Распределение (математика)

Термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.

Распределения , также известные как распределения Шварца или обобщенные функции , представляют собой объекты, которые обобщают классическое понятие функций в математическом анализе . Распределения позволяют дифференцировать функции , производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет распределительную производную .

Распределения широко используются в теории уравнений в частных производных , где может быть легче установить существование распределительных решений ( слабых решений ), чем классических решений , или где подходящие классические решения могут не существовать. Распределения также важны в физике и технике , где многие проблемы естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решения или начальные условия которых являются сингулярными, например, дельта-функция Дирака .

Обычно считается, что функция действует на точки в функциональной области , «отправляя» точку в области в точку . Вместо воздействия на точки теория распределения переинтерпретирует функции, например, воздействуя определенным образом на тестовые функции . В приложениях к физике и технике пробные функции обычно представляют собой бесконечно дифференцируемые комплексные (или действительные ) функции с компактным носителем , определенные на некотором заданном непустом открытом подмножестве . ( Функции Bump являются примерами тестовых функций.) Набор всех таких тестовых функций образует векторное пространство , которое обозначается или ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Наиболее часто встречающиеся функции, включая все непрерывные отображения , если они используются, могут быть канонически переинтерпретированы как действующие посредством « интеграции с тестовой функцией». Явно это означает, что такая функция «воздействует» на тестовую функцию, «отправляя» ее на число , которое часто обозначается Это новое действие определяет скалярное отображение , областью определения которого является пространство тестовых функций. Этот функционал оказывается иметь два определяющих свойства того, что известно как распределение на : оно линейно , а также непрерывно, когда задана определенная топология , называемая канонической топологией LF . Действие (интегрирование ) этого распределения на тестовую функцию можно интерпретировать как средневзвешенное распределение на носителе тестовой функции, даже если значения распределения в одной точке не определены четко. Распределения, подобные этому, возникают из функций таким образом, являются прототипическими примерами распределений, но существует множество распределений, которые невозможно определить путем интегрирования с какой-либо функцией. Примеры последних включают дельта-функцию Дирака и распределения, определенные для действия путем интегрирования тестовых функций против определенных мер . Тем не менее, всегда можно свести любое произвольное распределение к более простому семейству связанных распределений, которые действительно возникают в результате таких действий интеграция. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$ ${\displaystyle D_{f}(\psi ).}$ ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U.}$

В более общем смысле распределение по ${\displaystyle U}$ определению является линейным функционалом , который является непрерывным , если задана топология, называемая канонической топологией LF . Это приводит к пространству (всех) распределений на , обычно обозначаемому (обратите внимание на штрих ), которое по определению является пространством всех распределений на (то есть, это непрерывное двойственное пространство к ); именно этим дистрибутивам и посвящена данная статья. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Определения соответствующих топологий на пространствах основных функций и распределений даны в статье о пространствах основных функций и распределений . Эта статья в первую очередь посвящена определению распределений, их свойствам и некоторым важным примерам.

История

Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но оно было формализовано лишь намного позже. Согласно Колмогорову и Фомину (1957), обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева  (1936) по гиперболическим уравнениям в частных производных второго порядка, а эти идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включающего не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997) отмечает, что, хотя идеи трансформационной книги Шварца (1951) не были совершенно новыми, именно широкая атака Шварца и его убежденность в том, что распределения будут полезны почти везде в анализе, сыграли решающую роль.

Обозначения

В этой статье будут использоваться следующие обозначения:

• ${\displaystyle n}$— фиксированное положительное целое число и фиксированное непустое открытое подмножество евклидова пространства . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$обозначает натуральные числа .
• ${\displaystyle k}$будет обозначать неотрицательное целое число или ${\displaystyle \infty .}$
• Если функция , то будет обозначать ее область определения и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$носитель обозначаетсякакзамыканиемножествав_ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$
• Для двух функций следующие обозначения определяют каноническое спаривание : ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}$
  $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• Мультииндекс размера — это элемент в (при условии, что он фиксирован, если размер мультииндексов опущен, то размер следует считать равным ). Длина мультииндекса определяется как и обозначается Мультииндексы особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных , в частности, мы вводим следующие обозначения для данного мультииндекса : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle |\alpha |.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$
  Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов тогда и только тогда, когда для всех мы определяем их мультииндексный биномиальный коэффициент как: ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$
  $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$

Определения тестовых функций и распределений

В этом разделе вводятся некоторые основные понятия и определения, необходимые для определения действительных распределений U. Дальнейшее обсуждение топологий пространств основных функций и распределений дано в статье о пространствах основных функций и распределений .

Обозначение :

1. Позволять ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. Пусть обозначает векторное пространство всех k -кратно непрерывно дифференцируемых вещественных или комплекснозначных функций на U . ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. Для любого компактного подмножества пусть и оба обозначают векторное пространство всех тех функций, что ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Если тогда областью определения является U , а не K. Таким образом, хотя это зависит как от K , так и от U , обычно указывается только K. Обоснование этой распространенной практики подробно описано ниже. Обозначение будет использоваться только в том случае, если оно может оказаться двусмысленным. ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Каждый содержит карту постоянного 0 , даже если ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing .}$
4. Обозначим множество всех таких, что для некоторого компактного подмножества K в U . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • Эквивалентно, это множество всего такого, что имеет компактный носитель. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$равно объединению всех диапазонов по всем компактным подмножествам ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$
   • Если является действительной функцией на , то является элементом тогда и только тогда, когда является функцией удара . Каждая тестовая функция с действительным знаком также является тестовой функцией с комплексным знаком. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

График функции рельефа где и Эта функция является пробной функцией на и является элементом Носителем этой функции является замкнутый единичный круг в На открытом единичном круге она отлична от нуля и равна 0 всюду за пределами это. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Для всех и любых компактных подмножеств и из мы имеем: ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

Определение : Элементы называются пробными функциями на U и называются пространством пробных функций на U. Мы будем использовать оба и для обозначения этого пространства. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Распределения на U представляют собой непрерывные линейные функционалы от того, когда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Следующее предложение формулирует два необходимых и достаточных условия непрерывности линейной функции, которые часто легко проверить. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Предложение : Линейный функционал T on непрерывен и, следовательно , является распределением тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Для каждого компактного подмножества существуют константы и (зависящие от ) такие, что для всех с носителем, содержащимся в , ^{[1] [2]} ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$
   $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. Для каждого компактного подмножества и каждой последовательности , носители которой содержатся в , если сходится равномерно к нулю на для любого мультииндекса , то ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Топология на Ck ( U )

Теперь мы введем полунормы , которые будут определять топологию. Разные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому ниже мы перечисляем наиболее распространенные семейства. Однако результирующая топология одинакова независимо от того, какое семейство используется. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Предположим , что и — произвольное компактное подмножество. Предположим , что целое число такое, что ^{[примечание 1]} и является мультииндексом длины. Для определения: ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|\leq k.}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing ,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

