Нормированное векторное пространство

Векторное пространство, в котором определяется расстояние

Иерархия математических пространств. Нормированные векторные пространства представляют собой надмножество пространств внутреннего произведения и подмножество метрических пространств , которые, в свою очередь, являются подмножеством топологических пространств .

В математике нормированное векторное пространство или нормированное пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами, для которых определена норма . ^[1] Норма – это обобщение интуитивного понятия «длины» в физическом мире. Если — векторное пространство над , где — поле, равное или , то нормой на является карта , обычно обозначаемая , удовлетворяющая следующим четырем аксиомам: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. Неотрицательность: для каждого , . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. Положительная определенность: для каждого тогда и только тогда, когда — нулевой вектор. ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$ ${\displaystyle x}$
3. Абсолютная однородность: для каждого и , ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle x\in V}$ $${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. Неравенство треугольника : для каждого и , ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in V}$ $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Если это действительное или комплексное векторное пространство, как указано выше, и норма на , то упорядоченная пара называется нормированным векторным пространством. Если из контекста ясно, о какой норме идет речь, то нормированное векторное пространство принято обозначать просто через . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$ ${\displaystyle V}$

Норма порождает расстояние , называемое ее индуцированной (нормой) метрикой , по формуле , которая превращает любое нормированное векторное пространство в метрическое пространство и топологическое векторное пространство . Если это метрическое пространство полно , то нормированное пространство является банаховым . Каждое нормированное векторное пространство может быть «единственно расширено» до банахова пространства, что делает нормированные пространства тесно связанными с банаховыми пространствами. Каждое банахово пространство является нормированным, но обратное неверно. Например, множество конечных последовательностей действительных чисел может быть нормировано евклидовой нормой , но оно не является полным для этой нормы. $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

Пространство внутреннего продукта — это нормированное векторное пространство, норма которого равна квадратному корню из внутреннего произведения вектора и самого себя. Евклидова норма евклидова векторного пространства является частным случаем, позволяющим определить евклидово расстояние по формуле $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

Изучение нормированных пространств и банаховых пространств является фундаментальной частью функционального анализа , основной области математики.

Определение

Нормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженное нормой . АПолунормированное векторное пространство — векторное пространство, снабженноеполунормой.

Полезный вариант неравенства треугольника предназначен для любых векторов и $${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Это также показывает, что векторная норма является (равномерно) непрерывной функцией .

Свойство 3 зависит от выбора нормы поля скаляров. Когда скалярное поле (или, в более общем смысле, является подмножеством ), обычно считается обычным абсолютным значением , но возможны и другие варианты. Например, для векторного пространства над единицей можно принять -адическое абсолютное значение . ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle p}$

Топологическая структура

Если это нормированное векторное пространство, норма индуцирует метрику (понятие расстояния ) и, следовательно, топологию на Эта метрика определяется естественным образом: расстояние между двумя векторами и определяется формулой Эта топология в точности является самой слабой топологией, которая делает непрерывна и совместима с линейной структурой в следующем смысле: ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V}$

1. Сложение векторов является совместно непрерывным относительно этой топологии. Это следует непосредственно из неравенства треугольника . ${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. Скалярное умножение где - основное скалярное поле является совместно непрерывным. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы. ${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle V,}$

Аналогично, для любого полунормированного векторного пространства мы можем определить расстояние между двумя векторами и как. Это превращает полунормированное пространство в псевдометрическое пространство (обратите внимание, что оно слабее, чем метрика) и позволяет определить такие понятия, как непрерывность и сходимость . Говоря более абстрактно, каждое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, следовательно, несет топологическую структуру , индуцированную полунормой. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, известные как банаховы пространства . Каждое нормированное векторное пространство представляет собой плотное подпространство внутри некоторого банахова пространства; это банахово пространство по существу однозначно определяется и называется пополнением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Две нормы в одном и том же векторном пространстве называются эквивалентными , если они определяют одну и ту же топологию . В конечномерном векторном пространстве все нормы эквивалентны, но это неверно для бесконечномерных векторных пространств.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, поскольку они порождают одну и ту же топологию (хотя результирующие метрические пространства не обязательно должны быть одинаковыми). ^[2] А поскольку любое евклидово пространство полно, мы можем заключить, что все конечномерные нормированные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство локально компактно тогда и только тогда , когда единичный шар компактен , что имеет место тогда и только тогда, когда оно конечномерно; это следствие леммы Рисса . (На самом деле верен более общий результат: топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Дело здесь в том, что мы не предполагаем, что топология возникает из нормы.) ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle V}$

Топология полунормированного векторного пространства обладает множеством интересных свойств. Имея систему окрестностей около 0, мы можем построить все остальные системы окрестностей, как в случае ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

Более того, существует базис окрестности начала координат, состоящий из поглощающего и выпуклого множеств . Поскольку это свойство очень полезно в функциональном анализе , обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются под названием локально выпуклых пространств .

