Формулировка интеграла по траектории

Формулировка квантовой механики

Формулировка интеграла по траектории — это описание в квантовой механике , которое обобщает принцип стационарного действия классической механики . Она заменяет классическое понятие единственной, уникальной классической траектории для системы суммой или функциональным интегралом по бесконечности возможных с точки зрения квантовой механики траекторий для вычисления квантовой амплитуды .

Эта формулировка оказалась решающей для последующего развития теоретической физики , поскольку явная лоренц-ковариантность (временные и пространственные компоненты величин входят в уравнения одинаково) достигается легче, чем в операторном формализме канонического квантования . В отличие от предыдущих методов, интеграл по траектории позволяет легко изменять координаты между очень разными каноническими описаниями одной и той же квантовой системы. Другое преимущество состоит в том, что на практике легче угадать правильную форму лагранжиана теории , которая естественным образом входит в интегралы по траектории (для взаимодействий определенного типа это координатное пространство или интегралы по траектории Фейнмана ), чем гамильтониан . Возможные недостатки подхода включают то, что унитарность (это связано с сохранением вероятности; вероятности всех физически возможных результатов должны в сумме давать единицу) S-матрицы неясна в формулировке. Подход с использованием интеграла по траектории оказался эквивалентным другим формализмам квантовой механики и квантовой теории поля. Таким образом, выводя один из подходов из другого, проблемы, связанные с одним или другим подходом (например, с ковариантностью Лоренца или унитарностью), исчезают. ^[1]

Интеграл по траектории также связывает квантовые и стохастические процессы, и это послужило основой для великого синтеза 1970-х годов, который объединил квантовую теорию поля со статистической теорией поля флуктуирующего поля вблизи фазового перехода второго рода . Уравнение Шредингера представляет собой уравнение диффузии с мнимой константой диффузии, а интеграл по траектории является аналитическим продолжением метода суммирования всех возможных случайных блужданий . ^[2]

Интеграл по траектории оказал влияние на широкий спектр наук, включая физику полимеров , квантовую теорию поля, теорию струн и космологию . В физике он является основой для решеточной калибровочной теории и квантовой хромодинамики . ^[3] Его называют «самой мощной формулой в физике», ^[4] а Стивен Вольфрам также объявил его «фундаментальной математической конструкцией современной квантовой механики и квантовой теории поля». ^[5]

Основная идея формулировки интеграла по траектории восходит к Норберту Винеру , который ввел интеграл Винера для решения задач диффузии и броуновского движения . ^[6] Эта идея была распространена на использование лагранжиана в квантовой механике Полем Дираком , чья статья 1933 года дала начало формулировке интеграла по траектории. ^{[7] [8] [9] [3]} Полный метод был разработан в 1948 году Ричардом Фейнманом . ^[10] Некоторые предварительные положения были разработаны ранее в его докторской работе под руководством Джона Арчибальда Уиллера . Первоначальная мотивация исходила из желания получить квантово-механическую формулировку для теории поглотителя Уилера–Фейнмана, используя лагранжиан (а не гамильтониан ) в качестве отправной точки.

Это пять из бесконечного множества путей, доступных частице для перемещения из точки A в момент времени t в точку B в момент времени t'(>t).

Принцип квантового действия

В квантовой механике, как и в классической механике, гамильтониан является генератором временных трансляций. Это означает, что состояние в немного более позднее время отличается от состояния в текущий момент времени результатом действия оператора гамильтониана (умноженного на отрицательную мнимую единицу , − i ). Для состояний с определенной энергией это утверждение соотношения де Бройля между частотой и энергией, и общее соотношение согласуется с этим плюс принцип суперпозиции .

Гамильтониан в классической механике выводится из лагранжиана , который является более фундаментальной величиной в контексте специальной теории относительности . Гамильтониан указывает, как двигаться вперед во времени, но время различно в разных системах отсчета . Лагранжиан — это скаляр Лоренца , в то время как гамильтониан — это временная компонента четырехвектора . Таким образом, гамильтониан различен в разных системах отсчета, и этот тип симметрии не очевиден в исходной формулировке квантовой механики.

Гамильтониан является функцией положения и импульса в один момент времени, и он определяет положение и импульс немного позже. Лагранжиан является функцией положения сейчас и положения немного позже (или, что эквивалентно для бесконечно малых временных разделений, это функция положения и скорости). Связь между ними осуществляется посредством преобразования Лежандра , а условие, определяющее классические уравнения движения ( уравнения Эйлера–Лагранжа ), заключается в том, что действие имеет экстремум.

В квантовой механике преобразование Лежандра трудно интерпретировать, поскольку движение не происходит по определенной траектории. В классической механике с дискретизацией по времени преобразование Лежандра становится

${\displaystyle \varepsilon H=p(t){\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L}$

и

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},}$

где частная производная по сохраняет q ( t + ε ) фиксированным. Обратное преобразование Лежандра равно ${\displaystyle {\dot {q}}}$

${\displaystyle \varepsilon L=\varepsilon p{\dot {q}}-\varepsilon H,}$

где

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

и частная производная теперь относится к p при фиксированном q .

В квантовой механике состояние представляет собой суперпозицию различных состояний с различными значениями q или различными значениями p , а величины p и q можно интерпретировать как некоммутирующие операторы. Оператор p определен только в состояниях, которые неопределенны относительно q . Поэтому рассмотрим два состояния, разделенные во времени, и подействуем оператором, соответствующим лагранжиану:

${\displaystyle e^{i{\big [}p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon H(p,q){\big ]}}.}$

Если умножения, подразумеваемые в этой формуле, интерпретировать как умножения матриц , то первый множитель будет равен

${\displaystyle e^{-ipq(t)},}$

и если это также интерпретировать как умножение матриц, сумма по всем состояниям интегрируется по всем q ( t ) , и поэтому требуется преобразование Фурье в q ( t ) для изменения базиса на p ( t ) . Это действие в гильбертовом пространстве — изменение базиса на p в момент времени t .

Далее следует

${\displaystyle e^{-i\varepsilon H(p,q)},}$

или эволюционировать на бесконечно малое время в будущее .

Наконец, последний фактор в этой интерпретации —

${\displaystyle e^{ipq(t+\varepsilon )},}$

что означает изменение базиса обратно на q в более позднее время .

Это не сильно отличается от обычной эволюции во времени: фактор H содержит всю динамическую информацию – он толкает состояние вперед во времени. Первая часть и последняя часть – это просто преобразования Фурье для перехода к чистому базису q из промежуточного базиса p .

Другими словами, поскольку гамильтониан естественным образом является функцией p и q , возведение этой величины в степень и изменение базиса с p на q на каждом шаге позволяет выразить матричный элемент H как простую функцию вдоль каждого пути. Эта функция является квантовым аналогом классического действия. Это наблюдение принадлежит Полу Дираку . ^[11]

Дирак далее отметил, что можно возвести в квадрат оператор временной эволюции в S- представлении:

${\displaystyle e^{i\varepsilon S},}$

и это дает оператор эволюции во времени между временем t и временем t + 2 ε . В то время как в представлении H величина, которая суммируется по промежуточным состояниям, является неясным матричным элементом, в представлении S она переинтерпретируется как величина, связанная с путем. В пределе, когда берется большая степень этого оператора, реконструируется полная квантовая эволюция между двумя состояниями, ранним с фиксированным значением q (0) и более поздним с фиксированным значением q ( t ) . Результатом является сумма по путям с фазой, которая является квантовым действием.

