Теория поглотителя Уилера–Фейнмана

Интерпретация электродинамики

Теория поглотителя Уилера–Фейнмана (также называемая симметричной во времени теорией Уилера–Фейнмана ), названная в честь ее создателей, физиков Ричарда Фейнмана и Джона Арчибальда Уиллера , является теорией электродинамики, основанной на релятивистском правильном расширении действия на расстоянии электронных частиц. Теория не постулирует независимого электромагнитного поля. Вместо этого вся теория инкапсулируется лоренц-инвариантным действием траекторий частиц, определяемым как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a^{\mu }(\tau ),\,\,b^{\mu }(\tau ),\,\,\cdots }$

${\displaystyle S=-\sum _{a}m_{a}c\int {\sqrt {-da_{\mu }da^{\mu }}}+\sum _{a<b}{\frac {e_{a}e_{b}}{c}}\int \int da_{\nu }db^{\nu }\,\delta ^{4}(ab_{\mu }ab^{\mu }),}$

где . ${\displaystyle ab_{\mu }\equiv a_{\mu }-b_{\mu }}$

Теория абсорбера инвариантна относительно преобразования обращения времени , что согласуется с отсутствием какой-либо физической основы для микроскопического нарушения симметрии обращения времени. Другой ключевой принцип, вытекающий из этой интерпретации и несколько напоминающий принцип Маха и работу Гюго Тетроде , заключается в том, что элементарные частицы не являются самовзаимодействующими. Это немедленно устраняет проблему собственной энергии электрона , дающей бесконечность энергии электромагнитного поля. ^[1]

Мотивация

Уиллер и Фейнман начинают с замечания о том, что классическая теория электромагнитного поля была разработана до открытия электронов: заряд является непрерывной субстанцией в теории. Электронная частица естественным образом не вписывается в теорию: должен ли точечный заряд видеть эффект своего собственного поля? Они пересматривают фундаментальную проблему набора точечных зарядов, принимая теорию действия без поля на расстоянии, разработанную отдельно Карлом Шварцшильдом , ^[2] Хьюго Тетроде , ^[3] и Адрианом Фоккером . ^[4] В отличие от теорий мгновенного действия на расстоянии начала 1800-х годов эти теории «прямого взаимодействия» основаны на распространении взаимодействия со скоростью света . Они отличаются от классической теории поля тремя способами: 1) не постулируется независимое поле; 2) точечные заряды не действуют сами на себя; 3) уравнения симметричны во времени . Уиллер и Фейнман предлагают развить эти уравнения в релятивистски правильное обобщение электромагнетизма, основанное на ньютоновской механике. ^[5]

Проблемы с предыдущими теориями прямого взаимодействия

Работа Тетроде-Фоккера оставила нерешенными две основные проблемы. ^{[6] : 171} Во-первых, в теории не мгновенного действия на расстоянии равенство действия-противодействия законов движения Ньютона противоречит причинности. Если действие распространяется вперед во времени, реакция обязательно будет распространяться назад во времени. Во-вторых, существующие объяснения силы реакции излучения или сопротивления излучения зависели от взаимодействия ускоряющихся электронов с их собственным полем; модели прямого взаимодействия явно опускают самовзаимодействие.

Поглотитель и радиационная стойкость

Уилер и Фейнман постулируют «вселенную» всех других электронов как поглотитель излучения, чтобы преодолеть эти проблемы и расширить теории прямого взаимодействия. Вместо того, чтобы рассматривать нефизический изолированный точечный заряд, они моделируют все заряды во вселенной с однородным поглотителем в оболочке вокруг заряда. Когда заряд движется относительно поглотителя, он излучает в поглотитель, который «отталкивается», вызывая сопротивление излучению. ^[6]

Ключевой результат

Фейнман и Уилер получили свой результат очень простым и элегантным способом. Они рассмотрели все заряженные частицы (излучатели), присутствующие в нашей Вселенной, и предположили, что все они генерируют симметричные волны, обращенные во времени. Результирующее поле —

