Теорема умножения

Идентичность, которой подчиняются многие специальные функции, связанные с гамма-функцией

В математике теорема умножения — это определенный тип тождества, которому подчиняются многие специальные функции, связанные с гамма-функцией . Для явного случая гамма-функции тождество является произведением значений; отсюда и название. Все различные отношения вытекают из одного и того же базового принципа; то есть отношение для одной специальной функции может быть выведено из отношения для других, и является просто проявлением того же тождества в разных обличьях.

Конечная характеристика

Теорема умножения имеет две общие формы. В первом случае конечное число членов добавляется или умножается, чтобы получить отношение. Во втором случае бесконечное число членов добавляется или умножается. Конечная форма обычно встречается только для гамма-функций и связанных с ними функций, для которых тождество следует из p-адического отношения над конечным полем . Например, теорема умножения для гамма-функции следует из формулы Чоулы–Сельберга , которая следует из теории комплексного умножения . Бесконечные суммы встречаются гораздо чаще и следуют из нулевых характеристических соотношений в гипергеометрическом ряду.

Ниже приведены таблицы различных проявлений теоремы умножения для конечной характеристики; соотношения характеристики ноль приведены ниже. Во всех случаях n и k являются неотрицательными целыми числами. Для особого случая n  = 2 теорему обычно называют формулой удвоения .

Гамма-функция – формула Лежандра

Формула удвоения и теорема умножения для гамма-функции являются прототипическими примерами. Формула удвоения для гамма-функции имеет вид

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Ее также называют формулой удвоения Лежандра ^[1] или соотношением Лежандра , в честь Адриена-Мари Лежандра . Теорема умножения имеет вид

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

для целых k ≥ 1, и иногда называется формулой умножения Гаусса , в честь Карла Фридриха Гаусса . Теорему умножения для гамма-функций можно понимать как частный случай, для тривиального характера Дирихле , формулы Чоулы–Сельберга .

Функция синуса

Формально аналогичные формулы удвоения справедливы для синусоидальной функции, которые являются довольно простыми следствиями тригонометрических тождеств . Здесь имеется формула удвоения

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)}$

и, в более общем смысле, для любого целого числа k , имеем

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)}$

Полигамма-функция, гармонические числа

Полигамма -функция является логарифмической производной гамма-функции, и, таким образом, теорема умножения становится аддитивной, а не мультипликативной:

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

для , и для , имеем дигамма-функцию : ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Тождества полигаммы можно использовать для получения теоремы умножения гармонических чисел .

Дзета-функция Гурвица

Ведь дзета-функция Гурвица обобщает полигамма-функцию на нецелые порядки и, таким образом, подчиняется очень похожей теореме умножения:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

где - дзета-функция Римана . Это частный случай ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

и

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

Формулы умножения для неглавных характеров могут быть заданы в виде L-функций Дирихле .

Периодическая дзета-функция

Периодическая дзета-функция ^[2] иногда определяется как

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

где Li _s ( z ) — полилогарифм . Он подчиняется формуле удвоения

${\displaystyle 2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

Таким образом, это собственный вектор оператора Бернулли с собственным значением 2 ^{1− s} . Теорема умножения имеет вид

${\displaystyle k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

Периодическая дзета-функция встречается в формуле отражения для дзета-функции Гурвица, поэтому соотношение, которому она подчиняется, и дзета-соотношение Гурвица отличаются заменой  s  → 1− s .

Полиномы Бернулли могут быть получены как предельный случай периодической дзета-функции, если взять s как целое число, и, таким образом, теорема умножения может быть выведена из вышесказанного. Аналогично, подстановка  q  = log  z приводит к теореме умножения для полилогарифма.

Полилогарифм

Формула удвоения принимает вид

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

Общая формула умножения имеет вид суммы Гаусса или дискретного преобразования Фурье :

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

Эти тождества следуют из тождеств для периодической дзета-функции, принимая  z  = log  q .

Функция Куммера

Формула удвоения для функции Куммера :

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

и, таким образом, напоминает полилогарифм, но скрученный на  i .

Полиномы Бернулли

Для многочленов Бернулли теоремы умножения были даны Йозефом Людвигом Раабе в 1851 году:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

и для полиномов Эйлера ,

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

и

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$

Полиномы Бернулли могут быть получены как частный случай дзета-функции Гурвица, и, таким образом, тождества следуют из них.

Карта Бернулли

Отображение Бернулли — это некоторая простая модель диссипативной динамической системы , описывающая эффект оператора сдвига на бесконечной строке подбрасываний монеты ( множество Кантора ). Отображение Бернулли — это односторонняя версия тесно связанного отображения Бейкера . Отображение Бернулли обобщается до k-адической версии, которая действует на бесконечных строках из k символов: это схема Бернулли . Оператор переноса, соответствующий оператору сдвига на схеме Бернулли, задается выражением ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

Возможно, неудивительно, что собственные векторы этого оператора задаются полиномами Бернулли. То есть, имеем, что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

Именно этот факт собственных значений характеризует эту систему как диссипативную: для недиссипативной динамической системы, сохраняющей меру , собственные значения оператора переноса лежат на единичной окружности. ${\displaystyle k^{-m}<1}$

Можно построить функцию, подчиняющуюся теореме умножения, из любой полностью мультипликативной функции . Пусть будет полностью мультипликативной; то есть для любых целых чисел m , n . Определим ее ряд Фурье как ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

Предполагая, что сумма сходится, так что g ( x ) существует, тогда получаем, что она подчиняется теореме умножения; то есть, что

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

То есть g ( x ) является собственной функцией оператора переноса Бернулли с собственным значением f ( k ). Теорема умножения для полиномов Бернулли затем следует как частный случай мультипликативной функции . Характеры Дирихле полностью мультипликативны и, таким образом, могут быть легко использованы для получения дополнительных тождеств этой формы. ${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$

Характеристика ноль

Теорема умножения над полем нулевой характеристики не закрывается после конечного числа членов, а требует для выражения бесконечного ряда . Примеры включают в себя функцию Бесселя : ${\displaystyle J_{\nu }(z)}$

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

где и могут быть взяты как произвольные комплексные числа. Такие тождества с нулевой характеристикой обычно следуют из одного из многих возможных тождеств гипергеометрического ряда. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu }$

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Формула дублирования Лежандра». Математический мир .
2. Апостол, Введение в аналитическую теорию чисел , Springer

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стиган, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Довер, Нью-Йорк. (Теоремы умножения перечислены по главам)
• К. Трусделл, «О теоремах сложения и умножения для специальных функций», Труды Национальной академии наук, Математика , (1950) стр. 752–757.