в то время как для определения всех вышеперечисленных функций это карта постоянного 0 . ${\displaystyle K=\varnothing ,}$

Все приведенные выше функции являются неотрицательными ^{[примечание 2]} полунормами на. Как объясняется в этой статье , каждый набор полунорм в векторном пространстве порождает локально выпуклую векторную топологию . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Каждый из следующих наборов полунорм

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$

локально выпуклую векторную топологию ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Векторное пространство наделено локально выпуклой топологией, индуцированной любым из четырех семейств полунорм, описанных выше. Эта топология также равна векторной топологии, индуцированной всеми полунормами в ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}$

В этой топологии пространство Фреше становится локально выпуклым , которое не является нормируемым . Каждый элемент является непрерывной полунормой на В соответствии с этой топологией сеть в сходится к тогда и только тогда, когда для каждого мультииндекса с и каждого компакта сеть частных производных сходится равномерно к на ^[3] Для любого любого (фон Неймана) ограниченного подмножество является относительно компактным подмножеством ^[4] В частности, подмножество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено для всех ^[4] Пространство является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда ^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

Подмножество открытого в этой топологии тогда и только тогда, когда существует такое, которое открыто, когда наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U).}$

Топология ^на Ck ( K )

Как и раньше, исправьте . Напомним, что if — любое компактное подмножество then ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Предположение : в дальнейшем мы будем предполагать, что любое компактное подмножество наделено топологией подпространства , унаследованной от пространства Фреше . ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Если конечно, то является банаховым пространством ^[6] с топологией, определяемой нормой ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

$${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$

гильбертово пространство^[6] ${\displaystyle k=2,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

Тривиальные расширения и независимость топологии C ^k ( K ) от U

Пусть — открытое подмножество и — компактное подмножество. По определению, элементы являются функциями с областью определения (в символах ), поэтому пространство и его топология зависят от того , чтобы сделать эту зависимость от открытого множества ясной, временно обозначим как . Важно, изменение набора на другое открытое подмножество (с ) приведет к измените набор с на ^{[примечание 3]} , чтобы элементы были функциями с доменом вместо Несмотря на то , что это зависит от открытого набора ( ), стандартное обозначение для не упоминает об этом. Это оправдано, поскольку, как сейчас будет объяснено в этом подразделе, пространство канонически идентифицируется как подпространство (как алгебраически, так и топологически). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle K\subseteq U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U'),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U{\text{ or }}U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$

Достаточно объяснить, как канонически идентифицировать, когда одно из и является подмножеством другого. Причина в том, что если и являются произвольными открытыми подмножествами содержащего , то открытое множество также содержит так, что каждое из и канонически отождествляется с и теперь по транзитивности, таким образом, отождествляется с Итак, предположим, что это открытые подмножества содержащего ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U:=V\cap W}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V\cap W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W).}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K.}$

Учитывая его тривиальное расширение, функция определяется следующим образом: ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

инъекцию ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle I(f)}$ ${\displaystyle I(f):=F}$ ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}}$$

(TVS-изоморфизмами ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$

топологическим вложением

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$

^[7] ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Каноническая топология LF

Напомним, что обозначает все функции, которые имеют компактный носитель где. Обратите внимание, что это объединение всех диапазонов по всем компактным подмножествам Более того, для каждого является плотным подмножеством. Особый случай, когда дает нам пространство тестовых функций. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle k,\,C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$называется пространством тестовых функций и ${\displaystyle U}$ может также обозначаться Если не указано иное, оно наделено топологией, называемой канонической топологией LF , определение которой дано в статье: Пространства тестовых функций и распределений . ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Каноническая LF-топология не метризуема и, что важно, она строго тоньше топологии подпространства , которая индуцирует Однако каноническая LF-топология действительно превращается в полное рефлексивное ядерное ^[8] Монтеля ^[9] борнологическое бочкообразное пространство Макки ; то же самое относится и к его сильному двойственному пространству (т. е. пространству всех распределений с его обычной топологией). Каноническую LF-топологию можно определить различными способами. ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Распределения

Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы от a известны как распределения от. Другие эквивалентные определения описаны ниже. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$

По определению, распределение on ${\displaystyle U}$ — это непрерывный линейный функционал на. Иными словами, распределение on — это элемент непрерывного дуального пространства , когда наделен своей канонической топологией LF. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Существует каноническая пара двойственности между распределением и тестовой функцией , которая обозначается с помощью угловых скобок ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

Это обозначение можно интерпретировать как распределение, действующее на тестовую функцию , чтобы дать скаляр, или симметрично как тестовую функцию, действующую на распределение. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T.}$

Характеристики распределений

Предложение. Если - линейный функционал от, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Т — распределение;
2. Т непрерывно ; _
3. T непрерывен в начале координат;
4. T равномерно непрерывен ;
5. T — ограниченный оператор ;
6. T секвенциально непрерывен ;
   • явно, для каждой последовательности , которая сходится к некоторому ^{[примечание 4]} ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T секвенциально непрерывен в начале координат; другими словами, T отображает нулевые последовательности ^{[примечание 5]} в нулевые последовательности;
   • явно, для каждой последовательности , которая сходится к началу координат (такая последовательность называется нулевой последовательностью ), ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • нулевая последовательность по определению — это любая последовательность, сходящаяся к началу координат;
8. T отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества;
   • явно, для каждой последовательности , сходящейся к началу координат, последовательность ограничена; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T отображает сходящиеся нулевые последовательности Макки в ограниченные подмножества;
   • явно, для каждой сходящейся нулевой последовательности Макки в последовательности ограничена; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • последовательность называется сходящейся к началу координат по Макки , если существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел, такая что последовательность ограничена; каждая последовательность, сходящаяся к началу координат по Макки, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле); ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. Ядро T является замкнутым подпространством ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}$
11. График T замкнут;
12. Существует непрерывная полунорма на такой, что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. Существуют константа и конечное подмножество (где есть любой набор непрерывных полунорм, определяющий каноническую топологию LF на ) такие, что ^{[примечание 6]} ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. Для каждого компактного подмножества существуют константы и такие, что для всех ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$
    $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$$
15. Для каждого компактного подмножества существуют константы и такие, что для всех с носителем, содержащимся в ^[10] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$
    $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$$
16. Для любого компактного подмножества и любой последовательности из if сходится равномерно к нулю для всех мультииндексов, то ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$

