быть коммутативными. Подобно тому, как кардинальные числа образуют (классовое) полукольцо, так и порядковые числа образуют почти полукольцо , если учитывать стандартное порядковое сложение и умножение . Однако класс ординалов можно превратить в полукольцо, рассмотрев вместо него так называемые естественные (или Хессенберговские) операции .

В теории категорий 2 -оснащение — это категория с функториальными операциями, аналогичными операциям с оснащением. То, что кардинальные числа образуют оснастку, можно классифицировать так, что категория множеств (или, в более общем смысле, любого топоса ) является 2-оснасткой.

Смотрите также

• Кольцо множеств  - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• Алгебра оценки  - алгебра, описывающая обработку информации.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Пример см. в определении буровой установки на Proofwiki.org.
2. Это полное звездное полукольцо и, следовательно, полукольцо Конвея. ^[11]

Цитаты

1. Глазек (2002), с. 7
2. Кунцманн, Дж. (1972). Теория де резо (графики) (на французском языке). Париж: Дюнод. Збл  0239.05101.
3. Полукольца на завтрак, слайд 17.
4. Бачелли, Франсуа Луи; Олсдер, Герт Ян; Квадрат, Жан-Пьер; Коэн, Гай (1992). Синхронизация и линейность. Алгебра для дискретных систем событий . Серия Уайли по вероятности и математической статистике. Чичестер: Уайли. Збл  0824.93003.
5. Берстель и Перрин (1985), с. 26
6. Lothaire (2005), с. 211
7. Сакарович (2009), стр. 27–28.
8. Лотар (2005), с. 212
9. Ésik, Золтан (2008). «Итерационные полукольца». В Ито, Масами (ред.). Развитие теории языка. 12-я международная конференция DLT 2008, Киото, Япония, 16–19 сентября 2008 г. Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 5257. Берлин: Springer-Verlag . стр. 1–20. дои : 10.1007/978-3-540-85780-8_1. ISBN 978-3-540-85779-2. Збл  1161.68598.
10. Kuich, Вернер (2011). «Алгебраические системы и автоматы с понижением». В Куиче, Вернер (ред.). Алгебраические основы информатики. Очерки, посвященные Симеону Бозапалидису по случаю его выхода на пенсию . Конспекты лекций по информатике. Том. 7020. Берлин: Springer-Verlag . стр. 228–256. ISBN 978-3-642-24896-2. Збл  1251.68135.
11. Droste & Kuich (2009), стр. 7–10.
12. Куич, Вернер (1990). «ω-непрерывные полукольца, алгебраические системы и автоматы с магазинным магазином». В Патерсоне, Майкл С. (ред.). Автоматы, языки и программирование: 17-й международный коллоквиум, Уорикский университет, Англия, 16–20 июля 1990 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 443. Шпрингер-Верлаг . стр. 103–110. ISBN 3-540-52826-1.
13. Сакараович (2009), с. 471 sfnp error: no target: CITEREFSakaraovich2009 (help)
14. Эсик, Золтан; Лейсс, Ганс (2002). «Нормальная форма Грейбаха в алгебраически полных полукольцах». В Брэдфилде, Джулиан (ред.). Логика информатики. 16-й международный семинар CSL 2002, 11-я ежегодная конференция EACSL, Эдинбург, Шотландия, 22–25 сентября 2002 г. Материалы . Конспекты лекций по информатике. Том. 2471. Берлин: Springer-Verlag . стр. 135–150. Збл  1020.68056.
15. Леманн, Дэниел Дж. (1977), «Алгебраические структуры для транзитивного замыкания» (PDF) , Theoretical Computer Science , 4 (1): 59–76, doi : 10.1016/0304-3975(77)90056-1
16. Берстель и Ройтенауэр (2011), с. 27
17. Эсик, Золтан; Куич, Вернер (2004). «Эвациональные аксиомы теории автоматов». В Мартин-Виде, Карлос (ред.). Формальные языки и приложения . Исследования нечеткости и мягких вычислений. Том. 148. Берлин: Springer-Verlag . стр. 183–196. ISBN 3-540-20907-7. Збл  1088.68117.
18. Дросте и Куич (2009), с. 15, теорема 3.4.
19. Конвей, Дж. Х. (1971). Регулярная алгебра и конечные машины . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 0-412-10620-5. Збл  0231.94041.
20. Гутерман, Александр Э. (2008). «Ранговые и детерминантные функции матриц над полукольцами». В Янге, Николас; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 347. Издательство Кембриджского университета . стр. 1–33. ISBN 978-0-521-70564-6. ISSN  0076-0552. Збл  1181.16042.
21. Сакарович (2009), с. 28.
22. Berstel & Reutenauer (2011), с. 4
23. Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009) [2004]. «Тропическая математика». Математика. Маг . 82 (3): 163–173. arXiv : math/0408099 . дои : 10.4169/193009809x468760. S2CID  119142649. Збл  1227.14051.
24. Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009). «Тропическая математика». Журнал «Математика» . 82 (3): 163–173. дои : 10.1080/0025570X.2009.11953615. ISSN  0025-570X. S2CID  15278805.
25. Джон К. Баэз (6 ноября 2001 г.). «Квантовая механика на коммутативной установке». Группа новостей : sci.physical.research. Usenet:  [email protected] . Проверено 25 ноября 2018 г.
26. Бард, Грегори В. (2009), Алгебраический криптоанализ, Springer, раздел 4.2.1, «Комбинаторные классы», и далее, стр. 30–34, ISBN 9780387887579
27. Шануэль SH (1991) Отрицательные множества имеют эйлерову характеристику и размерность. В: Карбони А., Педиккио М.К., Розолини Г. (ред.) Теория категорий. Конспекты лекций по математике, том 1488. Springer, Берлин, Гейдельберг.
28. Ноэль Вайлант, Расширение Каратеодори, на сайте Вероятность.net
29. Дарретт (2019), стр. 3–4. sfnp error: no target: CITEREFDurrett2019 (help)
30. Фолланд (1999), с. 23
31. Пара (1967), с. 271.
32. Дерниам и пара (1971)
33. Голаны (1999), с. 1, Глава 1 sfnp error: no target: CITEREFGolan1999 (help)
34. Гондран и Мину (2008), с. 22, гл. 1, §4.2.
35. Гондран и Мину (2008), с. 20, гл. 1, §4.1.

