Внутреннее пространство продукта

Обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.

Геометрическая интерпретация угла между двумя векторами, определенными с помощью скалярного произведения

Пространства скалярных произведений над любым полем имеют «скалярные произведения», которые симметричны и линейны по первому аргументу. Пространства эрмитовых произведений ограничены полем комплексных чисел и имеют «эрмитовы произведения», которые сопряженно-симметричны и линейны по первому аргументу. Пространства внутренних произведений могут быть определены над любым полем, имея «внутренние произведения», которые линейны по первому аргументу, сопряженно-симметричны и положительно определены. В отличие от внутренних произведений, скалярные произведения и эрмитовы произведения не обязательно должны быть положительно определенными.

В математике пространство внутреннего произведения (или, реже, пространство Хаусдорфа до Гильберта ^{[1] [2]} ) — это действительное векторное пространство или комплексное векторное пространство с операцией, называемой внутренним произведением . Внутреннее произведение двух векторов в пространстве — это скаляр , часто обозначаемый угловыми скобками , например, в . Внутренние произведения допускают формальные определения интуитивных геометрических понятий, таких как длины, углы и ортогональность (нулевое внутреннее произведение) векторов. Пространства внутреннего произведения обобщают евклидовы векторные пространства , в которых внутреннее произведение является скалярным произведением или скалярным произведением декартовых координат . Пространства внутреннего произведения бесконечной размерности широко используются в функциональном анализе . Пространства внутреннего произведения над полем комплексных чисел иногда называют унитарными пространствами . Первое использование концепции векторного пространства со внутренним произведением принадлежит Джузеппе Пеано в 1898 году. ^[3] ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Скалярное произведение естественным образом индуцирует связанную норму , (обозначенную и на рисунке); таким образом, каждое скалярное произведение является нормированным векторным пространством . Если это нормированное пространство также является полным (то есть банаховым пространством ), то скалярное произведение является гильбертовым пространством . ^[1] Если скалярное произведение H не является гильбертовым пространством, его можно расширить путем пополнения до гильбертова пространства Это означает, что является линейным подпространством скалярного произведения является ограничением скалярного произведения и плотно в для топологии, определяемой нормой. ^{[1] [4]} ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle {\overline {H}}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$

Определение

В этой статье F обозначает поле , которое является либо действительными числами , либо комплексными числами . Таким образом , скаляр является элементом F . Черта над выражением, представляющим скаляр, обозначает комплексное сопряжение этого скаляра. Нулевой вектор обозначается для отличия его от скаляра 0 . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Пространство внутреннего произведения — это векторное пространство V над полем F вместе со внутренним произведением , то есть отображением

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

который удовлетворяет следующим трем свойствам для всех векторов и всех скаляров . ^{[5] [6]} ${\displaystyle x,y,z\in V}$ ${\displaystyle a,b\in F}$

• Сопряженная симметрия : Как если и только если является действительным числом, сопряженная симметрия подразумевает, что всегда является действительным числом. Если F является , сопряженная симметрия является просто симметрией. $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$ ${\textstyle a={\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Линейность в первом аргументе: ^{[Примечание 1]} $${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• Положительная определенность : если не равно нулю, то (из сопряженной симметрии следует, что является действительным). ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

Если условие положительной определенности заменить простым требованием, чтобы для всех , то получим определение положительно полуопределенной эрмитовой формы . Положительная полуопределенная эрмитова форма является внутренним произведением тогда и только тогда, когда для всех , если тогда . ^[7] ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$

Основные свойства

В следующих свойствах, которые почти сразу вытекают из определения скалярного произведения, x , y и z — произвольные векторы, а a и b — произвольные скаляры.

