Банахово пространство

Нормированное векторное пространство, которое является полным

В математике , а точнее в функциональном анализе , банахово пространство (произносится как [ˈbanax] ) — это полное нормированное векторное пространство . Таким образом, банахово пространство — это векторное пространство с метрикой , которая позволяет вычислять длину вектора и расстояние между векторами, и является полным в том смысле, что последовательность Коши векторов всегда сходится к четко определенному пределу , который находится внутри пространства.

Банаховы пространства названы в честь польского математика Стефана Банаха , который ввел это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Гансом Ханом и Эдуардом Хелли . ^[1] Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «банахово пространство», а Банах, в свою очередь, затем ввел термин « пространство Фреше ». ^[2] Банаховы пространства изначально выросли из изучения функциональных пространств Гильбертом , Фреше и Риссом в начале века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа изучаемые пространства часто являются банаховыми пространствами.

Определение

Банахово пространство является полным нормированным пространством Нормированное пространство является парой ^{[примечание 1],} состоящей из векторного пространства над скалярным полем (где обычно или ) вместе с выделенной ^{[примечание 2]} нормой Как и все нормы, эта норма индуцирует трансляционно-инвариантную ^{[примечание 3]} функцию расстояния , называемую канонической или ( нормой ) индуцированной метрикой , определяемую для всех векторов формулой ^{[примечание 4]} Это превращает в метрическое пространство Последовательность называется Коши в или - Коши или - Коши , если для каждого вещественного числа существует некоторый индекс такой , что всякий раз, когда и больше, чем Нормированное пространство называется банаховым пространством , а каноническая метрика называется полной метрикой, если является полным метрическим пространством , что по определению означает, что для каждой последовательности Коши в существует некоторая такая, что где , поскольку сходимость этой последовательности к может быть эквивалентно выражена как: ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ~.}$ ${\displaystyle \ x,y\in X\ }$ $${\displaystyle \ d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|~.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ (X,d)~.}$ ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ (X,d)\ }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \ r>0\ ,}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \ d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r\ }$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ N~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ d\ }$ ${\displaystyle \ (X,d)\ }$ ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ (X,d)\ ,}$ ${\displaystyle \ x\in X\ }$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d)}$$ ${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0\;{\text{ in }}\mathbb {R} ~.}$$

Норма нормированного пространства называется ${\displaystyle \ \|\cdot \|\ }$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$полная норма, если— банахово пространство. ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$

L-полувнутреннее произведение

Для любого нормированного пространства существует L-полувнутреннее произведение на такое, что для всех в общем случае может быть бесконечно много L-полувнутренних произведений, удовлетворяющих этому условию. L-полувнутренние произведения являются обобщением внутренних произведений , которые являются тем, что принципиально отличает гильбертовы пространства от всех других банаховых пространств. Это показывает, что все нормированные пространства (и, следовательно, все банаховы пространства) можно рассматривать как обобщения (пред-)гильбертовых пространств. ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ ,}$ ${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\textstyle \ \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\ }$ ${\displaystyle \ x\in X\ ;}$

Характеристика в терминах серии

Структура векторного пространства позволяет связать поведение последовательностей Коши с поведением сходящихся рядов векторов . Нормированное пространство является банаховым пространством тогда и только тогда, когда каждый абсолютно сходящийся ряд в сходится к значению, которое лежит в пределах ^[3] ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ $${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implies that }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converges in }}\ \ X~.}$$

Топология

Каноническая метрика нормированного пространства индуцирует обычную метрическую топологию , на которой она называется канонической или индуцированной нормой топологией . Каждое нормированное пространство автоматически предполагает наличие этой топологии Хаусдорфа , если не указано иное. С этой топологией каждое банахово пространство является пространством Бэра , хотя существуют нормированные пространства, которые являются бэровскими, но не банаховыми. ^[4] Норма всегда является непрерывной функцией относительно топологии, которую она индуцирует. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ \tau _{d}\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle \ \|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R} \ }$

Открытые и замкнутые шары радиуса с центром в точке являются, соответственно, множествами Любой такой шар является выпуклым и ограниченным подмножеством , но компактный шар / окрестность существует тогда и только тогда, когда является конечномерным векторным пространством . В частности, никакое бесконечномерное нормированное пространство не может быть локально компактным или обладать свойством Гейне–Бореля . Если является вектором и является скаляром, то Использование показывает, что эта индуцированная нормой топология является инвариантной к трансляции , что означает, что для любого и подмножество открыто (соответственно, замкнуто ) в тогда и только тогда, когда это верно для его трансляции Следовательно, индуцированная нормой топология полностью определяется любым базисом соседства в начале координат. Некоторые общие базисы соседства в начале координат включают: где является последовательностью в положительных действительных чисел, которая сходится к в (такой как или , например). Так, например, каждое открытое подмножество может быть записано как объединение , индексированное некоторым подмножеством , где каждое может быть выбрано из вышеупомянутой последовательности (открытые шары могут быть заменены закрытыми шарами, хотя тогда индексирующее множество и радиусы также могут быть заменены). Кроме того, всегда может быть выбрано счетным, если является сепарабельным пространством , что по определению означает, что содержит некоторое счетное плотное подмножество . ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ x\in X\ }$ $${\displaystyle \ B_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|<r\ \}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|\leq r\ \}~.}$$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ x_{0}\ }$ ${\displaystyle \ s\neq 0\ }$ $${\displaystyle \ x_{0}+s\ B_{r}(x)=B_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+s\ C_{r}(x)=C_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)~.}$$ ${\displaystyle \ s=1\ }$ ${\displaystyle \ x\in X\ }$ ${\displaystyle \ S\subseteq X\ ,}$ ${\displaystyle \ S\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ x+S:=\{\ x+s:s\in S\ \}~.}$ $${\displaystyle \ \left\{\ B_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ C_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{\ C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\}\ }$$ ${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ 0\ }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ r_{n}:={\tfrac {1}{n}}\ }$ ${\displaystyle \ r_{n}:=1/2^{n}\ ,}$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ $${\displaystyle \ U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\ B_{1}(0)\ }$$ ${\displaystyle \ I\subseteq U\ ,}$ ${\displaystyle \ r_{x}\ }$ ${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ I\ }$ ${\displaystyle \ r_{x}\ }$ ${\displaystyle \ I\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$

Классы гомеоморфизма сепарабельных банаховых пространств

Все конечномерные нормированные пространства являются сепарабельными банаховыми пространствами, и любые два банаховых пространства одной и той же конечной размерности линейно гомеоморфны. Каждое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство линейно изометрически изоморфно сепарабельному гильбертову пространству последовательностей ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ с его обычной нормой ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{2}~.}$

Теорема Андерсона–Кадеца утверждает, что каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно пространству произведения счетного числа копий (этот гомеоморфизм не обязательно должен быть линейным отображением ). ^{[5] [6]} Таким образом, все бесконечномерные сепарабельные пространства Фреше гомеоморфны друг другу (или, говоря иначе, их топология уникальна с точностью до гомеоморфизма). Поскольку каждое банахово пространство является пространством Фреше, это также верно для всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств, включая Фактически, даже гомеоморфно своей собственной единичной сфере , что резко контрастирует с конечномерными пространствами ( например, евклидова плоскость не гомеоморфна единичной окружности ). ${\textstyle \ \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )~.}$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \left\{\ x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\ \right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}\ }$

Этот шаблон в классах гомеоморфизма распространяется на обобщения метризуемых ( локально евклидовых ) топологических многообразий , известных как метрические банаховы многообразия , которые являются метрическими пространствами , которые находятся вокруг каждой точки, локально гомеоморфными некоторому открытому подмножеству данного банахова пространства (метрические гильбертовы многообразия и метрические многообразия Фреше определяются аналогично). ^[6] Например, каждое открытое подмножество банахова пространства канонически является метрическим банаховым многообразием, смоделированным на , поскольку отображение включения является открытым локальным гомеоморфизмом . Используя микрорасслоения гильбертова пространства , Дэвид Хендерсон показал ^[7] в 1969 году, что каждое метрическое многообразие, смоделированное на сепарабельном бесконечномерном банаховом (или Фреше ) пространстве, может быть топологически вложено как открытое подмножество и, следовательно, также допускает уникальную гладкую структуру, превращающую его в гильбертово многообразие . ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ U\to X\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ C^{\infty }\ }$

Компактные и выпуклые подмножества

Существует компактное подмножество , выпуклая оболочка которого не замкнута и, следовательно, также не компактна (см. эту сноску ^{[примечание 5]} для примера). ^[8] Однако, как и во всех банаховых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого (и любого другого) компактного подмножества будет компактной. ^[9] Но если нормированное пространство не является полным, то, как правило, не гарантируется, что оно будет компактным всякий раз, когда оно является таковым; пример ^{[примечание 5]} можно найти даже в (неполном) предгильбертовом векторном подпространстве ${\displaystyle \ S\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {co} (S)\ }$ ${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$ ${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Как топологическое векторное пространство

