Полиномиальная последовательность
Полиномы Бернулли В математике полиномы Бернулли , названные в честь Якоба Бернулли , объединяют числа Бернулли и биномиальные коэффициенты . Они используются для разложения функций в ряд и с формулой Эйлера – Маклорена .
Эти полиномы встречаются при изучении многих специальных функций и, в частности, дзета-функции Римана и дзета-функции Гурвица . Они представляют собой последовательность Аппелла (т.е. последовательность Шеффера для обычного оператора производной ). Для полиномов Бернулли количество пересечений оси x в единичном интервале не увеличивается с увеличением степени . В пределе большой степени они при соответствующем масштабировании приближаются к функциям синуса и косинуса .
Подобный набор полиномов, основанный на производящей функции, представляет собой семейство полиномов Эйлера .
Представительства Полиномы Бернулли B n могут быть определены производящей функцией . Они также допускают множество производных представлений.
Генерирующие функции Производящая функция для полиномов Бернулли равна
Производящая функция для полиномов Эйлера равна т е Икс т е т − 1 "=" ∑ н "=" 0 ∞ Б н ( Икс ) т н н ! . {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.} 2 е Икс т е т + 1 "=" ∑ н "=" 0 ∞ Э н ( Икс ) т н н ! . {\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.}
Явная формула Б н ( Икс ) "=" ∑ к "=" 0 н ( н к ) Б н − к Икс к , {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k},} Э м ( Икс ) "=" ∑ к "=" 0 м ( м к ) Э к 2 к ( Икс − 1 2 ) м − к . {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x -{\tfrac {1}{2}}\right)^{mk}.} для n ≥ 0, где B k — числа Бернулли , а E k — числа Эйлера .
Представление дифференциальным оператором Полиномы Бернулли также задаются формулой
где D = d / dx — дифференцирование по x , а дробь разлагается в формальный степенной ряд . Отсюда следует, что
см. § Интегралы ниже. Точно так же полиномы Эйлера имеют вид Б н ( Икс ) "=" Д е Д − 1 Икс н {\displaystyle B_{n}(x)={\frac {D}{e^{D}-1}}x^{n}} ∫ а Икс Б н ( ты ) д ты "=" Б н + 1 ( Икс ) − Б н + 1 ( а ) н + 1 . {\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)\,du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n +1}}.} Э н ( Икс ) "=" 2 е Д + 1 Икс н . {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}
Представление интегральным оператором Полиномы Бернулли также являются уникальными полиномами, определяемыми формулой ∫ Икс Икс + 1 Б н ( ты ) д ты "=" Икс н . {\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (u) \, du = x ^ {n}.}
Интегральное преобразование
полиномов f просто равно:
Это можно использовать для получения приведенных ниже формул обращения. ( Т ж ) ( Икс ) "=" ∫ Икс Икс + 1 ж ( ты ) д ты {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du} ( Т ж ) ( Икс ) "=" е Д − 1 Д ж ( Икс ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ Д н ( н + 1 ) ! ж ( Икс ) "=" ж ( Икс ) + ж ' ( Икс ) 2 + ж ″ ( Икс ) 6 + ж ‴ ( Икс ) 24 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty } D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6 }+{f'''(x) \более 24}+\cdots .\end{aligned}}}
Интегральная рекуррентность В [1] [2] выведено и доказано, что полиномы Бернулли можно получить с помощью следующей интегральной рекуррентности Б м ( Икс ) "=" м ∫ 0 Икс Б м − 1 ( т ) д т − м ∫ 0 1 ∫ 0 т Б м − 1 ( с ) д с д т . {\displaystyle B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{ 0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.}
Еще одна явная формула Явная формула для полиномов Бернулли имеет вид Б н ( Икс ) "=" ∑ к "=" 0 н [ 1 к + 1 ∑ ℓ "=" 0 к ( − 1 ) ℓ ( к ℓ ) ( Икс + ℓ ) н ] . {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^ {k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.}
Это похоже на выражение ряда для дзета-функции Гурвица в комплексной плоскости. Действительно, существует зависимость
где – дзета-функция Гурвица . Последний обобщает полиномы Бернулли , допуская нецелые значения n . Б н ( Икс ) "=" − н ζ ( 1 − н , Икс ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,x)} ζ ( с , д ) {\displaystyle \zeta (s,\,q)}
Под внутренней суммой можно понимать n- ю прямую разность , то есть
где – оператор прямой разности . Таким образом, можно написать Икс м , {\displaystyle x^{m},} Δ н Икс м "=" ∑ к "=" 0 н ( − 1 ) н − к ( н к ) ( Икс + к ) м {\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{n \choose k}(x+k)^{m} } Δ {\displaystyle \Delta } Б н ( Икс ) "=" ∑ к "=" 0 н ( − 1 ) к к + 1 Δ к Икс н . {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^ {н}.}
Эту формулу можно вывести из приведенного выше тождества следующим образом. Поскольку прямой разностный оператор Δ равен
где D — дифференцирование по x , мы имеем из ряда Меркатора : Δ "=" е Д − 1 {\displaystyle \Delta =e^{D}-1} Д е Д − 1 "=" бревно ( Δ + 1 ) Δ "=" ∑ н "=" 0 ∞ ( − Δ ) н н + 1 . {\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\ infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.}
Пока это работает с полиномом m -й степени, например, можно отпустить n от 0 только до m . Икс м , {\displaystyle x^{m},}
Интегральное представление полиномов Бернулли дается интегралом Нёрлунда – Райса , который следует из выражения как конечная разность.