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$является действительным и неотрицательным.
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$если и только если ${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle .}$
  Это подразумевает, что скалярное произведение имеет полуторалинейную форму .
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$где обозначает действительную часть своего аргумента. ${\displaystyle \operatorname {Re} }$
  

Над сопряженная симметрия сводится к симметрии, а полуторалинейность сводится к билинейности. Следовательно, скалярное произведение на действительном векторном пространстве является положительно определенной симметричной билинейной формой . Биномиальное разложение квадрата становится ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$

Конвенционный вариант

Некоторые авторы, особенно в физике и матричной алгебре , предпочитают определять скалярные произведения и полуторалинейные формы с линейностью во втором аргументе, а не в первом. Тогда первый аргумент становится сопряженно-линейным, а не во втором. Обозначение Bra-ket в квантовой механике также использует несколько иную запись, т. е . , где . ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}$

Обозначение

Для внутренних произведений используется несколько обозначений, включая , , и , а также обычное скалярное произведение. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$

Примеры

Действительные и комплексные числа

Среди простейших примеров пространств внутренних произведений можно назвать и Действительные числа представляют собой векторное пространство над , которое становится пространством внутренних произведений с арифметическим умножением в качестве внутреннего произведения: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Комплексные числа представляют собой векторное пространство над , которое становится пространством внутреннего произведения со внутренним произведением В отличие от действительных чисел, присваивание не определяет комплексное внутреннее произведение на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Евклидово векторное пространство

В более общем смысле, действительное -пространство ${\displaystyle n}$ со скалярным произведением является пространством внутреннего произведения, примером евклидова векторного пространства . где - транспонирование ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$ ${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle x.}$

Функция является скалярным произведением на тогда и только тогда, когда существует симметричная положительно определенная матрица такая, что для всех Если — единичная матрица, то — скалярное произведение. Для другого примера, если и положительно определена (что происходит тогда и только тогда, когда и один/оба диагональных элемента положительны), то для любого Как упоминалось ранее, каждое скалярное произведение на имеет эту форму (где и удовлетворяют ). ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$ ${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle ad>b^{2}}$

Комплексное координатное пространство

Общая форма внутреннего произведения на известна как эрмитова форма и задается как , где — любая эрмитова положительно определенная матрица , а — сопряженное транспонирование Для вещественного случая это соответствует скалярному произведению результатов направленно-различного масштабирования двух векторов с положительными масштабными множителями и ортогональными направлениями масштабирования. Это версия скалярного произведения со взвешенной суммой с положительными весами — с точностью до ортогонального преобразования. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y^{\dagger }}$ ${\displaystyle y.}$

Гильбертово пространство

В статье о гильбертовых пространствах есть несколько примеров пространств внутреннего произведения, в которых метрика, индуцированная внутренним произведением, дает полное метрическое пространство . Примером пространства внутреннего произведения, которое индуцирует неполную метрику, является пространство непрерывных комплекснозначных функций и на интервале Внутренний продукт равен Это пространство не является полным; рассмотрим, например, для интервала [−1, 1] последовательность непрерывных «ступенчатых» функций, определяемую как: ${\displaystyle C([a,b])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b].}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$ $${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Эта последовательность является последовательностью Коши для нормы, индуцированной предыдущим скалярным произведением, которая не сходится к непрерывной функции.

Случайные величины

Для действительных случайных величин и ожидаемое значение их произведения является внутренним произведением. ^{[8] [9] [10]} В этом случае, если и только если (то есть, почти наверняка ), где обозначает вероятность события. Это определение ожидания как внутреннего произведения может быть распространено и на случайные векторы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ $${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$ ${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Комплексные матрицы

Внутреннее произведение для комплексных квадратных матриц того же размера — это внутреннее произведение Фробениуса . Поскольку след и транспонирование линейны, а сопряжение выполняется на второй матрице, это полуторалинейный оператор. Далее мы получаем эрмитову симметрию, Наконец, поскольку для ненулевых, , мы получаем, что внутреннее произведение Фробениуса также положительно определено, и поэтому является внутренним произведением. ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$ $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

Векторные пространства с формами

В пространстве внутреннего произведения или, в более общем смысле, в векторном пространстве с невырожденной формой (следовательно, изоморфизмом ) векторы можно преобразовать в ковекторы (в координатах, посредством транспонирования), так что можно взять внутреннее и внешнее произведение двух векторов, а не просто вектора и ковектора. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Основные результаты, терминология и определения

Нормативные свойства

Каждое внутреннее пространство продукта индуцирует норму , называемую егоканоническая норма , которая определяется как При использовании этой нормы каждое пространство внутреннего произведения становитсянормированным векторным пространством. $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

Итак, каждое общее свойство нормированных векторных пространств применимо к пространствам внутреннего произведения. В частности, одно из них имеет следующие свойства:

Абсолютная однородность

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$для каждого и (это следует из ). ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