Норма (или полунорма ) в топологическом векторном пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда топология , индуцирующая on, грубее , чем (то есть ), что происходит тогда и только тогда, когда существует некоторый открытый шар в (например, например ), который открыт (сказал по-другому, такой, что ). ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in \tau }$

Нормируемые помещения

Топологическое векторное пространство называется нормируемым , если существует такая норма , что каноническая метрика индуцирует топологию на. Следующая теорема принадлежит Колмогорову : ^[3] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Критерий нормируемости Колмогорова : топологическое векторное пространство Хаусдорфа нормируемо тогда и только тогда, когда существует выпуклая ограниченная по фон Нейману окрестность ${\displaystyle 0\in X.}$

Произведение семейства нормируемых пространств нормируется тогда и только тогда, когда конечное число пространств нетривиально (т. е. ). ^[3] Кроме того, фактор нормируемого пространства по замкнутому векторному подпространству является нормируемым, и если, кроме того, топология ' задается нормой , то отображение , заданное формулой, является четко определенной нормой на , которая индуцирует фактортопологию на ^{[4] ]} ${\displaystyle \neq \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$ ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ ${\displaystyle X/C}$ ${\displaystyle X/C.}$

Если это хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$это нормально.
2. ${\displaystyle X}$имеет ограниченную окрестность начала координат.
3. сильное дуальное пространство нормировано . ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
4. сильное дуальное пространство метризуемо . ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того, конечномерно тогда и только тогда, когда нормируемо (здесь обозначает наделенное слабой топологией ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Топология пространства Фреше , определенная в статье о пространствах основных функций и распределений , определяется счетным семейством норм, но это не нормируемое пространство, поскольку не существует такой нормы , в которой топология, которую эта норма индуцирует, равно ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$

Даже если метризуемое топологическое векторное пространство имеет топологию, определяемую семейством норм, оно, тем не менее, может не быть нормируемым пространством (это означает, что его топология не может быть определена какой-либо одной нормой). Примером такого пространства является пространство Фреше , определение которого можно найти в статье о пространствах основных функций и распределений , поскольку его топология определяется счетным семейством норм, но оно не является нормируемым пространством, поскольку не существует ни одного норма на таком, что топология, которую индуцирует эта норма, равна Фактически, топология локально выпуклого пространства может быть определена семейством норм тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на ^[6] ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейные карты и двойственные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения . Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категорию .

Норма — это непрерывная функция в своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрия между двумя нормированными векторными пространствами — это линейное отображение , сохраняющее норму (то есть для всех векторов ). Изометрии всегда непрерывны и инъективны . Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами и называется изометрическим изоморфизмом , а и называются изометрически изоморфными . Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства идентичны для всех практических целей. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы дополняем понятие двойственного пространства , чтобы принять во внимание норму. Двойственным нормированному векторному пространству является пространство всех непрерывных линейных отображений от базового поля (комплексов или вещественных чисел) — такие линейные отображения называются «функционалами». Норма функционала определяется как верхняя граница где пробегает все единичные вектора (то есть векторы нормы ) в Это превращается в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах в нормированных векторных пространствах является теорема Хана–Банаха . ${\displaystyle V^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V^{\prime }}$

Нормированные пространства как фактор-пространства полунормированных пространств

Определение многих нормированных пространств (в частности, банаховых пространств ) включает полунорму, определенную в векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторпространство по подпространству элементов нулевой полунормы. Например, в пространствах функция, определенная как, является полунормой в векторном пространстве всех функций, на которых интеграл Лебега в правой части определен и конечен. Однако полунорма равна нулю для любой функции, поддерживаемой на множестве нулевой меры Лебега . Эти функции образуют подпространство, которое мы «факторизируем», делая их эквивалентными нулевой функции. ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

Конечные пространства продуктов

Данные полунормированные пространства с полунормами обозначают пространство произведений , где сложение векторов определяется как и скалярное умножение определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$ ${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

Определите новую функцию , которая является полунормой. Функция является нормой тогда и только тогда, когда все функции являются нормами. ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{i}}$

В более общем смысле, для каждого вещественного числа карта, определенная как, является полунормой. Для каждого из них определяется одно и то же топологическое пространство. ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle p}$

Прямой аргумент, связанный с элементарной линейной алгеброй, показывает, что единственными конечномерными полунормированными пространствами являются те, которые возникают как произведение пространства нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой. Следовательно, многие из наиболее интересных примеров и применений полунормированных пространств встречаются в бесконечномерных векторных пространствах.

Смотрите также

• Банахово пространство , нормированные векторные пространства, полные относительно метрики, индуцированной нормой
• Компакт Банаха – Мазура  - Концепция функционального анализа
• Финслерово многообразие , где длина каждого касательного вектора определяется нормой
• Пространство внутреннего продукта , нормированные векторные пространства, где норма задается внутренним продуктом.
• Критерий нормируемости Колмогорова  - Характеристика нормируемых пространств
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Рекомендации

1. Каллиер, Фрэнк М. (1991). Теория линейных систем . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-Х.
2. Кедлая, Киран С. (2010),p -адические дифференциальные уравнения , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 125, Издательство Кембриджского университета , CiteSeerX  10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5, Теорема 1.3.6
3. Шефер 1999, стр. 41.
4. Шефер 1999, с. 42.
5. Trèves 2006, стр. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.
6. Ярчоу 1981, с. 130. sfn error: no target: CITEREFJarchow1981 (help)

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), том. 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: Издательство Д. Рейделя; PWN — Польское научное издательство, стр. xvi+524, номер номера : 10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN. 90-277-2186-6, МР  0920371, OCLC  13064804
• Шефер, Х.Х. (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с нормированными пространствами, на Викискладе?