Топология в пространстве распределений и ее связь со слабой топологией

Множество всех распределений на представляет собой непрерывное двойственное пространство , которое , если оно наделено сильной дуальной топологией, обозначается как Важно, если не указано иное, топология на является сильной двойственной топологией ; если вместо этого используется топология слабого*, это будет указано. Ни одна из топологий не является метризуемой, хотя, в отличие от слабой топологии, сильная дуальная топология превращается в полное ядерное пространство , и это лишь некоторые из ее желательных свойств. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Ни одно, ни его сильный двойник не являются секвенциальными пространствами , и поэтому ни одна из их топологий не может быть полностью описана последовательностями (другими словами, определения только того, какие последовательности сходятся в этих пространствах, недостаточно для полного/правильного определения их топологий). Однако последовательность в сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в топологии слабого* (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для определения сходимости последовательности распределений; это нормально для последовательностей, но это не гарантировано расширение до сходимости сетей распределений, поскольку сеть может сходиться поточечно, но не сходиться в сильной двойственной топологии). Более подробную информацию о топологии, которой наделены, можно найти в статьях о пространствах основных функций и распределений и статьях о полярных топологиях и дуальных системах . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Линейное отображение из в другое локально выпуклое топологическое векторное пространство (например, любое нормированное пространство ) непрерывно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно в начале координат. Однако это больше не гарантируется, если карта не является линейной или для карт, оцененных в более общих топологических пространствах (например, которые не являются также локально выпуклыми топологическими векторными пространствами ). То же самое верно и для отображений из (в более общем смысле, это справедливо для отображений из любого локально выпуклого борнологического пространства ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Локализация дистрибутивов

Невозможно определить значение распределения в конкретной точке U. Однако, как и в случае с функциями, распределения на U ограничиваются распределением на открытых подмножествах U . Более того, распределения локально определены в том смысле, что распределение на всем U может быть составлено из распределения на открытом покрытии U , удовлетворяющего некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая структура известна как пучок . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Расширения и ограничения открытого подмножества

Пусть - открытые подмножества каждой функции, которая может быть расширена нулем из ее области определения V до функции на U , установив ее равной в дополнении. Это расширение представляет собой гладкую функцию с компактным носителем, называемую тривиальным расширением to , и оно будет обозначаться This присваивание определяет тривиальный оператор расширения , который представляет собой непрерывное инъективное линейное отображение. Он используется для канонической идентификации как векторное подпространство ( но не как топологическое подпространство ). Его транспонирование (объясняется здесь) ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

$${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$

ограничение на распределений в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ^[11]ограничениемна. ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$

$${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$

нестрого тоньше,топология подпространстванетопологическим подпространствомнекодомене ^[11][11]до Uрасширяемым,^[11] ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Если только ограничение на V не является ни инъективным , ни сюръективным . Отсутствие сюръективности следует из того, что распределения могут взрываться к границе V . Например, если и тогда распределение ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=(0,2),}$

$${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$$

${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

Склейка и распределения, исчезающие во множестве

Теорема ^[12]  —  Пусть это совокупность открытых подмножеств. Для каждого пусть и предположим, что для всех ограничение to равно ограничению to (обратите внимание, что оба ограничения являются элементами ). Тогда существует единственное такое, что для всех ограничений T на равно ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}.}$

Пусть V — открытое подмножество U. Говорят, что T обращается в нуль в V, если для всех таких, что у нас есть T, обращается в нуль в V тогда и только тогда, когда ограничение T на V равно 0, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда T лежит в ядре отображения ограничения ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}.}$

Следствие ^[12]  —  Пусть — совокупность открытых подмножеств и пусть тогда и только тогда, когда для каждого ограничение T на равно 0. ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i}).}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Следствие ^[12]  —  Объединение всех открытых подмножеств U , в которых распределение T обращается в нуль, является открытым подмножеством U , в котором T обращается в нуль.

Поддержка дистрибутива

Из этого последнего следствия следует, что для каждого распределения T на U существует единственное наибольшее подмножество V в U такое, что T обращается в нуль в V (и не обращается в нуль ни в одном открытом подмножестве U , которое не содержится в V ); дополнение в U этого уникального наибольшего открытого подмножества называется носителем T . ^[12] Таким образом

$${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$$

Если — локально интегрируемая функция на U и если — ассоциированное с ней распределение, то носитель — наименьшее замкнутое подмножество U , в дополнении к которому почти всюду равно 0. ^[12] Если непрерывно, то носитель равно замыканию множества точек из U , в которых не обращается в нуль. ^[12] Носителем распределения, связанного с мерой Дирака в точке, является множество. ^[12] Если носитель тестовой функции не пересекает носитель распределения T , то распределение T равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пусто. Если тождественно 1 на некотором открытом множестве, содержащем носитель распределения T, то Если носитель распределения T компактен, то оно имеет конечный порядок и существует константа и неотрицательное целое число такие, что: ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle fT=T.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Если T имеет компактный носитель, то оно имеет единственное продолжение до непрерывного линейного функционала на ; эта функция может быть определена как где - любая функция, которая тождественно равна 1 на открытом множестве, содержащем носитель T . ^[7] ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

Если и то и Таким образом, распределения с носителем в данном подмножестве образуют векторное подпространство ^[13] Кроме того, если является дифференциальным оператором в U , то для всех распределений T на U и всего, что у нас есть, и ^[13] ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Опора в множестве точек и меры Дирака

Для любого распределения обозначим распределение, индуцированное мерой Дирака в. Для любого и распределения носитель T содержится в тогда и только тогда, когда T является конечной линейной комбинацией производных меры Дирака в ^[14]. Если, кроме того, порядок T тогда существуют константы такие, что: ^[15] ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

$${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$$

Иными словами, если T имеет опору в одной точке , то T на самом деле является конечной линейной комбинацией производных распределения функции в P . То есть существует целое число m и комплексные константы такие, что ${\displaystyle \{P\},}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$

$${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$$

${\displaystyle \tau _{P}}$

Распространение с компактной поддержкой

Теорема ^[7]  —  Предположим, T — распределение на U с компактным носителем K. Существует непрерывная функция , определенная на U , и мультииндекс p такие, что ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle T=\partial ^{p}f,}$$

где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций на U ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Распределения конечного порядка с носителем в открытом подмножестве

Теорема ^[7]  .  Предположим, что T — распределение на U с компактным носителем K , и пусть V — открытое подмножество U , содержащее K. Поскольку каждое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок, возьмем N в качестве порядка T и определим. Существует семейство непрерывных функций, определенных на U , с носителем в V такое, что ${\displaystyle P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.}$ ${\displaystyle (f_{p})_{p\in P}}$

$${\displaystyle T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},}$$

где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций на U ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Глобальная структура дистрибутивов

Формальное определение распределений показывает их как подпространство очень большого пространства, а именно топологическое двойственное (или пространство Шварца для умеренных распределений). Из определения не сразу понятно, насколько экзотическим может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, поучительно увидеть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно пространства непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение является локально (кратной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, справедлива для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. Вообще говоря, ни одно собственное подмножество пространства распределений не содержит всех непрерывных функций и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что дистрибутивы не являются чем-то экзотическим объектом; они настолько сложны, насколько это необходимо. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Распределения в виде пучков