Классический предел

Важно отметить, что Дирак определил влияние классического предела на квантовую форму принципа действия:

...мы видим, что подынтегральное выражение в (11) должно иметь вид e ^{iF / h} , где F является функцией q _T , q ₁ , q ₂ , … q _m , q _t , которая остается конечной при стремлении h к нулю. Теперь представим себе одно из промежуточных q s, скажем q _k , как непрерывно изменяющееся, в то время как другие фиксированы. Вследствие малости h мы тогда, в общем, будем иметь F / h изменяющееся чрезвычайно быстро. Это означает, что e ^{iF / h} будет периодически изменяться с очень высокой частотой около нулевого значения, в результате чего его интеграл будет практически равен нулю. Единственной важной частью в области интегрирования q _k является, таким образом, та, для которой сравнительно большое изменение q _k производит только очень малое изменение F . Эта часть является окрестностью точки, для которой F стационарна относительно малых изменений q _k . Мы можем применить этот аргумент к каждой из переменных интегрирования... и получить результат, что единственной важной частью в области интегрирования является та, для которой F является стационарной для малых вариаций во всех промежуточных q s. ... Мы видим, что F имеет для своего классического аналога ∫^т
_Т L dt , которая является просто функцией действия, которая классическая механика требует, чтобы была стационарной для малых изменений во всех промежуточных q s. Это показывает, каким образом уравнение (11) переходит в классические результаты, когда h становится чрезвычайно малым.

—  Дирак (1933), стр. 69

То есть, в пределе действия, большого по сравнению с постоянной Планка ħ – классический предел – интеграл по траектории доминируется решениями, которые находятся в окрестности стационарных точек действия. Классический путь возникает естественным образом в классическом пределе.

Интерпретация Фейнмана

Работа Дирака не давала точного рецепта для вычисления суммы по путям, и он не показал, что из этого правила можно восстановить уравнение Шредингера или канонические коммутационные соотношения . Это сделал Фейнман.

Фейнман показал, что квантовое действие Дирака для большинства интересующих нас случаев было просто равно классическому действию, соответствующим образом дискретизированному. Это означает, что классическое действие — это фаза, приобретенная квантовой эволюцией между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил восстановить всю квантовую механику из следующих постулатов:

1. Вероятность события определяется квадратом модуля комплексного числа, называемого «амплитудой вероятности» .
2. Амплитуда вероятности определяется путем сложения вкладов всех путей в конфигурационном пространстве.
3. Вклад пути пропорционален e ^{iS / ħ} , где S — действие, заданное временным интегралом Лагранжиана вдоль пути.

Чтобы найти общую амплитуду вероятности для данного процесса, затем складывают или интегрируют амплитуду 3-го постулата по пространству всех возможных путей системы между начальным и конечным состояниями, включая те, которые абсурдны по классическим стандартам. При вычислении амплитуды вероятности перехода одной частицы из одной пространственно-временной координаты в другую правильно включать пути, по которым частица описывает сложные завитушки , кривые, по которым частица вылетает в космическое пространство и возвращается обратно, и так далее. Интеграл по траектории присваивает всем этим амплитудам равный вес , но изменяющуюся фазу или аргумент комплексного числа . Вклады от путей, сильно отличающихся от классической траектории, могут быть подавлены интерференцией (см. ниже).

Фейнман показал, что эта формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике , когда гамильтониан не более чем квадратичен по импульсу. Амплитуда, вычисленная в соответствии с принципами Фейнмана, также будет подчиняться уравнению Шредингера для гамильтониана, соответствующего данному действию.

Формулировка интеграла по траектории квантовой теории поля представляет амплитуду перехода (соответствующую классической корреляционной функции ) как взвешенную сумму всех возможных историй системы от начального до конечного состояния. Диаграмма Фейнмана является графическим представлением пертурбативного вклада в амплитуду перехода.

Интеграл по траектории в квантовой механике

Вывод с временным расщеплением

Один из распространенных подходов к выводу формулы интеграла по траектории состоит в том, чтобы разделить временной интервал на небольшие части. После этого формула произведения Троттера говорит нам, что некоммутативность операторов кинетической и потенциальной энергии можно игнорировать.

Для частицы в гладком потенциале интеграл по траектории аппроксимируется зигзагообразными траекториями, которые в одном измерении являются произведением обычных интегралов. Для движения частицы из положения x _a в момент времени t _a в положение x _b в момент времени t _b временная последовательность

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

можно разделить на n + 1 меньших сегментов t _j − t _{j − 1} , где j = 1, ..., n + 1 , фиксированной продолжительности

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

Этот процесс называется квантованием времени .

Приближение для интеграла по траектории можно вычислить как пропорциональное

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

где L ( x , v ) — лагранжиан одномерной системы с рассматриваемой переменной положения x ( t ) и скоростью v = ẋ ( t ) (см. ниже), а dx _j соответствует положению на j -м временном шаге, если интеграл по времени аппроксимируется суммой n членов. ^{[nb 1]}

В пределе n → ∞ это становится функциональным интегралом , который, за исключением несущественного множителя, является непосредственно произведением амплитуд вероятностей ⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (точнее, поскольку приходится работать с непрерывным спектром, соответствующих плотностей) для нахождения квантово-механической частицы в момент t _a в начальном состоянии x _a и в момент t _b в конечном состоянии x _b .

На самом деле L — классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы,

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=T-V={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

и вышеупомянутое «зигзагообразование» соответствует появлению терминов

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

в сумме Римана, аппроксимирующей интеграл по времени, которые в конечном итоге интегрируются по x ₁ до x _n с мерой интегрирования dx ₁ ... dx _n , x̃ _j — произвольное значение интервала, соответствующего j , например, его центр, ⁠хj + хj _−1​​/2⁠ .

Таким образом, в отличие от классической механики, не только стационарный путь вносит свой вклад, но фактически все виртуальные пути между начальной и конечной точкой также вносят свой вклад.

Интеграл по траектории

В терминах волновой функции в позиционном представлении формула интеграла по траектории выглядит следующим образом:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}$

где обозначает интегрирование по всем путям с и где является нормировочным множителем. Вот действие, заданное как ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

Диаграмма показывает вклад в интеграл по траектории свободной частицы для набора траекторий, в конечном итоге рисуя спираль Корню .

Свободная частица

Представление интеграла по траектории дает квантовую амплитуду перехода из точки x в точку y как интеграл по всем траекториям. Для действия свободной частицы (для простоты пусть m = 1 , ħ = 1 )

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t,}$

интеграл можно вычислить явно.

Для этого удобно начать без множителя i в экспоненте, так что большие отклонения подавляются малыми числами, а не отменой колебательных вкладов. Амплитуда (или ядро) читается как:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

Разбиение интеграла на временные отрезки:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

где D интерпретируется как конечный набор интегрирований в каждом целом кратном ε . Каждый фактор в произведении является гауссовой функцией как функцией x ( t + ε ) с центром в x ( t ) с дисперсией ε . Множественные интегралы являются повторной сверткой этой гауссовой функции G _ε с копиями самой себя в смежные моменты времени:

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

где число витков равно ⁠Т/ε⁠ . Результат легко оценить, применив преобразование Фурье к обеим частям, так что свертки станут умножениями:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

Преобразование Фурье гауссовой функции G представляет собой еще одну гауссову функцию с обратной дисперсией:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

и результат

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

Преобразование Фурье дает K , и это снова гауссово распределение с обратной дисперсией:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.}$

Константа пропорциональности на самом деле не определяется подходом с временными срезами, определяется только отношение значений для различных выборов конечных точек. Константа пропорциональности должна быть выбрана так, чтобы гарантировать, что между каждыми двумя временными срезами эволюция времени является квантово-механически единой, но более проницательный способ исправить нормализацию — рассмотреть интеграл пути как описание стохастического процесса.