Явная формула для полиномов Эйлера имеет вид Э н ( Икс ) "=" ∑ к "=" 0 н [ 1 2 к ∑ ℓ "=" 0 н ( − 1 ) ℓ ( к ℓ ) ( Икс + ℓ ) н ] . {\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^ {n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].}
Вышесказанное следует аналогично, используя тот факт, что 2 е Д + 1 "=" 1 1 + 1 2 Δ "=" ∑ н "=" 0 ∞ ( − 1 2 Δ ) н . {\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n= 0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.}
Суммыпполномочия Используя либо приведенное выше интегральное представление, либо тождество , мы имеем
(при условии, что 0 0 = 1). Икс н {\displaystyle x^{n}} Б н ( Икс + 1 ) − Б н ( Икс ) "=" н Икс н − 1 {\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}} ∑ к "=" 0 Икс к п "=" ∫ 0 Икс + 1 Б п ( т ) д т "=" Б п + 1 ( Икс + 1 ) − Б п + 1 п + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{ p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}
Явные выражения для низких степеней Первые несколько полиномов Бернулли: Б 0 ( Икс ) "=" 1 , Б 4 ( Икс ) "=" Икс 4 − 2 Икс 3 + Икс 2 − 1 30 , Б 1 ( Икс ) "=" Икс − 1 2 , Б 5 ( Икс ) "=" Икс 5 − 5 2 Икс 4 + 5 3 Икс 3 − 1 6 Икс , Б 2 ( Икс ) "=" Икс 2 − Икс + 1 6 , Б 6 ( Икс ) "=" Икс 6 − 3 Икс 5 + 5 2 Икс 4 − 1 2 Икс 2 + 1 42 , Б 3 ( Икс ) "=" Икс 3 − 3 2 Икс 2 + 1 2 Икс | , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}
Первые несколько полиномов Эйлера: E 0 ( x ) = 1 , E 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x , E 1 ( x ) = x − 1 2 , E 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 2 x 2 − 1 2 , E 2 ( x ) = x 2 − x , E 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 x 3 − 3 x , E 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 4 , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}
Максимум и минимум При более высоких n количество различий между и становится большим. Например, Лемер (1940) [3] показал , что максимальное значение ( M n ) между 0 и 1 подчиняется,
если только n не равно 2 по модулю 4 , в этом случае
(где - дзета-функция Римана ), а минимальное ( m n ) подчиняется,
если только n = 0 по модулю 4 , и в этом случае B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} x = 0 {\displaystyle x=0} x = 1 {\displaystyle x=1} B 16 ( 0 ) = B 16 ( 1 ) = {\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}} − 3617 510 ≈ − 7.09 , {\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,} B 16 ( 1 2 ) = {\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}} 118518239 3342336 ≈ 7.09. {\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.} B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} M n < 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}} M n = 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}} ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} m n > − 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}} m n = − 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n . {\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}
Эти пределы довольно близки к фактическому максимуму и минимуму, и Лемер также дает более точные пределы.