Теорема ^[16]  —  Пусть T — распределение на U . Существует последовательность в такая, что каждое T _i имеет компактный носитель и каждое компактное подмножество пересекает носитель только конечного числа , а последовательность частичных сумм , определяемая сходится к T ; другими словами, мы имеем: ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle T_{i},}$ ${\displaystyle (S_{j})_{j=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.}$$

Напомним, что последовательность сходится в (со своей сильной двойственной топологией) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Разложение распределений как суммы производных непрерывных функций

Объединив приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на U как сумму серии распределений с компактным носителем, причем каждое из этих распределений, в свою очередь, можно записать как конечную сумму производных по распределению непрерывных функций на U . Другими словами, для произвольного можно написать: ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$$

${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{ip}}$

Теорема ^[17]  —  Пусть T — распределение на U . Для каждого мультииндекса p существует непрерывная функция на U такая, что ${\displaystyle g_{p}}$

1. любое компактное подмножество K в U пересекает носитель лишь конечного числа и ${\displaystyle g_{p},}$
2. ${\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}$

Более того, если T имеет конечный порядок, то можно выбрать так, чтобы только конечное число из них было ненулевым. ${\displaystyle g_{p}}$

Обратите внимание, что приведенная выше бесконечная сумма четко определена как распределение. Значение T для данного можно вычислить, используя конечное число тех, которые пересекают носитель ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$ ${\displaystyle f.}$

Операции над распределениями

Многие операции, определенные над гладкими функциями с компактным носителем, также могут быть определены и для распределений. В общем, если это линейное отображение, непрерывное относительно слабой топологии , то его не всегда возможно расширить до отображения с помощью классических теорем расширения топологии или линейного функционального анализа. ^{[примечание 7]} «Дистрибутивное» расширение вышеуказанного линейного непрерывного оператора A возможно тогда и только тогда, когда A допускает сопряженный Шварца, то есть другой линейный непрерывный оператор B того же типа, такой что , для каждой пары тестовых функций. В этом условии B уникально, а расширение A' является транспонированием сопряженного Шварца B. ^{[ нужна цитация ] [18] [ необходимы разъяснения ]} ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle }$

Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора

Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются с помощью транспонирования линейного оператора. Это связано с тем, что транспонирование позволяет унифицированно представить многие определения теории распределений, а также потому, что его свойства хорошо известны в функциональном анализе . ^[19] Например, хорошо известный эрмитово сопряжение линейного оператора между гильбертовыми пространствами представляет собой просто транспонирование оператора (но с теоремой о представлении Рисса , используемой для отождествления каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством ). В общем, транспонирование непрерывной линейной карты - это линейное отображение ${\displaystyle A:X\to Y}$

$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$

сильными двойственными топологиямислабыми* топологиямиполярная топологиядуальная система ). ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

В контексте распределений характеристику транспонирования можно немного уточнить. Пусть – непрерывное линейное отображение. Тогда по определению транспонирование — это единственный линейный оператор , который удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

Поскольку плотно в (здесь фактически относится к множеству распределений ), достаточно, чтобы определяющее равенство выполнялось для всех распределений вида где Явно это означает, что непрерывное линейное отображение равно тогда и только тогда, когда выполнено приведенное ниже условие : ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$

$${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$

${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

Дифференциальные операторы

Дифференциация распределений

Пусть – оператор частной производной. Для расширения мы вычисляем его транспонирование: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$$

Поэтому Таким образом, частная производная по координате определяется формулой ${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{k}}$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Согласно этому определению, каждое распределение бесконечно дифференцируемо, а производная по направлению является линейным оператором на ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

В более общем смысле, если — произвольный мультииндекс , то частная производная распределения определяется формулой ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Дифференциация распределений представляет собой непрерывный оператор. Это важное и желательное свойство, которое не присуще большинству других понятий дифференциации. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

Если это распределение, то ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$$

^[20] ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle T}$

Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции

Линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами действует в пространстве гладких функций на. Учитывая такой оператор, мы хотели бы определить непрерывное линейное отображение, которое расширяет действие on на распределения. Другими словами, мы хотели бы определить такое, что следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$ ${\displaystyle D_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle D_{P}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$$

${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$

$${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

$${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$$

Чтобы найти транспонирование непрерывного индуцированного отображения, определенного как, рассматривается следующая лемма. Это приводит к следующему определению дифференциального оператора, называемого формальным транспонированием , который будет обозначаться во избежание путаницы с транспонирующим отображением, которое определяется как ${\displaystyle D_{P},}$ ${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P_{*}}$

$${\displaystyle P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.}$$

Лемма . Пусть  —  линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами в Тогда для всех, у нас есть ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$

$${\displaystyle \left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,}$$

что эквивалентно:

$${\displaystyle {}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.}$$

Лемма в сочетании с тем фактом, что формальное транспонирование формального транспонирования является исходным дифференциальным оператором, то есть ^[21] , позволяет нам прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор, определяемый формулой. Мы утверждаем, что что транспонирование этой карты можно принять как Чтобы увидеть это, для каждого вычисления своего действия на распределение формы с : ${\displaystyle P_{**}=P,}$ ${\displaystyle P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$ ${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle D_{P}.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$$

Мы называем непрерывный линейный оператор дифференциальным оператором на распределениях, расширяющих . ^[21] Его действие на произвольное распределение определяется следующим образом: ${\displaystyle D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Если сходится к, то для любого мультииндекса сходится к ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Умножение распределений на гладкие функции

Дифференциальный оператор порядка 0 — это просто умножение на гладкую функцию. И наоборот, если - гладкая функция, то - дифференциальный оператор порядка 0, формальная транспозиция которого равна самой себе (т. е. ). Индуцированный дифференциальный оператор отображает распределение в распределение, обозначаемое Таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P:=f(x)}$ ${\displaystyle P_{*}=P}$ ${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

Теперь мы дадим альтернативное представление умножения распределения на гладкую функцию. Произведение определяется формулой ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle mT}$

$${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если – оператор умножения на функцию (т. е. ), то ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$

$${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$$

${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

При умножении на гладкие функции модуль над кольцом. При таком определении умножения на гладкую функцию остается в силе обычное правило произведения исчисления. Однако возникают и некоторые необычные личности. Например, если это дельта-распределение Дирака, то и если это производная дельта-распределения, то ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle m\delta =m(0)\delta ,}$ ${\displaystyle \delta ^{'}}$

$${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$$

Карта билинейного умножения не является непрерывной ; однако оно гипонепрерывно . ^[22] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

Пример. Произведение любого распределения с функцией, тождественно равной 1 , равно ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T.}$

Пример. Предположим , что это последовательность пробных функций, сходящаяся к постоянной функции. Для любого распределения последовательности сходится к ^[23] ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Если сходится к и сходится к то сходится к ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Проблема умножения распределений

Легко определить произведение распределения на гладкую функцию или, в более общем смысле, произведение двух распределений, сингулярные носители которых не пересекаются. ^[24] Приложив больше усилий, можно определить продукт нескольких распределений с хорошим поведением при условии, что их наборы волновых фронтов в каждой точке совместимы. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является то, что не существует ассоциативного произведения двух распределений, расширяющего произведение распределения на гладкую функцию, как было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если распределение, полученное по главному значению Коши ${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}}$

$${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Если это дельта-распределение Дирака, то ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$$

$${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$$

ассоциативного

Таким образом, нелинейные задачи не могут быть поставлены вообще и, следовательно, не могут быть решены только в рамках теории распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения можно найти. В более чем двух измерениях пространства- времени проблема связана с регуляризацией расходимостей . Здесь Анри Эпштейн и Владимир Глейзер разработали математически строгую (но чрезвычайно техническую) теорию причинных возмущений . В других ситуациях это не решает проблему. Многие другие интересные теории являются нелинейными, как, например, уравнения динамики жидкости Навье – Стокса .