Эта индуцированная нормой топология также приводит к тому, что известно как топологическое векторное пространство (TVS), которое по определению является векторным пространством, наделенным топологией, делающей операции сложения и скалярного умножения непрерывными. Подчеркивается, что TVS является только векторным пространством вместе с определенным типом топологии; то есть, когда рассматривается как TVS, оно не связано с какой-либо конкретной нормой или метрикой (обе из которых « забыты »). Это хаусдорфово TVS даже локально выпукло, поскольку множество всех открытых шаров с центром в начале координат образует базис окрестностей в начале координат, состоящий из выпуклых сбалансированных открытых множеств. Это TVS также является нормируемым , что по определению относится к любому TVS, топология которого индуцирована некоторой (возможно неизвестной) нормой . Нормируемые TVS характеризуются тем, что являются хаусдорфовыми и имеют ограниченную выпуклую окрестность начала координат. Все банаховы пространства являются бочечными пространствами , что означает, что каждая бочка является окрестностью начала координат (например, все замкнутые шары с центром в начале координат являются бочками), и гарантирует выполнение теоремы Банаха–Штейнгауза . ${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$

Сравнение полных метризуемых векторных топологий

Теорема об открытом отображении подразумевает, что если и являются топологиями на , которые превращают оба и в полные метризуемые TVS (например, банаховы или пространства Фреше ), и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (то есть, если или , то ). ^[10] Так, например, если и являются банаховыми пространствами с топологиями и и если одно из этих пространств имеет некоторый открытый шар, который также является открытым подмножеством другого пространства (или, что эквивалентно, если одно из или непрерывно), то их топологии идентичны, а их нормы эквивалентны . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \ \tau _{2}\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ (X,\tau )\ }$ ${\displaystyle \ (X,\tau _{2})\ }$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \ \tau _{2}\subseteq \tau \ }$ ${\displaystyle \ \tau =\tau _{2}\ }$ ${\displaystyle \ (X,p)\ }$ ${\displaystyle \ (X,q)\ }$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle \ \tau _{q}\ }$ ${\displaystyle \ p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R} \ }$

Полнота

Полные нормы и эквивалентные нормы

Две нормы и на векторном пространстве называются эквивалентными , если они индуцируют одну и ту же топологию; ^[11] это происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа, такие что для всех Если и — две эквивалентные нормы на векторном пространстве, то является банаховым пространством тогда и только тогда, когда является банаховым пространством. См. эту сноску для примера непрерывной нормы на банаховом пространстве, которая не эквивалентна заданной норме этого банахова пространства. ^{[примечание 6] [11]} Все нормы на конечномерном векторном пространстве эквивалентны, и каждое конечномерное нормированное пространство является банаховым пространством. ^[12] ${\displaystyle \ p\ }$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ c,\ C>0\ }$ ${\textstyle \ c\ q(x)\leq p(x)\leq C\ q(x)\ }$ ${\displaystyle \ x\in X~.}$ ${\displaystyle \ p\ }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ (X,p)\ }$ ${\displaystyle \ (X,q)\ }$

Полные нормы против полных метрик

Метрика на векторном пространстве индуцируется нормой на тогда и только тогда, когда является инвариантной относительно трансляции ^{[примечание 3]} и абсолютно однородной , что означает, что для всех скаляров и всех в этом случае функция определяет норму на и каноническая метрика, индуцируемая ею, равна ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle D.}$

Предположим, что является нормированным пространством и что является топологией нормы, индуцированной на Предположим, что является любой метрикой на такой, что топология, которая индуцирует на , равна Если является инвариантным относительно трансляции ^{[примечание 3],} то является банаховым пространством тогда и только тогда, когда является полным метрическим пространством. ^[13] Если не является инвариантным относительно трансляции, то может быть возможным для быть банаховым пространством, но для не быть полным метрическим пространством ^[14] (см. эту сноску ^{[примечание 7]} для примера). Напротив, теорема Кли, ^{[15] [16] [примечание 8]} , которая также применима ко всем метризуемым топологическим векторным пространствам , подразумевает, что если существует какая-либо ^{[примечание 9]} полная метрика на , которая индуцирует топологию нормы на , то является банаховым пространством. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

Пространство Фреше — это локально выпуклое топологическое векторное пространство , топология которого индуцируется некоторой полной метрикой, инвариантной относительно трансляции. Каждое банахово пространство является пространством Фреше, но не наоборот; действительно, существуют даже пространства Фреше, на которых никакая норма не является непрерывной функцией (например, пространство действительных последовательностей с топологией произведения ). Однако топология каждого пространства Фреше индуцируется некоторым счетным семейством действительнозначных (обязательно непрерывных) отображений, называемых полунормами , которые являются обобщениями норм . Возможно даже, что пространство Фреше имеет топологию, индуцируемую счетным семейством норм (такие нормы обязательно будут непрерывными) ^{[примечание 10] [17],} но не является банаховым/ нормируемым пространством , поскольку его топология не может быть определена какой-либо одной нормой. Примером такого пространства является пространство Фреше , определение которого можно найти в статье о пространствах тестовых функций и распределений . ${\textstyle \ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

Полные нормы против полных топологических векторных пространств

Существует еще одно понятие полноты помимо метрической полноты, и это понятие полного топологического векторного пространства (TVS) или TVS-полноты, которое использует теорию равномерных пространств . В частности, понятие TVS-полноты использует уникальную трансляционно-инвариантную однородность , называемую канонической однородностью , которая зависит только от вычитания векторов и топологии , которой наделено векторное пространство, и поэтому, в частности, это понятие TVS-полноты не зависит от какой-либо нормы, индуцирующей топологию (и даже применимо к TVS, которые даже не метризуемы). Каждое банахово пространство является полным TVS. Более того, нормированное пространство является банаховым пространством (то есть его индуцированная нормой метрика является полной) тогда и только тогда, когда оно полно как топологическое векторное пространство. Если — метризуемое топологическое векторное пространство (такое как любая индуцированная нормой топология, например), то является полным TVS тогда и только тогда, когда оно является последовательно полным TVS, то есть достаточно проверить, что каждая последовательность Коши в сходится в к некоторой точке (то есть нет необходимости рассматривать более общее понятие произвольных сетей Коши ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Если — топологическое векторное пространство, топология которого индуцируется некоторой (возможно, неизвестной) нормой (такие пространства называются нормируемыми ), то является полным топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда может быть задана норма , которая индуцирует на топологию и также превращает в банахово пространство. Хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его сильное сопряженное пространство нормируемо, ^[18] в этом случае является банаховым пространством ( обозначает сильное сопряженное пространство , топология которого является обобщением топологии, индуцированной дуальной нормой , на непрерывном сопряженном пространстве ; см. эту сноску ^{[примечание 11]} для получения более подробной информации). Если — метризуемое локально выпуклое TVS, то является нормируемым тогда и только тогда, когда — пространство Фреше–Урысона . ^[19] Это показывает, что в категории локально выпуклых TVS банаховы пространства являются в точности теми полными пространствами, которые одновременно метризуемы и имеют метризуемые сильные сопряженные пространства . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Завершения

Каждое нормированное пространство может быть изометрически вложено в плотное векторное подпространство некоторого банахова пространства, где это банахово пространство называется пополнением нормированного пространства. Это пополнение Хаусдорфа единственно с точностью до изометрического изоморфизма.

Точнее, для каждого нормированного пространства существуют банахово пространство и отображение , такие что является изометрическим отображением и плотно в Если — другое банахово пространство , такое что существует изометрический изоморфизм из на плотное подмножество , то оно изометрически изоморфно Это банахово пространство является хаусдорфовым пополнением нормированного пространства Базовое метрическое пространство для совпадает с метрическим пополнением с операциями векторного пространства, расширенными от до Пополнение иногда обозначается как ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

Общая теория

Линейные операторы, изоморфизмы

Если и являются нормированными пространствами над одним и тем же основным полем, то множество всех непрерывных -линейных отображений обозначается В бесконечномерных пространствах не все линейные отображения непрерывны. Линейное отображение из нормированного пространства в другое нормированное пространство непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено на замкнутом единичном шаре Таким образом , векторному пространству можно задать операторную норму ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ $${\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}$$

Для банахова пространства, пространство является банаховым пространством относительно этой нормы. В категориальных контекстах иногда удобно ограничить функциональное пространство между двумя банаховыми пространствами только короткими отображениями ; в этом случае пространство снова появляется как естественный бифунктор . ^[20] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Если — банахово пространство, то оно образует унитальную банахову алгебру ; операция умножения задается композицией линейных отображений. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

Если и являются нормированными пространствами, они являются изоморфными нормированными пространствами , если существует линейная биекция такая, что и ее обратное непрерывны. Если одно из двух пространств или является полным (или рефлексивным , сепарабельным и т. д.), то и другое пространство также является полным. Два нормированных пространства и изометрически изоморфны , если, кроме того, является изометрией , то есть для каждого в Расстояние Банаха –Мазура между двумя изоморфными, но не изометричными пространствами и дает меру того, насколько различаются два пространства и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Непрерывные и ограниченные линейные функции и полунормы

