сумма Римана

Техника аппроксимации в интегральном исчислении

Четыре метода аппроксимации площади под кривыми. Левый и правый методы выполняют аппроксимацию, используя правую и левую конечные точки каждого подинтервала соответственно. Верхний и нижний методы выполняют аппроксимацию, используя наибольшее и наименьшее значения конечной точки каждого подинтервала соответственно. Значения сумм сходятся по мере уменьшения подинтервалов пополам от верхнего левого угла к правому нижнему.

В математике сумма Римана — это своего рода приближение интеграла конечной суммой. Он назван в честь немецкого математика девятнадцатого века Бернхарда Римана . Одним из наиболее распространенных применений является численное интегрирование , т. е. аппроксимация площади функций или линий на графике, где это также известно как правило прямоугольника . Его также можно применять для аппроксимации длины кривых и других приближений.

Сумма рассчитывается путем разделения области на фигуры ( прямоугольники , трапеции , параболы или кубы (иногда бесконечно малые)) которые вместе образуют область, аналогичную измеряемой области, с последующим вычислением площади для каждой из этих форм и наконец, сложив все эти небольшие области вместе. Этот подход можно использовать для нахождения численного приближения для определенного интеграла , даже если фундаментальная теорема исчисления не позволяет легко найти решение в замкнутой форме .

Поскольку область с небольшими фигурами обычно не имеет точно такой же формы, как измеряемая область, сумма Римана будет отличаться от измеряемой площади. Эту ошибку можно уменьшить, разделив область более мелко, используя все меньшие и меньшие формы. По мере того как формы становятся все меньше и меньше, сумма приближается к интегралу Римана .

Определение

Пусть – функция, определенная на замкнутом интервале действительных чисел , и как разбиение , то есть ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$

Римана ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$

^[1]интегрируема по Риману ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

Виды сумм Римана

Конкретный выбор дает различные типы сумм Римана: ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

• Если для всех i метод является левым правилом ^{[2] [3]} и дает левую сумму Римана . ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$
• Если для всех i метод является правильным правилом ^{[2] [3]} и дает правую сумму Римана . ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$
• Если для всех i метод представляет собой правило средней точки ^{[2] [3]} и дает среднюю сумму Римана . ${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$
• Если (то есть супремум над ) , метод является верхним правилом и дает верхнюю сумму Римана или верхнюю сумму Дарбу . ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$
• Если (то есть нижняя грань f над ) , метод является нижним правилом и дает нижнюю сумму Римана или нижнюю сумму Дарбу . ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$

Все эти методы суммирования Римана являются одними из самых основных способов численного интегрирования . Грубо говоря, функция является интегрируемой по Риману , если все суммы Римана сходятся по мере того, как разбиение «становится все тоньше и тоньше».

Хотя это и не выводится как сумма Римана, среднее значение левой и правой сумм Римана является правилом трапеций и дает трапециевидную сумму . Это один из самых простых и общих способов аппроксимации интегралов с использованием средневзвешенных значений. За этим по сложности следуют правило Симпсона и формулы Ньютона-Котеса .

Любая сумма Римана на данном разбиении (то есть для любого выбора между и ) содержится между нижней и верхней суммами Дарбу. Это составляет основу интеграла Дарбу , который в конечном итоге эквивалентен интегралу Римана. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Методы суммирования Римана

К четырем методам суммирования Римана обычно лучше всего подходят подинтервалы одинакового размера. Таким образом, интервал [ a , b ] делится на подинтервалы, каждый из которых имеет длину ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}$$

Тогда точки в разбиении будут

$${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

Левое правило

Левая сумма Римана x ↦ x ³ по [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для левого правила функция аппроксимируется своими значениями на левых концах подинтервалов. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ) . Проделав это для i = 0, 1, ..., n − 1 и суммируя полученные площади, получим

$${\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}$$

Левая сумма Римана представляет собой завышение, если f монотонно убывает на этом интервале, и занижение, если оно монотонно возрастает . Ошибка этой формулы составит

