Сопряженное транспонирование оператора в бесконечных измерениях
В математике , особенно в теории операторов , каждый линейный оператор в пространстве внутреннего произведения определяет эрмитовский присоединенный (или сопряженный ) оператор в этом пространстве в соответствии с правилом![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где - скалярный продукт векторного пространства .![{\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сопряженное также можно назвать эрмитовым сопряженным или просто эрмитовым [1] в честь Чарльза Эрмита . В таких областях, как физика , его часто обозначают буквой A † , особенно когда он используется вместе с обозначением скобок в квантовой механике . В конечных размерностях , где операторы могут быть представлены матрицами , эрмитово сопряженное задается сопряженным транспонированием (также известным как эрмитово транспонирование).
Приведенное выше определение сопряженного оператора дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах . Определение было расширено и теперь включает неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна , но не обязательно равна:![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Х.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Неформальное определение
Рассмотрим линейное отображение гильбертовых пространств . Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что сопряженный оператор — это линейный оператор (в большинстве случаев однозначно определенный), удовлетворяющий условиям ![{\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где — скалярное произведение в гильбертовом пространстве , линейное по первой координате и сопряженное линейное по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и являются оператором в этом гильбертовом пространстве.![{\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle _ {H_ {i}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Когда кто-то обменивает внутренний продукт на дуальную пару , можно определить сопряженный, также называемый транспонированием , оператора , где - банаховы пространства с соответствующими нормами . Здесь (опять же без учета каких-либо технических подробностей) его сопряженный оператор определяется как![{\displaystyle A:E\to F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|\cdot \|_{E}, \|\cdot \|_{F}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Т.е., для .![{\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in F^{*},u\in E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто применением случая банахового пространства, когда кто-то отождествляет гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор , где – гильбертово пространство, а – банахово пространство. Двойственный тогда определяется как с таким, что ![{\displaystyle A:H\to E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}f=h_{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение неограниченных операторов между банаховыми пространствами
Пусть – банаховы пространства . Предположим и , и предположим, что это (возможно, неограниченный) линейный оператор, который плотно определен (т. е. плотен в ). Тогда его сопряженный оператор определяется следующим образом. Домен![{\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left (F,\|\cdot \|_{F}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A:D(A)\to F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D(A)\subset E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D (А)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ для всех }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь для произвольного, но фиксированного значения мы устанавливаем с помощью . По выбору и определению f является (равномерно) непрерывным при . Тогда по теореме Хана-Банаха или, альтернативно, посредством расширения по непрерывности, это дает расширение , называемое , определенное на всех . Эта формальность необходима для того, чтобы позже получить ее в качестве оператора вместо. Обратите также внимание, что это не означает, что расширение может быть расширено на все элементы , но расширение работает только для определенных элементов .![{\ displaystyle g \ in D (A ^ {*})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (u) = g (Au)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D(A^{*})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D (А)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |f (u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\шляпа {f}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g \ in D \ left (A ^ {*} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь мы можем определить сопряженное как![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g= {\hat {f}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, фундаментальная определяющая идентичность
для![{\ displaystyle u \ in D (A).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение ограниченных операторов в гильбертовых пространствах
Предположим, что H — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченности оператора ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ∗ : H → H , удовлетворяющий условию
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Существование и единственность этого оператора следует из теоремы о представлении Рисса . [2]
Это можно рассматривать как обобщение присоединенной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, связанное со стандартным комплексным скалярным продуктом.
Характеристики
Непосредственно очевидны следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора : [2]
- Инволютивность : A ∗∗ = A
- Если A обратим, то обратим и A ∗ , причём
![{\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Сопряженная линейность :
- « Антидистрибутивность »: ( AB ) * = B * A *
Если мы определим операторную норму A как
![{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем
[2]
Более того,
[2]
Экстраполируя случай самосопряженных операторов, говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшая величина».
Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве Н вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип С*-алгебры .