Неравенство треугольника

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ибо эти два свойства показывают, что норма действительно имеется. ${\displaystyle x,y\in V.}$

Неравенство Коши–Шварца

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$для каждого с равенством тогда и только тогда, когда и линейно зависимы . ${\displaystyle x,y\in V,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Закон параллелограмма

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$для каждого Закон параллелограмма является необходимым и достаточным условием для того, чтобы норма определялась скалярным произведением. ${\displaystyle x,y\in V.}$

Поляризационная идентичность

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$для каждого Внутренний продукт может быть извлечен из нормы с помощью тождества поляризации, поскольку его мнимая часть является действительной частью ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

Неравенство Птолемея

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$для каждого неравенства Птолемея является необходимым и достаточным условием для того, чтобы полунорма была нормой, определяемой скалярным произведением. ^[11] ${\displaystyle x,y,z\in V.}$

Ортогональность

Ортогональность

Говорят, что два вектора и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ортогональные , часто пишутся,если их скалярное произведение равно нулю, то есть, если Это происходит тогда и только тогда, когдадля всех скаляров^[12]и тогда и только тогда, когда вещественная функциянеотрицательна. (Это является следствием того факта, что, еслито скалярминимизируетсясо значением, которое всегда неположительно). Длякомплексногопространства внутреннего произведениялинейный оператортождественентогда и только тогда, когдадля каждого^[12]Это неверно в общем случае для вещественных пространств внутреннего произведения, так как является следствием того, что сопряженная симметрия отличается от симметрии для комплексных внутренних произведений. Контрпримером в вещественном пространстве внутреннего произведения являетсяповорот на 90° в, который отображает каждый вектор в ортогональный вектор, но не является тождественным. ${\displaystyle x\perp y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$
${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$
${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\perp Tx}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle 0}$

Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение подмножества — это множество векторов, которые ортогональны всем элементам C ; то есть, это множество всегда является замкнутым векторным подпространством , и если замыкание в является векторным подпространством, то ${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ $${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

Теорема Пифагора

Если и ортогональны, то Это можно доказать, выразив квадраты норм через внутренние произведения, используя аддитивность для расширения правой части уравнения. Название теорема Пифагора возникает из геометрической интерпретации в евклидовой геометрии . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

тождество Парсеваля

Индукция по теореме Пифагора дает: если попарно ортогональны, то ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Угол

Когда — действительное число, то неравенство Коши–Шварца подразумевает, что и, таким образом, — действительное число. Это позволяет определить (неориентированный) угол двух векторов в современных определениях евклидовой геометрии в терминах линейной алгебры . Это также используется в анализе данных под названием « косинусное подобие » для сравнения двух векторов данных. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$ $${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$

Действительные и комплексные части внутренних произведений

Предположим, что это скалярное произведение на (то есть оно антилинейно по второму аргументу). Поляризационная тождественность показывает, что действительная часть скалярного произведения равна ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Если — действительное векторное пространство, то мнимая часть (также называемая комплексной частью ) всегда равна ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle 0.}$

Предположим для остальной части этого раздела, что является комплексным векторным пространством. Поляризационная идентичность для комплексных векторных пространств показывает, что ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Отображение, определенное для всех, удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, за исключением того, что оно антилинейно по первому , а не по второму аргументу. Действительная часть обоих и равна , но скалярные произведения различаются по своей комплексной части: ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Последнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть.

Эти формулы показывают, что каждое комплексное скалярное произведение полностью определяется своей действительной частью. Более того, эта действительная часть определяет скалярное произведение на рассматриваемом как действительное векторное пространство. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между комплексными скалярными произведениями на комплексном векторном пространстве и действительными скалярными произведениями на ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$

Например, предположим, что для некоторого целого числа Когда рассматривается как действительное векторное пространство обычным образом (имея в виду, что оно отождествляется с размерным действительным векторным пространством, каждое из которых отождествляется с ), то скалярное произведение определяет действительное скалярное произведение на этом пространстве. Уникальное комплексное скалярное произведение на , индуцированное скалярным произведением, является отображением, которое отправляет в (потому что действительная часть этого отображения равна скалярному произведению). ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n-}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ ${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$