Результат имеет вероятностную интерпретацию. Сумма по всем путям экспоненциального множителя может рассматриваться как сумма по каждому пути вероятности выбора этого пути. Вероятность является произведением по каждому сегменту вероятности выбора этого сегмента, так что каждый сегмент выбирается вероятностно независимо. Тот факт, что ответ представляет собой гауссово распределение, линейно распространяющееся во времени, является центральной предельной теоремой , которую можно интерпретировать как первую историческую оценку статистического интеграла пути.

Вероятностная интерпретация дает естественный выбор нормализации. Интеграл пути должен быть определен так, чтобы

${\displaystyle \int K(x-y;T)\,dy=1.}$

Это условие нормализует гауссиану и создает ядро, которое подчиняется уравнению диффузии:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Для осциллирующих интегралов по траектории, с i в числителе, временное нарезание производит свёрнутые гауссианы, как и раньше. Теперь, однако, произведение свертки является незначительно сингулярным, поскольку оно требует аккуратных ограничений для оценки осциллирующих интегралов. Чтобы сделать факторы хорошо определёнными, самый простой способ — добавить небольшую мнимую часть к приращению времени ε . Это тесно связано с вращением Вика . Затем тот же аргумент свертки, что и раньше, даёт ядро ​​распространения:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},}$

которая, при той же нормализации, что и раньше (не нормализации суммы квадратов – эта функция имеет расходящуюся норму), подчиняется свободному уравнению Шредингера:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Это означает, что любая суперпозиция K s также будет подчиняться тому же уравнению, по линейности. Определение

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

тогда ψ _t подчиняется свободному уравнению Шредингера так же, как и K :

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

Простой гармонический осциллятор

Лагранжиан для простого гармонического осциллятора равен ^[12]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Запишите его траекторию x ( t ) как классическую траекторию плюс некоторое возмущение, x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t ) и действие как S = S _c + δS . Классическую траекторию можно записать как

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

Эта траектория дает классическое действие

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

Далее разложим отклонение от классического пути в ряд Фурье и вычислим вклад в действие δS , что даст

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

Это означает, что пропагатор — это

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

для некоторой нормализации

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

Используя представление бесконечного произведения функции sinc ,

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

пропагатор можно записать как

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

Пусть T = t _f − t _i . Можно записать этот пропагатор в терминах собственных состояний энергии как

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

Используя тождества i sin ωT = ⁠1/2⁠ e ^iωT (1 − e ^{−2 iωT} ) и потому что ωT = ⁠1/2⁠ e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} ) , это равносильно

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

Можно поглотить все члены после первого e ^{− iωT /2} в R ( T ) , получив тем самым

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

Наконец, можно разложить R ( T ) по степеням e ^{− iωT} : все члены в этом разложении умножаются на множитель e ^{− iωT /2} спереди, что дает члены вида

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

Сравнение с приведенным выше расширением собственного состояния дает стандартный энергетический спектр для простого гармонического осциллятора,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

Кулоновский потенциал

Однако приближение Фейнмана с временным разрезанием не применимо для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала ⁠е ²/г⁠ в начале координат. Только после замены времени t другим параметром псевдовремени, зависящим от пути

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

сингулярность устраняется, и существует приближение с временным разрезом, которое является точно интегрируемым, поскольку его можно сделать гармоническим с помощью простого преобразования координат, как это обнаружили в 1979 году Исмаил Хакки Дуру и Хаген Кляйнерт . ^[13] Сочетание преобразования времени, зависящего от пути, и преобразования координат является важным инструментом для решения многих интегралов по путям и в общем случае называется преобразованием Дуру–Кляйнерта .

Уравнение Шредингера

Интеграл по траектории воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояния даже при наличии потенциала. Это проще всего увидеть, взяв интеграл по траектории по бесконечно малым промежуткам времени.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Поскольку временное разделение бесконечно мало, а компенсирующие колебания становятся серьезными для больших значений ẋ , интеграл по траектории имеет наибольший вес для y, близких к x . В этом случае в низшем порядке потенциальная энергия постоянна, и только вклад кинетической энергии нетривиален. (Это разделение членов кинетической и потенциальной энергии в показателе экспоненты по сути является формулой произведения Троттера .) Экспонента действия равна

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

Первый член вращает фазу ψ ( x ) локально на величину, пропорциональную потенциальной энергии. Второй член — это пропагатор свободной частицы, соответствующий i раз процессу диффузии. В низшем порядке по ε они аддитивны; в любом случае с (1) имеем:

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

Как уже упоминалось, разброс ψ является диффузным из-за свободного распространения частиц с дополнительным бесконечно малым вращением по фазе, которое медленно меняется от точки к точке от потенциала:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

и это уравнение Шредингера. Нормировка интеграла по траектории должна быть зафиксирована точно так же, как и в случае свободной частицы. Произвольный непрерывный потенциал не влияет на нормировку, хотя сингулярные потенциалы требуют осторожного обращения.

Уравнения движения

Поскольку состояния подчиняются уравнению Шредингера, интеграл по траектории должен воспроизводить уравнения движения Гейзенберга для средних значений переменных x и ẋ , но поучительно увидеть это напрямую. Прямой подход показывает, что ожидаемые значения, вычисленные из интеграла по траектории, воспроизводят обычные значения квантовой механики.

Начнем с рассмотрения интеграла по траектории с некоторым фиксированным начальным состоянием.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

Теперь x ( t ) в каждый отдельный момент времени является отдельной переменной интегрирования. Поэтому допустимо изменять переменные в интеграле путем сдвига: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t ), где ε ( t ) — это другой сдвиг в каждый момент времени, но ε (0) = ε ( T ) = 0 , поскольку конечные точки не интегрированы:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

Изменение интеграла от сдвига составляет, в первом порядке малости по ε :

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

что, интегрируя по частям по t , дает:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

Но это был всего лишь сдвиг переменных интегрирования, который не меняет значение интеграла при любом выборе ε ( t ) . Вывод состоит в том, что эта вариация первого порядка равна нулю для произвольного начального состояния и в любой произвольной точке времени:

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

это уравнение движения Гейзенберга.

Если действие содержит члены, которые умножают ẋ и x в один и тот же момент времени, то приведенные выше манипуляции являются лишь эвристическими, поскольку правила умножения для этих величин столь же некоммутативны в интеграле по траекториям, как и в операторном формализме.

Приближение стационарной фазы

Если изменение действия превышает ħ на много порядков величины, мы обычно имеем деструктивную интерференцию, отличную от близости траекторий, удовлетворяющих уравнению Эйлера–Лагранжа , которое теперь переосмысливается как условие конструктивной интерференции. Это можно показать, используя метод стационарной фазы, примененный к пропагатору. По мере уменьшения ħ экспонента в интеграле быстро осциллирует в комплексной области для любого изменения действия. Таким образом, в пределе, когда ħ стремится к нулю, только точки, где классическое действие не меняется, вносят вклад в пропагатор.

Канонические коммутационные соотношения

Формулировка интеграла по траектории не делает очевидным на первый взгляд, что величины x и p не коммутируют. В интеграле по траектории это просто переменные интегрирования, и они не имеют очевидного порядка. Фейнман обнаружил, что некоммутативность все еще присутствует. ^[14]

Чтобы увидеть это, рассмотрим простейший интеграл пути, броуновское блуждание. Это еще не квантовая механика, поэтому в интеграле пути действие не умножается на i :

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

Величина x ( t ) колеблется, а производная определяется как предел дискретной разности.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

Расстояние, которое проходит случайный блуждающий объект, пропорционально √ t , поэтому:

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

Это показывает, что случайное блуждание не дифференцируемо, поскольку отношение, определяющее производную, расходится с вероятностью единица.

