Банахово пространство

Полное нормированное векторное пространство

В математике , точнее в функциональном анализе , банахово пространство (произносится [ˈbanax] ) является полным нормированным векторным пространством . Таким образом, банахово пространство — это векторное пространство с метрикой , которая позволяет вычислять длину вектора и расстояние между векторами и является полным в том смысле, что последовательность векторов Коши всегда сходится к четко определенному пределу , находящемуся внутри пространства.

Банаховы пространства названы в честь польского математика Стефана Банаха , который ввёл это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Гансом Ханом и Эдуардом Хелли . ^[1] Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «банахово пространство», а Банах, в свою очередь, затем ввел термин « пространство Фреше ». [ ^2] Банаховые пространства первоначально возникли в результате изучения функциональных пространств Гильбертом , Фреше и Риссом в начале века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа изучаемые пространства часто являются банаховыми пространствами.

Определение

Банахово пространство — это полное нормированное пространство. Нормированное пространство — это пара ^{[примечание 1]} , состоящая из векторного пространства над скалярным полем (где обычно или ) вместе с выделенной ^{[примечание 2]} нормой . Как и все нормы, эта норма индуцирует трансляционный инвариант ^{[примечание 3]} функция расстояния , называемая канонической или ( нормально ) индуцированной метрикой , определенная для всех векторов в ^{[примечании 4]} ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x,y\in X}$

$${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|.}$$

пространство.Коши в-Коши-Коши ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r}$$

банаховым пространствомполной метрикой,полным метрическим пространствомпоследовательности Коши ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d)}$$

${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0\;{\text{ in }}\mathbb {R} .}$$

Норма нормированного пространства называется ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$полная норма , если— банахово пространство. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

L-полувнутренний продукт

Для любого нормированного пространства существует L-полускалярное произведение на таком, что для всех ; в общем случае может существовать бесконечно много L-полукачалых произведений, удовлетворяющих этому условию. L-полускалярные произведения — это обобщение скалярных произведений , которые фундаментально отличают гильбертово пространство от всех других банаховых пространств. Это показывает, что все нормированные пространства (и, следовательно, все банаховы пространства) можно рассматривать как обобщения (пре)гильбертовых пространств. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|),}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Характеристика по сериям

Структура векторного пространства позволяет связать поведение последовательностей Коши с поведением сходящихся рядов векторов . Нормированное пространство является банаховым тогда и только тогда, когда каждый абсолютно сходящийся ряд по сходится в ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implies that }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converges in }}\ \ X.}$$

Топология

Каноническая метрика нормированного пространства индуцирует обычную метрическую топологию , которая называется канонической или нормо-индуцированной топологией . Автоматически предполагается, что каждое нормированное пространство несет эту топологию Хаусдорфа , если не указано иное. В этой топологии каждое банахово пространство является пространством Бэра , хотя существуют нормированные пространства, которые являются бэровскими, но не банаховыми. ^[4] Норма всегда является непрерывной функцией относительно топологии, которую она индуцирует. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \tau _{d}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R} }$

Открытый и замкнутый шары радиуса с центром в точке представляют собой соответственно множества ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle B_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}$$

выпуклымограниченным подмножествомкомпактныйокрестностьконечномерным векторным пространствомлокально компактнымсвойством Гейне–Бореля ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle s\neq 0}$

$${\displaystyle x_{0}+sB_{r}(x)=B_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+sC_{r}(x)=C_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right).}$$

трансляционно-инвариантной ,замкнутоокрестностью основа ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}.}$

$${\displaystyle \left\{B_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{C_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\}}$$

${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r_{n}:=1/n}$ ${\displaystyle r_{n}:=1/2^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}B_{1}(0)}$$

счетнымсепарабельным пространствомплотное подмножество ${\displaystyle I\subseteq U,}$ ${\displaystyle r_{x}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{x}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Классы гомеоморфизма сепарабельных банаховых пространств

Все конечномерные нормированные пространства являются сепарабельными банаховыми пространствами, и любые два банаховых пространства одной и той же конечной размерности линейно гомеоморфны. Каждое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство линейно изометрически изоморфно сепарабельному гильбертовому пространству последовательностей ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ со своей обычной нормой ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}.}$

Теорема Андерсона-Кадека утверждает, что каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно пространству произведений счетного числа копий ( этот гомеоморфизм не обязательно должен быть линейным отображением ). ^{[5] [6]} Таким образом, все бесконечномерные сепарабельные пространства Фреше гомеоморфны друг другу (или, другими словами, их топология единственна с точностью до гомеоморфизма). Поскольку каждое банахово пространство является пространством Фреше, это также верно для всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств, включая фактически даже гомеоморфное своей собственной единичной сфере , которая резко контрастирует с конечномерными пространствами ( евклидова плоскость не является пространством Фреше). гомеоморфен единичному кругу , например). ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \left\{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Этот образец в классах гомеоморфизма распространяется на обобщения метризуемых ( локально евклидовых ) топологических многообразий , известных как метрические банаховы многообразия , которые представляют собой метрические пространства , окружающие каждую точку, локально гомеоморфные некоторому открытому подмножеству данного банахового пространства (метрические гильбертовые многообразия и метрические гильбертовы многообразия и метрические Фреше) . многообразия определяются аналогично). ^[6] Например, каждое открытое подмножество банахова пространства канонически является метрическим банаховым многообразием, смоделированным на нем, поскольку отображение включения является открытым локальным гомеоморфизмом . Используя микрорасслоения гильбертового пространства , Дэвид Хендерсон показал ^[7] в 1969 году, что каждое метрическое многообразие, смоделированное на сепарабельном бесконечномерном банаховом пространстве (или пространстве Фреше ) , может быть топологически вложено как открытое подмножество и, следовательно, также допускает уникальную гладкую структуру, создающую его в гильбертово многообразие . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Компактные и выпуклые подмножества

Существует компактное подмножество , выпуклая оболочка которого не замкнута и, следовательно, также не компактна ( пример см. в этой сноске ^{[примечание 5] ). [8]} Однако, как и во всех банаховых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого (и любого другого) компактного подмножества будет компактной. ^[9] Но если нормированное пространство не полно, то, как правило, не гарантируется, что оно будет компактным, когда бы оно ни было; пример ^{[примечание 5]} можно найти даже в (неполном) предгильбертовом векторном подпространстве ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Как топологическое векторное пространство

Эта топология, индуцированная нормами, также образует так называемое топологическое векторное пространство (TVS), которое по определению представляет собой векторное пространство, наделенное топологией, делающей операции сложения и скалярного умножения непрерывными. Подчеркивается, что ТВС представляет собой лишь векторное пространство с топологией определенного типа; то есть, если рассматривать его как TVS, он не связан с какой-либо конкретной нормой или показателем (оба из которых « забыты »). Эта ТВС Хаусдорфа даже локально выпукла , поскольку множество всех открытых шаров с центрами в начале координат образует базис окрестности в начале координат, состоящий из выпуклых сбалансированных открытых множеств. Эта ТВС также является нормируемой , что по определению относится к любой ТВС, топология которой индуцирована некоторой (возможно, неизвестной) нормой . Нормальные TVS характеризуются хаусдорфовой структурой и ограниченной выпуклой окрестностью начала координат. Все банаховы пространства являются бочоночными пространствами , что означает, что каждая бочка находится в окрестности начала координат (например, все замкнутые шары с центром в начале координат являются бочками) и гарантирует выполнение теоремы Банаха – Штейнхауза . ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$

Сравнение полных метризуемых векторных топологий

Теорема об открытом отображении подразумевает, что если и являются топологиями , которые превращают оба и в полные метризуемые TVS (например, банаховы пространства или пространства Фреше ), и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (то есть, если или затем ). ^[10] Так, например, если и являются банаховыми пространствами с топологиями и если в одном из этих пространств есть некоторый открытый шар, который также является открытым подмножеством другого пространства (или, что то же самое, если один из или непрерывен), то их топологии тождественны и их нормы эквивалентны . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau =\tau _{2}}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle \tau _{q}}$ ${\displaystyle p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R} }$