Каждый непрерывный линейный оператор является ограниченным линейным оператором , и если мы имеем дело только с нормированными пространствами, то обратное также верно. То есть линейный оператор между двумя нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он является непрерывной функцией . Так, в частности, поскольку скалярное поле (которое является или ) является нормированным пространством, линейный функционал на нормированном пространстве является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным функционалом . Это позволяет применять результаты, связанные с непрерывностью (например, приведенные ниже), к банаховым пространствам. Хотя ограниченность — это то же самое, что и непрерывность для линейных отображений между нормированными пространствами, термин «ограниченный» чаще используется при работе в первую очередь с банаховыми пространствами. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если является субаддитивной функцией (такой как норма, сублинейная функция или действительный линейный функционал), то ^[21] непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда равномерно непрерывна на всех из ; и если, кроме того, то непрерывна тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение непрерывно, что происходит тогда и только тогда, когда является открытым подмножеством из ^{[21] [примечание 12]} И очень важно для применения теоремы Хана–Банаха , линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда это верно для его действительной части и, более того, и действительная часть полностью определяет , поэтому теорема Хана–Банаха часто формулируется только для действительных линейных функционалов. Кроме того, линейный функционал на непрерывен тогда и только тогда, когда непрерывна полунорма , что происходит тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма такая, что ; это последнее утверждение, включающее линейный функционал и полунорму , встречается во многих версиях теоремы Хана–Банаха. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Основные понятия

Декартово произведение двух нормированных пространств канонически не снабжено нормой. Однако обычно используются несколько эквивалентных норм, ^[22] например, которые соответствуют (соответственно) копроизведению и произведению в категории банаховых пространств и коротких отображений (обсуждаемых выше). ^[20] Для конечных (ко)произведений эти нормы приводят к изоморфным нормированным пространствам, и произведение (или прямая сумма ) является полным тогда и только тогда, когда полны два множителя. ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y}$

Если — замкнутое линейное подпространство нормированного пространства, то на факторпространстве существует естественная норма ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$ $${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

Фактор является банаховым пространством, когда является полным. ^[23] Факторное отображение из на , отправляющее в его класс, является линейным, на и имеет норму, за исключением случая , в котором фактор является нулевым пространством. ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x+M,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M=X,}$

Замкнутое линейное подпространство называется дополняемым подпространством , если является областью действия сюръективной ограниченной линейной проекции. В этом случае пространство изоморфно прямой сумме и ядру проекции ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker P,}$ ${\displaystyle P.}$

Предположим, что и являются банаховыми пространствами и что Существует каноническая факторизация как ^[23] , где первое отображение является отображением фактора, а второе отображение отправляет каждый класс в факторе в изображение в Это хорошо определено, поскольку все элементы в одном классе имеют одно и то же изображение. Отображение является линейной биекцией из на диапазон, обратный которому не обязательно должен быть ограничен. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x+\ker T}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X),}$

Классические пространства

Основные примеры ^[24] банаховых пространств включают: пространства Lp и их особые случаи, пространства последовательностей , которые состоят из скалярных последовательностей, индексированных натуральными числами ; среди них пространство абсолютно суммируемых последовательностей и пространство квадратично суммируемых последовательностей; пространство последовательностей, стремящихся к нулю, и пространство ограниченных последовательностей; пространство непрерывных скалярных функций на компактном хаусдорфовом пространстве, снабженном максимальной нормой, ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

Согласно теореме Банаха–Мазура , каждое банахово пространство изометрически изоморфно подпространству некоторого ^[25] Для каждого сепарабельного банахова пространства существует замкнутое подпространство такое, что ^[26] ${\displaystyle C(K).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

Любое гильбертово пространство служит примером банахова пространства. Гильбертово пространство на является полным для нормы вида , где — скалярное произведение , линейное по первому аргументу, удовлетворяющее следующему: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$ $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

Например, пространство является гильбертовым. ${\displaystyle L^{2}}$

Пространства Харди , пространства Соболева являются примерами банаховых пространств, которые связаны с пространствами и имеют дополнительную структуру. Они важны в различных областях анализа, гармоническом анализе и уравнениях с частными производными среди других. ${\displaystyle L^{p}}$

Банаховы алгебры

Банахова алгебра — это банахово пространство над или вместе со структурой алгебры над , такое, что отображение произведения непрерывно. Эквивалентная норма на может быть найдена так, что для всех ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Примеры

• Банахово пространство с поточечным произведением является банаховой алгеброй. ${\displaystyle C(K)}$
• Дисковая алгебра состоит из функций, голоморфных в открытом единичном круге и непрерывных на его замыкании : Снабженная максимальной нормой на дисковой алгебре , замкнутая подалгебра ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• Алгебра Винера — это алгебра функций на единичной окружности с абсолютно сходящимися рядами Фурье. Благодаря отображению, сопоставляющему функцию на последовательности ее коэффициентов Фурье, эта алгебра изоморфна банаховой алгебре , где произведение — это свертка последовательностей. ${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• Для каждого банахова пространства пространство ограниченных линейных операторов с композицией отображений в качестве произведения является банаховой алгеброй. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• C *-алгебра — это комплексная банахова алгебра с антилинейной инволюцией , такой что Пространство ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве является фундаментальным примером C*-алгебры. Теорема Гельфанда–Наймарка утверждает, что каждая C*-алгебра изометрически изоморфна C*-подалгебре некоторой Пространство комплексных непрерывных функций в компактном хаусдорфовом пространстве является примером коммутативной C*-алгебры, где инволюция сопоставляет каждой функции ее комплексно сопряженную ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

Двойное пространство

Если — нормированное пространство и лежащее в его основе поле (действительные или комплексные числа ), непрерывное сопряженное пространство — это пространство непрерывных линейных отображений из в или непрерывных линейных функционалов . Обозначения для непрерывного сопряженного пространства приведены в этой статье. ^[27] Поскольку — банахово пространство (использующее абсолютное значение в качестве нормы), сопряженное пространство является банаховым пространством, для любого нормированного пространства Теорема Диксмье–Нг характеризует сопряженные пространства банаховых пространств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Основным инструментом доказательства существования непрерывных линейных функционалов является теорема Хана–Банаха .

Теорема Хана–Банаха  —  Пусть — векторное пространство над полем Пусть далее ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

• ${\displaystyle Y\subseteq X}$быть линейным подпространством ,
• ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$быть сублинейной функцией и
• ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {K} }$быть линейным функционалом, таким, что для всех ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

Тогда существует линейный функционал такой, что ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}$$

В частности, каждый непрерывный линейный функционал на подпространстве нормированного пространства может быть непрерывно расширен на все пространство без увеличения нормы функционала. ^[28] Важным частным случаем является следующий: для каждого вектора в нормированном пространстве существует непрерывный линейный функционал на такой, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.}$$

Когда не равен вектору , функционал должен иметь норму один и называется нормирующим функционалом для ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Теорема Хана–Банаха о разделении утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых множества в действительном банаховом пространстве, одно из которых открытое, могут быть разделены замкнутой аффинной гиперплоскостью . Открытое выпуклое множество лежит строго по одну сторону гиперплоскости, второе выпуклое множество лежит по другую сторону, но может касаться гиперплоскости. ^[29]

Подмножество в банаховом пространстве является тотальным , если линейная оболочка плотна в Подмножество является тотальным в тогда и только тогда, когда единственный непрерывный линейный функционал, который обращается в нуль на , является функционалом : эта эквивалентность следует из теоремы Хана–Банаха. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Если — прямая сумма двух замкнутых линейных подпространств , и тогда двойственное к изоморфно прямой сумме двойственных к и ^[30] Если — замкнутое линейное подпространство в , то можно сопоставить ортогональному к в двойственном, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.}$$

Ортогональное — замкнутое линейное подпространство двойственного. Двойственное к изометрически изоморфно Двойственное к изометрически изоморфно ^[31] ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$

Двойственное к сепарабельному банахову пространству не обязательно должно быть сепарабельным, но:

Теорема ^[32]  —  Пусть — нормированное пространство. Если — сепарабельно , то — сепарабельно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Когда является отделимым, указанный выше критерий тотальности может быть использован для доказательства существования счетного тотального подмножества в ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

Слабые топологии

Слабая топология на банаховом пространстве является самой грубой топологией на , для которой все элементы в непрерывном сопряженном пространстве непрерывны. Топология нормы, таким образом, тоньше слабой топологии. Из теоремы Хана–Банаха о разделении следует, что слабая топология является хаусдорфовой , и что замкнутое по норме выпуклое подмножество банахова пространства также слабо замкнуто. ^[33] Непрерывное по норме линейное отображение между двумя банаховыми пространствами и также слабо непрерывно , то есть непрерывно из слабой топологии в слабую топологию [ ^34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Если бесконечномерно, то существуют линейные отображения, которые не являются непрерывными. Пространство всех линейных отображений из в лежащее в основе поле (это пространство называется алгебраическим сопряженным пространством , чтобы отличить его от также индуцирует топологию на , которая тоньше слабой топологии и гораздо реже используется в функциональном анализе. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