${\displaystyle E_{\text{tot}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}.}$

Затем они заметили, что если отношение

${\displaystyle E_{\text{free}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}=0}$

выполняется, то , будучи решением однородного уравнения Максвелла, может быть использовано для получения полного поля ${\displaystyle E_{\text{free}}}$

${\displaystyle E_{\text{tot}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}+\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}=\sum _{n}E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t).}$

Полное поле тогда представляет собой наблюдаемое чистое запаздывающее поле. ^{[6] : 173}

Предположение о том, что свободное поле тождественно равно нулю, является ядром идеи поглотителя. Это означает, что излучение, испускаемое каждой частицей, полностью поглощается всеми другими частицами, присутствующими во вселенной. Чтобы лучше понять этот момент, может быть полезно рассмотреть, как работает механизм поглощения в обычных материалах. В микроскопическом масштабе он является результатом суммы входящей электромагнитной волны и волн, генерируемых электронами материала, которые реагируют на внешнее возмущение. Если входящая волна поглощается, результатом является нулевое исходящее поле. В теории поглотителя, однако, используется та же концепция при наличии как запаздывающих, так и опережающих волн.

Стрела времени неоднозначность

Получающаяся волна, по-видимому, имеет предпочтительное направление времени, поскольку она соблюдает причинность. Однако это всего лишь иллюзия. Действительно, всегда можно обратить направление времени, просто поменяв метки излучатель и поглотитель . Таким образом, кажущееся предпочтительным направление времени является результатом произвольной маркировки. ^{[7] : 52} Уиллер и Фейнман утверждали, что термодинамика выбрала наблюдаемое направление; также были предложены космологические выборки. ^[8]

Требование симметрии относительно обращения времени, в общем, трудно согласовать с принципом причинности . Уравнения Максвелла и уравнения для электромагнитных волн имеют, в общем, два возможных решения: запаздывающее (отсроченное) решение и опережающее. Соответственно, любая заряженная частица генерирует волны, скажем, в момент времени и точку , которые прибудут в точку в момент (здесь — скорость света), после испускания (запаздывающее решение), и другие волны, которые прибудут в то же место в момент , до испускания (опережающее решение). Последнее, однако, нарушает принцип причинности: опережающие волны можно обнаружить до их испускания. Таким образом, опережающие решения обычно отбрасываются при интерпретации электромагнитных волн. ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle t_{1}=x_{1}/c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t_{2}=-x_{1}/c}$

В теории поглотителя заряженные частицы рассматриваются как излучатели и поглотители, а процесс испускания связан с процессом поглощения следующим образом: рассматриваются как запаздывающие волны от излучателя к поглотителю, так и опережающие волны от поглотителя к излучателю. Однако сумма этих двух приводит к каузальным волнам , хотя антикаузальные (опережающие) решения не отбрасываются априори .

Альтернативно, способ, которым Уилер/Фейнман пришли к первичному уравнению, таков: они предположили, что их лагранжиан взаимодействовал только тогда и там, где поля для отдельных частиц были разделены собственным временем, равным нулю. Так что, поскольку только безмассовые частицы распространяются от излучения до обнаружения с нулевым собственным временем разделения, этот лагранжиан автоматически требует электромагнитного взаимодействия.

Новая интерпретация затухания излучения

Одним из основных результатов теории поглотителя является элегантная и ясная интерпретация процесса электромагнитного излучения. Известно, что заряженная частица, испытывающая ускорение, излучает электромагнитные волны, т. е. теряет энергию. Таким образом, уравнение Ньютона для частицы ( ) ${\displaystyle F=ma}$ должно содержать диссипативную силу (затухающую силу), которая учитывает эту потерю энергии. В причинной интерпретации электромагнетизма Хендрик Лоренц и Макс Абрахам предположили, что такая сила, позже названная силой Абрахама–Лоренца , возникает из-за запаздывающего самовзаимодействия частицы с ее собственным полем. Однако эта первая интерпретация не является полностью удовлетворительной, поскольку приводит к расхождениям в теории и требует некоторых предположений о структуре распределения заряда частицы. Поль Дирак обобщил формулу, сделав ее релятивистски инвариантной. При этом он также предложил другую интерпретацию. Он показал, что затухающий член может быть выражен в терминах свободного поля, действующего на частицу в ее собственном положении:

${\displaystyle E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t)={\frac {E_{j}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)-E_{j}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}.}$

Однако Дирак не предложил никакого физического объяснения этой интерпретации.

Вместо этого можно получить ясное и простое объяснение в рамках теории поглотителя, исходя из простой идеи, что каждая частица не взаимодействует сама с собой. Это на самом деле противоположно первому предложению Абрахама–Лоренца. Поле, действующее на частицу в ее собственном положении (точке ), тогда равно ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}.}$

Если мы просуммируем свободный полевой член этого выражения, то получим

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}+\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}}$

и, благодаря результату Дирака,

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t).}$

Таким образом, сила затухания получается без необходимости самовзаимодействия, которое, как известно, приводит к расхождениям, а также дает физическое обоснование выражению, выведенному Дираком.

Развитие событий с момента создания оригинальной формулы

Теория гравитации

Вдохновленные махистской природой теории поглотителя Уилера-Фейнмана для электродинамики, Фред Хойл и Джайант Нарликар предложили свою собственную теорию гравитации ^{[9] [10] [8]} в контексте общей теории относительности . Эта модель все еще существует, несмотря на недавние астрономические наблюдения, которые бросили вызов теории. ^[11] Стивен Хокинг критиковал изначальную теорию Хойла-Нарликара, полагая, что опережающие волны, уходящие в бесконечность, приведут к расхождению, как это и было бы, если бы Вселенная только расширялась.

Транзакционная интерпретация квантовой механики

Снова вдохновленная теорией поглотителя Уилера–Фейнмана, транзакционная интерпретация квантовой механики (TIQM), впервые предложенная в 1986 году Джоном Г. Крамером , ^{[12] [13]} описывает квантовые взаимодействия в терминах стоячей волны, образованной запаздывающими (вперед во времени) и опережающими (назад во времени) волнами. Крамер утверждает, что она избегает философских проблем с копенгагенской интерпретацией и ролью наблюдателя и разрешает различные квантовые парадоксы, такие как квантовая нелокальность , квантовая запутанность и ретропричинность . ^{[14] [15]}

Попытка разрешения причинно-следственной связи

TC Scott и RA Moore продемонстрировали, что кажущаяся беспричинность, предполагаемая наличием продвинутых потенциалов Льенара-Вихерта, может быть устранена путем переосмысления теории только в терминах запаздывающих потенциалов, без усложнений идеи поглотителя. ^{[16] [17]} Лагранжиан , описывающий частицу ( ) под влиянием симметричного по времени потенциала, созданного другой частицей ( ), имеет вид ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

${\displaystyle L_{1}=T_{1}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{1}^{2}+(V_{A})_{1}^{2}\right),}$

где — релятивистский функционал кинетической энергии частицы , а и — соответственно запаздывающий и опережающий потенциалы Льенара–Вихерта, действующие на частицу и генерируемые частицей . Соответствующий лагранжиан для частицы имеет вид ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (V_{R})_{i}^{j}}$ ${\displaystyle (V_{A})_{i}^{j}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

${\displaystyle L_{2}=T_{2}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{2}^{1}+(V_{A})_{2}^{1}\right).}$

Первоначально было продемонстрировано с помощью компьютерной алгебры ^[18] , а затем доказано аналитически ^[19], что

${\displaystyle (V_{R})_{j}^{i}-(V_{A})_{i}^{j}}$

является полной производной по времени, т.е. расходимостью в вариационном исчислении , и, таким образом, не дает никакого вклада в уравнения Эйлера–Лагранжа . Благодаря этому результату опережающие потенциалы могут быть устранены; здесь полная производная играет ту же роль, что и свободное поле . Лагранжиан для системы N тел, таким образом,