Полнота

Полные нормы и эквивалентные нормы

Две нормы и в векторном пространстве называются эквивалентными , если они порождают одну и ту же топологию; ^[11] это происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа такие, что для всех Если и — две эквивалентные нормы в векторном пространстве, то оно является банаховым пространством тогда и только тогда, когда — банахово пространство. В этой сноске приведен пример непрерывной нормы в банаховом пространстве, которая не эквивалентна заданной норме этого банахового пространства. ^{[примечание 6] [11]} Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны, и каждое конечномерное нормированное пространство является банаховым пространством. ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c,C>0}$ ${\textstyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

Полные нормы против полных показателей

Метрика в векторном пространстве индуцируется нормой тогда и только тогда, когда она трансляционно-инвариантна ^{[примечание 3]} и абсолютно однородна , что означает, что для всех скаляров и во всех случаях функция определяет норму и каноническую метрику, индуцированную равно ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle D.}$

Предположим, что это нормированное пространство и это нормальная топология, индуцированная на. Предположим, что это любая метрика на такая, что топология, индуцирующая on , равна Если трансляционно -инвариантно ^{[примечание 3]} , то является банаховым пространством тогда и только тогда, когда является полным метрическое пространство. ^[13] Если оно не является трансляционно-инвариантным, то возможно, что оно является банаховым пространством, но не является полным метрическим пространством ^[14] ( пример см. в этой сноске ^{[примечание 7] ).} Напротив, теорема Клее ^{[15] , [16] [примечание 8]} , которая также применима ко всем метризуемым топологическим векторным пространствам , предполагает, что если существует какая-либо ^{[примечание 9]} полная метрика на , которая индуцирует нормальную топологию , то это Банахово пространство. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

Пространство Фреше — это локально выпуклое топологическое векторное пространство , топология которого индуцирована некоторой трансляционно-инвариантной полной метрикой. Каждое банахово пространство является пространством Фреше, но не наоборот; действительно, существуют даже пространства Фреше, в которых ни одна норма не является непрерывной функцией (например, пространство вещественных последовательностей с топологией произведения ). Однако топология каждого пространства Фреше индуцируется некоторым счетным семейством вещественных (обязательно непрерывных) отображений, называемых полунормами , которые являются обобщениями норм . Пространство Фреше даже может иметь топологию, индуцированную счетным семейством норм (такие нормы обязательно должны быть непрерывными) ^{[примечание 10] [17]} , но не быть банаховым/ нормируемым пространством , поскольку его топология не может определяться какой-либо одной нормой. Примером такого пространства является пространство Фреше , определение которого можно найти в статье о пространствах основных функций и распределений . ${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

Полные нормы против полных топологических векторных пространств

Помимо метрической полноты, существует еще одно понятие полноты — понятие полного топологического векторного пространства (TVS) или TVS-полноты, которое использует теорию равномерных пространств . В частности, понятие TVS-полноты использует уникальную трансляционно-инвариантную однородность , называемую канонической однородностью , которая зависит только от векторного вычитания и топологии , которой наделено векторное пространство, и поэтому, в частности, это понятие TVS-полноты является независимым. какой бы нормы ни была вызвана топология (и это относится даже к TVS, которые даже не метризуемы). Каждое банахово пространство является полным TVS. Более того, нормированное пространство является банаховым пространством (то есть его индуцированная нормой метрика полна) тогда и только тогда, когда оно полно как топологическое векторное пространство. Если это метризуемое топологическое векторное пространство (например, любая топология, индуцированная нормой), то оно является полным TVS тогда и только тогда, когда оно является секвенциально полным TVS, а это означает, что достаточно проверить, что каждая последовательность Коши в сходится к некоторой точки (т. е. нет необходимости рассматривать более общее понятие произвольных сетей Коши ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Если — топологическое векторное пространство, топология которого индуцирована некоторой (возможно, неизвестной) нормой (такие пространства называются нормируемыми ), то оно является полным топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда может быть задана норма , которая индуцирует топологию , а также превращает ее в банахово пространство. Хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство нормируемо, ^[18] в этом случае является банаховым пространством ( обозначает сильное двойственное пространство , топология которого является обобщением двойственной топологии, индуцированной нормой на непрерывное двойственное пространство ( подробнее см. в этой сноске ^{[примечание 11] ).} Если — метризуемое локально выпуклое TVS, то нормируемо тогда и только тогда, когда — пространство Фреше–Урысона . ^[19] Это показывает, что в категории локально выпуклых TVS банаховыми пространствами являются в точности те полные пространства, которые одновременно метризуемы и имеют метризуемые сильные двойственные пространства . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Завершения

Каждое нормированное пространство можно изометрически вложить в плотное векторное подпространство некоторого банахова пространства, где это банахово пространство называется пополнением нормированного пространства. Это пополнение по Хаусдорфу единственно с точностью до изометрического изоморфизма.

Точнее, для каждого нормированного пространства существуют банахово пространство и такое отображение , которое является изометрическим отображением и плотно в If - другое банахово пространство такое, что существует изометрический изоморфизм из на плотное подмножество then изометрически изоморфно этому банаховому пространству. Пространство является Хаусдорфовым пополнением нормированного пространства. Базовое метрическое пространство для такое же, как и метрическое пополнение с операциями векторного пространства, расширенными от до . Завершение иногда обозначается ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

Общая теория

Линейные операторы, изоморфизмы

Если и являются нормированными пространствами над одним и тем же основным полем, множество всех непрерывных -линейных отображений обозначается как В бесконечномерных пространствах не все линейные отображения непрерывны. Линейное отображение нормированного пространства в другое нормированное пространство непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено на замкнутом единичном шаре . Таким образом, векторному пространству можно придать операторную норму ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

$${\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}$$

Для банахового пространства оно является банаховым пространством относительно этой нормы. В категориальном контексте иногда удобно ограничить функциональное пространство между двумя банаховыми пространствами только короткими отображениями ; в этом случае пространство вновь появляется как естественный бифунктор . ^[20] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Если — банахово пространство, то оно образует банахову алгебру с единицей ; операция умножения задается композицией линейных отображений. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

Если и - нормированные пространства, они являются изоморфными нормированными пространствами , если существует линейная биекция такая, что и ее обратная непрерывны. Если одно из двух пространств или является полным (или рефлексивным , сепарабельным и т. д.), то и другое пространство является полным. Два нормированных пространства и изометрически изоморфны, если, кроме того, является изометрией , то есть для каждого в Расстояние Банаха – Мазура между двумя изоморфными, но не изометрическими пространствами и дает меру того, насколько эти два пространства и различаются. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Непрерывные и ограниченные линейные функции и полунормы

Каждый непрерывный линейный оператор является ограниченным линейным оператором , и если мы имеем дело только с нормированными пространствами, то обратное также верно. То есть линейный оператор между двумя нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он является непрерывной функцией . Так, в частности, поскольку скалярное поле (которое есть или ) является нормированным пространством, линейный функционал в нормированном пространстве является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным функционалом . Это позволяет применять результаты, связанные с непрерывностью (подобные приведенным ниже), к банаховым пространствам. Хотя ограниченность — это то же самое, что непрерывность для линейных отображений между нормированными пространствами, термин «ограниченный» чаще используется, когда речь идет в первую очередь о банаховых пространствах. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если - субаддитивная функция (такая как норма, сублинейная функция или вещественный линейный функционал), то ^[21] непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда равномерно непрерывна на всех ; и если, кроме того , то является непрерывным тогда и только тогда, когда его абсолютное значение непрерывно, что происходит тогда и только тогда, когда является открытым подмножеством из ^{[21] [примечание 12]} И очень важно для применения теоремы Хана-Банаха , линейный функционал есть непрерывен тогда и только тогда, когда это верно в отношении его вещественной части и, более того, причем действительная часть полностью определяет , поэтому теорему Хана–Банаха часто формулируют только для вещественных линейных функционалов. Кроме того, линейный функционал на непрерывен тогда и только тогда, когда полунорма непрерывна, что происходит тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма такая, что ; это последнее утверждение, включающее линейный функционал и полунорму , встречается во многих версиях теоремы Хана – Банаха. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Основные понятия