Величина xẋ неоднозначна и имеет два возможных значения:

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

В элементарном исчислении эти два числа отличаются только на величину, которая стремится к 0, когда ε стремится к 0. Но в этом случае разница между ними не равна 0:

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

Позволять

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

Тогда f ( t ) — это быстро флуктуирующая статистическая величина, среднее значение которой равно 1, т.е. нормализованный «гауссовский процесс». Флуктуации такой величины можно описать статистическим лагранжианом

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

и уравнения движения для f, полученные путем экстремизации действия S , соответствующего L, просто устанавливают его равным 1. В физике такая величина «равна 1 как тождество оператора». В математике она «слабо сходится к 1». В любом случае она равна 1 в любом ожидаемом значении, или при усреднении по любому интервалу, или для всех практических целей.

Определение порядка времени как порядка оператора:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

В стохастическом исчислении это называется леммой Ито , а в физике — (евклидовыми) каноническими коммутационными соотношениями.

Для общего статистического действия аналогичный аргумент показывает, что

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

а в квантовой механике дополнительная мнимая единица в действии преобразует это в каноническое коммутационное соотношение,

${\displaystyle [x,p]=i}$

Частица в искривленном пространстве

Для частицы в искривленном пространстве кинетический член зависит от положения, и указанное выше временное нарезание не может быть применено, что является проявлением пресловутой проблемы упорядочения операторов в квантовой механике Шредингера. Однако можно решить эту проблему, преобразовав временной нарезанный интеграл траектории плоского пространства в искривленное пространство с помощью многозначного преобразования координат (неголономное отображение объясняется здесь).

Факторы теории меры

Иногда (например, для частицы, движущейся в искривленном пространстве) в функциональном интеграле также присутствуют факторы теории меры:

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

Этот фактор необходим для восстановления унитарности.

Например, если

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

то это означает, что каждый пространственный срез умножается на меру √ g . Эта мера не может быть выражена как функционал, умножающий меру D x, поскольку они принадлежат к совершенно разным классам.

Ожидаемые значения и элементы матрицы

Матричные элементы такого рода имеют вид ${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$.

Это обобщается на несколько операторов, например

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$,

и к общему математическому ожиданию

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$.

Евклидовы траекторные интегралы

В интегралах по траектории очень часто выполняется поворот Вика от реального времени к мнимому. В контексте квантовой теории поля поворот Вика изменяет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову; в результате интегралы по траектории с поворотом Вика часто называют евклидовыми интегралами по траектории.

Вращение Вика и формула Фейнмана–Каца

Если мы заменим на , оператор эволюции во времени заменится на . (Это изменение известно как поворот Вика .) Если мы повторим вывод формулы интеграла по траектории в этой настройке, мы получим ^[15] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -it}$ ${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$ ${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$,

где - евклидово действие, заданное формулой ${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$.

Обратите внимание на смену знака между этим и нормальным действием, где потенциальная энергия отрицательна. (Термин «евклидово» взят из контекста квантовой теории поля, где переход от реального времени к мнимому изменяет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову.)

Теперь вклад кинетической энергии в интеграл по траектории будет следующим:

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

где включает всю оставшуюся зависимость подынтегральной функции от пути. Этот интеграл имеет строгую математическую интерпретацию как интегрирование по мере Винера , обозначаемую . Мера Винера, построенная Норбертом Винером, дает строгую основу эйнштейновской математической модели броуновского движения . Нижний индекс указывает, что мера поддерживается на путях с . ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$

Затем мы получаем строгую версию интеграла Фейнмана по траекториям, известную как формула Фейнмана–Каца : ^[16]

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$,

где теперь удовлетворяет версии уравнения Шредингера, повернутой по Вику, ${\displaystyle \psi (x,t)}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$.

Хотя уравнение Шредингера, подвергнутое вращению Вика, не имеет прямого физического смысла, изучая его, можно извлечь интересные свойства оператора Шредингера . ^[17] ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Большая часть изучения квантовых теорий поля с точки зрения интеграла по траектории, как в математической, так и в физической литературе, проводится в евклидовой постановке, то есть после поворота Вика. В частности, существуют различные результаты, показывающие, что если можно построить евклидову теорию поля с подходящими свойствами, то можно отменить поворот Вика, чтобы восстановить физическую лоренцеву теорию. ^[18] С другой стороны, гораздо сложнее придать смысл интегралам по траектории (даже евклидовым интегралам по траектории) в квантовой теории поля, чем в квантовой механике. ^{[nb 2]}

Интеграл по траектории и функция распределения

Интеграл по траектории — это просто обобщение интеграла, приведённого выше, на все квантово-механические задачи.

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

является действием классической задачи, в которой исследуется путь, начинающийся в момент времени t = 0 и заканчивающийся в момент времени t = t _f , и обозначает меру интегрирования по всем путям. В классическом пределе, путь минимального действия доминирует над интегралом, поскольку фаза любого пути вдали от него быстро флуктуирует, а различные вклады сокращаются. ^[19] ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$

Связь со статистической механикой следует. Рассматривая только пути, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же конфигурации, выполните поворот Вика it = ħβ , т. е. сделайте время мнимым и проинтегрируйте по всем возможным конфигурациям начала-конца. Интеграл пути с поворотом Вика, описанный в предыдущем подразделе, с обычным действием, замененным его «евклидовым» аналогом, теперь напоминает функцию распределения статистической механики, определенную в каноническом ансамбле с обратной температурой, пропорциональной мнимому времени, ⁠1/Т⁠ = ⁠я к _Б т/час⁠ . Строго говоря, это статсумма для статистической теории поля .

Очевидно, что такая глубокая аналогия между квантовой механикой и статистической механикой не может зависеть от формулировки. В канонической формулировке видно, что унитарный оператор эволюции состояния задается как

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

где состояние α эволюционирует от времени t = 0. Если здесь сделать поворот Вика и найти амплитуду перехода из любого состояния обратно в то же самое состояние за (мнимое) время iβ , то это будет дано как

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

что в точности является функцией распределения статистической механики для той же системы при температуре, указанной ранее. Один из аспектов этой эквивалентности был также известен Эрвину Шрёдингеру, который заметил, что уравнение, названное в его честь, выглядит как уравнение диффузии после вращения Вика. Обратите внимание, однако, что евклидов интеграл по траектории на самом деле имеет форму классической модели статистической механики.

Квантовая теория поля

Оба подхода Шредингера и Гейзенберга к квантовой механике выделяют время и не соответствуют духу теории относительности. Например, подход Гейзенберга требует, чтобы скалярные операторы поля подчинялись коммутационному соотношению

${\displaystyle [\varphi (x),\partial _{t}\varphi (y)]=i\delta ^{3}(x-y)}$

для двух одновременных пространственных положений x и y , и это не является релятивистски инвариантной концепцией. Результаты расчета ковариантны , но симметрия не проявляется на промежуточных этапах. Если бы наивные вычисления теории поля не давали бесконечных ответов в пределе континуума , это не было бы такой большой проблемой — это был бы просто плохой выбор координат. Но отсутствие симметрии означает, что бесконечные величины должны быть отсечены, а плохие координаты делают почти невозможным отсечь теорию, не испортив симметрию. Это затрудняет извлечение физических предсказаний, которые требуют тщательной процедуры ограничения .