$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$

величины ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Правильное правило

Правая сумма Римана x ↦ x ³ по [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для правого правила функция аппроксимируется своими значениями на правых концах подинтервалов. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ) . Выполнение этого для i = 1,..., n и суммирование полученных площадей дает

$${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

Правая сумма Римана приводит к занижению оценки, если f монотонно убывает , и к завышению, если она монотонно возрастает . Ошибка этой формулы составит

$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$

величины ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Правило средней точки

Средняя сумма Римана x ↦ x ³ по [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для правила средней точки функция аппроксимируется своими значениями в серединах подинтервалов. Это дает f ( a + Δ x /2) для первого подинтервала, f ( a + 3Δ x /2) для следующего и так далее до f ( b - Δ x /2) . Суммирование полученных площадей дает

$${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

Ошибка этой формулы составит

$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$

величины ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$

Обобщенное правило средней точки

Обобщенная формула правила средней точки имеет вид

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{m=1}^{M}\sum _{n=0}^{N}{\frac {\Delta x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)!}}f^{(2n)}(x_{m})}$$

или

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{M,N\to \infty }\sum _{m=1}^{M}\sum _{n=0}^{N}{\frac {\Delta x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)!}}f^{(2n)}(x_{m}),}$$

где

${\textstyle x_{m}=a+\Delta x\left(m-{\frac {1}{2}}\right)}$, , и обозначает -ю производную. ${\textstyle \Delta x={\frac {b-a}{M}}}$ ${\textstyle f^{(2n)}(x_{m})}$ ${\textstyle 2n}$

Правило трапеции

Трапециевидная сумма x ↦ x ³ по [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для правила трапеций функция аппроксимируется средним значением ее значений на левом и правом концах подинтервалов. Использование формулы площади для трапеции с параллельными сторонами b ₁ и b ₂ и высотой h и суммирование полученных площадей дает ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$

$${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

Ошибка этой формулы составит

$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$

${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f''(x)}$

Аппроксимация, полученная с помощью трапециевидной суммы для функции, аналогична среднему значению левой и правой сумм этой функции.

Связь с интеграцией

Для одномерной суммы Римана по области , когда максимальный размер подинтервала сжимается до нуля (то есть предел нормы подинтервалов стремится к нулю), у некоторых функций все суммы Римана будут сходиться к одному и тому же значению. Это предельное значение, если оно существует, определяется как определенный интеграл Римана от функции по области определения: ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

Для области конечного размера, если максимальный размер подинтервала уменьшается до нуля, это означает, что количество подинтервалов стремится к бесконечности. Для конечных разбиений суммы Римана всегда являются приближениями к предельному значению, и это приближение становится лучше по мере того, как разбиение становится тоньше. Следующие анимации помогают продемонстрировать, как увеличение количества подинтервалов (при уменьшении максимального размера подинтервала) лучше аппроксимирует «площадь» под кривой:

• 
  Левая сумма Римана
• 
  Правильная сумма Римана
• 
  Средняя сумма Римана

Поскольку здесь предполагается, что красная функция является гладкой функцией , все три суммы Римана будут сходиться к одному и тому же значению, когда количество подинтервалов стремится к бесконечности.

Пример

Сравнение правой суммы Римана с интегралом от x ↦ x ² по . ${\textstyle [0,2]}$

Например, площадь под кривой y = x ² на [0, 2] может быть процедурно вычислена с использованием метода Римана.

Интервал [0, 2] сначала делится на n подинтервалов, каждому из которых присваивается ширина ; это ширины прямоугольников Римана (далее «коробки»). Поскольку необходимо использовать правильную сумму Римана, последовательность координат x для ящиков будет равна . Следовательно, последовательность высот ящиков будет . Важным фактом является то , что и . ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$ ${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}=2}$

Площадь каждого ящика будет равна и, следовательно, n- я правая сумма Римана будет равна: ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Если рассматривать предел как n → ∞, можно сделать вывод, что аппроксимация приближается к фактическому значению площади под кривой по мере увеличения количества ящиков. Следовательно:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

Этот метод согласуется с определенным интегралом, рассчитанным более механическими способами:

$${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

Поскольку функция непрерывна и монотонно возрастает на интервале, правая сумма Римана завышает интеграл на наибольшую величину (в то время как левая сумма Римана занижает интеграл на наибольшую величину). Этот факт, интуитивно понятный из диаграмм, показывает, как характер функции определяет точность оценки интеграла. Хотя простые суммы Римана справа и слева часто менее точны, чем более сложные методы оценки интеграла, такие как правило трапеций или правило Симпсона .