Декартово произведение двух нормированных пространств канонически не снабжено нормой. Однако обычно используются несколько эквивалентных норм, ^[22] таких как ${\displaystyle X\times Y}$

$${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$

ив^[20] ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y}$

Если — замкнутое линейное подпространство нормированного пространства, то в факторпространстве существует естественная норма. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$

$${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

Фактор является банаховым пространством, когда оно полно. ^[23] Факторное отображение от on- посылки к своему классу является линейным, on и имеет норму, за исключением случаев, когда фактор является нулевым пространством. ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x+M,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M=X,}$

Замкнутое линейное подпространство называется дополненным подпространством if - это образ сюръективного ограниченного линейного проектора . В этом случае пространство изоморфно прямой сумме и ядру проектора. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker P,}$ ${\displaystyle P.}$

Предположим, что и являются банаховыми пространствами и что существует каноническая факторизация as ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$$

${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x+\ker T}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X),}$

Классические пространства

Основные примеры ^[24] банаховых пространств включают: пространства Lp и их частные случаи, пространства последовательностей , состоящие из скалярных последовательностей, индексированных натуральными числами ; среди них пространство абсолютно суммируемых последовательностей и пространство суммируемых с квадратом последовательностей; пространство последовательностей, стремящихся к нулю, и пространство ограниченных последовательностей; пространство непрерывных скалярных функций на компакте Хаусдорфа, снабженном максимальной нормой, ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K,}$

$${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

Согласно теореме Банаха–Мазура каждое банахово пространство изометрически изоморфно подпространству некоторого ^[25]. Для каждого сепарабельного банахова пространства существует замкнутое подпространство такое , что ^[26] ${\displaystyle C(K).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

Любое гильбертово пространство служит примером банахового пространства. Гильбертово пространство на полно для нормы вида ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$

$${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$

внутренний продукт

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

Например, пространство является гильбертовым. ${\displaystyle L^{2}}$

Пространства Харди , пространства Соболева являются примерами банаховых пространств, родственных пространствам и имеющих дополнительную структуру. Они важны в различных областях анализа, в том числе в гармоническом анализе и уравнениях в частных производных. ${\displaystyle L^{p}}$

Банаховы алгебры

Банахова алгебра — это банахово пространство над или вместе со структурой алгебры над , такое, что отображение произведения непрерывно. Эквивалентную норму на можно найти так, что для всех ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Примеры

• Банахово пространство с поточечным произведением является банаховой алгеброй. ${\displaystyle C(K)}$
• Дисковая алгебра состоит из функций , голоморфных в открытом единичном диске и непрерывных на его замыкании : Замкнутая подалгебра дисковой алгебры имеет максимальную норму . ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• Алгебра Винера — это алгебра функций на единичной окружности с абсолютно сходящимся рядом Фурье. С помощью отображения, связывающего функцию с последовательностью ее коэффициентов Фурье, эта алгебра изоморфна банаховой алгебре, где произведение представляет собой свертку последовательностей. ${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• Для каждого банахова пространства пространство ограниченных линейных операторов с композицией отображений в качестве произведения является банаховой алгеброй. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• С *-алгебра — это комплексная банахова алгебра с антилинейной инволюцией такая, что Пространство ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве является фундаментальным примером С*-алгебры. Теорема Гельфанда–Наймарка утверждает, что каждая C*-алгебра изометрически изоморфна C*-подалгебре некоторой. Пространство комплексных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве является примером коммутативной C*-алгебры, где инволюция сопоставляется каждой функция , ее комплексно-сопряженная ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

Двойное пространство

Если — нормированное пространство и базовое поле (действительное или комплексное число ), непрерывное двойственное пространство — это пространство непрерывных линейных отображений из в или непрерывных линейных функционалов . Обозначения непрерывного двойственного есть в этой статье. ^[27] Поскольку это банахово пространство (с использованием абсолютного значения в качестве нормы), двойственное пространство является банаховым пространством для любого нормированного пространства. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Основным инструментом доказательства существования непрерывных линейных функционалов является теорема Хана–Банаха .

Теорема Хана – Банаха. Пусть  —  векторное пространство над полем. Пусть далее ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

• ${\displaystyle Y\subseteq X}$быть линейным подпространством ,
• ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$быть сублинейной функцией и
• ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {K} }$быть линейным функционалом , так что для всех ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

Тогда существует линейный функционал такой, что ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} }$

$${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}$$

В частности, всякий непрерывный линейный функционал на подпространстве нормированного пространства можно непрерывно продолжить на все пространство, не увеличивая норму функционала. ^[28] Важным частным случаем является следующий: для каждого вектора в нормированном пространстве существует непрерывный линейный функционал на таком, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.}$$

Если не равен вектору , функционал должен иметь норму единицу и называется нормирующим функционалом для ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Теорема Хана-Банаха о разделении утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых множества в реальном банаховом пространстве, одно из которых открытое, могут быть разделены замкнутой аффинной гиперплоскостью . Открытое выпуклое множество лежит строго по одну сторону от гиперплоскости, второе выпуклое множество лежит по другую сторону, но может касаться гиперплоскости. ^[29]

Подмножество в банаховом пространстве является полным , если его линейная оболочка плотна в . Подмножество тотально в том и только в том случае, если единственный непрерывный линейный функционал, обращающийся в нуль , является функционалом : эта эквивалентность следует из теоремы Хана – Банаха. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Если является прямой суммой двух замкнутых линейных подпространств , и тогда двойственное из них изоморфно прямой сумме двойственных и ^[30] Если является замкнутым линейным подпространством в одном, можно сопоставить ортогональное в двойственном, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle M^{bot}=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.}$$

Ортогональ — это замкнутое линейное подпространство двойственного. Двойственный изометрически изоморфен Двойственный изометрически изоморфен ^[31] ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$

Двойственное сепарабельному банаховому пространству не обязательно должно быть сепарабельным, но:

Теорема ^[32]  —  Пусть — нормированное пространство. Если сепарабельно , то сепарабельно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

В случае сепарабельности приведенный выше критерий полноты можно использовать для доказательства существования счетного общего подмножества в ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

Слабые топологии

Слабая топология банахова пространства — это самая грубая топология , в которой все элементы непрерывного дуального пространства непрерывны. Таким образом, нормальная топология тоньше слабой топологии. Из теоремы Хана–Банаха о разделении следует, что слабая топология является Хаусдорфовой и что выпуклое по норме подмножество банахова пространства также слабо замкнуто. ^[33] Непрерывное по норме линейное отображение между двумя банаховыми пространствами , а также слабо непрерывное , то есть непрерывное от слабой топологии до топологии из ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Если бесконечномерно, то существуют линейные отображения, которые не являются непрерывными. Пространство всех линейных отображений из в основное поле (это пространство называется алгебраическим двойственным пространством , чтобы отличить его от также индуцирует топологию , которая тоньше , чем слабая топология, и гораздо реже используется в функциональном анализе. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

В дуальном пространстве существует топология более слабая, чем слабая топология, называемая слабой* топологией . Это самая грубая топология, в которой все оценочные карты , превышающие диапазоны, являются непрерывными. Его важность вытекает из теоремы Банаха – Алаоглу . ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

Теорема Банаха – Алаоглу. Пусть  —  нормированное векторное пространство . Тогда замкнутый единичный шар дуального пространства компактен в слабой топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}}$

Теорему Банаха–Алаоглу можно доказать, используя теорему Тихонова о бесконечных произведениях компактов Хаусдорфа. В случае сепарабельности единичный шар двойственного является метризуемым компактом в слабой* топологии. ^[35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$

Примеры двойственных пространств

Двойственный изометрически изоморфен : для каждого ограниченного линейного функционала на существует единственный элемент такой, что ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

Двойственный из изометрически изоморфен . Двойственное пространство Лебега изометрически изоморфно тому, когда и ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{q}([0,1])}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Для каждого вектора в гильбертовом пространстве отображение ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

определяет непрерывный линейный функционал на. Теорема о представлении Рисса утверждает , что каждый непрерывный линейный функционал на имеет форму для однозначно определенного вектора в. Отображение представляет собой антилинейную изометрическую биекцию на его двойственное значение. Когда скаляры вещественны, это отображение является изометрическим изоморфизмом. . ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'.}$