Проблема потерянной симметрии также появляется в классической механике, где гамильтонова формулировка также поверхностно выделяет время. Лагранжева формулировка делает релятивистскую инвариантность очевидной. Точно так же интеграл по траектории является явно релятивистским. Он воспроизводит уравнение Шредингера, уравнения движения Гейзенберга и канонические коммутационные соотношения и показывает, что они совместимы с относительностью. Он расширяет алгебру операторов типа Гейзенберга до правил произведения операторов , которые являются новыми соотношениями, которые трудно увидеть в старом формализме.

Кроме того, разный выбор канонических переменных приводит к совершенно разным на вид формулировкам одной и той же теории. Преобразования между переменными могут быть очень сложными, но интеграл по траектории превращает их в достаточно простые изменения переменных интегрирования. По этим причинам интеграл по траектории Фейнмана сделал более ранние формализмы в значительной степени устаревшими.

Цена представления интеграла по траектории заключается в том, что унитарность теории больше не является самоочевидной, но ее можно доказать, изменив переменные на некоторое каноническое представление. Сам интеграл по траектории также имеет дело с большими математическими пространствами, чем обычно, что требует более тщательной математики, не вся из которой была полностью проработана. Интеграл по траектории исторически не был принят сразу, отчасти потому, что потребовалось много лет, чтобы должным образом включить фермионы. Это потребовало от физиков изобретения совершенно нового математического объекта — переменной Грассмана — который также позволял производить естественные изменения переменных, а также допускал ограниченное квантование .

Переменные интегрирования в интеграле по траектории являются тонко некоммутирующими. Значение произведения двух операторов поля в том, что выглядит как одна и та же точка, зависит от того, как эти две точки упорядочены в пространстве и времени. Это делает некоторые наивные тождества несостоятельными .

Пропагатор

В релятивистских теориях для каждой теории существует как корпускулярное, так и полевое представление. Полевое представление — это сумма по всем полевым конфигурациям, а корпускулярное представление — это сумма по различным траекториям частиц.

Нерелятивистская формулировка традиционно дается в терминах траекторий частиц, а не полей. Там интеграл траектории в обычных переменных с фиксированными граничными условиями дает амплитуду вероятности для частицы перейти из точки x в точку y за время T :

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

Это называется пропагатором . Наложение различных значений начальной позиции x на произвольное начальное состояние ψ ₀ ( x ) создает конечное состояние:

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

Для пространственно однородной системы, где K ( x , y ) является только функцией ( x − y ) , интеграл представляет собой свертку , конечное состояние — это начальное состояние, свернутое с пропагатором:

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

Для свободной частицы массой m пропагатор можно оценить либо явно из интеграла по траектории, либо заметив, что уравнение Шредингера является уравнением диффузии во мнимом времени, а решение должно быть нормализованным гауссовым:

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

Применяя преобразование Фурье по ( x − y ), получаем еще одну гауссову функцию:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

и в p -пространстве коэффициент пропорциональности здесь постоянен во времени, как будет проверено через мгновение. Преобразование Фурье во времени, расширяющее K ( p ; T ) до нуля для отрицательных времен, дает функцию Грина, или частотно-пространственный пропагатор:

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

что является обратной величиной оператора, который аннулирует волновую функцию в уравнении Шредингера, которое не было бы правильным, если бы коэффициент пропорциональности не был постоянным в представлении p -пространства.

Бесконечно малый член в знаменателе — это малое положительное число, которое гарантирует, что обратное преобразование Фурье в E будет ненулевым только для будущих времен. Для прошлых времен контур обратного преобразования Фурье замыкается к значениям E , где нет сингулярности. Это гарантирует, что K распространяет частицу в будущее и является причиной нижнего индекса "F" в G. Бесконечно малый член можно интерпретировать как бесконечно малый поворот в сторону мнимого времени.

Также возможно переформулировать нерелятивистскую временную эволюцию в терминах пропагаторов, идущих в прошлое, поскольку уравнение Шредингера обратимо во времени. Прошлый пропагатор такой же, как и будущий пропагатор, за исключением очевидного различия, что он исчезает в будущем, а в гауссовом t заменяется на − t . В этом случае интерпретация заключается в том, что это величины для свертки конечной волновой функции, чтобы получить начальную волновую функцию:

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

Учитывая, что единственным почти идентичным изменением является знак E и ε , параметр E в функции Грина может быть либо энергией, если пути направлены в будущее, либо отрицательным значением энергии, если пути направлены в прошлое.

Для нерелятивистской теории время, измеренное вдоль пути движущейся частицы, и время, измеренное внешним наблюдателем, одинаковы. В теории относительности это уже не так. Для релятивистской теории пропагатор следует определить как сумму по всем путям, которые проходят между двумя точками за фиксированное собственное время, измеренное вдоль пути (эти пути описывают траекторию частицы в пространстве и во времени):

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha \,d\tau }.}$

Интеграл выше нетривиален для интерпретации из-за квадратного корня. К счастью, есть эвристический трюк. Сумма берется по релятивистской длине дуги пути колеблющейся величины, и, как и нерелятивистский интеграл пути, должна интерпретироваться как слегка повернутая в мнимое время. Функцию K ( x − y , τ ) можно вычислить, когда сумма берется по путям в евклидовом пространстве:

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

Это описывает сумму по всем путям длины Τ экспоненты от минус длина. Этому можно дать вероятностную интерпретацию. Сумма по всем путям является вероятностным средним по пути, построенному шаг за шагом. Общее число шагов пропорционально Τ , и каждый шаг тем менее вероятен, чем он длиннее. По центральной предельной теореме , результат многих независимых шагов является гауссовой дисперсией, пропорциональной Τ :

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

Обычное определение релятивистского пропагатора требует только амплитуды для перемещения от x до y после суммирования по всем возможным собственным временам, которые это может занять:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

где W (Τ) — весовой фактор, относительная важность путей с различным собственным временем. По симметрии переноса в собственном времени этот вес может быть только экспоненциальным фактором и может быть поглощен константой α :

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

Это представление Швингера . Взятие преобразования Фурье по переменной ( x − y ) может быть сделано для каждого значения Τ отдельно, и поскольку каждый отдельный вклад Τ является гауссовым, дает , чье преобразование Фурье является другим гауссовым с обратной шириной. Таким образом, в p -пространстве пропагатор может быть перевыражен просто:

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

что является евклидовым пропагатором для скалярной частицы. Поворот p ₀ так, чтобы он был мнимым, дает обычный релятивистский пропагатор, с точностью до множителя − i и неоднозначностью, которая будет разъяснена ниже:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

Это выражение можно интерпретировать в нерелятивистском пределе, где его удобно разбить на простейшие дроби :

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

Для состояний, где присутствует одна нерелятивистская частица, начальная волновая функция имеет распределение частот, сосредоточенное вблизи p ₀ = m . При свертке с пропагатором, что в p- пространстве просто означает умножение на пропагатор, второй член подавляется, а первый усиливается. Для частот вблизи p ₀ = m доминирующий первый член имеет вид

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

Это выражение для нерелятивистской функции Грина свободной частицы Шредингера.

Второй член также имеет нерелятивистский предел, но этот предел сосредоточен на частотах, которые являются отрицательными. Второй полюс доминирует за счет вкладов от путей, где собственное время и координатное время тикают в противоположном направлении, что означает, что второй член следует интерпретировать как античастицу. Нерелятивистский анализ показывает, что в этой форме античастица все еще имеет положительную энергию.

