В математике относительно компактное подпространство ( или относительно компактное подмножество , или предкомпактное подмножество ) Y топологического пространства X — это подмножество, замыкание которого компактно .
Каждое подмножество компактного топологического пространства относительно компактно (поскольку замкнутое подмножество компакта компактно). А в произвольном топологическом пространстве каждое подмножество относительно компактного множества относительно компактно.
Каждое компактное подмножество хаусдорфова пространства относительно компактно. В нехаусдорфовом пространстве, таком как конкретная точечная топология на бесконечном множестве, замыкание компактного подмножества не обязательно компактно; иными словами, компактное подмножество нехаусдорфова пространства не обязательно является относительно компактным.
Каждое компактное подмножество топологического векторного пространства (возможно, нехаусдорфового) является полным и относительно компактным.
В случае метрической топологии или, в более общем смысле , когда последовательности могут использоваться для проверки компактности, критерием относительной компактности становится то, что любая последовательность в Y имеет подпоследовательность, сходящую в X.
Некоторые основные теоремы характеризуют относительно компактные подмножества, в частности, в функциональных пространствах . Примером может служить теорема Арсела–Асколи . Другие интересные случаи связаны с равномерной интегрируемостью и концепцией нормального семейства в комплексном анализе . Теорема Малера о компактности в геометрии чисел характеризует относительно компактные подмножества в некоторых некомпактных однородных пространствах (в частности, пространствах решеток ).
В качестве контрпримера возьмем любую окрестность конкретной точки бесконечного частного точечного пространства . Сама окрестность может быть компактной, но не относительно компактной, поскольку ее замыканием является все некомпактное пространство.
Определение почти периодической функции F на концептуальном уровне связано с тем, что F является относительно компактным множеством. Это необходимо уточнить с точки зрения топологии, используемой в конкретной теории.