Если — компактное топологическое пространство Хаусдорфа, то двойственным ему является пространство мер Радона в смысле Бурбаки. ^[36] Подмножество , состоящее из неотрицательных мер массы 1 ( вероятностных мер ), является выпуклым w*-замкнутым подмножеством единичного шара Крайними точками являются меры Дирака на множестве мер Дирака, снабженных w * -топология гомеоморфна ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle M(K).}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$

Теорема Банаха – Стоуна  .  Еслииявляются компактными хаусдорфовыми пространствами и еслии изометрически изоморфны , то топологические пространстваигомеоморфны. ^{[37] [38]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Этот результат был распространен Амиром ^[39] и Камберном ^[40] на случай, когда мультипликативное расстояние Банаха–Мазура между и равно. Теорема больше не верна, когда расстояние равно ^[41] ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle <2.}$ ${\displaystyle =2.}$

В коммутативной банаховой алгебре максимальные идеалы являются в точности ядрами мер Дирака на ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K,}$

$${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

В более общем смысле, по теореме Гельфанда–Мазура , максимальные идеалы коммутативной банаховой алгебры с единицей могут быть отождествлены с ее характерами — не просто как множества, но и как топологические пространства: первые с топологией оболочки-ядра , а вторые с топологией w*. -топология. В этой идентификации максимальное идеальное пространство можно рассматривать как aw*-компактное подмножество единичного шара в двойственном ${\displaystyle A'.}$

Теорема  .  Если — компактное хаусдорфово пространство, то максимальное идеальное пространство банаховой алгебры гомеоморфно ^[37 ] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$

Не каждая коммутативная банахова алгебра с единицей имеет вид некоторого компактного хаусдорфова пространства. Однако это утверждение справедливо, если поместить ее в меньшую категорию коммутативных С*-алгебр . Теорема Гельфанда о представлении коммутативных C*-алгебр утверждает, что каждая коммутативная единичная C *-алгебра изометрически изоморфна пространству . ^[42] Хаусдорфовый компакт здесь снова является максимальным идеальным пространством, также называемым спектром в контексте C*-алгебры. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

Бидуальный

Если пространство нормированное, то (непрерывное) двойственное к двойственному называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X'}$двусторонний , иливторой двойник Для каждого нормированного пространствасуществует естественное отображение, ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Это определяет как непрерывный линейный функционал , то есть элемент карты является линейным отображением от до. Как следствие существования нормирующего функционала для каждого этого отображения, оно изометрично, а значит, инъективно . ${\displaystyle F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle F_{X}:x\to F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F_{X}}$

Например, двойственное отождествляется с , а двойственное отождествляется с пространством ограниченных скалярных последовательностей. При этих отождествлениях отображение включения из в действительно изометрично, но не изометрично. ${\displaystyle X=c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Если сюръективно , то нормированное пространство называется рефлексивным (см. ниже) . Будучи двойственным нормированному пространству, бидуальное пространство является полным, следовательно, каждое рефлексивное нормированное пространство является банаховым пространством. ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Используя изометрическое вложение, нормированное пространство принято рассматривать как подмножество его бидуального. Если пространство банахово, оно рассматривается как замкнутое линейное подпространство. Если оно не рефлексивно, то единичный шар является собственным подмножеством единичного шара. Теорема Голдстайна утверждает , что единичный шар нормированного пространства слабо*-плотен. в единичном шаре бидуала. Другими словами, для каждого в бидуале существует сеть , так что ${\displaystyle F_{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.}$$

Сеть может быть заменена слабо*-сходящейся последовательностью, если двойственная сеть сепарабельна. С другой стороны, элементы бидуала, которых нет в, не могут быть слабым*-пределом последовательностей в, поскольку слабо секвенциально полны. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Теоремы Банаха

Вот основные общие результаты о банаховых пространствах, восходящие ко временам книги Банаха (Банах (1932)) и связанные с теоремой Бэра о категориях . Согласно этой теореме, полное метрическое пространство (такое как банахово пространство, пространство Фреше или F-пространство ) не может быть равно объединению счетного числа замкнутых подмножеств с пустыми внутренностями . Следовательно, банахово пространство не может быть объединением счетного числа замкнутых подпространств, если оно уже не равно одному из них; Банахово пространство со счетным базисом Гамеля конечномерно.

Теорема Банаха – Штейнхауза  .  Пусть— банахово пространство, а— нормированное векторное пространство . Предположим, чтоэто набор непрерывных линейных операторов отдо.Принцип равномерной ограниченности гласит, что если для всехмыимеемто ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .}$

Теорема Банаха–Штайнхауза не ограничивается банаховыми пространствами. Его можно распространить, например, на случай, когда - пространство Фреше , при условии, что заключение будет изменено следующим образом: при той же гипотезе существует окрестность in такая, что все in равномерно ограничены на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$

$${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$$

Теорема об открытом отображении  .  Пустьи —банахово пространство, и— сюръективный непрерывный линейный оператор, тогдаэто открытое отображение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Следствие  .  Каждый взаимно однозначный ограниченный линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство является изоморфизмом.

Первая теорема об изоморфизме банаховых пространств  .  Предположим, что и являются банаховыми пространствами, и что. Предположим, далее, что область значений замкнута в Тогда изоморфна ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X).}$

Этот результат является прямым следствием предыдущей банаховой теоремы об изоморфизме и канонической факторизации ограниченных линейных отображений.

Следствие  .  Если банахово пространство является внутренней прямой суммой замкнутых подпространств, то оно изоморфно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.}$

Это еще одно следствие теоремы Банаха об изоморфизме, примененной к непрерывной биекции из на отправку в сумму ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{n}}$ ${\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

Теорема о замкнутом графе  .  Пусть— линейное отображение между банаховыми пространствами. График функциизамкнуттогда и только тогда, когданепрерывен. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle T}$

Рефлексивность

Нормированное пространство называется рефлексивным , если естественное отображение ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Теорема  .  Если — рефлексивное банахово пространство, то каждое замкнутое подпространство и каждое факторпространство рефлексивны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Это следствие теоремы Хана–Банаха. Далее, по теореме об открытом отображении, если существует ограниченный линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство, то он рефлексивен. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$

Теорема  .  Если пространство банахово, то оно рефлексивно тогда и только тогда, когда оно рефлексивно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Следствие. Пусть  —  рефлексивное банахово пространство. Тогда сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Действительно, если двойственное к банаховому пространству сепарабельно, то оно сепарабельно. Если рефлексивно и сепарабельно, то двойственное сепарабельно, поэтому сепарабельно. ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Теорема  .  Предположим, что это нормированные пространства и что Тогда рефлексивно тогда и только тогда, когда каждое из них рефлексивно. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$

Гильбертовые пространства рефлексивны. Пространства рефлексивны, когда. В более общем смысле, равномерно выпуклые пространства рефлексивны по теореме Милмана-Петтиса . Пространства не рефлексивны. В этих примерах нерефлексивных пространств бидуальное пространство «намного больше», чем А именно, при естественном изометрическом вложении в , заданном теоремой Хана – Банаха, фактор бесконечномерен и даже неразделим. Однако Роберт К. Джеймс построил пример ^[43] нерефлексивного пространства, обычно называемого « пространством Джеймса » и обозначаемого ^[44], такого, что фактор является одномерным. Более того, это пространство изометрически изоморфно своему бидуалу. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle J^{\prime \prime }/J}$ ${\displaystyle J}$

Теорема  .  Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его единичный шар компактен в слабой топологии . ${\displaystyle X}$

Если рефлексивно, то все замкнутые и ограниченные выпуклые подмножества слабо компактны. В гильбертовом пространстве слабая компактность единичного шара очень часто используется следующим образом: каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящиеся подпоследовательности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$

Слабая компактность единичного шара дает инструмент для поиска решений в рефлексивных пространствах некоторых оптимизационных задач . Например, каждая выпуклая непрерывная функция на единичном шаре рефлексивного пространства достигает минимума в некоторой точке. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Как частный случай предыдущего результата, когда рефлексивное пространство над каждым непрерывным линейным функционалом в достигает максимума на единичном шаре. Следующая теорема Роберта К. Джеймса дает обратное утверждение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема Джеймса  .  Для банахового пространства следующие два свойства эквивалентны:

• ${\displaystyle X}$является рефлексивным.
• для всего там существует с тем, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1,}$ ${\displaystyle f(x)=\|f\|.}$

Теорему можно расширить, чтобы дать характеристику слабо компактных выпуклых множеств.

