В математике обобщенные функции — это объекты, расширяющие понятие функций над действительными или комплексными числами. Существует более одной признанной теории, например теория распределений . Обобщенные функции особенно полезны для рассмотрения разрывных функций, которые больше похожи на гладкие функции , и для описания дискретных физических явлений, таких как точечные заряды . Они широко применяются, особенно в физике и технике . Важными мотивами были технические требования теорий уравнений в частных производных и представлений групп .
Общей чертой некоторых подходов является то, что они основаны на операторных аспектах повседневных числовых функций. Ранняя история связана с некоторыми идеями операционного исчисления , а некоторые современные разработки тесно связаны с алгебраическим анализом Микио Сато .
В математике девятнадцатого века появились аспекты обобщенной теории функций, например, в определении функции Грина , в преобразовании Лапласа и в теории тригонометрических рядов Римана , которые не обязательно были рядом Фурье интегрируемой функции. функция . В то время это были разрозненные аспекты математического анализа .
Интенсивное использование преобразования Лапласа в технике привело к эвристическому использованию символических методов, называемых операционным исчислением . Поскольку приводились обоснования использования расходящихся рядов , эти методы были сомнительны с точки зрения чистой математики . Они типичны для более позднего применения методов обобщенных функций. Влиятельной книгой по операционному исчислению стала « Электромагнитная теория » Оливера Хевисайда 1899 года.
Когда был введен интеграл Лебега , впервые появилось понятие обобщенной функции, занимающее центральное место в математике. Интегрируемая функция в теории Лебега эквивалентна любой другой, одинаковой почти всюду . Это означает, что его значение в каждой точке (в некотором смысле) не является его самой важной особенностью. В функциональном анализе дается четкая формулировка существенного признака интегрируемой функции, а именно способа определения ею линейного функционала от других функций. Это позволяет определить слабую производную .
В конце 1920-х и 1930-х годах были предприняты дальнейшие основные шаги. Дельта-функция Дирака была смело определена Полем Дираком (аспект его научного формализма ); это означало, что меры , рассматриваемые как плотности (например, плотность заряда ), рассматривались как настоящие функции. Сергей Соболев , работая в области теории уравнений в частных производных , разработал первую строгую теорию обобщенных функций, чтобы определить слабые решения уравнений в частных производных (т.е. решения, которые являются обобщенными функциями, но не могут быть обычными функциями). [1] Другими предложенными в то время схожими теориями были Саломон Бохнер и Курт Фридрихс . Работу Соболева продолжил Лоран Шварц . [2]
Наиболее значительным развитием стала теория распределений , разработанная Лораном Шварцем , систематически разрабатывавшим принцип двойственности топологических векторных пространств . Ее главным конкурентом в прикладной математике является теория смягчения , которая использует последовательности гладких аппроксимаций ( объяснение Джеймса Лайтхилла ). [3]
Эта теория оказалась очень успешной и до сих пор широко используется, но страдает тем главным недостатком, что распределения обычно нельзя умножать: в отличие от большинства классических функциональных пространств , они не образуют алгебру . Например, бессмысленно возводить в квадрат дельта-функцию Дирака . Работа Шварца примерно в 1954 году показала, что это внутренняя трудность.
Были предложены некоторые решения проблемы умножения. Один основан на простом определении Ю. В. Егоров [4] (см. также его статью в книге Демидова в списке книг ниже), допускающую произвольные операции над обобщенными функциями и между ними.
Другое решение, допускающее умножение, предлагается формулировкой квантовой механики с использованием интеграла по путям . Поскольку это должно быть эквивалентно теории квантовой механики Шредингера , которая инвариантна относительно преобразований координат, это свойство должно быть общим для интегралов по путям. Это фиксирует все произведения обобщенных функций, как показали Х. Кляйнерт и А. Червяков. [5] Результат эквивалентен тому, что можно получить из размерной регуляризации . [6]
Было предложено несколько конструкций алгебр обобщенных функций, в том числе Ю. М. Широкова [7] и Э. Розингера, Ю. Егорова и Р. Робинсона. [ нужна цитата ] В первом случае умножение определяется с некоторой регуляризацией обобщенной функции. Во втором случае алгебра строится как умножение распределений . Оба случая обсуждаются ниже.
