Успокаивающий

Интеграционные ядра для сглаживания резких деталей

Смягчитель (вверху) в измерении 1. Внизу красным цветом показана функция с углом (слева) и резким скачком (справа), а синим цветом — ее смягченная версия.

В математике смягчители (также известные как приближения к тождеству ) являются особыми гладкими функциями , используемыми, например, в теории распределений для создания последовательностей гладких функций, приближающих негладкие (обобщенные) функции , посредством свертки . Интуитивно понятно, что если задана (обобщенная) функция, то ее свертывание с смягчителем «смягчает» ее, то есть ее резкие черты сглаживаются, при этом оставаясь близкими к оригиналу. ^[1]

Они также известны как успокаивающие средства Фридрихса в честь Курта Отто Фридрихса , который их ввел. ^[2]

Исторические заметки

Умягчители были введены Куртом Отто Фридрихсом в его статье (Friedrichs 1944, стр. 136–139), которая считается водоразделом в современной теории уравнений с частными производными . ^[3] Название этого математического объекта имеет любопытное происхождение, и Питер Лакс рассказывает эту историю в своем комментарии к этой статье, опубликованной в « Selecta » Фридрихса . ^[4] По его словам, в то время математик Дональд Александр Фландерс был коллегой Фридрихса; поскольку он любил консультироваться с коллегами по поводу использования английского языка, он попросил у Фландерса совета по поводу названия оператора сглаживания, который он использовал. ^[3] Фландерс был современным пуританином , которого его друзья прозвали Молл в честь Молл Фландерс в знак признания его моральных качеств: он предложил назвать новую математическую концепцию « смягчителем » в качестве каламбура, включающего как прозвище Фландерса, так и глагол «смягчать», что означает «сглаживать» в переносном смысле. ^[5]

Ранее Сергей Соболев использовал смягчающие факторы в своей эпохальной статье 1938 года ^[6] , содержащей доказательство теоремы Соболева о вложении : сам Фридрихс признал работу Соболева по смягчающим факторам, заявив: « Эти смягчающие факторы были введены Соболевым и автором... ». ^[7]

Следует отметить, что термин «смягчитель» претерпел лингвистические изменения со времени этих основополагающих работ: Фридрихс определил как « смягчитель » интегральный оператор , ядром которого является одна из функций, в настоящее время называемых смягчителями. Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определяются его ядром, название смягчитель было унаследовано самим ядром в результате общего использования.

Определение

Функция, подвергающаяся постепенному смягчению.

Современное (основанное на дистрибуции) определение

Определение 1. Пусть — гладкая функция на , и положим для . Тогда является смягчающей функцией, если она удовлетворяет следующим трем требованиям: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$

(1)   он имеет компактный носитель , ^[8]

(2)   , ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3)   , ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

где — дельта-функция Дирака , а предел следует понимать как имеющий место в пространстве распределений Шварца . Функция может также удовлетворять дополнительным условиям, представляющим интерес; ^[9] например, если она удовлетворяет ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$

(4)   для всех , ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

то это называется положительным смягчителем , и если он удовлетворяет

(5)   для некоторой бесконечно дифференцируемой функции , ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$ ${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$

тогда он называется симметричным смягчителем .

Примечания к определению Фридрихса

Примечание 1. Когда теория распределений еще не была широко известна и не использовалась, ^[10] свойство (3) выше было сформулировано следующим образом: свертка функции с заданной функцией, принадлежащей собственному гильбертову или банахову пространству, сходится при ε → 0 к этой функции: ^[11] именно это и сделал Фридрихс . ^[12] Это также проясняет, почему смягчающие факторы связаны с приближенными тождествами . ^[13] ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$

Примечание 2. Как кратко отмечено в разделе «Исторические заметки» этой записи, первоначально термин «смягчитель» определял следующий оператор свертки : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

где и — гладкая функция , удовлетворяющая первым трем условиям, указанным выше, и одному или нескольким дополнительным условиям, таким как положительность и симметричность. ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Конкретный пример

Рассмотрим функцию увеличения переменной , определяемую формулой ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$

где числовая константа обеспечивает нормализацию. Эта функция бесконечно дифференцируема, неаналитична с нулевой производной для | x | = 1 . поэтому может быть использована в качестве смягчающего фактора, как описано выше: можно видеть, что определяет положительный и симметричный смягчающий фактор . ^[15] ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x)}$

Функция в измерении один ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x)}$

Характеристики

Все свойства смягчителя связаны с его поведением при операции свертки : мы перечислим следующие свойства, доказательства которых можно найти в любом тексте по теории распределений . ^[16]

Сглаживающее свойство

Для любого распределения следующее семейство сверток, индексированных действительным числом ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

где обозначает свертку , — семейство гладких функций . ${\displaystyle \ast }$

Приближение идентичности

Для любого распределения следующее семейство сверток, индексированных действительным числом, сходится к ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Поддержка свертки

Для любого распределения , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }}$,

где указывает на поддержку в смысле распределений, а указывает на их дополнение Минковского . ${\displaystyle \operatorname {supp} }$ ${\displaystyle +}$

Приложения

Основное применение смягчителей — доказательство того, что свойства, справедливые для гладких функций , справедливы и в негладких ситуациях.

Продукт распределений

В некоторых теориях обобщенных функций смягчители используются для определения умножения распределений . При наличии двух распределений и предел произведения гладкой функции, полученной из одного операнда посредством смягчения, с другим операндом определяет, когда он существует, их произведение в различных теориях обобщенных функций : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S\cdot T:=\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }}$.

Теоремы «Слабые=Сильные»

Успокоители используются для доказательства тождественности двух различных видов расширения дифференциальных операторов: сильного расширения и слабого расширения . Статья Фридрихса, в которой вводятся успокоители (Friedrichs 1944), иллюстрирует этот подход.