Сопряженный к плотно определенным неограниченным операторам между гильбертовыми пространствами
Определение
Пусть скалярное произведение линейно по первому аргументу. Плотно определенный оператор A из комплексного гильбертова пространства H в себя — это линейный оператор, область определения D (A) которого является плотным линейным подпространством H и значения которого лежат в H. [3] По определению, областью D ( A ∗ ) сопряженного с ним A ∗ называется множество всех y ∈ H , для которых существует элемент z ∈ H , удовлетворяющий условиям
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{для всех}}x\in D(A).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В силу плотности и теоремы о представлении Рисса , однозначно определяется и по определению [4]![{\displaystyle D (А)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}y=z.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Свойства 1.–5. придерживайтесь соответствующих положений о доменах и кодоменах . [ необходимо пояснение ] Например, последнее свойство теперь гласит, что ( AB ) ∗ является расширением B ∗ A ∗ , если A , B и AB — плотно определенные операторы. [5]
кер А*=(я А)⊥
Для каждого линейный функционал тождественно равен нулю, а значит,![{\displaystyle y\in \ker A^{*},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
И наоборот, предположение, согласно которому функционал равен тождественному нулю. Поскольку функционал очевидно ограничен, определение гарантирует, что Тот факт, что для каждого показывает, что данное является плотным.![{\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle y \ in D (A ^ {*}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle A ^ {*} y \ in D (A) ^ {\ perp } = {\ overline {D (A)}} ^ {\ perp } = \ {0 \},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D (А)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это свойство показывает, что это топологически замкнутое подпространство, даже если это не так.![{\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D(A^{*})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Геометрическая интерпретация
Если и являются гильбертовыми пространствами, то это гильбертово пространство со скалярным произведением![{\displaystyle H_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{ =}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и![{\displaystyle a,c\in H_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b,d\in H_{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пусть – симплектическое отображение , т.е. тогда граф![{\ displaystyle J \ двоеточие H \ oplus H \ to H \ oplus H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J(\xi,\eta) = (-\eta,\xi).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
of является ортогональным дополнением![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle JG(A):}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H: {\bigl \langle }(x,y), (-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Утверждение следует из эквивалентностей
![{\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi,\xi) {\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi,x\rangle =\langle \xi, y\rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi,x\rangle =\langle \xi,y\rangle {\Bigr]}\quad \Leftrightarrow \quad x \in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следствия
А*закрыто
Оператор замкнут , если график топологически замкнут в. График сопряженного оператора является ортогональным дополнением подпространства и, следовательно, замкнут.![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle G (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H\oplus H.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(A^{*})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
А*плотно определен ⇔ A замыкаемо
Оператор называется замыкаемым , если топологическое замыкание графика является графиком функции. Поскольку это (замкнутое) линейное подпространство, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине закрывается тогда и только тогда, когда, если только![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle G (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сопряженное соединение плотно определено тогда и только тогда, когда оно замыкаемо. Это следует из того, что для каждого![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v\in H,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle v \ in D (A ^ {*}) ^ {\ perp } \ \ Leftrightarrow \ (0, v) \ in G ^ {\ text {cl}} (A),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что, в свою очередь, доказывается следующей цепочкой эквивалентностей:
![{\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{- 1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
А**= Акл
Замыканием оператора называется оператор, график которого равен, если этот график представляет функцию. Как и выше, слово «функция» может быть заменено на «оператор». Кроме того, это означает, что![{\displaystyle A^{\text{cl}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Чтобы доказать это, заметим, что т.е. для каждого Действительно,![{\displaystyle J^{*}=-J,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H} = - \langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x,y\in H\oplus H.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (- x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H} +\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{ 1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В частности, для любого подпространства тогда и только тогда , когда Таким образом и Подстановкой получается![{\displaystyle y\in H\oplus H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\in (СП)^{\perp }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=G(A),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
А*= (Акл)*
Для закрывающегося оператора это означает, что Действительно,
![{\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{ \perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^ {*}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Контрпример, когда сопряженное не определено плотно.
Пусть где – линейная мера. Выберите измеримую, ограниченную, неидентично нулевую функцию и нажмите «Определить».![{\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R},l),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle л}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\notin L^{2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Отсюда следует, что подпространство содержит все функции с компактным носителем. Поскольку плотно определено. Для каждого и![{\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f, \varphi \rangle \neq \infty \}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D (А)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi \in D (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \varphi, A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi, \psi \rangle =\langle \langle f, \varphi \rangle \varphi _ {0}, \psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, определение сопряженного оператора требует, чтобы Поскольку это возможно только в том случае, если По этой причине, Следовательно, он не определен плотно и равен тождественному нулю на В результате, он не является замыкаемым и не имеет второго сопряженного оператора.![{\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\notin L^{2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D(A^{*}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{**}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эрмитовы операторы
Ограниченный оператор A : H → H называется эрмитовым или самосопряженным , если
![{\displaystyle A=A^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что эквивалентно
[6]
В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (будучи равными своему «комплексно-сопряжённому») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью вещественных наблюдаемых в квантовой механике . Подробное описание см. в статье о самосопряженных операторах .
Сопряженные к сопряженно-линейным операторам
Для сопряженно-линейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженным оператором сопряженно-линейному оператору A в комплексном гильбертовом пространстве H является сопряженно-линейный оператор A ∗ : H → H со свойством:
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle = {\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{для всех}}x,y\in H. }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другие сопряжения
Уравнение
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
формально аналогично определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и именно отсюда сопряженные функторы получили свое название.
Смотрите также
- Математические концепции
- Физические приложения
Рекомендации
- ^ Миллер, Дэвид AB (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров . Издательство Кембриджского университета. стр. 262, 280.
- ^ abcd Reed & Simon 2003, стр. 186–187; Рудин 1991, §12.9
- ^ Подробности см . в разделе «Неограниченный оператор» .
- ^ Рид и Саймон 2003, с. 252; Рудин 1991, §13.1
- ^ Рудин 1991, Thm 13.2.
- ^ Рид и Саймон 2003, стр. 187; Рудин 1991, §12.11
- Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
- Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК 21163277.