На двойственном пространстве существует топология слабее слабой топологии, называемой слабой* топологией . Это самая грубая топология на , для которой все отображения оценки, где ранжируются по , непрерывны. Ее важность вытекает из теоремы Банаха–Алаоглу . ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

Теорема Банаха–Алаоглу  —  Пусть— нормированное векторное пространство . Тогда замкнутый единичный шар сопряженного пространства компактен в слабой* топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}}$

Теорема Банаха–Алаоглу может быть доказана с помощью теоремы Тихонова о бесконечных произведениях компактных хаусдорфовых пространств. Когда является сепарабельным, единичный шар двойственного является метризуемым компактом в слабой* топологии. ^[35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$

Примеры двойных пространств

Двойственный к изометрически изоморфен : для каждого ограниченного линейного функционала на существует единственный элемент такой, что ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

Двойственное к изометрически изоморфно . Двойственное к Лебегову пространство изометрически изоморфно , когда и ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{q}([0,1])}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Для каждого вектора в гильбертовом пространстве отображение ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

определяет непрерывный линейный функционал на Теорема о представлении Рисса утверждает, что каждый непрерывный линейный функционал на имеет вид для однозначно определенного вектора в Отображение является антилинейной изометрической биекцией из на его двойственный Когда скаляры действительны, это отображение является изометрическим изоморфизмом. ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'.}$

Когда — компактное хаусдорфово топологическое пространство, двойственное к — пространство мер Радона в смысле Бурбаки. ^[36] Подмножество из , состоящее из неотрицательных мер массы 1 ( вероятностных мер ), является выпуклым w*-замкнутым подмножеством единичного шара из Крайние точки из являются мерами Дирака на Множество мер Дирака на , снабженное w*-топологией , гомеоморфно ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle M(K).}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$

Теорема Банаха–Стоуна  —  Еслииявляются компактными хаусдорфовыми пространствами и еслииизометрически изоморфны, то топологические пространства и гомеоморфны .[37 ^{] [38]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Результат был распространен Амиром ^[39] и Кэмберном ^[40] на случай, когда мультипликативное расстояние Банаха–Мазура между и равно Теорема больше не верна, когда расстояние равно ^[41] ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle <2.}$ ${\displaystyle =2.}$

В коммутативной банаховой алгебре максимальные идеалы — это в точности ядра мер Дирака на ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

В более общем смысле, по теореме Гельфанда–Мазура , максимальные идеалы унитальной коммутативной банаховой алгебры могут быть отождествлены с ее характерами — не просто как множества, но как топологические пространства: первые с топологией оболочка-ядро , а последние с w*-топологией. В этой идентификации пространство максимальных идеалов можно рассматривать как aw*-компактное подмножество единичного шара в двойственном ${\displaystyle A'.}$

Теорема  —  Если — компактное хаусдорфово пространство, то пространство максимальных идеалов банаховой алгебры гомеоморфно [ ^37] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$

Не каждая унитальная коммутативная банахова алгебра имеет вид для некоторого компактного хаусдорфова пространства Однако это утверждение справедливо, если поместить в меньшую категорию коммутативных C*-алгебр . Теорема представления Гельфанда для коммутативных C*-алгебр утверждает, что каждая коммутативная унитальная C *-алгебра изометрически изоморфна пространству . ^[42] Компактное хаусдорфово пространство здесь снова является максимальным идеальным пространством, также называемым спектром в контексте C*-алгебры. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

Двусторонний

Если — нормированное пространство, то (непрерывное) двойственное к двойственному называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X'}$двусторонний иливторое двойственное отображение Для каждого нормированного пространствасуществует естественное отображение, ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Это определяет как непрерывный линейный функционал на , то есть элемент из Отображение является линейным отображением из в Как следствие существования нормирующего функционала для каждого это отображение является изометрическим, следовательно, инъективным . ${\displaystyle F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F_{X}}$

Например, двойственное к отождествляется с , а двойственное к отождествляется с пространством ограниченных скалярных последовательностей. При этих отождествлениях отображение включения из в Оно действительно изометрично, но не на. ${\displaystyle X=c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Если сюръективно , то нормированное пространство называется рефлексивным (см. ниже). Будучи двойственным к нормированному пространству, бидуал является полным , поэтому каждое рефлексивное нормированное пространство является банаховым пространством. ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Используя изометрическое вложение, принято рассматривать нормированное пространство как подмножество своего двупространственного пространства. Когда является банаховым пространством, оно рассматривается как замкнутое линейное подпространство Если не рефлексивно, то единичный шар является собственным подмножеством единичного шара Теорема Голдстайна утверждает , что единичный шар нормированного пространства слабо*-плотен в единичном шаре двупространственного пространства. Другими словами, для любого в двупространственном пространстве существует сеть в , такая что ${\displaystyle F_{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.}$$

Сетку можно заменить слабо*-сходящейся последовательностью, когда дуальная часть отделима. С другой стороны, элементы бидуальной части , которые не находятся в , не могут быть слабо*-пределом последовательностей в , поскольку является слабо последовательно полной. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Теоремы Банаха

Вот основные общие результаты о банаховых пространствах, которые восходят ко времени книги Банаха (Banach (1932)) и связаны с теоремой Бэра о категории . Согласно этой теореме, полное метрическое пространство (такое как банахово пространство, пространство Фреше или F-пространство ) не может быть равно объединению счетного числа замкнутых подмножеств с пустыми внутренностями . Следовательно, банахово пространство не может быть объединением счетного числа замкнутых подпространств, если оно уже не равно одному из них; банахово пространство со счетным базисом Гамеля конечномерно.

Теорема Банаха–Штейнгауза  —  Пусть— банахово пространство и— нормированное векторное пространство . Предположим, что— набор непрерывных линейных операторов извПринцип равномерной ограниченности утверждает, что если для всехвимеемто ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .}$

Теорема Банаха–Штейнгауза не ограничивается банаховыми пространствами. Она может быть распространена, например, на случай, когда является пространством Фреше , при условии, что заключение модифицируется следующим образом: при той же гипотезе существует окрестность в такая , что все в равномерно ограничены на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ $${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$$

Теорема об открытом отображении  —  Пустьи— банаховы пространства, а— сюръективный непрерывный линейный оператор, тогда— открытое отображение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Следствие  —  Каждый взаимно-однозначный ограниченный линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство является изоморфизмом.

Первая теорема об изоморфизме для банаховых пространств  —  Предположим, что и являются банаховыми пространствами и что Предположим далее, что область значений замкнута в Тогда изоморфно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X).}$

Этот результат является прямым следствием предыдущей теоремы Банаха об изоморфизме и канонической факторизации ограниченных линейных отображений.

Следствие  —  Если банахово пространство является внутренней прямой суммой замкнутых подпространств, то оно изоморфно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.}$

Это еще одно следствие теоремы Банаха об изоморфизме, примененной к непрерывной биекции из на, отправляющей в сумму ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{n}}$ ${\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

Теорема о замкнутом графике  —  Пусть— линейное отображение между банаховыми пространствами. Графикзамкнут втогда и только тогда, когдаявляется непрерывным. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle T}$

Рефлексивность

Нормированное пространство называется рефлексивным, когда естественное отображение сюръективно. Рефлексивные нормированные пространства — это банаховы пространства. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Теорема  —  Если — рефлексивное банахово пространство, то каждое замкнутое подпространство и каждое факторпространство рефлексивны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Это следствие теоремы Хана–Банаха. Далее, по теореме об открытом отображении, если существует ограниченный линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство, то является рефлексивным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$

Теорема  —  Если — банахово пространство, то оно рефлексивно тогда и только тогда, когда оно рефлексивно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Следствие  —  Пусть — рефлексивное банахово пространство. Тогда является сепарабельным тогда и только тогда, когда является сепарабельным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Действительно, если двойственное к банахову пространству сепарабельно, то является сепарабельным. Если рефлексивно и сепарабельно, то двойственное к сепарабельно, поэтому является сепарабельным. ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Теорема  —  Предположим, что являются нормированными пространствами и что Тогда рефлексивно тогда и только тогда, когда каждое из них рефлексивно. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$

Гильбертовы пространства рефлексивны. Пространства рефлексивны, когда В более общем случае равномерно выпуклые пространства рефлексивны по теореме Мильмана–Петтиса . Пространства не рефлексивны. В этих примерах нерефлексивных пространств двудуальное «намного больше», чем А именно, при естественном изометрическом вложении в , заданном теоремой Хана–Банаха, фактор-пространство бесконечномерно и даже неразделимо. Однако Роберт С. Джеймс построил пример ^[43] нерефлексивного пространства, обычно называемого « пространством Джеймса » и обозначаемого ^[44], такой, что фактор-пространство одномерно. Более того, это пространство изометрически изоморфно своему двудуальному. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle J^{\prime \prime }/J}$ ${\displaystyle J}$

Теорема  —  Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его единичный шар компактен в слабой топологии . ${\displaystyle X}$

Когда рефлексивно, то все замкнутые и ограниченные выпуклые подмножества слабо компактны. В гильбертовом пространстве слабая компактность единичного шара очень часто используется следующим образом: каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящиеся подпоследовательности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$

Слабая компактность единичного шара дает инструмент для поиска решений в рефлексивных пространствах для некоторых задач оптимизации . Например, каждая выпуклая непрерывная функция на единичном шаре рефлексивного пространства достигает своего минимума в некоторой точке ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Как частный случай предыдущего результата, когда — рефлексивное пространство над каждым непрерывным линейным функционалом в , достигает своего максимума на единичном шаре . Следующая теорема Роберта С. Джеймса дает обратное утверждение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема Джеймса  —  Для банахова пространства следующие два свойства эквивалентны:

• ${\displaystyle X}$является рефлексивным.
• для всего там существует с таким образом, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1,}$ ${\displaystyle f(x)=\|f\|.}$

Теорему можно расширить, чтобы дать характеристику слабо компактных выпуклых множеств.