Различия и производные Полиномы Бернулли и Эйлера подчиняются многим соотношениям теневого исчисления :
( Δ — оператор прямой разности ). Кроме того,
эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппелла : Δ B n ( x ) = B n ( x + 1 ) − B n ( x ) = n x n − 1 , Δ E n ( x ) = E n ( x + 1 ) − E n ( x ) = 2 ( x n − E n ( x ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}} E n ( x + 1 ) + E n ( x ) = 2 x n . {\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.} B n ′ ( x ) = n B n − 1 ( x ) , E n ′ ( x ) = n E n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}
Переводы B n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B k ( x ) y n − k E n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) E k ( x ) y n − k {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}} Эти тождества также эквивалентны утверждению, что эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппелла . ( Другой пример — полиномы Эрмита .)
Симметрии B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) , n ≥ 0 , E n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n E n ( x ) ( − 1 ) n B n ( − x ) = B n ( x ) + n x n − 1 ( − 1 ) n E n ( − x ) = − E n ( x ) + 2 x n B n ( 1 2 ) = ( 1 2 n − 1 − 1 ) B n , n ≥ 0 from the multiplication theorems below. {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}} Чжи-Вэй Сунь и Хао Пань [4] установили следующее удивительное соотношение симметрии: если r + s + t = n и x + y + z = 1 , то
где r [ s , t ; x , y ] n + s [ t , r ; y , z ] n + t [ r , s ; z , x ] n = 0 , {\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,} [ s , t ; x , y ] n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( s k ) ( t n − k ) B n − k ( x ) B k ( y ) . {\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}
ряд Фурье Ряд Фурье полиномов Бернулли также является рядом Дирихле , заданным расширением.
Обратите внимание на простой предел большого n для тригонометрических функций, масштабированных соответствующим образом. B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n . {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}
Это частный случай аналогичной формы дзета-функции Гурвица. B n ( x ) = − Γ ( n + 1 ) ∑ k = 1 ∞ exp ( 2 π i k x ) + e i π n exp ( 2 π i k ( 1 − x ) ) ( 2 π i k ) n . {\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}
Это расширение справедливо только для 0 ≤ x ≤ 1, когда n ≥ 2 , и справедливо для 0 < x < 1, когда n = 1 .
Также можно вычислить ряд Фурье полиномов Эйлера. Определяя функции
для , полином Эйлера имеет ряд Фурье.
Обратите внимание, что и являются нечетными и четными соответственно: C ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ cos ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν S ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}} ν > 1 {\displaystyle \nu >1} C 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n E 2 n − 1 ( x ) S 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! π 2 n + 1 E 2 n ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}} C ν {\displaystyle C_{\nu }} S ν {\displaystyle S_{\nu }} C ν ( x ) = − C ν ( 1 − x ) S ν ( x ) = S ν ( 1 − x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}
Они связаны с функцией ци Лежандра как χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }} C ν ( x ) = Re χ ν ( e i x ) S ν ( x ) = Im χ ν ( e i x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}
Инверсия Полиномы Бернулли и Эйлера можно инвертировать, чтобы выразить моном через полиномы.
В частности, из приведенного выше раздела об интегральных операторах, очевидно, следует, что
и x n = 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( n + 1 k ) B k ( x ) {\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)} x n = E n ( x ) + 1 2 ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) E k ( x ) . {\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}
Связь с падающим факториалом Полиномы Бернулли могут быть расширены с точки зрения падающего факториала
, где и обозначает
число Стирлинга второго рода . Вышеупомянутое можно инвертировать, чтобы выразить падающий факториал через полиномы Бернулли:
где
обозначает число Стирлинга первого рода . ( x ) k {\displaystyle (x)_{k}} B n + 1 ( x ) = B n + 1 + ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 { n k } ( x ) k + 1 {\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}} B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)} { n k } = S ( n , k ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)} ( x ) n + 1 = ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 [ n k ] ( B k + 1 ( x ) − B k + 1 ) {\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)} [ n k ] = s ( n , k ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}
Теоремы умножения Теоремы умножения были сформулированы Йозефом Людвигом Раабе в 1851 году:
