В математике вещественная функция — это функция , значения которой являются действительными числами . Другими словами, это функция, которая присваивает вещественное число каждому члену своей области .
Вещественнозначные функции действительной переменной (обычно называемые вещественными функциями ) и вещественнозначные функции нескольких действительных переменных являются основным объектом изучения исчисления и, в более общем плане, вещественного анализа . В частности, многие функциональные пространства состоят из вещественнозначных функций.
Позвольте быть набором всех функций от множества X до действительных чисел . Поскольку это поле , его можно превратить в векторное пространство и коммутативную алгебру над действительными числами с помощью следующих операций:
Эти операции распространяются на частичные функции от X до с тем ограничением, что частичные функции f + g и f g определяются только в том случае, если области определения f и g имеют непустое пересечение; в этом случае их область определения является пересечением областей определения f и g .
Кроме того, поскольку это упорядоченное множество, существует частичный порядок.
на котором образует частично упорядоченное кольцо .
σ -алгебра борелевских множеств — важная структура действительных чисел. Если X имеет свою σ-алгебру и функция f такова, что прообраз f −1 ( B ) любого борелевского множества B принадлежит этой σ-алгебре, то f называется измеримой . Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура.
Более того, набор (семейство) вещественных функций на X действительно может определять σ-алгебру на X , порожденную всеми прообразами всех борелевских множеств (или только интервалов , это не важно). Именно так возникают σ-алгебры в ( Колмогоровской ) теории вероятностей , где действительные функции на выборочном пространстве Ω являются вещественными случайными величинами .
Действительные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство . Непрерывные вещественнозначные функции (что означает, что X является топологическим пространством) важны в теориях топологических пространств и метрических пространств . Теорема о крайних значениях утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компакте существуют ее глобальный максимум и минимум .
Само понятие метрического пространства определяется вещественной функцией двух переменных, метрикой , которая является непрерывной. Особое значение имеет пространство непрерывных функций на компакте Хаусдорфа . Сходящиеся последовательности также можно рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции в специальном топологическом пространстве.
Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытыми (или закрытыми) множествами.
Действительные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Областью определения действительной гладкой функции может быть вещественное координатное пространство (которое дает действительную функцию многих переменных ), топологическое векторное пространство , [1] их открытое подмножество или гладкое многообразие .
Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснено выше в § Алгебраическая структура, и являются подпространствами пространства непрерывных функций.
Мера на множестве — это неотрицательный вещественнозначный функционал на σ-алгебре подмножеств. [2] Пространства L p на множествах с мерой определяются из вышеупомянутых вещественнозначных измеримых функций, хотя на самом деле они являются факторпространствами . Точнее, в то время как функция, удовлетворяющая соответствующему условию суммирования, определяет элемент пространства Lp , в противоположном направлении для любых f ∈ Lp ( X ) и x ∈ X , которые не являются атомом , значение f ( x ) не определено. . Тем не менее, вещественные пространства L p все еще имеют некоторую структуру, описанную выше в § Алгебраическая структура. Каждое из L p пространств является векторным пространством и имеет частичный порядок, и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p , а именно
Например, поточечное произведение двух функций L2 принадлежит L1 .
Другие контексты, в которых используются вещественнозначные функции и их специальные свойства, включают монотонные функции (на упорядоченных множествах ), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах ), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях ), аналитические функции (обычно одного или нескольких действительные переменные), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях ) и полиномы (от одной или нескольких действительных переменных).
Вайсштейн, Эрик В. «Реальная функция». Математический мир .