На каждом нерефлексивном банаховом пространстве существуют непрерывные линейные функционалы, не доходящие до нормы . Однако теорема Бишопа – Фелпса ^[45] утверждает, что функционалы, достигающие нормы, плотны по норме в двойственном к ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Слабые сходимости последовательностей

Последовательность в банаховом пространстве слабо сходится к вектору , если сходится к для любого непрерывного линейного функционала в двойственном. Последовательность является слабо* последовательностью Коши , если сходится к скалярному пределу для каждого из . Последовательность в двойственном пространстве слабо* сходится к Функционал , если сходится к для всех в слабо сходящихся последовательностях Коши, слабо сходящиеся и слабо* сходящиеся последовательности ограничены по норме, как следствие теоремы Банаха – Штейнгауза . ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle L(f),,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Когда последовательность в является слабо последовательностью Коши, приведенный выше предел определяет ограниченный линейный функционал на двойственном , то есть элемент бидуального и является пределом в слабой *-топологии бидуального. Банахово пространство является слабо секвенциально полным, если каждая слабо секвенциально полная последовательность в. Из предыдущего обсуждения следует, что рефлексивные пространства слабо секвенциально полны. ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема ^[46]  —  Для каждой меры пространство слабо секвенциально полно. ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве является простым примером слабо сходящейся последовательности с пределом, равным вектору . Базис единичного вектора for или of является еще одним примером слабо нулевой последовательности , то есть последовательности, которая слабо сходится к Для каждой слабо нулевой последовательности в банаховом пространстве существует последовательность выпуклых комбинаций векторов из данной последовательности, которая сходится по норме к ^[47] ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

Базис единичных векторов не является слабо Коши. Слабо последовательности Коши в слабо сходятся, так как -пространства слабо секвенциально полны. Действительно, слабо сходящиеся последовательности в сходятся по норме. ^[48] ​​Это означает, что удовлетворяет свойству Шура . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Результаты с участием базиса ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Слабо последовательности Коши и базис представляют собой противоположные случаи дихотомии, установленной в следующем глубоком результате Г. П. Розенталя. ^[49] ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Теорема ^[50]  —  Пусть — ограниченная последовательность в банаховом пространстве. Либо имеет слабо подпоследовательность Коши, либо допускает подпоследовательность, эквивалентную стандартному базису единичных векторов ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Дополнение к этому результату принадлежит Оделлу и Розенталю (1975).

Теорема ^[51]  —  Пусть — сепарабельное банахово пространство. Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

• Пространство не содержит замкнутого подпространства, изоморфного ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
• Каждый элемент бидуала является слабым*-пределом последовательности в ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

По теореме Голдстайна каждый элемент единичного шара является слабым*-пределом сети в единичном шаре When не содержит каждого элемента является слабым*-пределом последовательности в единичном шаре из ^[52] ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Когда банахово пространство сепарабельно, единичный шар дуального устройства, снабженный слабой *-топологией, является метризуемым компактом ^[35] , и каждый элемент в бидуальном пространстве определяет ограниченную функцию на : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.}$$

Эта функция непрерывна для компактной топологии тогда и только тогда, когда она фактически рассматривается как подмножество Предположим, в дополнение к остальной части абзаца, которая не содержит . Согласно предыдущему результату Оделла и Розенталя, функция является поточечным пределом следовательно, последовательность непрерывных функций на нем является функцией первого класса Бэра на Единичный шар бидуала представляет собой точечно-компактное подмножество первого класса Бэра на ^[53] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}\subseteq X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$

Последовательности, слабая и слабая* компактность

В случае сепарабельности единичный шар двойственного шара является слабо*-компактным по теореме Банаха–Алаоглу и метризуем для слабой* топологии ^[35] , следовательно, каждая ограниченная последовательность в двойственном элементе имеет слабо* сходящиеся подпоследовательности. Это относится к сепарабельным рефлексивным пространствам, но в данном случае верно и другое, как указано ниже. ${\displaystyle X}$

Слабая топология банахова пространства метризуема тогда и только тогда, когда она конечномерна. ^[54] Если двойственный шар сепарабельен, то слабая топология единичного шара метризуема. Это относится, в частности, к сепарабельным рефлексивным банаховым пространствам. Хотя слабая топология единичного шара, вообще говоря, не метризуема, слабую компактность можно охарактеризовать с помощью последовательностей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Эберлейна–Шмуляна ^[55]  —  Множествов банаховом пространстве относительно слабо компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательностьв немимеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle A}$

Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная последовательность в нем имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Слабо компактное подмножество в компактно по норме. Действительно, каждая последовательность в имеет слабо сходящиеся подпоследовательности по Эберлейну–Шмулиану, которые сходятся по норме по свойству Шура ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Тип и котип

Способ классификации банаховых пространств заключается в использовании вероятностного понятия типа и котипа : эти два параметра измеряют, насколько далеко банахово пространство находится от гильбертова пространства.

Базы Шаудера

Базис Шаудера в банаховом пространстве — это последовательность векторов со свойством, что для каждого вектора существуют однозначно определенные скаляры , зависящие от таких, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$$

Банаховы пространства с базисом Шаудера обязательно сепарабельны , поскольку счетное множество конечных линейных комбинаций с рациональными коэффициентами (скажем) плотно.

Из теоремы Банаха–Штайнхауза следует, что линейные отображения равномерно ограничены некоторой константой. Обозначим через координатные функционалы, которые сопоставляются каждому в координате в приведенном выше разложении. Их называют биортогональными функционалами . Когда базисные векторы имеют норму, координатные функционалы имеют норму в двойственном к ${\displaystyle \left\{P_{n}\right\}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle \,\leq 2C}$ ${\displaystyle X.}$

Большинство классических сепарабельных пространств имеют явные базы. Система Хаара является базисом для Тригонометрическая система является базисом в когда Система Шаудера является базисом в пространстве ^[57] Вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра базис ^[58] оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев показал в 1974 году, что допускает базис, построенный на основе системы Франклина . ^[59] ${\displaystyle \left\{h_{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$

Поскольку каждый вектор в банаховом пространстве с базисом является пределом с конечного ранга и равномерно ограничен, пространство удовлетворяет свойству ограниченной аппроксимации . Первый пример Энфло пространства, не обладающего свойством аппроксимации, был в то же время первым примером сепарабельного банахова пространства без базиса Шаудера. ^[60] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{n}(x),}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Роберт К. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис одновременно сжимающийся и ограниченно полный . ^[61] В этом случае биортогональные функционалы образуют базис двойственного к ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Тензорное произведение

Пусть и — два -векторных пространства. Тензорное произведение и представляет собой -векторное пространство с билинейным отображением , которое обладает следующим универсальным свойством : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$

Если есть какое-либо билинейное отображение в -векторное пространство , то существует единственное линейное отображение такое, что ${\displaystyle T_{1}:X\times Y\to Z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z_{1},}$ ${\displaystyle f:Z\to Z_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}=f\circ T.}$

Образ пары в обозначается и называется простым тензором . Каждый элемент в является конечной суммой таких простых тензоров. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$

Существуют различные нормы, которые можно поместить в тензорное произведение лежащих в основе векторных пространств, среди прочего проективная кросс-норма и инъективная кросс-норма , введенные А. Гротендиком в 1955 году ^{. [62]}

В общем случае тензорное произведение полных пространств снова не является полным. При работе с банаховыми пространствами принято говорить, что проективное тензорное произведение ^[63] двух банаховых пространств и является пополнением алгебраического тензорного произведения, снабженного проективной тензорной нормой, и аналогично для инъективного тензорного произведения ^[64] Гротендик доказано, в частности, что ^[65] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K,Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1],Y)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y.}$

Тензорные произведения и свойство аппроксимации

Пусть — банахово пространство. Тензорное произведение изометрически отождествляется с замыканием множества операторов конечного ранга. При наличии свойства аппроксимации это замыкание совпадает с пространством компактных операторов на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Для каждого банахова пространства существует линейное отображение естественной нормы. ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$