Для натурального числа m ≥1 B n ( m x ) = m n − 1 ∑ k = 0 m − 1 B n ( x + k m ) {\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}} E n ( m x ) = m n ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k E n ( x + k m ) for odd m E n ( m x ) = − 2 n + 1 m n ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k B n + 1 ( x + k m ) for even m {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}
Интегралы Два определенных интеграла, связывающих полиномы Бернулли и Эйлера с числами Бернулли и Эйлера: [5]
∫ 0 1 B n ( t ) B m ( t ) d t = ( − 1 ) n − 1 m ! n ! ( m + n ) ! B n + m for m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1} ∫ 0 1 E n ( t ) E m ( t ) d t = ( − 1 ) n 4 ( 2 m + n + 2 − 1 ) m ! n ! ( m + n + 2 ) ! B n + m + 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}} Другая интегральная формула гласит [6]
∫ 0 1 E n ( x + y ) log ( tan π 2 x ) d x = n ! ∑ k = 1 ⌊ n + 1 2 ⌋ ( − 1 ) k − 1 π 2 k ( 2 − 2 − 2 k ) ζ ( 2 k + 1 ) y n + 1 − 2 k ( n + 1 − 2 k ) ! {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}} с особым случаем для y = 0 {\displaystyle y=0}
∫ 0 1 E 2 n − 1 ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n ( 2 − 2 − 2 n ) ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)} ∫ 0 1 B 2 n − 1 ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ( − 1 ) n − 1 π 2 n 2 2 n − 2 ( 2 n − 1 ) ! ∑ k = 1 n ( 2 2 k + 1 − 1 ) ζ ( 2 k + 1 ) ζ ( 2 n − 2 k ) {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)} ∫ 0 1 E 2 n ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ∫ 0 1 B 2 n ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0} ∫ 0 1 B 2 n − 1 ( x ) cot ( π x ) d x = 2 ( 2 n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 ( 2 π ) 2 n − 1 ζ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}
Периодические полиномы Бернулли Периодический полином Бернулли P n ( x ) — это полином Бернулли, вычисляемый по дробной части аргумента x . Эти функции используются для получения остаточного члена в формуле Эйлера – Маклорена, связывающей суммы с интегралами. Первый полином представляет собой пилообразную функцию .
Строго говоря, эти функции вообще не являются полиномами, и их правильнее называть периодическими функциями Бернулли, а P 0 ( x ) даже не является функцией, будучи производной пилообразной формы и, следовательно, гребенки Дирака .
Следующие свойства представляют интерес и действительны для всех : x {\displaystyle x}
P k ( x ) {\displaystyle P_{k}(x)} является непрерывным для всех k > 1 {\displaystyle k>1} P k ′ ( x ) {\displaystyle P_{k}'(x)} существует и непрерывен для k > 2 {\displaystyle k>2} P k ′ ( x ) = k P k − 1 ( x ) {\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)} для k > 2 {\displaystyle k>2}
Смотрите также
Рекомендации ^ Уртадо Бенавидес, Мигель Анхель. (2020). Де-лас-суммы-де-потенциалс, лас-аппелл и ваши характеристики в виде функций. [Тесис де маэстрия]. Университет Серджио Арболеды. https://repository.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/174 ^ Серджио А. Каррильо; Мигель Уртадо. Последовательности Аппелла и Шеффера: их характеристики через функционалы и примеры. Comptes Rendus. Mathématique, Том 359 (2021), вып. 2, стр. 205-217. doi: 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/ ^ Лемер, Д.Х. (1940). «О максимумах и минимумах полиномов Бернулли». Американский математический ежемесячник . 47 : 533–538.^ Чжи-Вэй Сунь; Хао Пан (2006). «Тождества, касающиеся многочленов Бернулли и Эйлера». Акта Арифметика . 125 (1): 21–39. arXiv : math/0409035 . Бибкод : 2006AcAri.125...21S. дои : 10.4064/aa125-1-3. S2CID 10841415. ^ Такаши Аго и Карл Дилчер (2011). «Интегралы от произведений полиномов Бернулли». Журнал математического анализа и приложений . 381 : 10–16. дои : 10.1016/j.jmaa.2011.03.061 . ^ Элаиссуи, Лахусин и Геннун, Зин Эль Абидин (2017). «Оценка логкасательных интегралов рядами, включающими ζ(2n+1)». Интегральные преобразования и специальные функции . 28 (6): 460–475. arXiv : 1611.01274 . дои : 10.1080/10652469.2017.1312366. S2CID 119132354. Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Дувр, Нью-Йорк. (См. главу 23) Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929, Збл 0335.10001 (См. главу 12.11) Дилчер, К. (2010), «Полиномы Бернулли и Эйлера», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (1995). «Новые формулы для полиномов Бернулли и Эйлера при рациональных аргументах». Труды Американского математического общества . 123 (5): 1527–1535. дои : 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR 2161144. Гильера, Хесус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . дои : 10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Рассматривается связь с дзета-функцией Гурвица и трансцендентом Лерха.) Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6 .
Внешние ссылки Список целочисленных тождеств, включающих полиномы Бернулли из NIST.