Было разработано несколько не совсем удовлетворительных ^{[ требуется цитирование ]} теорий алгебр обобщенных функций , среди которых (упрощенная) алгебра Коломбо, возможно, является самой популярной в использовании сегодня.

Вдохновленный теорией грубого пути Лайона , ^[25] Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенными структурами ( структурами регулярности ^[26] ), доступными во многих примерах стохастического анализа, особенно в стохастических уравнениях в частных производных. См. также Губинелли-Имкеллер-Перковски (2015) о соответствующей разработке, основанной на парапродукте Бони из анализа Фурье.

Композиция с плавной функцией

Пусть это распределение на Пусть это открытое множество в и Если это погружение , то можно определить ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F:V\to U.}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$$

Это композиция распределения с , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$а также называется откатом вдоль , иногда ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ пишется

$${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$$

Обратный ход часто обозначается , хотя это обозначение не следует путать с использованием знака «*» для обозначения сопряженного к линейному отображению. ${\displaystyle F^{*},}$

Условие субмерсии эквивалентно требованию, чтобы производная Якобиана была сюръективным линейным отображением для каждого. Необходимым ( но не достаточным) условием распространения на распределения является то, что отображение должно быть открытым . ^[27] Теорема об обратной функции гарантирует, что погружение удовлетворяет этому условию. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F}$

Если это погружение, то оно определяется на распределениях путем нахождения карты транспонирования. Единственность этого расширения гарантирована, поскольку это непрерывный линейный оператор в существовании, однако требует использования формулы замены переменных , теоремы об обратной функции (локально) и разделения аргумента единицы . ^[28] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

В частном случае, когда диффеоморфизм открытого подмножества на открытое подмножество замены переменных под интегралом дает: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$$

В данном конкретном случае это определяется формулой транспонирования: ${\displaystyle F^{\#}}$

$${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$$

Свертка

При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже свертку двух распределений. Напомним , что если и являются функциями от , то через свертку и определяем при как интеграл ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$$

^[29]зависятсуммы Минковского ^[29] ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

Важно отметить, что если оно имеет компактный носитель, то для любого отображение свертки является непрерывным, если рассматривать его как отображение или как отображение ^[29] ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Перевод и симметрия

Учитывая, что оператор перевода отправляет на определенное Это можно расширить путем транспонирования на распределения следующим образом: для данного распределения перевод by - это распределение , определенное ^[30] [ ^31] ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

Учитывая определение функции. Учитывая распределение, пусть будет распределение, определяемое оператором симметрии относительно начала координат . ^[30] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$ ${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

Свертка тестовой функции с распределением

Свертка с определяет линейную карту: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}}$$

непрерывенпространства LF ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Свертку с распределением можно определить путем транспонирования относительно двойственного спаривания с пространством распределений. ^[32] Если тогда по теореме Фубини ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$

$${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$$

Продолжая непрерывность, свертка с распределением определяется выражением ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

Альтернативный способ определить свертку тестовой функции и распределения — использовать оператор перевода. Свертка функции с компактным носителем и распределения тогда представляет собой функцию, определенную для каждого из ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{a}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$$

Можно показать, что свертка гладкой функции с компактным носителем и распределения является гладкой функцией. Если распределение имеет компактный носитель и если является полиномом (соответственно показательной функцией, аналитической функцией, ограничением всей аналитической функции на ограничение целой функции экспоненциального типа в ) , то то же самое верно из ^[30] Если распределение также имеет компактный носитель, то это функция с компактным носителем, и из теоремы о свертке Титчмарша Хёрмандер (1983, теорема 4.3.3) следует, что: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\ast f.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\ast T}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$$

выпуклую оболочку ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} }$

Свертка гладкой функции с распределением

Пусть и и предположим, что хотя бы один из и имеет компактный носитель. Свертка и, обозначаемая или , представляет собой гладкую функцию: ^[30] ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f\ast T}$ ${\displaystyle T\ast f,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Пусть будет карта . Если — распределение, то оно непрерывно как отображение . Если также имеет компактный носитель, то также непрерывен как отображение и непрерывен как отображение ^[30] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Если — непрерывное линейное отображение такое, что для всех и для всех , то существует распределение такое, что для всех ^[7] ${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Пример. ^[7] Пусть – функция Хевисайда на Для любого ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$

$${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$$

Пусть – мера Дирака в точке 0, а – ее производная как распределение. Тогда , что важно, ассоциативный закон не выполняется: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$ ${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$

$${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$$

Свертка распределений

Также возможно определить свертку двух распределений , при условии, что одно из них имеет компактный носитель. Неформально, чтобы определить, где имеет компактный носитель, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки до линейной операции над распределениями, чтобы формула ассоциативности ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$

$${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$$

^[33] ${\displaystyle \phi .}$

Также возможно дать более явную характеристику свертки распределений. ^[32] Предположим, что и являются распределениями и имеют компактный носитель. Тогда линейные отображения ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$$

^[30]

$${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$$

Это общее значение называется сверткой и , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ и это распределение, обозначаемое или. Оно удовлетворяет ^[30] Если и — два распределения, по крайней мере одно из которых имеет компактный носитель, то для любого ^[30] Если — распределение в и если является мерой Дирака , то ; Таким образом, ^[30] является единичным элементом операции свертки. Более того, если — функция, то теперь из ассоциативности свертки следует, что для всех функций и ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T\ast S.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Предположим, что оно имеет компактный носитель. Рассмотрим функцию ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$$

Легко показать, что это определяет гладкую функцию, имеющую к тому же компактный носитель. Свертка и определяется формулой ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$$

Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместимо с дифференцированием в следующем смысле: для каждого мультииндекса ${\displaystyle \alpha .}$

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$$

Свертка конечного числа распределений, все из которых (кроме, возможно, одного) имеют компактный носитель, является ассоциативной . ^[30]