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{N}T_{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}(V_{R})_{j}^{i}.}$

Результирующий лагранжиан симметричен относительно замены на . Для этого лагранжиан будет генерировать точно такие же уравнения движения и . Поэтому, с точки зрения внешнего наблюдателя, все является причинно-следственным. Эта формулировка отражает симметрию частица-частица с вариационным принципом, примененным к системе из N частиц в целом, и, таким образом, принципом Тетрода Маха. ^[19] Только если мы изолируем силы, действующие на конкретное тело, появляются продвинутые потенциалы. Эта переделка проблемы имеет свою цену: лагранжиан для N тел зависит от всех временных производных кривых, прослеживаемых всеми частицами, т. е. лагранжиан имеет бесконечный порядок. Однако был достигнут большой прогресс в изучении нерешенной проблемы квантования теории. ^{[20] [21] [22]} Кроме того, эта формулировка восстанавливает лагранжиан Дарвина , из которого изначально было выведено уравнение Брейта , но без диссипативных членов. ^[19] Это обеспечивает согласие с теорией и экспериментом, вплоть до сдвига Лэмба , но не включая его . Также были найдены численные решения для классической задачи. ^[23] Кроме того, Мур показал, что модель Фейнмана и Альберта Хиббса поддается методам лагранжианов более высокого, чем первый, порядка и выявил хаотические решения. ^[24] Мур и Скотт ^[16] показали, что реакция излучения может быть альтернативно выведена с использованием понятия, что в среднем чистый дипольный момент равен нулю для совокупности заряженных частиц, тем самым избегая осложнений теории поглотителя. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

Эту кажущуюся акаузальность можно рассматривать как просто кажущуюся, и вся эта проблема исчезает. Противоположной точки зрения придерживался Эйнштейн. ^{[ необходима цитата ]}

Альтернативный расчет сдвига Лэмба

Как упоминалось ранее, серьезная критика теории поглотителя заключается в том, что ее махистское предположение о том, что точечные частицы не действуют сами на себя, не допускает (бесконечных) собственных энергий и, следовательно, объяснения сдвига Лэмба в соответствии с квантовой электродинамикой (КЭД). Эд Джейнс предложил альтернативную модель, в которой сдвиг, подобный сдвигу Лэмба, обусловлен взаимодействием с другими частицами, во многом следуя тем же представлениям самой теории поглотителя Уиллера-Фейнмана. Одна простая модель заключается в расчете движения осциллятора, напрямую связанного со многими другими осцилляторами. Джейнс показал, что в классической механике легко получить как спонтанное излучение, так и поведение сдвига Лэмба. ^[25] Кроме того, альтернатива Джейнса дает решение для процесса «сложения и вычитания бесконечностей», связанного с перенормировкой . ^[26]

Эта модель приводит к тому же типу логарифма Бете (неотъемлемой части расчета сдвига Лэмба), подтверждая утверждение Джейнса о том, что две различные физические модели могут быть математически изоморфны друг другу и, следовательно, давать одинаковые результаты, что, по-видимому, также отмечалось Скоттом и Муром в вопросе причинности.