Правильный способ выразить это математически заключается в том, что, добавляя небольшой фактор подавления в собственном времени, предел, где t → −∞ первого члена должен исчезнуть, в то время как предел t → +∞ второго члена должен исчезнуть. В преобразовании Фурье это означает небольшой сдвиг полюса в p ₀ , так что обратное преобразование Фурье выявит небольшой фактор затухания в одном из направлений времени:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

Без этих членов вклад полюса не может быть однозначно оценен при выполнении обратного преобразования Фурье p _0. Члены могут быть перекомбинированы:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

который при факторизации дает бесконечно малые члены противоположного знака в каждом множителе. Это математически точная форма пропагатора релятивистской частицы, свободная от любых двусмысленностей. Член ε вводит малую мнимую часть в α = m ² , которая в версии Минковского является малым экспоненциальным подавлением длинных путей.

Итак, в релятивистском случае представление пропагатора в виде интеграла по траектории Фейнмана включает пути, идущие назад во времени, которые описывают античастицы. Пути, которые вносят вклад в релятивистский пропагатор, идут вперед и назад во времени, и интерпретация этого заключается в том, что амплитуда перемещения свободной частицы между двумя точками включает амплитуды флуктуации частицы в античастицу, перемещения назад во времени, а затем снова вперед.

В отличие от нерелятивистского случая, невозможно создать релятивистскую теорию локального распространения частиц без включения античастиц. Все локальные дифференциальные операторы имеют обратные, которые не равны нулю вне светового конуса, что означает, что невозможно удержать частицу от движения быстрее света. Такая частица не может иметь функцию Грина, которая не равна нулю только в будущем в релятивистски инвариантной теории.

Функционалы полей

Однако формулировка интеграла по траектории также чрезвычайно важна в прямом применении к квантовой теории поля, в которой рассматриваемые «пути» или истории являются не движениями одной частицы, а возможными временными эволюциями поля по всему пространству. Действие технически называется функционалом поля : S [ ϕ ] , где поле ϕ ( x ^μ ) само по себе является функцией пространства и времени, а квадратные скобки являются напоминанием о том, что действие зависит от всех значений поля везде, а не только от некоторого конкретного значения. Одна такая заданная функция ϕ ( x ^μ ) пространства -времени называется конфигурацией поля . В принципе, амплитуда Фейнмана интегрируется по классу всех возможных конфигураций поля.

Большая часть формального изучения КТП посвящена свойствам результирующего функционального интеграла, и было приложено много усилий (пока не совсем успешных) для того, чтобы сделать эти функциональные интегралы математически точными.

Такой функциональный интеграл чрезвычайно похож на статистическую сумму в статистической механике . Действительно, иногда ее называют статистическую сумму , и эти две вещи по сути идентичны математически, за исключением множителя i в показателе степени в постулате Фейнмана 3. Аналитическое продолжение интеграла до мнимой временной переменной (называемое вращением Вика ) делает функциональный интеграл еще более похожим на статистическую сумму, а также смягчает некоторые математические трудности работы с этими интегралами.

Ожидаемые значения

В квантовой теории поля , если действие задано функционалом S конфигураций полей (который зависит только локально от полей), то упорядоченное по времени вакуумное ожидание полиномиально ограниченного функционала F , ⟨ F ⟩ , задается выражением

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

Символ ∫ D ϕ здесь является кратким способом представления бесконечномерного интеграла по всем возможным конфигурациям поля на всем пространстве-времени. Как указано выше, неукрашенный интеграл по траектории в знаменателе обеспечивает правильную нормировку.

Как вероятность

Строго говоря, единственный вопрос, который можно задать в физике, это: Какая доля состояний, удовлетворяющих условию A, также удовлетворяет условию B ? Ответом на это является число от 0 до 1, которое можно интерпретировать как условную вероятность , записанную как P( B | A ) . В терминах интегрирования по траектории, поскольку P( B | A ) = ⁠Р( А ∩ В ) / П( А )⁠ , это означает

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

где функционал O _в [ ϕ ] является суперпозицией всех входящих состояний, которые могли бы привести к интересующим нас состояниям. В частности, это может быть состояние, соответствующее состоянию Вселенной сразу после Большого взрыва , хотя для реальных вычислений это можно упростить с помощью эвристических методов. Поскольку это выражение является частным от деления интегралов по траектории, оно естественным образом нормализуется.

Уравнения Швингера–Дайсона

Поскольку эта формулировка квантовой механики аналогична классическому принципу действия, можно было бы ожидать, что тождества, касающиеся действия в классической механике, будут иметь квантовые аналоги, выводимые из функционального интеграла. Так часто и бывает.

На языке функционального анализа уравнения Эйлера–Лагранжа можно записать как

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

(левая часть — функциональная производная ; уравнение означает, что действие стационарно при малых изменениях конфигурации поля). Квантовые аналоги этих уравнений называются уравнениями Швингера–Дайсона .

Если функциональная мера D ϕ окажется трансляционно инвариантной (мы будем предполагать это до конца статьи, хотя это не выполняется, скажем, для нелинейных сигма-моделей ), и если мы предположим, что после поворота Вика

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

который теперь становится

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

для некоторого H он стремится к нулю быстрее, чем обратная величина любого полинома при больших значениях φ , тогда мы можем интегрировать по частям (после поворота Вика, а затем обратного поворота Вика), чтобы получить следующие уравнения Швингера–Дайсона для ожидания:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

для любого полиномиально ограниченного функционала F. В обозначениях ДеВитта это выглядит как ^[20]

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

Эти уравнения являются аналогом уравнений EL на оболочке . Упорядочение по времени берется до производных по времени внутри S _{, i} .

Если J (называемое исходным полем ) является элементом двойственного пространства конфигураций полей (которое имеет по крайней мере аффинную структуру из-за предположения о трансляционной инвариантности для функциональной меры), то производящий функционал Z исходных полей определяется как

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

или

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

где

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

По сути, если рассматривать D φ e ^{i S [ φ ]} как функциональное распределение (это не следует воспринимать слишком буквально как интерпретацию квантовой теории поля , в отличие от ее аналога в статистической механике с поворотом Вика , поскольку здесь у нас есть упорядочение по времени !), то ⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n )⟩ являются его моментами , а Z — его преобразованием Фурье .

Если F является функционалом φ , то для оператора K , F [ K ] определяется как оператор, который заменяет K на φ . Например, если

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

и G является функционалом J , тогда

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Тогда из свойств функциональных интегралов

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0}$

мы получаем «главное» уравнение Швингера–Дайсона:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

или

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}$

Если функциональная мера не является трансляционно-инвариантной, ее можно выразить как произведение M [ φ ] D φ , где M — функционал, а D φ — трансляционно-инвариантная мера. Это верно, например, для нелинейных сигма-моделей, где целевое пространство диффеоморфно R ⁿ . Однако, если целевое многообразие — это некоторое топологически нетривиальное пространство, то концепция трансляции вообще не имеет смысла.

В этом случае нам пришлось бы заменить S в этом уравнении другим функционалом

${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.}$

Если разложить это уравнение в ряд Тейлора относительно J = 0, то получим полный набор уравнений Швингера–Дайсона.

Локализация

Интегралы пути обычно рассматриваются как сумма всех путей через бесконечное пространство-время. Однако в локальной квантовой теории поля мы бы ограничили все, чтобы оно находилось в пределах конечной каузально полной области, например внутри двойного светового конуса. Это дает более математически точное и физически строгое определение квантовой теории поля.

Тождества Уорда–Такахаши

А как насчет теоремы Нётер на оболочке для классического случая? Имеет ли она также квантовый аналог? Да, но с оговоркой. Функциональная мера должна быть инвариантной относительно однопараметрической группы преобразований симметрии.