проблему аппроксимации ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$

^[66] ${\displaystyle X}$

Гротендик предположил, что и должны быть разными, если и являются бесконечномерными банаховыми пространствами. Это было опровергнуто Жилем Пизье в 1983 году. ^[67] Пизье построил бесконечномерное банахово пространство такое, что и равны. Более того, как и в примере Энфло , это пространство представляет собой «созданное вручную» пространство, не обладающее свойством аппроксимации. С другой стороны, Шанковский доказал, что классическое пространство не обладает свойством аппроксимации. ^[68] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\left(\ell ^{2}\right)}$

Некоторые результаты классификации

Характеризации гильбертова пространства среди банаховых пространств

Необходимым и достаточным условием того, чтобы норма банахова пространства была связана со скалярным произведением, является тождество параллелограмма : ${\displaystyle X}$

Параллелограммная идентичность  —  для всех ${\displaystyle x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).}$

Из этого следует, например, что пространство Лебега является гильбертовым пространством только в том случае , если это тождество удовлетворено, соответствующий внутренний продукт задается тождеством поляризации . В случае реальных скаляров это дает: ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle p=2.}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Для комплексных скаляров определение внутреннего продукта так, чтобы оно было -линейным в антилинейном по идентичности поляризации, дает: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).}$$

Чтобы убедиться в достаточности закона параллелограмма, необходимо заметить, что в реальном случае он симметричен, а в комплексном случае он удовлетворяет свойству эрмитовой симметрии . Из закона параллелограмма следует, что он аддитивен. Отсюда следует, что он линейен относительно рациональных чисел. , таким образом, линейный по непрерывности. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x.}$

Доступно несколько характеризаций пространств, изоморфных (а не изометрических) гильбертовым пространствам. Закон параллелограмма можно распространить на более чем два вектора и ослабить введением двустороннего неравенства с константой : Квапинь доказал, что если ${\displaystyle c\geq 1}$

$${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}}$$

^[69]теоремы Парсеваля ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ave} _{\pm }}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1.}$

Линденштраус и Цафрири доказали, что банахово пространство, в котором каждое замкнутое линейное подпространство дополнимо (т. е. является областью ограниченного линейного проектора), изоморфно гильбертовому пространству. ^[70] Доказательство опирается на теорему Дворецкого о евклидовых сечениях многомерных центрально-симметричных выпуклых тел. Другими словами, теорема Дворецкого утверждает, что для каждого целого числа любое конечномерное нормированное пространство размерности, достаточно большой по сравнению с, содержит подпространства, почти изометричные -мерному евклидову пространству. ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

Следующий результат дает решение так называемой проблемы однородного пространства . Бесконечномерное банахово пространство называется однородным , если оно изоморфно всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам. Банахово пространство, изоморфное , однородно, и Банах требовал обратного. ^[71] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Теорема ^[72]  —  Банахово пространство, изоморфное всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам, изоморфно сепарабельному гильбертовому пространству.

Бесконечномерное банахово пространство наследственно неразложимо , если ни одно его подпространство не может быть изоморфно прямой сумме двух бесконечномерных банаховых пространств. Теорема о дихотомии Гауэрса ^[72] утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство содержит либо подпространство с безусловным базисом , либо наследственно неразложимое подпространство и, в частности, не изоморфно своим замкнутым гиперплоскостям. ^[73] Если оно однородно, то оно, следовательно, должно иметь безусловную основу. Тогда из частного решения, полученного Коморовским и Томчаком–Егерманном для пространств с безусловным базисом, следует ^[74] , которое изоморфно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Метрическая классификация

Если - изометрия банахова пространства на банахово пространство (где оба и являются векторными пространствами над ), то теорема Мазура-Улама утверждает, что это должно быть аффинное преобразование. В частности, если это отображает ноль в ноль, то оно должно быть линейным. Из этого результата следует, что метрика в банаховых пространствах и, в более общем смысле, в нормированных пространствах, полностью отражает их линейную структуру. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T}$

Топологическая классификация

Конечномерные банаховы пространства гомеоморфны как топологические пространства тогда и только тогда, когда они имеют ту же размерность, что и вещественные векторные пространства.

Теорема Андерсона–Кадека (1965–66) доказывает ^[75] , что любые два бесконечномерных сепарабельных банаховых пространства гомеоморфны как топологические пространства. Теорема Кадека была расширена Торунчиком, который доказал ^[76] , что любые два банаховых пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характер плотности , минимальную мощность плотного подмножества.

Пространства непрерывных функций

Когда два компакта Хаусдорфа и гомеоморфны , банаховы пространства и изометричны. И наоборот, когда не гомеоморфно (мультипликативному) расстоянию Банаха – Мазура между и должно быть больше или равно, чтобы увидеть выше результаты Амира и Камберна. Хотя несчетные компакты метрических пространств могут иметь разные типы гомеоморфности, Милютин имеет следующий результат: ^[77] ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2},}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle 2,}$

Теорема ^[78]  —  Пусть — несчетное компактное метрическое пространство. Тогда изоморфен ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$

Иная ситуация для счетно-бесконечных бикомпактов. Всякий счетный компакт гомеоморфен некоторому замкнутому интервалу порядковых чисел. ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$$

топологией порядка^[79]C (⟨1, α ⟩)C (⟨1, α ⟩)C (⟨1, β ⟩)β < α ^ω[80] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta ,}$

$${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$$

Примеры

Словарь символов для таблицы ниже:

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$обозначает поле действительных чисел или комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle K}$является компактным Хаусдорфовым пространством .
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$являются действительными числами , которые являются сопряженными по Гельдеру , что означает, что они удовлетворяют и, следовательно, также ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$ ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$является -алгеброй множеств. ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \Xi }$является алгеброй множеств (для пространств, требующих только конечной аддитивности, таких как пространство ba ).
• ${\displaystyle \mu }$— мера с вариацией . Положительная мера — это вещественная положительная функция множества, определенная на -алгебре, которая счетно-аддитивна. ${\displaystyle |\mu |.}$ ${\displaystyle \sigma }$

Производные

В банаховом пространстве можно определить несколько понятий производной. Подробности см. в статьях о производной Фреше и производной Гато . Производная Фреше позволяет расширить концепцию полной производной на банаховы пространства. Производная Гато позволяет расширить производную по направлению на локально выпуклые топологические векторные пространства . Дифференцируемость по Фреше является более сильным условием, чем дифференцируемость по Гато. Квазипроизводная — это еще одно обобщение производной по направлению, которое подразумевает более сильное условие, чем дифференцируемость Гато, но более слабое условие, чем дифференцируемость по Фреше .

Обобщения

Некоторые важные пространства в функциональном анализе, например пространство всех бесконечно часто дифференцируемых функций или пространство всех распределений , являются полными, но не являются нормированными векторными пространствами и, следовательно, не банаховыми пространствами. В пространствах Фреше еще имеется полная метрика , тогда как LF-пространства представляют собой полные равномерные векторные пространства, возникающие как пределы пространств Фреше. ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Смотрите также

• Пространство (математика)  - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
  • Пространство Фреше  - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
  • Пространство Харди  – концепция комплексного анализа
  • Гильбертово пространство  - тип топологического векторного пространства.
  • L-полувнутренний продукт  - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
  • ${\displaystyle L^{p}}$пространство  - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.
  • Пространство Соболева  - Векторное пространство функций в математике.
  • Банахова решетка  - банахово пространство с совместимой структурой решетки.
• Банахов диск
• Банахово многообразие  - Многообразие, смоделированное на банаховых пространствах.
  • Банахово расслоение  - векторное расслоение, слои которого образуют банахово пространство.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Проблема искажений
• Интерполяционное пространство
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Модуль и характеристика выпуклости
• Пространство Смита  – полное компактно порожденное локально-выпуклое пространство, имеющее универсальный компакт.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.
• Пространство Цирельсона