Связь с квантовой теорией поля

Эта универсальная теория поглотителя упоминается в главе под названием «Monster Minds» в автобиографической работе Фейнмана Surely You're Joking, Mr. Feynman! и во II томе Фейнмановских лекций по физике . Она привела к формулировке структуры квантовой механики, использующей в качестве отправных точек лагранжиан и действие, а не гамильтониан, а именно формулировке с использованием интегралов по траекториям Фейнмана , которая оказалась полезной в самых ранних вычислениях Фейнмана в квантовой электродинамике и квантовой теории поля в целом. Как запаздывающие, так и опережающие поля появляются соответственно как запаздывающие и опережающие пропагаторы , а также в пропагаторе Фейнмана и пропагаторе Дайсона. ^{[ необходима цитата ]} Оглядываясь назад, связь между запаздывающим и опережающим потенциалами, показанная здесь, не так уж и удивительна, учитывая тот факт, что в квантовой теории поля опережающий пропагатор может быть получен из запаздывающего пропагатора путем обмена ролями источника поля и пробной частицы (обычно в рамках ядра формализма функции Грина ). В квантовой теории поля опережающие и запаздывающие поля просто рассматриваются как математические решения уравнений Максвелла, комбинации которых определяются граничными условиями . ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

• Сила Абрахама–Лоренца
• Причинность
• Парадокс излучения заряженных частиц в гравитационном поле
• Ретропричинность
• Симметрия в физике и Т-симметрия
• Транзакционная интерпретация
• Формализм двух векторов состояний