Давайте просто предположим для простоты, что рассматриваемая симметрия является локальной (не локальной в смысле калибровочной симметрии , а в том смысле, что преобразованное значение поля в любой заданной точке при бесконечно малом преобразовании будет зависеть только от конфигурации поля в произвольно малой окрестности рассматриваемой точки). Давайте также предположим, что действие локально в том смысле, что оно является интегралом по пространству-времени от лагранжиана , и что

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

для некоторой функции f , где f зависит только локально от φ (и, возможно, от положения в пространстве-времени).

Если мы не предполагаем никаких специальных граничных условий, это не будет «истинной» симметрией в истинном смысле этого термина в целом, если только f = 0 или что-то в этом роде. Здесь Q — это вывод , который генерирует рассматриваемую однопараметрическую группу. У нас также могут быть антивыводы , такие как BRST и суперсимметрия .

Давайте также предположим,

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0}$

для любого полиномиально ограниченного функционала F. Это свойство называется инвариантностью меры, и в общем случае оно не выполняется. ( Подробнее см. в разделе аномалия (физика) ).

Затем,

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,}$

что подразумевает

${\displaystyle \langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }\,ds_{\mu }\right\rangle =0}$

где интеграл идет по границе. Это квантовый аналог теоремы Нётер.

Теперь предположим еще больше, что Q — локальный интеграл

${\displaystyle Q=\int d^{d}x\,q(x)}$

где

${\displaystyle q(x)[\varphi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\varphi (y)]\,}$

так что\

${\displaystyle q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,}$

где

${\displaystyle j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\varphi ]\,}$

(это предполагает, что лагранжиан зависит только от φ и его первых частных производных! Более общие лагранжианы потребовали бы модификации этого определения!). Мы не настаиваем на том, что q ( x ) является генератором симметрии (т. е. мы не настаиваем на принципе калибровки ), а только на том, что Q является таковым. И мы также предполагаем еще более сильное предположение, что функциональная мера локально инвариантна:

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,q(x)[F][\varphi ]=0.}$

Тогда мы бы имели

${\displaystyle \langle q(x)[F]\rangle +i\langle Fq(x)[S]\rangle =\langle q(x)[F]\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}$

Приведенные выше два уравнения представляют собой тождества Уорда–Такахаши.

Теперь для случая, когда f = 0 , мы можем забыть обо всех граничных условиях и предположениях о локальности. Мы бы просто имели

${\displaystyle \left\langle Q[F]\right\rangle =0.}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle \int d^{d}x\,J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}$

Предостережения

Необходимость регуляторов и перенормировки

Интегралы по траектории, как они определены здесь, требуют введения регуляторов . Изменение масштаба регулятора приводит к группе перенормировки . Фактически, перенормировка является основным препятствием для того, чтобы сделать интегралы по траектории хорошо определенными.

Заказ рецепта

Независимо от того, работаете ли вы в конфигурационном пространстве или фазовом пространстве, при приравнивании операторного формализма и формулировки интеграла по траектории требуется предписание упорядочения для разрешения неоднозначности в соответствии между некоммутативными операторами и коммутативными функциями, которые появляются в интегралах по траектории. Например, оператор может быть переведен обратно как , , или в зависимости от того, выбрано ли предписание упорядочения , , или Вейля; и наоборот, может быть переведен как , , или для того же соответствующего выбора предписания упорядочения. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}$ ${\displaystyle qp-{\frac {i\hbar }{2}}}$ ${\displaystyle qp+{\frac {i\hbar }{2}}}$ ${\displaystyle qp}$ ${\displaystyle {\hat {q}}{\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}{\hat {q}}}$ ${\displaystyle qp}$ ${\displaystyle {\hat {q}}{\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}{\hat {q}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}$

Интеграл по траектории в квантово-механической интерпретации

В одной из интерпретаций квантовой механики , интерпретации «суммы по историям», интеграл по траектории считается фундаментальным, а реальность рассматривается как единый неразличимый «класс» путей, которые все разделяют одни и те же события. ^[21] Для этой интерпретации крайне важно понимать, что именно представляет собой событие. Метод суммы по историям дает идентичные результаты канонической квантовой механике, и Синха и Соркин ^[22] утверждают, что интерпретация объясняет парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена, не прибегая к нелокальности .

Некоторые ^{[ кто? ]} сторонники интерпретаций квантовой механики, подчеркивающих декогеренцию , попытались сделать более строгой идею извлечения классической «грубозернистой» истории из пространства всех возможных историй.

Квантовая гравитация

В то время как в квантовой механике формулировка интеграла по траектории полностью эквивалентна другим формулировкам, возможно, ее можно распространить на квантовую гравитацию, что отличает ее от модели пространства Гильберта . Фейнман добился определенных успехов в этом направлении, и его работа была расширена Хокингом и другими. ^[23] Подходы, использующие этот метод, включают причинно-следственные динамические триангуляции и модели спиновой пены .

Квантовое туннелирование

Квантовое туннелирование можно смоделировать, используя формирование интеграла пути для определения действия траектории через потенциальный барьер. Используя приближение ВКБ , можно определить скорость туннелирования ( Γ ) как имеющую форму

${\displaystyle \Gamma =A_{\mathrm {o} }\exp \left(-{\frac {S_{\mathrm {eff} }}{\hbar }}\right)}$

с эффективным действием S _eff и предэкспоненциальным множителем A _o . Эта форма особенно полезна в диссипативной системе , в которой системы и окружение должны моделироваться вместе. Используя уравнение Ланжевена для моделирования броуновского движения , формирование интеграла по траектории можно использовать для определения эффективного действия и предэкспоненциальной модели, чтобы увидеть влияние диссипации на туннелирование. ^[24] Из этой модели можно предсказать скорости туннелирования макроскопических систем (при конечных температурах).

Смотрите также

• Статические силы и обмен виртуальными частицами
• шахматная доска Фейнмана
• Интеграл Березина
• Пропагаторы
• Теория поглотителя Уилера–Фейнмана
• Формула Фейнмана–Каца
• Интегралы по траекториям в науке о полимерах

Замечания

1. Для упрощенного пошагового вывода вышеуказанного соотношения см. Path Integrals in Quantum Theories: A Pedagogic 1st Step.
2. Краткое описание истоков этих трудностей см. в Hall 2013, раздел 20.6.

Ссылки

1. Вайнберг 2002, Глава 9.
2. Винокур, В. М. (2015-02-27). "Dynamic Vortex Mott Transition" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-12 . Получено 2018-12-15 .
3. Hari Dass, ND (2020-03-28). «Дирак и интеграл по траектории». arXiv : 2003.12683 [physics.hist-ph].
4. Вуд, Чарли (2023-02-06). «Как наша реальность может быть суммой всех возможных реальностей». Журнал Quanta . Получено 2024-06-21 .
5. Вольфрам, Стивен (14.04.2020). «Наконец-то у нас может быть путь к фундаментальной теории физики… и это прекрасно». writings.stephenwolfram.com . Получено 21.06.2024 .
6. Чайчиан и Демичев 2001
7. Дирак 1933
8. Ван Флек 1928
9. Бернстайн, Джереми (2010-04-20). «Другой Дирак». arXiv : 1004.3578 [physics.hist-ph].
10. Фейнман 1948.
11. Дирак 1933
12. Хильке, М. «Интеграл по траектории» (PDF) . 221A Заметки к лекциям .
13. Дуру и Кляйнерт 1979, Глава 13.
14. Фейнман 1948
15. Холл 2013, Раздел 20.3.
16. Холл 2013, Теорема 20.3.
17. Саймон 1979
18. Глимм и Джаффе 1981, Глава 19.
19. Фейнман, Хиббс и Стайер, 2010, стр. 29–31.
20. Зинн-Жюстин, Жан (2009). "Интеграл по траектории". Scholarpedia . 4 (2). 8674. Bibcode : 2009SchpJ...4.8674Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8674 .
21. Pössel, Markus (2006). «Сумма по всем возможностям: формулировка квантовой теории в виде интеграла по траектории». Einstein Online . 02-1020 . Получено 16 июля 2021 г.
22. Синха и Соркин 1991
23. Гелл-Манн 1993
24. Калдейра и Леггетт 1983