Действительные и комплексные внутренние произведения

Пусть обозначает рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами, а не комплексными числами. Действительная часть комплексного скалярного произведения является отображением , которое обязательно образует действительное скалярное произведение на действительном векторном пространстве. Каждое скалярное произведение на действительном векторном пространстве является билинейным и симметричным отображением . ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Например, если со скалярным произведением , где — векторное пространство над полем , то — векторное пространство над , а — скалярное произведение , где отождествляется с точкой (и аналогично для ); таким образом, стандартное скалярное произведение на является «расширением» скалярного произведения . Кроме того, если бы вместо этого было определено как симметричное отображение (а не обычное сопряженное симметричное отображение ), то его действительная часть не была бы скалярным произведением; более того, без комплексного сопряжения, если , но тогда так что назначение не определяло бы норму. ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$ ${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Следующие примеры показывают, что хотя действительные и комплексные внутренние произведения имеют много общих свойств и результатов, они не полностью взаимозаменяемы. Например, если то но следующий пример показывает, что обратное в общем случае неверно . При любом вектор (который является вектором, повернутым на 90°) принадлежит и, следовательно, также принадлежит (хотя скалярное умножение на не определено в векторе в обозначенном на тем не менее все еще является элементом ). Для комплексного внутреннего произведения, тогда как для действительного внутреннего произведения значение всегда ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Если — комплексное внутреннее произведение и — непрерывный линейный оператор, который удовлетворяет для всех , то Это утверждение больше не верно, если — действительный внутренний продукт, как показывает следующий пример. Предположим, что имеет внутреннее произведение, упомянутое выше. Тогда отображение, определенное с помощью, является линейным отображением (линейным для обоих и ), которое обозначает поворот на в плоскости. Поскольку и являются перпендикулярными векторами и — это просто скалярное произведение, для всех векторов , тем не менее, это отображение поворота, безусловно, не тождественно. Напротив, использование комплексного внутреннего произведения дает , которое (как и ожидалось) не является тождественно нулем. ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle A=0.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle Ax=ix}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

Ортонормальные последовательности

Пусть будет конечномерным внутренним произведением пространства размерности Напомним, что каждый базис состоит из точно линейно независимых векторов. Используя процесс Грама–Шмидта, мы можем начать с произвольного базиса и преобразовать его в ортонормированный базис. То есть в базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму. В символах базис ортонормирован, если для каждого и для каждого индекса ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle i.}$

Это определение ортонормированного базиса обобщается на случай бесконечномерных пространств скалярного произведения следующим образом. Пусть — любое пространство скалярного произведения. Тогда набор является базисом для , если подпространство из , порожденное конечными линейными комбинациями элементов из , плотно в (в норме, индуцированной скалярным произведением). Скажем, что является ортонормированным базисом для , если оно является базисом и если и для всех ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Используя бесконечномерный аналог процесса Грама-Шмидта, можно показать:

Теорема. Любое сепарабельное пространство скалярного произведения имеет ортонормированный базис.

Используя максимальный принцип Хаусдорфа и тот факт, что в пространстве полного внутреннего произведения ортогональная проекция на линейные подпространства хорошо определена, можно также показать, что

Теорема. Любое полное пространство скалярного произведения имеет ортонормированный базис.

Две предыдущие теоремы поднимают вопрос о том, имеют ли все пространства внутреннего произведения ортонормальный базис. Ответ, как оказывается, отрицательный. Это нетривиальный результат, и он доказан ниже. Следующее доказательство взято из книги Халмоша « A Hilbert Space Problem Book» (см. ссылки). ^{[ необходима цитата ]}

Тождество Парсеваля немедленно приводит к следующей теореме:

Теорема. Пусть — сепарабельное скалярное произведение пространства и ортонормированный базис Тогда отображение является изометрическим линейным отображением с плотным образом. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$ ${\displaystyle V.}$ $${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$ ${\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}$

Эту теорему можно рассматривать как абстрактную форму ряда Фурье , в которой произвольный ортонормированный базис играет роль последовательности тригонометрических полиномов . Обратите внимание, что в качестве базового набора индексов можно взять любое счетное множество (и фактически любое множество вообще, если оно определено соответствующим образом, как объясняется в статье Гильбертово пространство ). В частности, мы получаем следующий результат в теории рядов Фурье: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Теорема. Пусть — пространство скалярного произведения Тогда последовательность (индексированная на множестве всех целых чисел) непрерывных функций — ортонормированный базис пространства со скалярным произведением. Отображение — изометрическое линейное отображение с плотным образом. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$ $${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$ ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