Примечания

1. Уилер, JA; Фейнман, RP (июль 1949). «Классическая электродинамика в терминах прямого межчастичного взаимодействия». Reviews of Modern Physics . 21 (3): 425–433. Bibcode :1949RvMP...21..425W. doi : 10.1103/RevModPhys.21.425 .
2. К. Шварцшильд, Nachr. гес. Висс. Геттинген (1903) 128 132
3. Х. Тетроде, Zeitschrift für Physik 10:137, 1922.
4. А.Д. Фоккер, Zeitschrift für Physik 58:386, 1929.
5. Уилер, Джон Арчибальд; Фейнман, Ричард Филлипс (1949-07-01). «Классическая электродинамика в терминах прямого межчастичного взаимодействия». Reviews of Modern Physics . 21 (3): 425–433. Bibcode : 1949RvMP...21..425W. doi : 10.1103/RevModPhys.21.425 . ISSN  0034-6861.
6. Narlikar, JV (сентябрь 2003 г.). «Действие на расстоянии и космология: историческая перспектива». Annual Review of Astronomy and Astrophysics . 41 (1): 169–189. Bibcode : 2003ARA&A..41..169N. doi : 10.1146/annurev.astro.41.112202.151716. ISSN  0066-4146.
7. Прайс, Хью (1997). Стрела времени и точка Архимеда: новые направления в физике времени . Oxford paperbacks (1. издано как Oxford Univ. Press paperback ed.). Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-511798-1.
8. Hoyle, F.; Narlikar, JV (1995). "Cosmology and action-at-a-distance electrodynamics" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 67 (1): 113–155. Bibcode :1995RvMP...67..113H. doi :10.1103/RevModPhys.67.113. Архивировано из оригинала (PDF) 2022-11-05 . Получено 2018-11-04 .
9. F. Hoyle; JV Narlikar (1964). "Новая теория гравитации". Труды Королевского общества A. 282 ( 1389): 191–207. Bibcode : 1964RSPSA.282..191H. doi : 10.1098/rspa.1964.0227. S2CID  59402270.
10. "Космология: Математика плюс Маха равно Далёкая Гравитация". Time . 26 июня 1964. Архивировано из оригинала 13 декабря 2011. Получено 7 августа 2010 .
11. Эдвард Л. Райт. "Ошибки в моделях стационарного состояния и квазистационарного состояния" . Получено 7 августа 2010 г.
12. Крамер, Джон Г. (июль 1986 г.). «Транзакционная интерпретация квантовой механики». Reviews of Modern Physics . 58 (3): 647–688. Bibcode : 1986RvMP...58..647C. doi : 10.1103/RevModPhys.58.647.
13. Крамер, Джон Г. (февраль 1988 г.). «Обзор транзакционной интерпретации» (PDF) . Международный журнал теоретической физики . 27 (2): 227–236. Bibcode : 1988IJTP...27..227C. doi : 10.1007/BF00670751. S2CID  18588747.
14. Крамер, Джон Г. (3 апреля 2010 г.). «Квантовая запутанность, нелокальность, сообщения назад во времени» (PPT) . Домашняя страница Джона Г. Крамера . Вашингтонский университет.
15. Крамер, Джон Г. (2016). Квантовое рукопожатие: запутанность, нелокальность и транзакции . Springer Science+Business Media. ISBN 978-3319246406.
16. Мур, RA; Скотт, TC; Монаган, MB (1987). «Релятивистский многочастичный лагранжевый оператор для электромагнитных взаимодействий». Physical Review Letters . 59 (5): 525–527. Bibcode :1987PhRvL..59..525M. doi :10.1103/PhysRevLett.59.525. PMID  10035796.
17. Мур, РА; Скотт, ТС; Монаган, МБ (1988). «Модель для релятивистского многочастичного лагранжиана с электромагнитными взаимодействиями». Канадский журнал физики . 66 (3): 206–211. Bibcode : 1988CaJPh..66..206M. doi : 10.1139/p88-032.
18. Скотт, TC; Мур, RA; Монаган, MB (1989). «Разрешение электродинамики многих частиц с помощью символической манипуляции». Computer Physics Communications . 52 (2): 261–281. Bibcode : 1989CoPhC..52..261S. doi : 10.1016/0010-4655(89)90009-X.
19. Скотт, TC (1986). «Релятивистская классическая и квантово-механическая трактовка проблемы двух тел». Диссертация на степень магистра математики . Университет Ватерлоо , Канада.
20. Скотт, TC; Мур, RA (1989). «Квантование гамильтонианов из лагранжианов высокого порядка». Ядерная физика B: Дополнения к трудам . 6. Труды Международного симпозиума по симметриям пространства-времени, Мэрилендский ун-т: 455–457. Bibcode : 1989NuPhS...6..455S. doi : 10.1016/0920-5632(89)90498-2.
21. Мур, РА; Скотт, ТС (1991). «Квантование лагранжианов второго порядка: модельная проблема». Physical Review A. 44 ( 3): 1477–1484. Bibcode : 1991PhRvA..44.1477M. doi : 10.1103/PhysRevA.44.1477. PMID  9906108.
22. Мур, РА; Скотт, ТС (1992). «Квантование лагранжианов второго порядка: модель электродинамики Фоккера-Уилера-Фейнмана». Physical Review A. 46 ( 7): 3637–3645. Bibcode : 1992PhRvA..46.3637M. doi : 10.1103/PhysRevA.46.3637. PMID  9908553.
23. Мур, РА; Ци, Д.; Скотт, ТС (1992). «Причинность релятивистских многочастичных классических динамических теорий». Can. J. Phys. 70 (9): 772–781. Bibcode :1992CaJPh..70..772M. doi :10.1139/p92-122.
24. Мур, РА (1999). «Формальное квантование хаотической модельной проблемы». Канадский журнал физики . 77 (3): 221–233. Bibcode : 1999CaJPh..77..221M. doi : 10.1139/p99-020.
25. ET Jaynes, «Сдвиг Лэмба в классической механике» в «Вероятности в квантовой теории», стр. 13–15, (1996) Анализ сдвига Лэмба Джейнсом.
26. ET Jaynes, «Классическая физика вычитания» в «Вероятности в квантовой теории», стр. 15–18, (1996) Анализ Джейнса обработки бесконечностей вычисления сдвига Лэмба.

Источники

• Уилер, JA; Фейнман, RP (апрель 1945 г.). «Взаимодействие с поглотителем как механизм излучения» (PDF) . Reviews of Modern Physics . 17 (2–3): 157–181. Bibcode : 1945RvMP...17..157W. doi : 10.1103/RevModPhys.17.157.
• Уилер, JA; Фейнман, RP (июль 1949). «Классическая электродинамика в терминах прямого межчастичного взаимодействия». Reviews of Modern Physics . 21 (3): 425–433. Bibcode :1949RvMP...21..425W. doi : 10.1103/RevModPhys.21.425 .