На каждом нерефлексивном банаховом пространстве существуют непрерывные линейные функционалы, не достигающие нормы . Однако теорема Бишопа – Фелпса ^[45] утверждает, что функционалы, достигающие нормы, являются плотными по норме в двойственном к ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Слабая сходимость последовательностей

Последовательность в банаховом пространстве слабо сходится к вектору , если сходится к для каждого непрерывного линейного функционала в двойственном пространстве. Последовательность является слабо последовательностью Коши , если сходится к скалярному пределу для каждого в Последовательность в двойственном пространстве слабо * сходится к функционалу , если сходится к для каждого в Слабо сходящиеся, слабо сходящиеся и слабо* сходящиеся последовательности ограничены по норме, как следствие теоремы Банаха–Штейнгауза . ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle L(f),,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Когда последовательность в является слабо последовательностью Коши, предел выше определяет ограниченный линейный функционал на двойственном , то есть элемент двунаправленного и является пределом в слабой*-топологии двунаправленного. Банахово пространство слабо секвенциально полно , если каждая слабо сходящаяся последовательность Коши слабо сходится в Из предыдущего обсуждения следует, что рефлексивные пространства слабо секвенциально полны. ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема ^[46]  —  Для каждой меры пространство слабо секвенциально полно. ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Ортонормальная последовательность в гильбертовом пространстве является простым примером слабо сходящейся последовательности с пределом, равным вектору. Базис единичных векторов для или является другим примером слабо нулевой последовательности , то есть последовательности, которая слабо сходится к Для каждой слабо нулевой последовательности в банаховом пространстве существует последовательность выпуклых комбинаций векторов из данной последовательности, которая сходится по норме к [ ^47] ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

Базис единичных векторов не является слабо Кошиным. Слабо Коши-последовательности в слабо сходятся, поскольку -пространства слабо секвенциально полны. На самом деле, слабо сходящиеся последовательности в сходятся по норме. ^[48] Это означает, что удовлетворяет свойству Шура . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Результаты, связанные с ${\displaystyle \ell ^{1}}$основа

Слабо последовательности Коши и базис являются противоположными случаями дихотомии, установленной в следующем глубоком результате Г. П. Розенталя. ^[49] ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Теорема ^[50]  —  Пусть — ограниченная последовательность в банаховом пространстве. Либо имеет слабо Коши-подпоследовательность, либо допускает подпоследовательность, эквивалентную стандартному единичному векторному базису ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Дополнение к этому результату дано Оделлом и Розенталем (1975).

Теорема ^[51]  —  Пусть — сепарабельное банахово пространство. Следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle X}$

• Пространство не содержит замкнутого подпространства, изоморфного ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
• Каждый элемент двузначного множества является слабым*-пределом последовательности в ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

По теореме Голдстайна каждый элемент единичного шара является слабым*-пределом сети в единичном шаре Когда не содержит каждый элемент является слабым*-пределом последовательности в единичном шаре ^[52] ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Когда банахово пространство сепарабельно, единичный шар двойственного пространства , снабженный слабой*-топологией, является метризуемым компактным пространством ^[35] , и каждый элемент в двойственном пространстве определяет ограниченную функцию на : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.}$$

Эта функция непрерывна для компактной топологии тогда и только тогда, когда фактически рассматривается как подмножество Предположим, что в дополнение к этому для остальной части абзаца, которая не содержит Согласно предыдущему результату Оделла и Розенталя, функция является поточечным пределом на последовательности непрерывных функций на она, следовательно, является функцией первого класса Бэра на Единичный шар двумерного является поточечным компактным подмножеством первого класса Бэра на ^[53] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}\subseteq X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$

Последовательности, слабая и слабая* компактность

Когда является сепарабельным, единичный шар двойственного пространства является слабо*-компактным по теореме Банаха–Алаоглу и метризуемым для слабой* топологии, ^[35] следовательно, каждая ограниченная последовательность в двойственном пространстве имеет слабо* сходящиеся подпоследовательности. Это применимо к сепарабельным рефлексивным пространствам, но в этом случае верно больше, как указано ниже. ${\displaystyle X}$

Слабая топология банахова пространства метризуема тогда и только тогда, когда является конечномерным. ^[54] Если двойственное пространство сепарабельно, слабая топология единичного шара метризуема. Это применимо, в частности, к сепарабельным рефлексивным банаховым пространствам. Хотя слабая топология единичного шара в общем случае не метризуема, можно характеризовать слабую компактность с помощью последовательностей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Эберлейна–Шмульяна ^[55]  —  Множествов банаховом пространстве является относительно слабо компактным тогда и только тогда, когда каждая последовательностьвимеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle A}$

Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Слабо компактное подмножество в является компактным по норме. Действительно, каждая последовательность в имеет слабо сходящиеся подпоследовательности по Эберлейну–Шмульяну, которые сходятся по норме по свойству Шура ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Тип и котип

Одним из способов классификации банаховых пространств является использование вероятностных понятий типа и котипа . Эти два понятия измеряют, насколько далеко банахово пространство от гильбертова пространства.

Шаудер базирует

Базис Шаудера в банаховом пространстве — это последовательность векторов в со свойством, что для каждого вектора существуют однозначно определенные скаляры, зависящие от , такие, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$$

Банаховы пространства с базисом Шаудера обязательно сепарабельны , поскольку счетное множество конечных линейных комбинаций с рациональными коэффициентами (скажем) является плотным.

Из теоремы Банаха–Штейнгауза следует, что линейные отображения равномерно ограничены некоторой константой Пусть обозначают координатные функционалы, которые назначают каждому в координате в приведенном выше разложении. Они называются биортогональными функционалами . Когда базисные векторы имеют норму, координатные функционалы имеют норму в двойственном к ${\displaystyle \left\{P_{n}\right\}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle \,\leq 2C}$ ${\displaystyle X.}$

Большинство классических сепарабельных пространств имеют явные базисы. Система Хаара является базисом для Тригонометрическая система является базисом в Система Шаудера является базисом в пространстве ^[57] Вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра базис ^[58], оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев не показал в 1974 году, что допускает базис, построенный из системы Франклина . ^[59] ${\displaystyle \left\{h_{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$

Поскольку каждый вектор в банаховом пространстве с базисом является пределом с конечным рангом и равномерно ограничен, пространство удовлетворяет свойству ограниченной аппроксимации . Первый пример Энфло пространства, не удовлетворяющего свойству аппроксимации, был в то же время первым примером сепарабельного банахова пространства без базиса Шаудера. ^[60] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{n}(x),}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Роберт С. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис является как сжимающимся, так и ограниченно полным . ^[61] В этом случае биортогональные функционалы образуют базис двойственного ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Тензорное произведение

Пусть и будут двумя -векторными пространствами. Тензорное произведение и является -векторным пространством с билинейным отображением , которое обладает следующим универсальным свойством : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$

Если — любое билинейное отображение в -векторное пространство , то существует единственное линейное отображение такое, что ${\displaystyle T_{1}:X\times Y\to Z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z_{1},}$ ${\displaystyle f:Z\to Z_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}=f\circ T.}$

Образ пары в обозначается и называется простым тензором . Каждый элемент в является конечной суммой таких простых тензоров. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$

Существуют различные нормы, которые можно наложить на тензорное произведение базовых векторных пространств, среди прочих проективная кросс-норма и инъективная кросс-норма, введенные А. Гротендиком в 1955 году. ^[62]

В общем случае тензорное произведение полных пространств снова не является полным. При работе с банаховыми пространствами принято говорить, что проективное тензорное произведение ^[63] двух банаховых пространств и является пополнением алгебраического тензорного произведения, снабженного проективной тензорной нормой, и аналогично для инъективного тензорного произведения ^[64] Гротендик доказал, в частности, что ^[65] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$$где — компактное хаусдорфово пространство, банахово пространство непрерывных функций из в и пространство измеримых по Бохнеру и интегрируемых функций из в и где изоморфизмы изометричны. Два изоморфизма выше — это соответствующие расширения отображения, отправляющего тензор в векторнозначную функцию ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K,Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1],Y)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y.}$