Библиография

• Ахмад, Ишфак (1971). Математические интегралы в квантовой природе . Ядро. С. 189–209.
• Альбеверио, С.; Хёг-Крон, Р. и Маццукки, С. (2008). Математическая теория интегралов Фейнмана по траекториям . Конспект лекций по математике 523. Springer-Verlag. ISBN 9783540769569.
• Caldeira, AO ; Leggett, AJ (1983). «Квантовое туннелирование в диссипативной системе». Annals of Physics . 149 (2): 374–456. Bibcode :1983AnPhy.149..374C. doi :10.1016/0003-4916(83)90202-6.
• Картье, ПК ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1995). «Новый взгляд на функциональное интегрирование». Журнал математической физики . 36 (5): 2137–2340. arXiv : funct-an/9602005 . Bibcode : 1995JMP....36.2237C. doi : 10.1063/1.531039. S2CID  119581543.
• Чайчян, М.; Демичев, А.П. (2001). "Введение". Интегралы по траекториям в физике. Том 1: Стохастические процессы и квантовая механика . Тейлор и Фрэнсис. стр. 1 и далее. ISBN 978-0-7503-0801-4.
• DeWitt-Morette, C. (1972). "Фейнмановский интеграл по траекториям: определение без ограничивающей процедуры". Communications in Mathematical Physics . 28 (1): 47–67. Bibcode :1972CMaPh..28...47D. doi :10.1007/BF02099371. MR  0309456. S2CID  119669964.
• Дирак, Поль AM (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 : 64–72.
• Duru, İ. H. ; Kleinert, Hagen (1979). "Решение интеграла по траектории для атома водорода" (PDF) . Physics Letters . 84B (2): 185–188. Bibcode :1979PhLB...84..185D. doi :10.1016/0370-2693(79)90280-6 . Получено 25.11.2007 .
• Этингоф, П. (2002). «Геометрия и квантовая теория поля». MIT OpenCourseWare. Этот курс, предназначенный для математиков, представляет собой строгое введение в пертурбативную квантовую теорию поля с использованием языка функциональных интегралов.
• Фейнман, РП (2005) [1942/1948]. Браун, ЛМ (ред.). Тезис Фейнмана — Новый подход к квантовой теории. World Scientific. Bibcode :2005ftna.book.....B. doi :10.1142/5852. ISBN 978-981-256-366-8. Диссертация 1942 года. Также включает статью Дирака 1933 года и публикацию Фейнмана 1948 года.
• Фейнман, РП (1948). «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике» (PDF) . Обзоры современной физики . 20 (2): 367–387. Bibcode :1948RvMP...20..367F. doi :10.1103/RevModPhys.20.367.
• Фейнман, РП; Хиббс, А.Р. (1965). Квантовая механика и интегралы по траекториям . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-020650-2. Историческая справка, написанная самим изобретателем формулы интеграла по траекториям и одним из его учеников.
• Фейнман, RP; Хиббс, AR ; Стайер, DF (2010). Квантовая механика и интегралы по траекториям . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 29–31. ISBN 978-0-486-47722-0.
• Гелл-Манн, Мюррей (1993). "Большинство хороших вещей". В Браун, Лори М.; Ригден, Джон С. (ред.). Воспоминания Ричарда Фейнмана . Американский институт физики. ISBN 978-0883188705.
• Glimm, J. & Jaffe, A. (1981). Квантовая физика: точка зрения функционального интеграла . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90562-4.
• Гроше, Кристиан и Штайнер, Франк (1998). Справочник по интегралам по пути Фейнмана . Спрингеровские трактаты в современной физике 145. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-57135-3.
• Гроше, Кристиан (1992). «Введение в интеграл Фейнмана по траекториям». arXiv : hep-th/9302097 .
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267. Springer. Bibcode : 2013qtm..book.....H. doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. S2CID  117837329.
• Иномата, Акира; Курацудзи, Хироши; Джерри, Кристофер (1992). Интегралы по траектории и когерентные состояния SU(2) и SU(1,1) . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-0656-7.
• Janke, W.; Pelster, Axel, ред. (2008). Path Integrals — New Trends And Perspectives . Труды 9-й международной конференции. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-283-726-4.
• Джонсон, Джеральд В.; Лапидус, Мишель Л. (2002). Интеграл Фейнмана и операционное исчисление Фейнмана . Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851572-2.
• Клаудер, Джон Р. (2010). Современный подход к функциональной интеграции . Нью-Йорк: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4790-2.
• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-238-107-1.
• Маккензи, Ричард (2000). «Методы интегралов по траекториям и их применение». arXiv : quant-ph/0004090 .
• Mazzucchi, S. (2009). Математические интегралы Фейнмана по траекториям и их приложения . World Scientific. ISBN 978-981-283-690-8.
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям (2-е изд.). Сингапур: World Scientific.
• Rivers, RJ (1987). Методы интегралов по траекториям в квантовой теории поля . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-25979-8.
• Райдер, Льюис Х. (1985). Квантовая теория поля . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33859-2.Легко читаемый учебник; введение в релятивистскую квантовую теорию поля для физики элементарных частиц.
• Шульман, Л. С. (1981). Методы и применение интеграции путей . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-486-44528-1.
• Саймон, Б. (1979). Функциональная интеграция и квантовая физика . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0-8218-6941-3.
• Синха, Суканья; Соркин, Рафаэль Д. (1991). "A Sum-over-histories Account of an EPR(B) Experiment" (PDF) . Foundations of Physics Letters . 4 (4): 303–335. Bibcode :1991FoPhL...4..303S. doi :10.1007/BF00665892. S2CID  121370426.
• Томе, WA (1998). Интегралы по траекториям на групповых многообразиях . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-3355-6.Обсуждается определение интегралов по траекториям для систем, кинематические переменные которых являются генераторами действительной сепарабельной, связной группы Ли с неприводимыми, квадратично интегрируемыми представлениями.
• Van Vleck, JH (1928). «Принцип соответствия в статистической интерпретации квантовой механики». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 14 (2): 178–188. Bibcode :1928PNAS...14..178V. doi : 10.1073/pnas.14.2.178 . PMC  1085402 . PMID  16577107.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, т. 1, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Zee, A. (21.02.2010). Квантовая теория поля в двух словах (второе издание). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14034-6.Отличное введение в интегралы по траекториям (глава 1) и квантовую теорию поля в целом.
• Zinn Justin, J. (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856674-8.
• Дешмукх, ПК (2023). Формализм квантовой механики, методологии и приложения . Cambridge University Press. ISBN 978-1316512258.

Внешние ссылки

• Интеграл траектории на Scholarpedia
• Интегралы по траекториям в квантовых теориях: педагогический первый шаг
• Математически строгий подход к пертурбативным интегралам по траектории с помощью анимации на YouTube
• Бесконечные квантовые пути Фейнмана | PBS Space Time. 7 июля 2017 г. (Видео, 15:48)