Библиография

• Дерниам, Жан Клод; Пара, Клод (1971), Problèmes de cheminement dans lesgraphes (Проблемы с путями в графах) , Париж: Dunod
• Бачелли, Франсуа ; Коэн, Гай; Олсдер, Герт Ян; Квадрат, Жан-Пьер (1992), Синхронизация и линейность (онлайн-версия), Wiley, ISBN 0-471-93609-Х
• Голан, Джонатан С. (1999) Полукольца и их приложения . Обновленная и расширенная версия « Теории полуколец» с приложениями к математике и теоретической информатике (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371). Kluwer Academic Publishers, Дордрехт. xii+381 стр. ISBN 0-7923-5786-8 MR 1746739 
• Берстель, Жан; Перрен, Доминик (1985). Теория кодов . Чистая и прикладная математика. Том. 117. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-093420-1. Збл  0587.68066.
• Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0. Збл  1250.68007.
• Дросте, Манфред; Куич, Вернер (2009), «Глава 1: Полукольца и формальные степенные ряды», Справочник по взвешенным автоматам , стр. 3–28, doi : 10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 9780471317166
• Лотер, М. (2005). Прикладная комбинаторика к словам . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 105. Коллективная работа Жана Берстеля, Доминика Перрена, Максима Крошмора, Эрика Лапорта, Мехрияра Мори, Нади Пизанти, Мари-Франс Саго, Жезины Рейнерт, Софи Шбат, Михаэля Уотермана , Филиппа Жаке, Войцеха Шпанковского , Доминика Пулалона, Жиля Шеффера, Роман Колпаков, Григорий Кучеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-84802-4. Збл  1133.68067.
• Глазек, Казимеж (2002). Путеводитель по литературе по полукольцам и их применению в математике и информатике. С полной библиографией . Дордрехт: Клювер Академик. ISBN 1-4020-0717-5. Збл  1072.16040.
• Гондран, Мишель; Мину, Мишель (2008). Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы . Серия интерфейсов исследования операций/информатики. Том. 41. Дордрехт: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-75450-5. Збл  1201.16038.
• Пэр, Клод (1967), «Sur des алгоритмы pour des problèmes de cheminement dans les Graphes Finis (Об алгоритмах решения задач о путях в конечных графах)», в Rosentiehl (редактор), Théorie desgraphes (journées Internationales d'études) - Теория графов (международный симпозиум) , Рим (Италия), июль 1966 г.: Дюно (Париж) и Гордон и Брич (Нью-Йорк){{citation}}: CS1 maint: location (link)
• Сакарович, Жак (2009). Элементы теории автоматов . Перевод с французского Рубена Томаса. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84425-3. Збл  1188.68177.

дальнейшее чтение

• Голан, Джонатан С. (2003). Полукольца и аффинные уравнения над ними . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-1358-4. Збл  1042.16038.
• Грийе, Мирей П. (1970). «Отношения Грина в полукольце». Порт. Математика . 29 : 181–195. Збл  0227.16029.
• Гунавардена, Джереми (1998). «Введение в идемпотентность». В Гунавардене, Джереми (ред.). Идемпотентность. По материалам семинара, Бристоль, Великобритания, 3–7 октября 1994 г. (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–49. Збл  0898.16032.
• Джипсен, П. (2004). «От полуколец к остаточным решеткам Клини». Студия Логика . 76 (2): 291–303. doi :10.1023/B:STUD.0000032089.54776.63. S2CID  9946523. Збл  1045.03049.
• Долан, Стивен (2013), «Забава с полукольцами» (PDF) , Материалы 18-й международной конференции ACM SIGPLAN по функциональному программированию , стр. 101–110, doi : 10.1145/2500365.2500613, ISBN 9781450323260, S2CID  2436826