Тензорные произведения и свойство аппроксимации

Пусть — банахово пространство. Тензорное произведение изометрически отождествляется с замыканием в множества операторов конечного ранга. Когда имеет свойство аппроксимации , это замыкание совпадает с пространством компактных операторов на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Для каждого банахова пространства существует естественное линейное отображение нормы , полученное путем расширения тождественного отображения алгебраического тензорного произведения. Гротендик связал проблему аппроксимации с вопросом о том, является ли это отображение однозначным, когда является двойственным к Точно, для каждого банахова пространства отображение является однозначным тогда и только тогда, когда обладает свойством аппроксимации. ^[66] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$ ${\displaystyle X}$

Гротендик предположил, что и должны быть разными, когда и являются бесконечномерными банаховыми пространствами. Это было опровергнуто Жилем Пизье в 1983 году. ^[67] Пизье построил бесконечномерное банахово пространство, такое что и равны. Более того, как и в примере Энфло , это пространство является «рукотворным» пространством, которое не обладает свойством аппроксимации. С другой стороны, Шанковский доказал, что классическое пространство не обладает свойством аппроксимации. ^[68] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\left(\ell ^{2}\right)}$

Некоторые результаты классификации

Характеристика гильбертова пространства среди банаховых пространств

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы норма банахова пространства была связана со скалярным произведением, является тождество параллелограмма : ${\displaystyle X}$

Тождество параллелограмма  —  для всех ${\displaystyle x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).}$

Из этого следует, например, что пространство Лебега является пространством Гильберта только тогда, когда Если это тождество выполняется, соответствующее скалярное произведение задается тождеством поляризации . В случае действительных скаляров это дает: ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle p=2.}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Для комплексных скаляров определение внутреннего произведения таким образом, чтобы оно было -линейным по антилинейному по тождеству поляризации, дает: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).}$$

Чтобы убедиться в достаточности закона параллелограмма, следует заметить, что в действительном случае он симметричен, а в комплексном случае он удовлетворяет свойству эрмитовой симметрии и Из закона параллелограмма следует, что он аддитивен в Отсюда следует, что он линеен по рациональным числам, а значит, линеен по непрерывности. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x.}$

Доступно несколько характеристик пространств, изоморфных (а не изометричных) гильбертовым пространствам. Закон параллелограмма можно распространить на более чем два вектора и ослабить введением двустороннего неравенства с константой : Квапень доказал, что если для каждого целого числа и всех семейств векторов , то банахово пространство изоморфно гильбертову пространству. ^[69] Здесь обозначает среднее значение по возможным выборам знаков . В той же статье Квапень доказал, что справедливость теоремы Парсеваля со значениями Банаха для преобразования Фурье характеризует банаховы пространства, изоморфные гильбертовым пространствам. ${\displaystyle c\geq 1}$ $${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ave} _{\pm }}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1.}$

Линденштраус и Цафрири доказали, что банахово пространство, в котором каждое замкнутое линейное подпространство является дополняемым (то есть является областью ограниченной линейной проекции), изоморфно гильбертову пространству. ^[70] Доказательство основано на теореме Дворецкого о евклидовых сечениях многомерных центрально-симметричных выпуклых тел. Другими словами, теорема Дворецкого утверждает, что для любого целого числа любое конечномерное нормированное пространство с размерностью, достаточно большой по сравнению с , содержит подпространства, почти изометричные -мерному евклидову пространству. ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

Следующий результат дает решение так называемой проблемы однородного пространства . Бесконечномерное банахово пространство называется однородным, если оно изоморфно всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам. Банахово пространство, изоморфное , является однородным, и Банах запросил обратное. ^[71] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Теорема ^[72]  —  Банахово пространство, изоморфное всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам, изоморфно сепарабельному гильбертову пространству.

Бесконечномерное банахово пространство наследственно неразложимо , когда никакое его подпространство не может быть изоморфно прямой сумме двух бесконечномерных банаховых пространств. Теорема о дихотомии Гауэрса ^[72] утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство содержит либо подпространство с безусловным базисом , либо наследственно неразложимое подпространство и, в частности, не изоморфно своим замкнутым гиперплоскостям. ^[73] Если является однородным, то оно должно иметь безусловный базис. Тогда это следует из частичного решения, полученного Коморовским и Томчаком–Йегерманном для пространств с безусловным базисом ^[74] , который изоморфен ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Метрическая классификация

Если — изометрия из банахова пространства на банахово пространство (где и являются векторными пространствами над ), то теорема Мазура–Улама утверждает, что должно быть аффинным преобразованием. В частности, если это отображает ноль в ноль , то должно быть линейным. Этот результат подразумевает, что метрика в банаховых пространствах и, в более общем смысле, в нормированных пространствах полностью отражает их линейную структуру. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T}$

Топологическая классификация

Конечномерные банаховы пространства гомеоморфны как топологические пространства тогда и только тогда, когда они имеют ту же размерность, что и действительные векторные пространства.

Теорема Андерсона–Кадеца (1965–66) доказывает ^[75] , что любые два бесконечномерных сепарабельных банаховых пространства гомеоморфны как топологические пространства. Теорема Кадеца была расширена Торунчиком, который доказал ^[76] , что любые два банаховых пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же характер плотности , минимальную мощность плотного подмножества.

Пространства непрерывных функций

Когда два компактных хаусдорфовых пространства и гомеоморфны , банаховы пространства и изометричны. Наоборот, когда не гомеоморфно ( мультипликативному) расстоянию Банаха–Мазура между и должно быть больше или равно, чтобы увидеть вышеприведенные результаты Амира и Камберна. Хотя несчетные компактные метрические пространства могут иметь различные типы гомеоморфности, есть следующий результат, полученный Милютиным: ^[77] ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2},}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle 2,}$

Теорема ^[78]  —  Пусть — несчетное компактное метрическое пространство. Тогда изоморфно ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$

Ситуация иная для счетно бесконечных компактных хаусдорфовых пространств. Каждый счетно бесконечный компакт гомеоморфен некоторому замкнутому интервалу порядковых чисел, снабженному топологией порядка , где — счетно бесконечный ординал. ^[79] Тогда банахово пространство изометрично C (⟨1, α ⟩) . Когда — два счетно бесконечных ординала, и предполагая, что пространства C (⟨1, α ⟩) и C (⟨1, β ⟩) изоморфны тогда и только тогда, когда β < α ^ω . ^[80] Например, банаховы пространства взаимно неизоморфны. ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta ,}$ $${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$$

Примеры

Глоссарий символов для таблицы ниже:

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$обозначает поле действительных чисел или комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle K}$является компактным хаусдорфовым пространством .
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$являются действительными числами, которые являются сопряженными по Гёльдеру , что означает, что они удовлетворяют и, следовательно, также ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$ ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$является -алгеброй множеств. ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \Xi }$является алгеброй множеств (для пространств, требующих только конечной аддитивности, таких как пространство ba ).
• ${\displaystyle \mu }$— это мера с вариацией. Положительная мера — это действительно положительная функция множества, определенная на -алгебре, которая является счетно-аддитивной. ${\displaystyle |\mu |.}$ ${\displaystyle \sigma }$

Производные

Несколько концепций производной могут быть определены на банаховом пространстве. Подробности см. в статьях о производной Фреше и производной Гато . Производная Фреше допускает расширение концепции полной производной на банаховы пространства. Производная Гато допускает расширение производной по направлению на локально выпуклые топологические векторные пространства . Дифференцируемость по Фреше является более сильным условием, чем дифференцируемость по Гато. Квазипроизводная является другим обобщением производной по направлению, которое подразумевает более сильное условие, чем дифференцируемость по Гато, но более слабое условие, чем дифференцируемость по Фреше.