Пример функции имеет легко находимую первообразную, поэтому оценка интеграла по суммам Римана является в основном академическим упражнением; однако следует помнить, что не все функции имеют первообразные, поэтому оценка их интегралов путем суммирования практически важна.

Высшие измерения

Основная идея суммы Римана состоит в том, чтобы «разбить» область определения на части, умножить «размер» каждой части на некоторое значение, которое функция принимает для этой части, и суммировать все эти произведения. Это можно обобщить, чтобы разрешить суммы Римана для функций в областях более чем одного измерения.

Хотя интуитивно процесс разделения домена легко понять, технические детали того, как можно разделить домен, становятся намного сложнее, чем в одномерном случае, и включают аспекты геометрической формы домена. ^[4]

Два измерения

В двух измерениях область можно разделить на несколько двумерных ячеек, таких что . Тогда каждую ячейку можно интерпретировать как имеющую «область», обозначенную . ^[5] Двумерная сумма Римана равна ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\textstyle A=\bigcup _{i}A_{i}}$ ${\displaystyle \Delta A_{i}}$

$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},}$$

${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}}$

Три измерения

В трех измерениях область разделена на ряд трехмерных ячеек, таких что . Тогда каждую ячейку можно интерпретировать как имеющую «объем», обозначаемый . Трехмерная сумма Римана равна ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle V=\bigcup _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$

$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$

${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}}$

Произвольное количество измерений

Суммы Римана более высокой размерности следуют аналогичной схеме. n -мерная сумма Римана — это

$${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$

nn ${\displaystyle P_{i}^{*}\in V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$

Обобщение

В высокой общности суммы Римана можно записать

$${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i}),}$$

мерой ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{i}}$

Смотрите также

• Первообразная
• Метод Эйлера и метод средней точки , родственные методы решения дифференциальных уравнений
• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана , предел сумм Римана, когда разбиение становится бесконечно точным
• Правило Симпсона — мощный численный метод, более мощный, чем основные суммы Римана или даже правило трапеций.
• Правило трапеций , численный метод, основанный на среднем значении левой и правой суммы Римана.

Рекомендации

1. Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Г.; и другие. (2005). Исчисление (4-е изд.). Уайли. п. 252.(Среди многих эквивалентных вариантов определения эта ссылка очень похожа на приведенную здесь.)
2. Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Г.; и другие. (2005). Исчисление (4-е изд.). Уайли. п. 340. На данный момент у нас есть три способа оценки интеграла с использованием суммы Римана: 1. Левое правило использует левую конечную точку каждого подинтервала. 2. Правильное правило использует правую конечную точку каждого подинтервала. 3. Правило средней точки использует среднюю точку каждого подинтервала.
3. Остеби, Арнольд; Зорн, Пол (2002). Исчисление с графической, числовой и символической точек зрения (второе изд.). п. М-33. Аппроксимирующие суммы по левому правилу, правому правилу и правилу средней точки соответствуют этому определению.
4. Своковски, Эрл В. (1979). Исчисление с аналитической геометрией (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Приндл, Вебер и Шмидт. стр. 821–822. ISBN 0-87150-268-2.
5. Остеби, Арнольд; Зорн, Пол (2002). Исчисление с графической, числовой и символической точек зрения (второе изд.). п. М-34. Мы разрежем плоскую область R на m меньших областей R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _m , возможно, разных размеров и форм. «Размером» субрегиона R _i теперь считается его площадь , обозначаемая Δ A _i .
6. Своковски, Эрл В. (1979). Исчисление с аналитической геометрией (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Приндл, Вебер и Шмидт. стр. 857–858. ISBN 0-87150-268-2.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Римана». Математический мир .
• Моделирование, показывающее сходимость сумм Римана