Алгебру обобщенных функций можно построить с помощью соответствующей процедуры проектирования функции на ее гладкую и сингулярную части. Произведение обобщенных функций и выглядит как
Такое правило применимо как к пространству главных функций, так и к пространству операторов, действующих на пространстве главных функций. Достигается ассоциативность умножения; а функция Signum определена так, что ее квадрат везде равен единице (включая начало координат). Обратите внимание, что произведение особых частей не появляется в правой части ( 1 ); в частности, . Такой формализм включает в себя традиционную теорию обобщенных функций (без их произведения) как частный случай. Однако полученная алгебра некоммутативна: обобщенные функции Signum и Delta антикоммутируют. [7] Было предложено несколько применений алгебры. [8] [9]
Проблема умножения распределений , ограничение теории распределения Шварца, становится серьезной для нелинейных задач.
Сегодня используются различные подходы. Самый простой из них основан на определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров. [4] Другой подход к построению ассоциативных дифференциальных алгебр основан на Ж.-Ф. Конструкция Коломбо: см. Алгебра Коломбо . Это факторные пространства
«умеренных» по модулю «незначительных» сеток функций, где «умеренность» и «незначительность» относятся к росту по отношению к индексу семьи.
Простой пример получается с использованием полиномиальной шкалы от N , . Тогда для любой полунормированной алгебры (E,P) фактор-пространство будет
В частности, для ( E , P )=( C ,|.|) получаются обобщенные комплексные числа (Коломбо) (которые могут быть «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» и при этом допускать строгую арифметику, очень похожую на нестандартные числа). ). Для ( E , P ) = ( C∞ ( R ),{ pk } ) (где pk — верхняя грань всех производных порядка меньше или равного k на шаре радиуса k ) получается упрощенная алгебра Коломбо .
Эта алгебра «содержит» все распределения T из D' посредством инъекции
где ∗ — операция свертки , а
Это вложение неканонично в том смысле, что оно зависит от выбора мягчителя φ , который должен быть C ∞ , целочисленным и иметь все его производные в 0, обращающиеся в нуль. Чтобы получить каноническую инъекцию, набор индексов можно изменить так, чтобы он был N × D ( R ), с удобной базой фильтров на D ( R ) (функции исчезающих моментов до порядка q ).
Если ( E , P ) — (предварительный) пучок полунормированных алгебр на некотором топологическом пространстве X , то Gs ( E , P ) также будет обладать этим свойством. Это означает, что будет определено понятие ограничения , позволяющее определить носитель обобщенной функции относительно подпучка, в частности:
Поскольку преобразование Фурье (хорошо) определено для обобщенных функций с компактным носителем (покомпонентно), можно применить ту же конструкцию, что и для распределений, и определить множество волновых фронтов Ларса Хёрмандера также для обобщенных функций.
Это имеет особенно важное применение при анализе распространения особенностей .
К ним относятся: теория факторов свертки Яна Микусински , основанная на поле частных алгебр свертки , которые являются целыми областями ; и теории гиперфункций , основанные (в их первоначальной концепции) на граничных значениях аналитических функций , а теперь использующие теорию пучков .
Брюа ввел класс пробных функций , функции Шварца–Брюа , на классе локально компактных групп , выходящий за пределы многообразий , которые являются типичными областями функций . Приложения в основном относятся к теории чисел , особенно к адельным алгебраическим группам . Андре Вейль переписал на этом языке диссертацию Тейта , охарактеризовав дзета-распределение в группе идель ; а также применил ее к явной формуле L-функции .
Дальнейший путь расширения теории — это обобщенные сечения гладкого векторного расслоения . Это по паттерну Шварца, построению объектов, двойственных тестовым объектам, гладких участков связки, имеющих компактную основу . Наиболее развита теория токов Де Рама , двойственных дифференциальным формам . Они гомологичны по своей природе, так же, как дифференциальные формы порождают когомологии Де Рама . С их помощью можно сформулировать очень общую теорему Стокса .