Это определение свертки остается действительным при менее ограничительных предположениях относительно и ^[34] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$

Свертка распределений с компактным носителем порождает непрерывное билинейное отображение , определяемое где где обозначает пространство распределений с компактным носителем. ^[22] Однако карта свертки как функция не является непрерывной ^[22] , хотя по отдельности она непрерывна. ^[35] Карты свертки и, заданные обоими, не могут быть непрерывными. ^[22] Однако каждое из этих несплошных отображений по отдельности является непрерывным и гипонепрерывным . ^[22] ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

Свертка против умножения

В общем, для продуктов умножения требуется регулярность , а для продуктов свертки — локальность . Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке , которое гарантирует существование продуктов как свертки, так и умножения. Пусть - быстро убывающее умеренное распределение или, что то же самое, обычная (медленно растущая, гладкая) функция в пространстве умеренных распределений, и пусть - нормированное (унитарное, обычная частота) преобразование Фурье . ^[36] Тогда, согласно Шварцу (1951), ${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$$

^{[37] [38] [39]}формулой суммирования Пуассона,гребенкой Дирака^[40]операторов сверткиоператоров умножения.^{[41] [42]}теорема Пэли-Винера-Шварцаоператоров сверткифункции с ограниченной полосой частотоператоры умножения ^[43] ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$ ${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

Например, пусть это будет гребенка Дирака, а - дельта Дирака ; тогда это функция, которая постоянно равна единице, и оба уравнения дают тождество гребенки Дирака . Другой пример: пусть будет гребенка Дирака, а — прямоугольная функция ; тогда – функция sinc , и оба уравнения приводят к классической теореме выборки для подходящих функций. В более общем смысле, если это гребенка Дирака и является гладкой оконной функцией ( функция Шварца ), например, Гауссовой , то это другая гладкая оконная функция (функция Шварца). Они известны как смягчающие факторы , особенно в теории уравнений в частных производных , или как регуляризаторы в физике , поскольку позволяют превращать обобщенные функции в регулярные функции . ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$

Тензорные произведения распределений

Пусть и — открытые множества. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем, где или For определяют для каждого следующие функции: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

Даны и определены следующие функции: ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

Более того, если любой из (соответственно ) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение (соответственно ). ^[44] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Теорема Фубини для распределений ^[44] — LetиIfthen ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$

$${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

The тензорное произведение иобозначается ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$илипредставляетсобой распределение,определяемое как:^[44] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$

$${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Пространства распределений

Для всех и всех каждая из следующих канонических инъекций непрерывна и имеет образ (также называемый диапазоном) , который является плотным подмножеством своей кодомена: ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}}$$

^[45] ${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Предположим, что это одно из пространств (для ) или (для ) или (для ). Поскольку каноническая инъекция представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в кодомене, транспонирование этого отображения является непрерывной инъекцией. Таким образом, это инъективное транспонированное отображение позволяет отождествить непрерывное дуальное пространство с некоторым векторным подпространством пространства всех распределений (в частности, оно отождествляется с образом этого транспонированного отображения). Это транспонированное отображение является непрерывным, но не обязательно является топологическим вложением . Линейное подпространство, несущее локально выпуклую топологию, более тонкую, чем топология подпространства, индуцированная на нем, называется пространством распределений . ^[46] Почти все пространства распределений, упомянутые в этой статье, возникают таким образом (например, умеренные распределения, ограничения, распределения порядка некоторого целого числа, распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные -функцией и т. д. ) и любая теорема о представлении непрерывного дуального пространства может посредством транспонирования быть перенесена непосредственно на элементы пространства ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Радоновые меры

Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$

Обратите внимание, что непрерывное двойственное пространство можно идентифицировать как пространство мер Радона , где существует взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами и интегралом по мере Радона; то есть, ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$

• если тогда существует мера Радона на U такая, что для всех и ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$
• если является мерой Радона на U , то линейный функционал on, определенный посылкой в, непрерывен. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

Благодаря инъекции каждая мера Радона становится распределением на U . Если — локально интегрируемая функция на U , то распределение является мерой Радона; поэтому меры Радона образуют большое и важное пространство распределений. ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

Ниже приводится теорема о структуре распределений мер Радона , которая показывает, что каждую меру Радона можно записать как сумму производных локальных функций на U : ${\displaystyle L^{\infty }}$

Теорема. ^[47]  —  Пусть— мера Радона, где— окрестность носителяи пустьсуществуетсемействолокальныхфункций на U такое, чтодля каждогои ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$

$${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$

Кроме того, также равна конечной сумме производных непрерывных функций, где каждая производная имеет порядок ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

Положительные меры радона

Линейная функция в пространстве функций называется положительной, если всякий раз, когда функция , принадлежащая области определения , неотрицательна (т. е. вещественна и ), то Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на обязательно непрерывен (что обязательно является мерой Радона). ^[48] ​​Мера Лебега является примером положительной меры Радона. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Локально интегрируемые функции как распределения

Одним особенно важным классом мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функция называется локально интегрируемой , если она интегрируема по Лебегу по любому компактному подмножеству K в U . Это большой класс функций, включающий все непрерывные функции и все пространственные функции Lp . Топология on определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция дает непрерывный линейный функционал на , то есть элемент, обозначенный здесь, значение которого на пробной функции определяется интегралом Лебега: ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T_{f},}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

Традиционно злоупотребляют обозначениями , отождествляя их с при условии, что не может возникнуть путаницы, поэтому пару между и часто пишут ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

Если и — две локально интегрируемые функции, то соответствующие распределения и равны одному и тому же элементу тогда и только тогда, когда и равны почти всюду (см., например, Хёрмандер (1983, теорема 1.2.5)). Точно так же каждая мера Радона определяет элемент, значение которого на пробной функции равно. Как указано выше, принято злоупотреблять обозначениями и записывать пару между мерой Радона и пробной функцией как Обратно, как показано в теореме Шварца (аналогично Согласно теореме о представлении Рисса ), каждое распределение, неотрицательное для неотрицательных функций, имеет этот вид для некоторой (положительной) меры Радона. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

Тестовые функции как распределения

Тестовые функции сами по себе локально интегрируемы и поэтому определяют распределения. Пространство основных функций секвенциально плотно относительно сильной топологии из ^[49]. Это означает, что для любой существует последовательность основных функций, которая сходится к (в своей сильной двойственной топологии), если рассматривать ее как последовательность распределений. Или, что то же самое, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей кодомене, поэтому карта транспонирования также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонирования, обозначаемый буквой, образует пространство распределений. ^[13] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$

