Теория нечеткой меры

В математике теория нечетких мер рассматривает обобщенные меры , в которых аддитивное свойство заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечетких мер является нечеткая мера (также емкость , см. ^[1] ), которая была введена Шоке в 1953 году и независимо определена Сугено в 1974 году в контексте нечетких интегралов . Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия/убеждения , меры возможности/необходимости и меры вероятности , которые являются подмножеством классических мер.

Определения

Пусть будет универсумом дискурса , будет классом подмножеств и . Функция , где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

называется нечеткой мерой . Нечеткая мера называется нормализованной или регулярной , если . ${\displaystyle g(\mathbf {X} )=1}$

Свойства нечетких мер

Нечеткая мера — это:

• аддитивно, если для любого такого, что , имеем ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$ ${\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).}$
• супермодулярным , если для любого имеем : ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$
• субмодулярным , если для любогоимеем; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$
• супераддитивным, если для любого такого, что , имеем ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$ ${\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}$
• субаддитивным, если для любого такого, что , имеем ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$ ${\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}$
• симметрично , если для любого имеем влечет ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle |E|=|F|}$ ${\displaystyle g(E)=g(F)}$
• Булево, если для любого имеем или . ${\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g(E)=0}$ ${\displaystyle g(E)=1}$

Понимание свойств нечетких мер полезно в применении. Когда нечеткая мера используется для определения функции, такой как интеграл Сугено или интеграл Шоке , эти свойства будут иметь решающее значение для понимания поведения функции. Например, интеграл Шоке относительно аддитивной нечеткой меры сводится к интегралу Лебега . В дискретных случаях симметричная нечеткая мера приведет к оператору упорядоченного взвешенного усреднения (OWA). Субмодулярные нечеткие меры приводят к выпуклым функциям, в то время как супермодулярные нечеткие меры приводят к вогнутым функциям при использовании для определения интеграла Шоке.

Представление Мёбиуса

Пусть g — нечеткая мера. Представление Мёбиуса для g задается функцией множества M , где для каждого , ${\displaystyle E,F\subseteq X}$

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}$

Эквивалентные аксиомы в представлении Мёбиуса:

1. ${\displaystyle M(\emptyset )=0}$.
2. ${\displaystyle \sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0}$, для всех и каждого ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ ${\displaystyle i\in E}$

Нечеткая мера в представлении Мёбиуса M называется нормализованной , если ${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}$

Представление Мёбиуса может быть использовано для указания того, какие подмножества X взаимодействуют друг с другом. Например, аддитивная нечеткая мера имеет все значения Мёбиуса, равные нулю, за исключением синглтонов. Нечеткая мера g в стандартном представлении может быть восстановлена ​​из формы Мёбиуса с помощью дзета-преобразования:

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}$

Упрощение предположений для нечетких мер

Нечеткие меры определяются на полукольце множеств или монотонном классе , который может быть таким же гранулярным, как множество мощности X , и даже в дискретных случаях число переменных может достигать 2 ^{| X |} . По этой причине в контексте многокритериального анализа решений и других дисциплинах были введены упрощенные предположения о нечеткой мере, чтобы ее определение и использование было менее затратным с точки зрения вычислений. Например, когда предполагается, что нечеткая мера является аддитивной , это будет выполняться и значения нечеткой меры могут быть оценены из значений на X . Аналогично, симметричная нечеткая мера определяется однозначно значениями | X | . Две важные нечеткие меры, которые можно использовать, — это нечеткая мера Сугено или - и k -аддитивные меры, введенные Сугено ^[2] и Грабишем ^[3] соответственно. ${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}$ ${\displaystyle \lambda }$

Сугеноλ-мера

Мера Сугено — это частный случай нечетких мер, определяемых итеративно. Она имеет следующее определение: ${\displaystyle \lambda }$

Определение

Пусть будет конечным множеством и пусть . Мера Сугено — это функция такая, что ${\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace }$ ${\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}$

1. ${\displaystyle g(X)=1}$.
2. если (альтернативно ) с then . ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X} }$ ${\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}$ ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ ${\displaystyle g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)}$

По соглашению, значение g в одноэлементном наборе называется плотностью и обозначается . Кроме того, мы имеем , что удовлетворяет свойству ${\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace }$ ${\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})}$.

Тахани и Келлер ^[4], а также Ван и Клир показали, что как только плотности известны, можно использовать предыдущий полином для получения значений однозначно. ${\displaystyle \lambda }$

к-аддитивная нечеткая мера

Нечеткая мера k -аддитивности ограничивает взаимодействие между подмножествами размером . Это радикально сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, и поскольку k может быть любым от 1 (в этом случае нечеткая мера является аддитивной) до X , это позволяет найти компромисс между способностью моделирования и простотой. ${\displaystyle E\subseteq X}$ ${\displaystyle |E|=k}$

Определение

Дискретная нечеткая мера g на множестве X называется k-аддитивной ( ), если ее представление Мёбиуса выполняется всякий раз, когда для любого , и существует подмножество F с k элементами такое, что . ${\displaystyle 1\leq k\leq |\mathbf {X} |}$ ${\displaystyle M(E)=0}$ ${\displaystyle |E|>k}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ ${\displaystyle M(F)\neq 0}$

Индексы Шепли и взаимодействия

В теории игр значение Шепли или индекс Шепли используется для указания веса игры. Значения Шепли могут быть рассчитаны для нечетких мер, чтобы дать некоторое представление о важности каждого синглтона. В случае аддитивных нечетких мер значение Шепли будет таким же, как и для каждого синглтона.

Для заданной нечеткой меры g и индекс Шепли для каждого равен: ${\displaystyle |\mathbf {X} |=n}$ ${\displaystyle i,\dots ,n\in X}$

${\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}$

Величина Шепли — это вектор ${\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}$

Смотрите также

• Теория вероятностей
• Теория возможности

Ссылки

1. Гюстав Шоке (1953). «Теория емкостей». Анналы Института Фурье . 5 : 131–295.
2. М. Сугено (1974). «Теория нечетких интегралов и ее приложения. Кандидатская диссертация». Токийский технологический институт , Токио, Япония .
3. М. Грабиш (1997). " k -порядковые аддитивные дискретные нечеткие меры и их представление". Нечеткие множества и системы . 92 (2): 167–189. doi :10.1016/S0165-0114(97)00168-1.
4. H. Tahani & J. Keller (1990). «Слияние информации в компьютерном зрении с использованием нечеткого интеграла». Труды IEEE по системам, человеку и кибернетике . 20 (3): 733–741. doi :10.1109/21.57289.

Дальнейшее чтение

• Беляков, Прадера и Кальво, Функции агрегации: руководство для практиков , Springer, Нью-Йорк, 2007.
• Ван, Чжэньюань и Джордж Дж. Клир , Теория нечеткой меры , Plenum Press, Нью-Йорк, 1991.

Внешние ссылки

• Теория нечетких мер в разделе «Обработка нечетких изображений» Архивировано 30 июня 2019 г. в Wayback Machine