Обобщения

Несколько важных пространств в функциональном анализе, например, пространство всех бесконечно часто дифференцируемых функций или пространство всех распределений на являются полными, но не являются нормированными векторными пространствами и, следовательно, не являются банаховыми пространствами. В пространствах Фреше все еще есть полная метрика , в то время как LF-пространства являются полными равномерными векторными пространствами, возникающими как пределы пространств Фреше. ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Смотрите также

• Пространство (математика)  – математическое множество с некоторой добавленной структурой.
  • Пространство Фреше  – локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
  • Пространство Харди  – Концепция в комплексном анализе
  • Гильбертово пространство  – Тип топологического векторного пространства
  • L-полускадровое произведение  – обобщение скалярных произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
  • ${\displaystyle L^{p}}$пространство  – Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормированные пространства
  • Пространство Соболева  – векторное пространство функций в математике
  • Банахова решетка  – Банахово пространство с совместимой структурой решетки.
• Банахов диск
• Банахово многообразие  – Многообразие, смоделированное на основе банаховых пространств
  • Банахово расслоение  – векторное расслоение, слои которого образуют банаховы пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Проблема искажения
• Интерполяционное пространство
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Модуль и характеристика выпуклости
• Пространство Смита  – полное компактно порожденное локально выпуклое пространство, имеющее универсальный компактPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости
• пространство Цирельсона

Примечания

1. Обычно читают « является нормированным пространством» ${\displaystyle \ X\ }$ вместо более технически правильного, но (обычно) педантичного « является нормированным пространством», ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)}$ особенно если норма хорошо известна (например, как в случае с пространствами ) или когда нет особой необходимости выбирать какую-либо одну (эквивалентную) норму над любой другой (особенно в более абстрактной теории топологических векторных пространств ), в этом случае эта норма (при необходимости) часто автоматически предполагается обозначенной как Однако в ситуациях, когда акцент делается на норме, часто можно увидеть запись вместо Технически правильное определение нормированных пространств как пар может также стать важным в контексте теории категорий , где обычно важно различие между категориями нормированных пространств, нормируемых пространств , метрических пространств , TVS , топологических пространств и т. д. ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}^{p}\ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ X~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$
2. Это означает, что если норма заменяется другой нормой на , то это не то же самое нормированное пространство, что и не , даже если нормы эквивалентны. Однако эквивалентность норм на данном векторном пространстве образует отношение эквивалентности . ${\displaystyle \ \|\cdot \|\ }$ ${\displaystyle \ \|\ \cdot \ \|^{\prime }\ }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),}$
3. Метрика на векторном пространстве называется инвариантной относительно трансляции, если для всех векторов Это происходит тогда и только тогда, когда для всех векторов Метрика, индуцируемая нормой, всегда инвариантна относительно трансляции. ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ D(x,y)=D(x+z,y+z)\ }$ ${\displaystyle \ x,y,z\in X~.}$ ${\displaystyle \ D(x,y)=D(x-y,0)\ }$ ${\displaystyle \ x,y\in X~.}$
4. Поскольку для всех всегда верно, что для всех Поэтому порядок и в этом определении не имеет значения. ${\displaystyle \ \|-z\|=\|z\|\ }$ ${\displaystyle \ z\in X\ ,}$ ${\displaystyle \ d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|\ }$ ${\displaystyle \ x,y\in X~.}$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle y}$
5. Пусть будет сепарабельным гильбертовым пространством квадратично-суммируемых последовательностей с обычной нормой и пусть будет стандартным ортонормированным базисом (то есть в -координате). Замкнутое множество компактно (потому что оно секвенциально компактно ), но его выпуклая оболочка не является замкнутым множеством, поскольку принадлежит замыканию в , но (так как каждая последовательность является конечной выпуклой комбинацией элементов и, таким образом, для всех, кроме конечного числа координат, что неверно для ). Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого компактного подмножества компактна. Вектор подпространство является предгильбертовым пространством , если наделено подструктурой, которую гильбертово пространство индуцирует на нем, но не является полным и (так как ). Замкнутая выпуклая оболочка в (здесь «замкнутый» означает относительно , ​​а не относительно , ​​как и раньше) равна , что не является компактным (потому что оно не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/вполне ограниченной ). ${\displaystyle \ H\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{2}\ }$ ${\displaystyle \ e_{n}=(\ 0,\ldots ,0,1,0,\ldots \ )\ }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \ S=\{\ 0\ \}\cup \left\{\ {\tfrac {1}{n}}e_{n}:n=1,2,\ldots \ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {co} S\ }$ ${\displaystyle \ h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}\ }$ ${\displaystyle \operatorname {co} S\ }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \ \left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in \operatorname {co} S\ }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ z_{n}=0\ }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ K:={\overline {\operatorname {co} }}S\ }$ ${\displaystyle \ X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \left\{\ e_{1},e_{2},\ldots \ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ H\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle \ h\not \in X\ }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
6. Пусть обозначает банахово пространство непрерывных функций с супремум-нормой и пусть обозначает топологию на , индуцированную с помощью Векторного пространства можно идентифицировать (с помощью отображения включения ) как собственное плотное векторное подпространство пространства , которое удовлетворяет для всех Пусть обозначает ограничение L 1 -нормы на , которое делает это отображение нормой на (в общем случае ограничение любой нормы на любое векторное подпространство обязательно снова будет нормой). Нормированное пространство не является банаховым пространством, поскольку его пополнение является собственным надмножеством Поскольку удерживается на отображение непрерывно. Несмотря на это, норма не эквивалентна норме (потому что является полным, но не является). ${\displaystyle \ \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)\ }$ ${\displaystyle \ \tau _{\infty }\ }$ ${\displaystyle \ C([0,1])\ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{\infty }~.}$ ${\displaystyle \ C([0,1])\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ L^{1}\ }$ ${\displaystyle \ \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle \ f\in X~.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right).}$ ${\displaystyle p\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:\left(X,\tau _{\infty }\right)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
7. Нормированное пространство — это банахово пространство , где абсолютное значение является нормой на вещественной прямой , которая индуцирует обычную евклидову топологию на Определим метрику на с помощью для всех Так же, как  индуцированная метрика , метрика также индуцирует обычную евклидову топологию на Однако, не является полной метрикой, поскольку последовательность, определяемая с помощью , является -последовательностью Коши , но она не сходится ни к одной точке из Как следствие несходимости, эта -последовательность Коши не может быть последовательностью Коши в (то есть она не является последовательностью Коши относительно нормы ), поскольку если бы она была -последовательностью Коши, то тот факт, что является банаховым пространством, означал бы, что она сходится (противоречие).Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–51 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}:=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$
8. Утверждение теоремы таково: Пусть — любая метрика на векторном пространстве, такая, что топология, индуцированная ею , превращает в топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство , то — полное топологическое векторное пространство . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
9. Эта метрика не предполагается инвариантной относительно трансляции. Так что, в частности, эта метрика даже не должна быть индуцирована нормой. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
10. Норма (или полунорма ) в топологическом векторном пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда топология , индуцирующая на , грубее , чем (то есть ), что происходит тогда и только тогда, когда существует некоторый открытый шар в (такой как , например), который открыт в ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{p}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \ \{\ x\in X:p(x)<1\ \}\ }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
11. обозначает непрерывное сопряженное пространство для Когда наделено топологией сильного сопряженного пространства , также называемой топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах , то это обозначается записью (иногда вместо ) используется нижний индекс . Когда является нормированным пространством с нормой , то эта топология равна топологии на , индуцированной дуальной нормой . Таким образом, сильная топология является обобщением обычной топологии, индуцированной дуальной нормой , на ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. Тот факт, что открытость подразумевает непрерывность, упрощает доказательство непрерывности, поскольку это означает, что достаточно показать, что открытость для и в (где ), а не показывать это для всех действительных и всех ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in X:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<r\}}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$