Элементы можно определить как пространство распределений с компактным носителем. ^[13] Явно, если это распределение на U , то следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}$
• Поддержка компактна. ${\displaystyle T}$
• Ограничение на то , когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от (более грубой топологии, чем каноническая топология LF), является непрерывным. ^[13] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• Существует компактное подмножество K в U такое, что для каждой пробной функции , носитель которой полностью находится вне K , имеем ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Распределения с компактным носителем определяют непрерывные линейные функционалы в пространстве ; Напомним, что топология on определяется так, что последовательность основных функций сходится к 0 тогда и только тогда, когда все производные сходятся равномерно к 0 на каждом компактном подмножестве U . Обратно, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал в этом пространстве определяет распределение с компактным носителем. Таким образом, компактно поддерживаемые дистрибутивы можно идентифицировать с теми дистрибутивами, которые можно расширить от до ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Распределения конечного порядка

Пусть Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Следовательно, образ, обозначаемый через, образует пространство распределений. Элементами являются распределения порядка ^[16] Распределения порядка , которые также называются распределениями порядка 0 , представляют собой в точности те распределения, которые являются мерами Радона (описанными выше). ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \,\leq k.}$ ${\displaystyle \,\leq 0,}$

Ибо распределение порядка k — это распределение порядка , не являющееся распределением порядка . ^[16] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \,\leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

Говорят, что распределение имеет конечный порядок , если существует некоторое целое число такое, что оно является распределением порядка , а набор распределений конечного порядка обозначается как. Обратите внимание, что если то так, что это векторное подпространство , и, кроме того, если и только если ^[16] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq k,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ ${\displaystyle k\leq l}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$

Структура распределений конечного порядка

Каждое распределение с компактным носителем в U является распределением конечного порядка. ^[16] Действительно, каждое распределение в U локально является распределением конечного порядка в следующем смысле: ^[16] Если V — открытое и относительно компактное подмножество U и если — отображение ограничения из U в V , то образ из под содержится в ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

Ниже приводится теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что каждое распределение конечного порядка можно записать как сумму производных мер Радона :

Теорема ^[16]  —  Предположим, имеет конечный порядок и. Учитывая любое открытое подмножество V в U , содержащее носитель, существует семейство мер Радона в U такое, что для очень и ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$

$${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть и для каждой основной функции пусть ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

Тогда – распределение бесконечного порядка на U . Более того, не может быть распространено на распределение на ; т. е. не существует распределения на таком, что ограничение на U равно ^[50] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Умеренные распределения и преобразование Фурье

Ниже определены умеренные распределения , которые образуют подпространство пространства распределений на Это собственное подпространство: хотя каждое умеренное распределение является распределением, и обратный элемент неверен. Умеренные распределения полезны при изучении преобразования Фурье , поскольку все умеренные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

Пространство Шварца

Пространство Шварца — это пространство всех гладких функций, быстро убывающих на бесконечности вместе со всеми частными производными. Таким образом , в пространстве Шварца при условии, что любая производная от, умноженная на любую степень сходится к 0, поскольку эти функции образуют полную TVS с подходящим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов и определим ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

Тогда находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

Семейство полунорм определяет локально выпуклую топологию в пространстве Шварца. Ведь полунормы по сути являются нормами пространства Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: ^[51] ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle n=1,}$

$${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

В противном случае можно определить норму на через ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

Пространство Шварца является пространством Фреше (т. е. полным метризуемым локально выпуклым пространством). Поскольку преобразование Фурье меняется на умножение на и наоборот, эта симметрия означает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца. ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$

Последовательность в сходится к 0 тогда и только тогда, когда функции сходятся к 0 равномерно в целом, из чего следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю в ^[51] ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$плотно в Подмножество всех аналитических функций Шварца также плотно в. ^[52] ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Пространство Шварца является ядерным , и тензорное произведение двух отображений индуцирует канонические сюръективные TVS-изоморфизмы.

$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$

тензорного произведениятензорного произведения^[53] ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

Умеренные дистрибутивы

Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонированной карты, обозначаемый , образует пространство распределений. ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$

Пространство называется пространством умеренных распределений . Это непрерывное двойственное пространство к пространству Шварца. Эквивалентно, распределение является умеренным распределением тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактным носителем и все функции , интегрируемые с квадратом, являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, являющиеся произведениями полиномов с элементами пространства Lp , являются умеренными распределениями. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Умеренные распределения также можно охарактеризовать как медленно растущие , что означает, что каждая производная растет не более чем с такой же скоростью, как некоторый полином . Эта характеристика двойственна быстро падающему поведению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная убывает быстрее, чем каждая обратная степень. Примером быстро падающей функции является любое положительное ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |x|.}$ ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

преобразование Фурье

Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплекснозначные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье является TVS- автоморфизмом пространства Шварца, а преобразование Фурье определяется как его транспонирование , которое (злоупотребляя обозначениями) снова будет обозначаться как Итак, преобразование Фурье умеренного распределения определяется как для каждой функции Шварца таким образом, это снова умеренное распределение. Преобразование Фурье представляет собой TVS-изоморфизм пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$

$${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$

возрастающая ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$

$${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$

${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F\psi .}$ ${\displaystyle \delta }$

Выражение умеренных распределений как суммы производных

Если распределение умеренное, то существуют постоянные и положительные целые числа такие , что для всех функций Шварца ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

Эту оценку, наряду с некоторыми методами функционального анализа , можно использовать, чтобы показать, что существуют непрерывная медленно возрастающая функция и мультииндекс, такие что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

Ограничение распределений компактами.

Если тогда для любого компакта существует непрерывная функция с компактным носителем (возможно, на большем множестве, чем само K ), и мультииндекс такой, что на ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Использование голоморфных функций в качестве тестовых функций

Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции , в которой в качестве пробных функций используются пространства голоморфных функций . Была разработана усовершенствованная теория, в частности алгебраический анализ Микио Сато , с использованием теории пучков и нескольких комплексных переменных . Это расширяет диапазон символьных методов, которые можно воплотить в строгую математику, например, интегралы Фейнмана .

Смотрите также

• Главное значение Коши  - метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Тройка Гельфанда  - Конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство Гельфанда–Шилова.
• Обобщенная функция  - объекты, расширяющие понятие функций.
• Преобразование Гильберта  – интегральное преобразование и линейный оператор
• Однородное распределение
• Лапласиан индикатора  – Предел последовательности гладких функций
• Лимит раздач
• Моллифер  – более узкийPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Неясная топология

Дифференциальные уравнения, связанные

• Фундаментальное решение  – концепция решения линейных уравнений в частных производных
• Псевдодифференциальный оператор  - Тип дифференциального оператора
• Слабое решение  – Математическое решение

Обобщения распределений

• Алгебра Коломбо  - коммутативная ассоциативная дифференциальная алгебра обобщенных функций, в которую гладкие функции (но не произвольные непрерывные) встраиваются как подалгебра, а распределения встраиваются как подпространство.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Текущее (математика)  – Распределения в пространствах дифференциальных форм.
• Распределение (теория чисел)  - функция на конечных множествах, аналогичная интегралу.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Распределение на линейной алгебраической группе  - линейная функция, удовлетворяющая условию носителя.
• Функция Грина  – Импульсный отклик неоднородного линейного дифференциального оператора
• Гиперфункция  - тип обобщенной функции.
• Теорема Мальгранжа – Эренпрайса