Функции плавного среза

Сверткой характеристической функции единичного шара с гладкой функцией (определенной как в (3) с ) получаем функцию ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$ ${\displaystyle \epsilon =1/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B_{1},1/2}(x)&=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\\&=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})\end{aligned}}}$

которая является гладкой функцией, равной на , с носителем, содержащимся в . Это можно легко увидеть, заметив, что если и то . Следовательно, для , ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$ ${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$ ${\displaystyle |x|\leq 1/2}$ ${\displaystyle |y|\leq 1/2}$ ${\displaystyle |x-y|\leq 1}$ ${\displaystyle |x|\leq 1/2}$

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Можно увидеть, как эта конструкция может быть обобщена для получения гладкой функции, идентичной единице на окрестности заданного компактного множества и равной нулю в каждой точке, расстояние которой от этого множества больше заданного . ^[17] Такая функция называется (гладкой) функцией отсечения ; они используются для устранения особенностей заданной ( обобщенной ) функции с помощью умножения . Они оставляют неизменным значение множимого на заданном множестве , но изменяют его носитель . Функции отсечения используются для построения гладких разбиений единицы . ${\displaystyle \epsilon }$

Смотрите также

• Приблизительная идентичность
• Функция удара
• Свертка
• Распределение (математика)
• Обобщенная функция
• Курт Отто Фридрихс
• Неаналитическая гладкая функция
• Сергей Соболев
• преобразование Вейерштрасса

Примечания

1. То есть смягченная функция близка к исходной относительно топологии заданного пространства обобщенных функций.
2. См. (Фридрихс 1944, стр. 136–139).
3. См. комментарий Питера Лакса к статье (Friedrichs 1944) в (Friedrichs 1986, том 1, стр. 117).
4. (Фридрихс 1986, том 1, стр. 117)
5. В (Friedrichs 1986, том 1, стр. 117) Лакс пишет: « По поводу английского языка Фридрихс любил консультироваться со своим другом и коллегой Дональдом Фландерсом, потомком пуритан и самим пуританином, с высочайшими стандартами собственного поведения, не строгим к другим. В знак признания его моральных качеств друзья называли его Моллом. Когда Фридрихс спросил, как назвать сглаживающего оператора, Фландерс заметил, что их можно назвать «смягчателем» в его честь; Фридрихс был рад, как и в других случаях, перенести эту шутку в печать » .
6. См. (Соболев 1938).
7. Фридрихс (1953, стр. 196).
8. Это выполняется, если, например, является функцией выпуклости . ${\displaystyle \varphi (x)}$
9. См. (Джусти 1984, стр. 11).
10. Как и в случае с публикацией статьи (Фридрихс, 1944), за несколько лет до этого Лоран Шварц широко распространил свою работу.
11. Очевидно, что топология с точки зрения происходящей сходимости совпадает с топологией рассматриваемого пространства Гильберта или Банаха .
12. См. (Фридрихс 1944, стр. 136–138), свойства PI , PII , PIII и их следствие PIII ₀ .
13. Также в этом отношении Фридрихс (1944, стр. 132) говорит: « Основным инструментом доказательства является определенный класс сглаживающих операторов, приближающих единицу, «успокоителей» .
14. См. (Фридрихс 1944, стр. 137), параграф 2, « Интегральные операторы ».
15. См. (Hörmander 1990, стр. 14), лемма 1.2.3.: пример сформулирован в неявной форме путем первого определения

    ${\displaystyle f(t)=\exp({-1/t})}$для , ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

    и затем, учитывая

    ${\displaystyle f(x)=f{\big (}1-|x|^{2}{\big )}=\exp {\big (}1-|x|^{2}{\big )}}$для . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

16. См., например (Хёрмандер 1990).
17. Доказательство этого факта можно найти в (Hörmander 1990, стр. 25), теорема 1.4.1.

Ссылки

• Фридрихс, Курт Отто (январь 1944 г.), «Тождество слабых и сильных расширений дифференциальных операторов», Труды Американского математического общества , 55 (1): 132–151, doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 , JSTOR  1990143, MR  0009701, Zbl  0061.26201. Первая статья, в которой были введены смягчающие средства.
• Фридрихс, Курт Отто (1953), «О дифференцируемости решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений», Сообщения по чистой и прикладной математике , VI (3): 299–326, doi :10.1002/cpa.3160060301, MR  0058828, Zbl  0051.32703, архивировано из оригинала 2013-01-05Статья, в которой исследуется дифференцируемость решений эллиптических уравнений в частных производных с использованием успокаивающих функций.
• Фридрихс, Курт Отто (1986), Моравец, Кэтлин С. (редактор), Selecta, Современные математики, Бостон- Базель - Штутгарт : Birkhäuser Verlag , стр. 427 (Том 1), стр. 608 (Том 2), ISBN 0-8176-3270-0, Збл  0613.01020. Избранные произведения Фридрихса с биографией и комментариями Дэвида Айзексона , Фрица Джона , Тосио Като , Петера Лакса , Луиса Ниренберга , Вольфгага Васова, Гарольда Вайцнера .
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций, Монографии по математике, т. 80, Базель - Бостон - Штутгарт : Birkhäuser Verlag, стр. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4, MR  0775682, Zbl  0545.49018.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 0-387-52343-X, MR  1065136, Zbl  0712.35001.
• Соболев, Сергей Л. (1938), "Sur un theorème d'analyse fonctionnelle", Recueil Mathématique (Математический сборник) (на русском и французском языках), 4 (46) (3): 471–497, Zbl  0022.14803. Статья, в которой Сергей Соболев доказал свою теорему вложения , вводя и используя интегральные операторы, очень похожие на успокаивающие, не называя их.