Ссылки

1. Бурбаки 1987, V.87
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 93.
3. см. теорему 1.3.9, стр. 20 в Megginson (1998).
4. Вилански 2013, стр. 29.
5. Бессага и Пелчинский 1975, с. 189
6. Андерсон и Шори 1969, с. 315.
7. Хендерсон 1969.
8. Алипрантис и Бордер 2006, с. 185.
9. Трев 2006, стр. 145.
10. Тревес 2006, стр. 166–173.
11. Conrad, Keith. "Эквивалентность норм" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 7 сентября 2020 .
12. см. следствие 1.4.18, стр. 32 в Megginson (1998).
13. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–66.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–51.
15. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
16. Клее, В. Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
17. Трев 2006, стр. 57–69.
18. Трев 2006, стр. 201.
19. Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014)
20. Qiaochu Yuan (23 июня 2012 г.). «Банаховы пространства (и метрики Ловера, и закрытые категории)». Раздражающая точность .
21. Narici & Beckenstein 2011, стр. 192–193.
22. Банах (1932, стр. 182)
23. см. стр. 17–19 в Carothers (2005).
24. см. Банах (1932), стр. 11-12.
25. см. Банах (1932), Т. 9 стр. 185.
26. см. теорему 6.1, стр. 55 в Carothers (2005)
27. Несколько книг по функциональному анализу используют обозначение для непрерывного дуального класса, например, Carothers (2005), Lindenstrauss & Tzafriri (1977), Megginson (1998), Ryan (2002), Wojtaszczyk (1991). ${\displaystyle X^{*}}$
28. Теорема 1.9.6, стр. 75 в Megginson (1998)
29. см. также теорему 2.2.26, стр. 179 в Megginson (1998)
30. см. стр. 19 в Carothers (2005).
31. Теоремы 1.10.16, 1.10.17 стр.94–95 в Megginson (1998)
32. Теорема 1.12.11, стр. 112 в Megginson (1998)
33. Теорема 2.5.16, стр. 216 в Megginson (1998).
34. см. II.A.8, с. 29 в Войтащике (1991)
35. см. теорему 2.6.23, стр. 231 в Megginson (1998).
36. см. Н. Бурбаки, (2004), «Интеграция I», Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . 
37. Eilenberg, Samuel (1942). «Методы банахового пространства в топологии». Annals of Mathematics . 43 (3): 568–579. doi :10.2307/1968812. JSTOR  1968812.
38. см. также Банах (1932), стр. 170 для метризуемых и ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L.}$
39. Амир, Дан (1965). «Об изоморфизмах пространств непрерывных функций». Israel Journal of Mathematics . 3 (4): 205–210. doi : 10.1007/bf03008398 . S2CID  122294213.
40. Камберн, М. (1966). «Обобщенная теорема Банаха–Стоуна». Proc. Amer. Math. Soc . 17 (2): 396–400. doi : 10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9 .И Кэмберн, М. (1967). «Об изоморфизмах с малой границей». Proc. Amer. Math. Soc . 18 (6): 1062–1066. doi : 10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2 .
41. Коэн, Х. Б. (1975). "Изоморфизм связанного 2 между банаховыми пространствами C ( X ) {\displaystyle C(X)}". Proc. Amer. Math. Soc . 50 : 215–217. doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5 .
42. См., например, Arveson, W. (1976). Приглашение в C*-алгебру . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
43. RC James (1951). «Нерефлексивное банахово пространство, изометричное своему второму сопряженному пространству». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 37 (3): 174–177. Bibcode :1951PNAS...37..174J. doi : 10.1073/pnas.37.3.174 . PMC 1063327 . PMID  16588998. 
44. см. Линденштраусс и Цафрири (1977), стр. 25.
45. Bishop, See E.; Phelps, R. (1961). «Доказательство того, что каждое банахово пространство субрефлексивно». Bull. Amer. Math. Soc . 67 : 97–98. doi : 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4 .
46. см. III.C.14, с. 140 у Войтащика (1991).
47. см. следствие 2, стр. 11 в Diestel (1984).
48. см. стр. 85 в Diestel (1984).
49. Rosenthal, Haskell P (1974). "Характеристика банаховых пространств, содержащих ℓ1". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 71 (6): 2411–2413. arXiv : math.FA/9210205 . Bibcode :1974PNAS...71.2411R. doi : 10.1073/pnas.71.6.2411 . PMC 388466 . PMID  16592162. Доказательство Розенталя относится к действительным скалярам. Комплексная версия результата принадлежит Л. Дору в работе Dor, Leonard E (1975). "On sequences spanning a complex ℓ1 space". Proc. Amer. Math. Soc . 47 : 515–516. doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x .
50. см. стр. 201 в Diestel (1984).
51. Оделл, Эдвард В.; Розенталь, Хаскелл П. (1975), «Двойная дуальная характеристика сепарабельных банаховых пространств, содержащих ℓ1» (PDF) , Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 375–384, doi : 10.1007/bf02760341 , S2CID  122391702, архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
52. Оделл и Розенталь, Sublemma, стр. 378 и Remark, стр. 379.
53. для получения дополнительной информации о точечно-компактных подмножествах класса Бэра см. Bourgain, Jean ; Fremlin, DH ; Talagrand, Michel (1978), "Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions", Am. J. Math. , 100 (4): 845–886, doi :10.2307/2373913, JSTOR  2373913.
54. см. Предложение 2.5.14, стр. 215 в Megginson (1998).
55. см., например, стр. 49, II.C.3 у Войтащика (1991).
56. см. следствие 2.8.9, стр. 251 в Megginson (1998).
57. см. Линденштраусс и Цафрири (1977) стр. 3.
58. вопрос появляется на стр. 238, §3 в книге Банаха, Банах (1932).
59. см. С. В. Бочкарев, «Существование базиса в пространстве аналитических в круге функций и некоторые свойства системы Франклина». Матем. сб. (НС) 95(137) (1974), 3–18, 159.
60. см. Enflo, P. (1973). «Контрпример к свойству аппроксимации в банаховых пространствах». Acta Math . 130 : 309–317. doi : 10.1007/bf02392270 . S2CID  120530273.
61. см. RC James, "Bases and reflexivity of Banach spaces". Ann. of Math. (2) 52, (1950). 518–527. См. также Lindenstrauss & Tzafriri (1977) стр. 9.
62. см. А. Гротендик, «Продукты тензорных топологий и ядерных пространств». Память амер. Математика. Соц. 1955 (1955), вып. 16, 140 стр., и А. Гротендик, «Резюме метрической теории топологических тензорных продуктов». Бол. Соц. Мат. Сан-Паулу, 8, 1953, 1–79.
63. см. главу 2, стр. 15 в Райан (2002).
64. см. главу 3, стр. 45 в Райан (2002).
65. см. Пример 2.19, стр. 29 и стр. 49–50 в Ryan (2002).
66. см. Предложение 4.6, стр. 74 в Райане (2002).
67. см. Пизье, Жиль (1983), «Контрпримеры к гипотезе Гротендика», Acta Math. 151 :181–208.
68. см. Szankowski, Andrzej (1981), " не имеет свойства аппроксимации", Acta Math. 147 : 89–108. Райан утверждает, что этот результат принадлежит Per Enflo , стр. 74 в Ryan (2002). ${\displaystyle B(H)}$
69. см. Квапень, С. (1970), «Линейная топологическая характеристика пространств скалярного произведения», Studia Math. 38 :277–278.
70. Линденштраус, Иорам; Цафрири, Лиор (1971). «О проблеме дополнительных подпространств». Israel Journal of Mathematics . 9 (2): 263–269. doi : 10.1007/BF02771592 .
71. см. стр. 245 в Банахе (1932). Свойство однородности там называется «proprieté (15)». Банах пишет: «Он не может найти пример пространства в бесконечных измерениях, которые не имеют изоморфа и обладают собственностью (15)». ${\displaystyle (L^{2}).}$
72. Gowers, WT (1996), "Новая дихотомия для банаховых пространств", Geom. Funct. Anal. 6 :1083–1093.
73. см. Gowers, WT (1994). «Решение проблемы Банаха о гиперплоскости». Bull. London Math. Soc . 26 (6): 523–530. doi :10.1112/blms/26.6.523.
74. см. Коморовский, Рышард А.; Томчак-Йегерманн, Николь (1995). «Банаховы пространства без локальной безусловной структуры». Israel Journal of Mathematics . 89 (1–3): 205–226. arXiv : math/9306211 . doi : 10.1007/bf02808201 . S2CID  5220304.а также Коморовский, Рышард А.; Томчак-Йегерманн, Николь (1998). «Исправление к: Банаховы пространства без локальной безусловной структуры». Israel Journal of Mathematics . 105 : 85–92. arXiv : math/9607205 . doi : 10.1007/bf02780323 . S2CID  18565676.
75. К. Бессага, А. Пелчинский (1975). Избранные темы бесконечномерной топологии. Panstwowe wyd. науке. стр. 177–230.
76. Х. Торунчик (1981). Характеристика топологии гильбертова пространства . Fundamenta Mathematicae. С. 247–262.
77. Милютин, Алексей А. (1966), «Изоморфизм пространств непрерывных функций над компактами мощности континуума». Теория функций, функцион., анализ и прил. Вып. 2 :150–156.
78. Милютин. См. также Rosenthal, Haskell P., "The Banach spaces C(K)" в Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2, 1547–1602, North-Holland, Amsterdam, 2003.
79. Можно взять α = ω ^βn , где — ранг Кантора–Бендиксона и — конечное число точек в -м производном множестве См . Мазуркевич, Стефан ; Серпинский, Вацлав (1920), «Вклад в топологию деномбируемых ансамблей», Fundamenta Mathematicae 1: 17–27. ${\displaystyle \beta +1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K(\beta )}$ ${\displaystyle K.}$
80. Бессага, Чеслав; Пелчинский, Александр (1960), «Пространства непрерывных функций. IV. Об изоморфной классификации пространств непрерывных функций», Studia Math. 19 :53–62.

Библиография

• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Андерсон, РД; Шори, Р. (1969). «Факторы бесконечномерных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 142 . Американское математическое общество (AMS): 315–330. doi :10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (второе издание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC  829157984.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Бозами, Бернард (1985) [1982], Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание), Северная Голландия.* Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe wyd. науке.
• Карозерс, Нил Л. (2005), Краткий курс по теории банахова пространства , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 64, Кембридж: Cambridge University Press, стр. xii+184, ISBN 0-521-84283-2.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах, Graduate Texts in Mathematics, т. 92, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii+261, ISBN 0-387-90859-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. при содействии WG Bade и RG Bartle (1958), Линейные операторы. I. Общая теория , Чистая и прикладная математика, т. 7, Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., MR  0117523
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия являются открытыми подмножествами гильбертова пространства». Bull. Amer. Math. Soc . 75 (4): 759–762. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . MR  0247634.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховые пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-08072-4.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рис, Фредерик ; С.-Надь, Бела (1990) [1955]. Функциональный анализ . Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-66289-6. OCLC  21228994.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Райан, Рэймонд А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Springer Monographs in Mathematics, Лондон: Springer-Verlag, стр. xiv+225, ISBN 1-85233-437-1.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 25, Кембридж: Cambridge University Press, стр. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0.

Внешние ссылки

• «Банахово пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Банаховое пространство». Математический мир .