Примечания

1. Обратите внимание, что целое число подразумевает это. Иногда это выражается как Поскольку неравенство « » означает: если пока, если тогда это означает ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\neq \infty .}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$ ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ ${\displaystyle k=\infty ,}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
2. Образ компакта при непрерывном -значном отображении (например, для ) сам по себе является компактным и, следовательно, ограниченным подмножеством Если , то это означает, что каждая из определенных выше функций является -значной (т. е. ни одна из супремумы выше всегда равны ) . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$
3. Точно так же, как пространство определяется как векторное подпространство, состоящее из карт с поддержкой, содержащейся в наделенной топологией подпространства, от которой оно наследуется . ${\displaystyle C^{k}(K;U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$
4. Несмотря на то, что топология не метризуема, линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он секвенциально непрерывен. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
5. Нулевая последовательность — это последовательность, которая сходится к началу координат.
6. Если это также относится к обычному сравнению функций, то мы можем считать, что конечная коллекция состоит из одного элемента. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
7. Теорема о расширении отображений, определенных из подпространства S топологического векторного пространства E в само топологическое пространство E, работает и для нелинейных отображений, при условии, что они предполагаются равномерно непрерывными . Но, к сожалению, это не наш случай, мы хотели бы «продолжить» линейное непрерывное отображение А из твс Е в другой твс F, чтобы получить линейное непрерывное отображение из двойственного Е' в двойственное F' ( обратите внимание на порядок пробелов). В общем, это даже не проблема расширения, потому что (вообще) E не обязательно является подмножеством своего собственного двойственного E'. Более того, это не классическая задача топологического транспонирования, поскольку транспонирование A идет от F' к E', а не от E' к F'. Действительно, наш случай требует нового порядка идей, включающего специфические топологические свойства пространств Лорана Шварца D(U) и D'(U), а также фундаментальное понятие слабого (или Шварцева) сопряженного к линейному непрерывному оператору А.
8. Например, пусть и возьмем обычную производную для функций одной действительной переменной и предположим, что носитель содержится в конечном интервале, тогда, поскольку ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}$$
   где последнее равенство имеет место, потому что ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}$

Рекомендации

1. Treves 2006, стр. 222–223.
2. Грабб 2009, с. 14
3. Тревес 2006, стр. 85–89.
4. Treves 2006, стр. 142–149.
5. Тревес 2006, стр. 356–358.
6. Treves 2006, стр. 131–134.
7. Рудин 1991, стр. 149–181.
8. Тревес 2006, стр. 526–534.
9. Тревес 2006, с. 357.
10. См., например, Grubb 2009, стр. 14.
11. Treves 2006, стр. 245–247.
12. Trèves 2006, стр. 253–255.
13. Treves 2006, стр. 255–257.
14. Тревес 2006, стр. 264–266.
15. Рудин 1991, с. 165.
16. Trèves 2006, стр. 258–264.
17. Рудин 1991, стр. 169–170.
18. Стрихарц, Роберт (1993). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье . США. п. 17.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
19. Стрихарц 1994, §2.3; Тревес 2006.
20. Рудин 1991, с. 180.
21. Тревес 2006, стр. 247–252.
22. Treves 2006, с. 423.
23. Тревес 2006, с. 261.
24. Пер Перссон (имя пользователя: md2perpe) (27 июня 2017 г.). «Умножение двух распределений, сингулярные носители которых не пересекаются». Сеть обмена стеками.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
25. Лайонс, Т. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами». Revista Matemática Iberoamericana : 215–310. дои : 10.4171/RMI/240 .
26. Хайрер, Мартин (2014). «Теория регулярности структур». Математические изобретения . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303.5113 . Бибкод : 2014InMat.198..269H. дои : 10.1007/s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
27. См., например, Хёрмандер 1983, теорема 6.1.1.
28. См. Хёрмандер 1983, теорема 6.1.2.
29. Treves 2006, стр. 278–283.
30. Treves 2006, стр. 284–297.
31. См., например, Рудин 1991, §6.29.
32. Treves 2006, Глава 27.
33. Хёрмандер 1983, §IV.2 доказывает единственность такого расширения.
34. См., например, Гельфанд и Шилов 1966–1968, т. 1, стр. 103–104 и Бенедетто 1997, Определение 2.5.8.
35. Тревес 2006, с. 294.
36. Фолланд, Великобритания (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
37. Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ридинг, Массачусетс: Издательская компания Addison-Wesley.
38. Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
39. Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Издательство Pitman Publishing.
40. Вудворд, PM (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.
41. Тревес 2006, стр. 318–319.
42. Фридлендер, ФГ; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
43. Шварц 1951.
44. Treves 2006, стр. 416–419.
45. Тревес 2006, стр. 150–160.
46. Тревес 2006, стр. 240–252.
47. Тревес 2006, стр. 262–264.
48. Тревес 2006, с. 218.
49. Тревес 2006, стр. 300–304.
50. Рудин 1991, стр. 177–181.
51. Trèves 2006, стр. 92–94.
52. Тревес 2006, с. 160.
53. Тревес 2006, с. 531.

Библиография

• Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
• Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и его приложения , CRC Press..
• Фолланд, Великобритания (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Фридлендер, ФГ; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета..
• Гординг, Л. (1997), Некоторые моменты анализа и их история , Американское математическое общество..
• Гельфанд, И.М. ; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , вып. 1–5, Академическое издательство.
• Грабб, Г. (2009), Распределения и операторы , Springer.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 3-540-12104-8, МР  0717035.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 978-0201029857.
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей Васильевич (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Дуврские книги. ISBN 978-1-61427-304-2. ОКЛК  912495626.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Издательство Pitman Publishing..
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шварц, Лоран (1954), «Sur l'impossabilité de la multiplications desраспределения», CR Acad. наук. Париж , 239 : 847–848..
• Шварц, Лоран (1951), Теория распределения , том. 1–2, Герман.
• Соболев С.Л. (1936), "Новый метод решения задачи Коши для нормальных линейных гиперболических уравнений", Матем. Сборник , 1 : 39–72..
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-Х.
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вудворд, премьер-министр (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.

дальнейшее чтение

• Эм Джей Лайтхилл (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09128-4 (требует очень небольших знаний в области анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами) 
• В.С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0 
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенная функция», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенные функции, пространство», Энциклопедия Математики , EMS Press.
• Владимиров, В.С. (2001) [1994], «Обобщенная функция, производная от а», Энциклопедия математики , EMS Press.
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенные функции, произведение», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Обергуггенбергер, Майкл (2001) [1994], «Обобщенные функциональные алгебры», Энциклопедия математики , EMS Press.