Примечания

1. Обычно читают « является нормированным пространством» ${\displaystyle X}$ вместо более технически правильного, но (обычно) педантического « является нормированным пространством», ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ особенно если норма хорошо известна (например, как с пробелами ) или когда есть нет особой необходимости выбирать какую-либо одну (эквивалентную) норму перед любой другой (особенно в более абстрактной теории топологических векторных пространств ), и в этом случае эта норма (при необходимости) часто автоматически предполагается обозначаемой через Однако в ситуациях, когда акцент помещается на норму, вместо нее обычно пишут. Технически правильное определение нормированных пространств как пар может также стать важным в контексте теории категорий , где различие между категориями нормированных пространств, нормируемых пространств , метрических пространств , TVS , топологические пространства и т. д. обычно важны. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$
2. Это означает, что если норма заменяется другой нормой, то это не то же самое нормированное пространство, даже если нормы эквивалентны. Однако эквивалентность норм в данном векторном пространстве действительно образует отношение эквивалентности . ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),}$
3. Метрика векторного пространства называется трансляционно-инвариантной, если для всех векторов. Это происходит тогда и только тогда, когда для всех векторов Метрика, индуцированная нормой, всегда трансляционно-инвариантна. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x-y,0)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. Потому что для всех всегда верно то, что для всех. Так что порядок и в этом определении не имеет значения. ${\displaystyle \|-z\|=\|z\|}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
5. Пусть - сепарабельное гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей с обычной нормой , и пусть - стандартный ортонормированный базис (то есть в -координате). Замкнутое множество компактно (поскольку оно секвенциально компактно ), но его выпуклая оболочка не является замкнутым множеством, поскольку принадлежит замыканию in но (поскольку каждая последовательность представляет собой конечную выпуклую комбинацию элементов и поэтому для всех координат, кроме конечного числа, что не соответствует действительности ). Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого компактного подмножества компактна. Векторное подпространство является предгильбертовым пространством , если оно наделено подструктурой, которую индуцирует на нем гильбертово пространство, но не является полным и (поскольку ). Замкнутая выпуклая оболочка in (здесь «закрытая» означает относительно, а не относительно, как раньше) равна тому, что не является компактным (поскольку оно не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/полностью ограниченной ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}:n=1,2,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{n}=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \left\{e_{1},e_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
6. Обозначим банахово пространство непрерывных функций с супремумной нормой и обозначим топологию, индуцированную векторным пространством , которое можно идентифицировать (с помощью карты включения ) как собственное плотное векторное подпространство пространства , которое удовлетворяет для всех . Обозначим ограничение L 1 -нормы , которая делает это отображение нормой (вообще, ограничение любой нормы на любое векторное подпространство обязательно снова будет нормой) . Нормированное пространство не является банаховым пространством, поскольку его пополнение является собственным надмножеством. Поскольку выражение на отображении непрерывно. Несмотря на это, норма не эквивалентна норме (потому что полна, но не является). ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\infty }}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }.}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right),}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right).}$ ${\displaystyle p\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:\left(X,\tau _{\infty }\right)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
7. Нормированное пространство - это банахово пространство, где абсолютное значение является нормой на действительной прямой , что индуцирует обычную евклидову топологию на Определить метрику на by для всех Точно так же, как  индуцированная метрика, метрика также индуцирует обычную евклидову топологию на Однако , не является полной метрикой, поскольку последовательность, определенная как , является последовательностью Коши , но она не сходится ни к одной точке. Последовательность Коши относительно нормы ), потому что если бы она была -Коши, то из того факта, что это банахово пространство, следовало бы, что оно сходится (противоречие).Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–51. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}:=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$
8. Формулировка теоремы такова: пусть – любая метрика векторного пространства такая, что топология, индуцированная on , превращается в топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство, то — полное топологическое векторное пространство . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
9. Эта метрика не считается трансляционно-инвариантной. В частности, эта метрика даже не обязательно должна быть индуцирована нормой. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
10. Норма (или полунорма ) в топологическом векторном пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда топология , индуцирующая on, грубее , чем (то есть ), что происходит тогда и только тогда , когда существует некоторый открытый шар (например, например) который открыт в ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{p}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
11. обозначает непрерывное двойственное пространство . Когда наделено топологией сильного двойственного пространства , также называемой топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах , тогда это обозначается буквой (иногда вместо ). Если — нормированное пространство с нормой, то эта топология равна топологии на, индуцированной двойственной нормой . Таким образом, сильная топология является обобщением обычной двойственной топологии, индуцированной нормой, на ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. Тот факт, что открытость подразумевает непрерывность, упрощает доказательство непрерывности, поскольку это означает, что достаточно показать, что открыто для и в (где ), а не показывать это для всех реальных и всех ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in X:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<r\}}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$

