Распределение (теория чисел)

В алгебре и теории чисел распределение — это функция системы конечных множеств в абелевой группе , аналогичная интегралу: таким образом, это алгебраический аналог распределения в смысле обобщенной функции .

Оригинальные примеры распределений встречаются без названия как функции φ на Q / Z , удовлетворяющие ^[1]

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}$

Такие распределения называются обычными распределениями. ^[2] Они также встречаются в теории p -адического интегрирования в теории Ивасавы . ^[3]

Пусть ... → X _{n +1} → X _n → ... — проективная система конечных множеств с сюръекциями, индексированными натуральными числами, и пусть X — их проективный предел . Мы задаем каждому X _n дискретную топологию , так что X компактно . Пусть φ = (φ _n ) — семейство функций на X _n , принимающих значения в абелевой группе V и совместимых с проективной системой:

${\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}$

для некоторой весовой функции w . Тогда семейство φ является распределением проективной системы X .

Функция f на X является «локально постоянной» или «ступенчатой ​​функцией», если она учитывает некоторый X _n . Мы можем определить интеграл от ступенчатой ​​функции по φ как

${\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}$

Определение распространяется на более общие проективные системы, например, системы, индексированные положительными целыми числами, упорядоченными по делимости. В качестве важного частного случая рассмотрим проективную систему Z / n ‌ Z , индексированную целыми положительными числами, упорядоченными по делимости. Мы отождествляем это с системой (1/ n ) Z / Z с пределом Q / Z .

Для x в R мы обозначаем ⟨ x ⟩ дробную часть x , нормализованную до 0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1, и пусть { x } обозначаем дробную часть, нормированную до 0 < { x } ≤ 1.

Примеры

Дзета-функция Гурвица

Теорема умножения для дзета-функции Гурвица

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}$

дает отношение распределения

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}$

Следовательно, для данного s отображение является распределением на Q / Z . ${\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}$

Распределение Бернулли

Напомним, что полиномы Бернулли B _n определяются формулой

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose n-k}b_{k}x^{n-k}\ ,}$

для n ≥ 0, где bk _— числа Бернулли , с производящей функцией

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}$

Они удовлетворяют соотношению распределения

${\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}$

Таким образом, карта

${\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }$

определяется

${\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}$

является распределением. ^[4]

Циклотомные единицы

Круговые единицы удовлетворяют распределительным отношениям . Пусть a — элемент Q / Z, простой с p , и пусть g _a обозначает exp(2πi a )−1. Тогда при a ≠ 0 имеем ^[5]

${\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}$

Универсальное распространение

Рассматриваются распределения на Z со значениями в некоторой абелевой группе V и ищут «универсальное» или наиболее общее возможное распределение.

Распределения Стикельбергера

Пусть h — обычное распределение на Q / Z , принимающее значения в поле F. Пусть G ( N ) обозначает мультипликативную группу Z / N ‌ Z , и для любой функции f на G ( N ) мы расширяем f до функции на Z / N ‌ Z , принимая f равной нулю вне G ( N ). Определим элемент групповой алгебры F [ G ( N )] формулой

${\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}$

Групповые алгебры образуют проективную систему с пределом X. Тогда функции g _N образуют распределение на Q / Z со значениями в X , распределение Стикельбергера, связанное с h .

p-адические меры

Рассмотрим особый случай, когда группа значений V распределения φ на X принимает значения в локальном поле K , конечном над Qp _, или, в более общем смысле, в конечномерном p -адическом банаховом пространстве W над K со нормированием |· |. Назовем φ мерой , если |φ| ограничено на компактных открытых подмножествах X . ^[6] Пусть D — кольцо целых чисел K , а L — решетка в W , т. е. свободный D -подмодуль W , причем K ⊗ L = W. Вплоть до масштабирования можно принять меру, чтобы иметь значения в L .

Операторы Хеке и меры

Пусть D — фиксированное целое число, простое число перед p , и рассмотрим Z _D — предел системы Z / p ⁿ D. Рассмотрим любую собственную функцию оператора Гекке T ^p с собственным значением λ _p, простым с p . Опишем процедуру получения меры Z _D .

Зафиксируйте целое число N , простое с p и с D . Пусть F — D -модуль всех функций на рациональных числах со знаменателем, взаимно простым с N. Для любого простого числа l, не делящего N, определим оператор Гекке T _l формулой

${\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}$

Пусть f — собственная функция T _p с собственным значением λ _p в D . Квадратное уравнение X ²  − λ _p X  +  p  = 0 имеет корни π ₁ , π ₂ , где π ₁ является единицей и π ₂ делится на p . Определим последовательность a ₀  = 2, a ₁ = π ₁ +π ₂ =  λ _p и

${\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}$

так что

${\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}$

Рекомендации

1. Куберт и Ланг (1981) стр.1
2. Ланг (1990) стр.53
3. Мазур и Суиннертон-Дайер (1972), с. 36
4. Ланг (1990) стр.36
5. Ланг (1990) стр.157
6. Мазур и Суиннертон-Дайер (1974) стр.37

• Куберт, Дэниел С .; Ланг, Серж (1981). Модульные агрегаты . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 244. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90517-0. Збл  0492.12002.
• Ланг, Серж (1990). Циклотомные поля I и II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 121 (второе объединенное изд.). Спрингер Верлаг . ISBN 3-540-96671-4. Збл  0704.11038.
• Мазур, Б. ; Суиннертон-Дайер, П. (1974). «Арифметика кривых Вейля». Математические изобретения . 25 : 1–61. дои : 10.1007/BF01389997. Збл  0281.14016.