Полигамма-функция

Мероморфная функция

Графики полигамма-функций ψ , ψ ⁽¹⁾ , ψ ⁽²⁾ и ψ ⁽³⁾ вещественных аргументов

График полигамма-функции в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции ComplexPlot3D системы Mathematica 13.1.

В математике полигамма- функция порядка m — это мероморфная функция комплексных чисел , определяемая как ( m + 1) -я производная логарифма гамма- функции : ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\psi (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}$

Таким образом

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

выполняется, где ψ ( z ) — дигамма-функция , а Γ( z ) — гамма-функция . Они голоморфны на . Во всех неположительных целых числах эти полигамма-функции имеют полюс порядка m + 1 . Функцию ψ ⁽¹⁾ ( z ) иногда называют тригамма-функцией . ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

Интегральное представление

Когда m > 0 и Re z > 0 , полигамма-функция равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,\mathrm {d} t\\&=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\end{aligned}}}$

где – дзета-функция Гурвица . ${\displaystyle \zeta (s,q)}$

Это выражает полигамма-функцию как преобразование Лапласа(−1) ^{м +1} т ^м/1 - е ^{- т}. Из теоремы Бернштейна о монотонных функциях следует , что для m > 0 и x вещественного и неотрицательного значения (−1) ^{m +1} ψ ^{( m )} ( x ) является полностью монотонной функцией.

Установка m = 0 в приведенной выше формуле не дает интегрального представления дигамма-функции. Дигамма-функция имеет интегральное представление благодаря Гауссу, которое аналогично приведенному выше случаю m = 0 , но имеет дополнительный члене ^{- т}/т.

Рекуррентное отношение

Он удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}$

что, рассматриваемое для положительного целого аргумента, приводит к представлению суммы обратных степеней натуральных чисел:

${\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}$

для всех , где – постоянная Эйлера–Машерони . Как и лог-гамма-функция, полигамма-функции могут быть однозначно обобщены из области определения на положительные действительные числа только благодаря их рекуррентному соотношению и одному заданному значению функции, скажем, ψ ^{( m )} (1) , за исключением случая m = 0 где еще необходимо дополнительное условие строгой монотонности . Это тривиальное следствие теоремы Бора–Моллерупа для гамма-функции, где дополнительно требуется строго логарифмическая выпуклость. Случай m = 0 следует рассматривать иначе, поскольку ψ ⁽⁰⁾ не нормируема на бесконечности (сумма обратных величин не сходится). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Отношение отражения

${\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {\pi z}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos {\pi z})}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}$

где P _m — попеременно нечетный или четный полином степени | м − 1 | с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом (−1) ^m ⌈2 ^{m − 1} ⌉ . Они подчиняются уравнению рекурсии

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}$

Теорема умножения

Теорема умножения дает

${\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\ln {k}+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

для дигамма-функции .

Представление серии

Полигамма-функция имеет представление в виде ряда

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

что справедливо для целых значений m > 0 и любого комплексного z, не равного отрицательному целому числу. Это представление можно более компактно записать в терминах дзета-функции Гурвица как

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}$

Это соотношение можно, например, использовать для вычисления специальных значений ^[1]

${\displaystyle \psi ^{(2n-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|+2(2n)!\beta (2n)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|-2(2n)!\beta (2n)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n)}\left({\frac {1}{4}}\right)=-2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|+2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n)}\left({\frac {3}{4}}\right)=2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|-2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right).}$

С другой стороны, можно понимать, что дзета Гурвица обобщает полигамму до произвольного, нецелого порядка.

Для полигамма-функций может быть разрешен еще один ряд. По данным Шлёмильха ,

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}$

Это результат факторизационной теоремы Вейерштрасса . Таким образом, гамма-функция теперь может быть определена как:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}$

Теперь натуральный логарифм гамма-функции легко представить:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right).}$

Наконец, мы приходим к представлению суммирования полигамма-функции:

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} z^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}$

Где δ _{n 0} — дельта Кронекера .

Также трансцендентный Лерх

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}$

можно обозначить через полигамма-функцию

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}$

Серия Тейлора

Ряд Тейлора при z = -1 равен

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}$

который сходится для | г | < 1 . Здесь ζ – дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица. Этот ряд можно использовать для вывода ряда рациональных дзета-рядов .

Асимптотическое расширение

Эти несходящиеся ряды можно использовать для быстрого получения значения аппроксимации с определенной числовой точностью (по крайней мере) для больших аргументов:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}$

где мы выбрали B ₁ =1/2, т.е. числа Бернулли второго рода.

Неравенства

Гиперболический котангенс удовлетворяет неравенству

${\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}$

а это означает, что функция

${\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}$

неотрицательен для всех m ≥ 1 и t ≥ 0 . Отсюда следует, что преобразование Лапласа этой функции вполне монотонно. Используя приведенное выше интегральное представление, заключаем, что

${\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}$

является совершенно монотонным. Из неравенства выпуклости e ^t ≥ 1 + t следует, что

${\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}$

неотрицательен для всех m ≥ 1 и t ≥ 0 , поэтому аналогичный аргумент преобразования Лапласа дает полную монотонность

${\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}$

Следовательно , для всех m ≥ 1 и x > 0

${\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}$

Поскольку обе оценки строго положительны для , мы имеем: ${\displaystyle x>0}$

• ${\displaystyle \ln \Gamma (x)}$является строго выпуклым .
• При дигамма-функция строго монотонно возрастает и строго вогнута . ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=\psi ^{(0)}(x)}$
• Для нечетных полигамма-функции строго положительны, строго монотонно убывающие и строго выпуклые. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)},\psi ^{(3)},\psi ^{(5)},\ldots }$
• Ведь даже полигамма-функции строго отрицательны, строго монотонно возрастают и строго вогнуты. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi ^{(2)},\psi ^{(4)},\psi ^{(6)},\ldots }$

Это можно увидеть на первом графике выше.

Границы тригаммы и асимптота

Для случая тригамма-функции ( ) окончательную формулу неравенства, приведенную выше для , можно переписать как: ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle {\frac {x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}}}\leq \psi ^{(1)}(x)\leq {\frac {x+1}{x^{2}}}}$

так что для : . ${\displaystyle x\gg 1}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)\approx {\frac {1}{x}}}$

Смотрите также

• Факториал
• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Тригамма-функция
• Обобщенная полигамма-функция

Рекомендации

1. Кёлбиг, KS (1996). «Полигамма-функция psi^k(x) для x=1/4 и x=3/4». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 75 (1): 43–46. дои : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 .

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). «Раздел 6.4». Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.