Лимит раздач

В математике, особенно в теории обобщенных функций , пределом последовательности распределений является распределение, к которому приближается последовательность. Расстояние, определенное количественно, до предельного распределения можно сделать сколь угодно малым, выбрав распределение, достаточно далекое вдоль последовательности. Это понятие обобщает предел последовательности функций ; предел как распределение может существовать, когда предела функций нет.

Это понятие является частью распределительного исчисления , обобщенной формы исчисления , основанной на понятии распределений, в отличие от классического исчисления, основанного на более узком понятии функций .

Определение

Учитывая последовательность распределений , ее пределом является распределение, заданное формулой ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f[\varphi ]=\lim _{i\to \infty }f_{i}[\varphi ]}$

для каждой тестовой функции при условии существования распределения. Существование предела означает, что (1) для каждого предел последовательности чисел существует и что (2) линейный функционал, определенный приведенной выше формулой, непрерывен относительно топологии в пространстве основных функций. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f_{i}[\varphi ]}$ ${\displaystyle f}$

В более общем смысле, как и в случае с функциями, можно рассматривать предел семейства распределений.

Примеры

Предел распределения все еще может существовать, хотя классический предел отсутствует. Рассмотрим, например, функцию:

${\displaystyle f_{t}(x)={t \over 1+t^{2}x^{2}}}$

Поскольку при интегрировании по частям

${\displaystyle \langle f_{t},\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{0}\arctan(tx)\phi '(x)\,dx-\int _{0}^{\infty }\arctan(tx)\phi '(x)\,dx,}$

у нас есть: . То есть предел как есть . ${\displaystyle \displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle f_{t},\phi \rangle =\langle \pi \delta _{0},\phi \rangle }$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \pi \delta _{0}}$

Обозначим предел распределения as , если он существует. Распределение определяется аналогично. ${\displaystyle f(x+i0)}$ ${\displaystyle f(x+iy)}$ ${\displaystyle y\to 0^{+}}$ ${\displaystyle f(x-i0)}$

Надо

${\displaystyle (x-i0)^{-1}-(x+i0)^{-1}=2\pi i\delta _{0}.}$

Пусть — прямоугольник положительной ориентации с целым числом N. По формуле остатка , ${\displaystyle \Gamma _{N}=[-N-1/2,N+1/2]^{2}}$

${\displaystyle I_{N}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{\Gamma _{N}}{\widehat {\phi }}(z)\pi \cot(\pi z)\,dz={2\pi i}\sum _{-N}^{N}{\widehat {\phi }}(n).}$

С другой стороны,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{R}{\widehat {\phi }}(\xi )\pi \operatorname {cot} (\pi \xi )\,d&=\int _{-R}^{R}\int _{0}^{\infty }\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi +\int _{-R}^{R}\int _{-\infty }^{0}\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi \\&=\langle \phi ,\cot(\cdot -i0)-\cot(\cdot -i0)\rangle \end{aligned}}}$

Осциллирующий интеграл

Смотрите также

• Распределение (теория чисел)

Рекомендации

• Демайи, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия.
• Хёрмандер , Ларс, Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных , Springer-Verlag