Рекомендации

1. Бурбаки 1987, Т.87.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 93.
3. см. теорему 1.3.9, с. 20 в Меггинсоне (1998).
4. Виланский 2013, с. 29.
5. Бессага и Пелчинский 1975, с. 189
6. Андерсон и Шори 1969, с. 315.
7. Хендерсон 1969.
8. Алипрантис и Бордер 2006, с. 185.
9. Тревес 2006, с. 145.
10. Тревес 2006, стр. 166–173.
11. Конрад, Кейт. «Эквивалентность норм» (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 7 сентября 2020 г.
12. см. следствие 1.4.18, с. 32 в Меггинсоне (1998).
13. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–66.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–51.
15. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
16. Клее, В.Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 3 (3): 484–487. дои : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
17. Тревес 2006, стр. 57–69.
18. Тревес 2006, с. 201.
19. Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014).
20. Цяочу Юань (23 июня 2012 г.). «Банаховые пространства (и метрики Ловера, и закрытые категории)». Раздражающая точность .
21. Narici & Beckenstein 2011, стр. 192–193.
22. Банах (1932, стр. 182)
23. см. стр. 17–19 в Carothers (2005).
24. см. Банах (1932), стр. 11-12.
25. см. Банах (1932), Th. 9 с. 185.
26. см. теорему 6.1, с. 55 в Карозерсе (2005)
27. В нескольких книгах по функциональному анализу используются обозначения непрерывного двойственного числа, например Каротерс (2005), Линденштраусс и Цафрири (1977), Меггинсон (1998), Райан (2002), Войтащик (1991). ${\displaystyle X^{*}}$
28. Теорема 1.9.6, с. 75 в Меггинсоне (1998)
29. см. также теорему 2.2.26, с. 179 в Меггинсоне (1998)
30. см. стр. 19 в Каротерсе (2005).
31. Теоремы 1.10.16, 1.10.17, стр. 94–95 в Megginson (1998).
32. Теорема 1.12.11, с. 112 в Меггинсоне (1998)
33. Теорема 2.5.16, с. 216 в Меггинсоне (1998).
34. см. II.A.8, с. 29 в Войтащике (1991)
35. см. теорему 2.6.23, с. 231 в Меггинсоне (1998).
36. см. Н. Бурбаки, (2004), «Интеграция I», Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . 
37. Эйленберг, Сэмюэл (1942). «Методы банахового пространства в топологии». Анналы математики . 43 (3): 568–579. дои : 10.2307/1968812. JSTOR  1968812.
38. см. также Банах (1932), с. 170 для метризуемых и ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L.}$
39. Амир, Дэн (1965). «Об изоморфизмах непрерывных функциональных пространств». Израильский математический журнал . 3 (4): 205–210. дои : 10.1007/bf03008398 . S2CID  122294213.
40. Камберн, М. (1966). «Обобщенная теорема Банаха – Стоуна». Учеб. амер. Математика. Соц . 17 (2): 396–400. дои : 10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9 .И Камберн, М. (1967). «Об изоморфизмах с малой границей». Учеб. амер. Математика. Соц . 18 (6): 1062–1066. дои : 10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2 .
41. Коэн, HB (1975). «Изоморфизм границ двух между банаховыми пространствами C ( X ) {\displaystyle C(X)}». Учеб. амер. Математика. Соц . 50 : 215–217. дои : 10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5 .
42. См., например , Арвесон, В. (1976). Приглашение к C*-алгебре . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90176-0.
43. RC Джеймс (1951). «Нерефлексивное банахово пространство, изометрическое со своим вторым сопряженным пространством». Учеб. Натл. акад. наук. США . 37 (3): 174–177. Бибкод : 1951PNAS...37..174J. дои : 10.1073/pnas.37.3.174 . ПМЦ 1063327 . ПМИД  16588998. 
44. см. Линденштраусс и Цафрири (1977), стр. 25.
45. епископ, См. E.; Фелпс, Р. (1961). «Доказательство того, что каждое банахово пространство субрефлексивно». Бык. амер. Математика. Соц . 67 : 97–98. дои : 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4 .
46. см. III.C.14, с. 140 у Войтащика (1991).
47. см. следствие 2, с. 11 в Дистеле (1984).
48. см. стр. 85 в Дистеле (1984).
49. Розенталь, Хаскелл П. (1974). «Характеризация банаховых пространств, содержащих ℓ1». Учеб. Натл. акад. наук. США . 71 (6): 2411–2413. arXiv : math.FA/9210205 . Бибкод : 1974PNAS...71.2411R. дои : 10.1073/pnas.71.6.2411 . ПМЦ 388466 . ПМИД  16592162. Доказательство Розенталя относится к действительным скалярам. Комплексная версия результата принадлежит Л. Дору в работе Dor, Leonard E (1975). «О последовательностях, охватывающих комплексное пространство ℓ1». Учеб. амер. Математика. Соц . 47 : 515–516. дои : 10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x .
50. см. стр. 201 в Дистеле (1984).
51. Оделл, Эдвард В.; Розенталь, Хаскелл П. (1975), «Двойная двойственная характеристика сепарабельных банаховых пространств, содержащих ℓ1» (PDF) , Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 375–384, doi : 10.1007/bf02760341 , S2CID  122391702 , заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г..
52. Оделл и Розенталь, Сублемма, с. 378 и примечание с. 379.
53. дополнительную информацию о поточечно-компактных подмножествах класса Бэра см. в Bourgain, Jean ; Фремлин, Д.Х.; Талагран, Мишель (1978), «Поточечные компактные множества функций, измеримых по Бэру», Am. Дж. Математика. , 100 (4): 845–886, номер документа : 10.2307/2373913, JSTOR  2373913..
54. см. предложение 2.5.14, с. 215 в Меггинсоне (1998).
55. см., например, стр. 49, II.C.3 у Войтащика (1991).
56. см. следствие 2.8.9, с. 251 в Меггинсоне (1998).
57. см. Линденштраусс и Цафрири (1977), стр. 3.
58. появляется вопрос стр. 238, §3 в книге Банаха Банах (1932).
59. см. С. В. Бочкарев, «Существование базиса в пространстве аналитических в круге функций и некоторые свойства системы Франклина». (русский) Мат. Сб. (НС) 95(137) (1974), 3–18, 159.
60. см. Энфло, П. (1973). «Контрпример к свойству аппроксимации в банаховых пространствах». Акта математика . 130 : 309–317. дои : 10.1007/bf02392270 . S2CID  120530273.
61. см. Р. К. Джеймс, «Базисы и рефлексивность банаховых пространств». Анна. математики. (2) 52, (1950). 518–527. См. также Линденштраусс и Цафрири (1977), с. 9.
62. см. А. Гротендик, «Продукты тензорных топологий и ядерных пространств». Память амер. Математика. Соц. 1955 (1955), вып. 16, 140 стр., и А. Гротендик, «Резюме метрической теории топологических тензорных продуктов». Бол. Соц. Мат. Сан-Паулу, 8, 1953, 1–79.
63. см. гл. 2, с. 15 в Райане (2002).
64. см. гл. 3, с. 45 в Райане (2002).
65. см. Пример. 2.19, с. 29 и стр. 49–50 у Райана (2002).
66. см. предложение 4.6, с. 74 в Райане (2002).
67. см. Писье, Жиль (1983), «Контрпримеры к гипотезе Гротендика», Acta Math. 151 : 181–208.
68. см. Шанковский, Анджей (1981), « не обладает свойством аппроксимации», Acta Math. 147 : 89–108. Райан утверждает, что этот результат принадлежит Перу Энфло , с. 74 в Райане (2002). ${\displaystyle B(H)}$
69. см. Квапинь, С. (1970), «Линейная топологическая характеристика пространств внутреннего продукта», Studia Math. 38 : 277–278.
70. Линденштраусс, Йорам; Цафрири, Лиор (1971). «О проблеме дополняемых подпространств». Израильский математический журнал . 9 (2): 263–269. дои : 10.1007/BF02771592 .
71. см. стр. 245 в Банахе (1932). Свойство однородности там называется «proprieté (15)». Банах пишет: «Он не знает примера пространства в бесконечных измерениях, которые, без изоморфа, обладают собственностью (15)». ${\displaystyle (L^{2}).}$
72. Gowers, WT (1996), «Новая дихотомия банаховых пространств», Geom. Функц. Анальный. 6 : 1083–1093.
73. см. Gowers, WT (1994). «Решение проблемы гиперплоскости Банаха». Бык. Лондонская математика. Соц . 26 (6): 523–530. дои : 10.1112/blms/26.6.523.
74. см. Коморовский, Рышард А.; Томчак-Егерманн, Николь (1995). «Банаховы пространства без локальной безусловной структуры». Израильский математический журнал . 89 (1–3): 205–226. arXiv : математика/9306211 . дои : 10.1007/bf02808201 . S2CID  5220304.а также Коморовский, Рышард А.; Томчак-Егерманн, Николь (1998). «Ошибка: банаховы пространства без локальной безусловной структуры». Израильский математический журнал . 105 : 85–92. arXiv : математика/9607205 . дои : 10.1007/bf02780323 . S2CID  18565676.
75. К. Бессага, А. Пелчинский (1975). Избранные темы бесконечномерной топологии. Panstwowe wyd. наукове. стр. 177–230.
76. Х. Торунчик (1981). Характеристика топологии гильбертова пространства . Фундамента Математика. стр. 247–262.
77. Милютин, Алексей А. (1966), "Изоморфизм пространств непрерывных функций над компактами мощности континуума". (Русский) Теор. Функциональный функционал. Анальный. я приложен. Вып. 2 : 150–156.
78. Милютин. См. также Розенталь, Хаскелл П., «Банаховые пространства C(K)» в Справочнике по геометрии банаховых пространств, Vol. 2, 1547–1602, Северная Голландия, Амстердам, 2003.
79. Можно взять α = ω ^βn , где – ранг Кантора–Бендиксона и – конечное число точек в -м производном множестве См . Мазуркевич, Стефан ; Серпинский, Вацлав (1920), «Вклад в топологию деномбируемых ансамблей», Fundamenta Mathematicae 1: 17–27. ${\displaystyle \beta +1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K(\beta )}$ ${\displaystyle K.}$
80. Бессага, Чеслав; Пелчинский, Александр (1960), «Пространства непрерывных функций. IV. Об изоморфной классификации пространств непрерывных функций», Studia Math. 19 :53–62.

Библиография

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. ОСЛК  262692874.
• Андерсон, РД; Шори, Р. (1969). «Факторы бесконечномерных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество (AMS). 142 : 315–330. дои : 10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (Второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. ОСЛК  829157984.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Бозами, Бернар (1985) [1982], Введение в банаховые пространства и их геометрию (второе исправленное издание), Северная Голландия..* Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe wyd. науке.
• Карозерс, Нил Л. (2005), Краткий курс по теории банахового пространства , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 64, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xii+184, ISBN 0-521-84283-2.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах, Тексты для аспирантов по математике, том. 92, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii+261, ISBN. 0-387-90859-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. при содействии В.Г. Бэйда и Р.Г. Бартла (1958), Линейные операторы. I. Общая теория , Чистая и прикладная математика, вып. 7, Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., MR  0117523.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия являются открытыми подмножествами гильбертова пространства». Бык. амер. Математика. Соц . 75 (4): 759–762. дои : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . МР  0247634.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховые пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-08072-4.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN. 0-387-98431-3.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рисс, Фредерик ; Сз.-Надь, Бела (1990) [1955]. Функциональный анализ . Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-66289-6. ОСЛК  21228994.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Райан, Раймонд А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Монографии Спрингера по математике, Лондон: Springer-Verlag, стр. xiv + 225, ISBN 1-85233-437-1.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 25, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0.

Внешние ссылки

• «Банахово пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Банаховое пространство». Математический мир .