Ортогональность последовательности следует непосредственно из того факта, что если то ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle k\neq j,}$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

Нормальность последовательности заложена в конструкции, то есть коэффициенты подобраны так, чтобы норма равнялась 1. Наконец, тот факт, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку в норме внутреннего произведения , следует из того факта, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку, на этот раз в пространстве непрерывных периодических функций на с равномерной нормой. Это содержание теоремы Вейерштрасса о равномерной плотности тригонометрических полиномов. ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Операторы на внутренних пространствах продуктов

Имеют значение несколько типов линейных отображений между пространствами внутренних произведений : ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• Непрерывные линейные отображения :линейны и непрерывны относительно метрики, определенной выше, или, что эквивалентно,линейны, а множество неотрицательных действительных чисел, гдепробегает замкнутый единичный шар,ограничено. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V,}$
• Симметричные линейные операторы : линейны и для всех ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$
• Изометрии :удовлетворяетдля всехЛинейная изометрия (соотв. антилинейная изометрия ) — это изометрия, которая также является линейным отображением (соотв. антилинейным отображением ). Для пространств внутреннего произведения тождество поляризации можно использовать для того, чтобы показать, чтоявляется изометрией тогда и только тогда, когдадля всех Все изометрии инъективны . Теорема Мазура–Улама устанавливает, что каждая сюръективная изометрия между двумя действительными нормированными пространствами является аффинным преобразованием . Следовательно, изометриямежду действительными пространствами внутреннего произведения является линейным отображением тогда и только тогда, когдаИзометрии являются морфизмами между пространствами внутреннего произведения, а морфизмы действительных пространств внутреннего произведения являются ортогональными преобразованиями (сравните с ортогональной матрицей ). ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(0)=0.}$
• Изометрические изоморфизмы : изометрия, которая является сюръективной (и, следовательно, биективной ). Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы (сравните с унитарной матрицей ). ${\displaystyle A:V\to W}$

С точки зрения теории пространства внутреннего произведения нет необходимости различать два пространства, которые изометрически изоморфны. Спектральная теорема дает каноническую форму для симметричных, унитарных и, в более общем смысле, нормальных операторов на конечномерных пространствах внутреннего произведения. Обобщение спектральной теоремы справедливо для непрерывных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. ^[13]

Обобщения

Любая из аксиом скалярного произведения может быть ослаблена, что даст обобщенные понятия. Наиболее близкие к скалярным произведениям обобщения возникают там, где сохраняются билинейность и сопряженная симметрия, но ослабляется положительная определенность.

Вырожденные внутренние продукты

Если — векторное пространство и полуопределенная полуторалинейная форма, то функция: имеет смысл и удовлетворяет всем свойствам нормы, за исключением того, что не подразумевает (такой функционал тогда называется полунормой ) . Мы можем получить внутреннее пространство произведений, рассматривая частное Полуторалинейная форма раскладывается на факторы через ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$ ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle W.}$

Эта конструкция используется во многих контекстах. Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала является особенно важным примером использования этой техники. Другим примером является представление полуопределенных ядер на произвольных множествах.

Невырожденные сопряженные симметричные формы

В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы спаривание было невырожденной формой , что означает, что для всех ненулевых существует некоторое такое, что хотя не обязательно равно ; другими словами, индуцированное отображение в двойственное пространство является инъективным. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии : многообразие, касательные пространства которого имеют скалярное произведение, является римановым многообразием , в то время как если это связано с невырожденной сопряженной симметрической формой, то многообразие является псевдоримановым многообразием . По закону инерции Сильвестра , так же как каждое скалярное произведение подобно скалярному произведению с положительными весами на наборе векторов, каждая невырожденная сопряженная симметрическая форма подобна скалярному произведению с ненулевыми весами на наборе векторов, а число положительных и отрицательных весов называется соответственно положительным индексом и отрицательным индексом. Произведение векторов в пространстве Минковского является примером неопределенного скалярного произведения, хотя, технически говоря, оно не является скалярным произведением согласно стандартному определению выше. Пространство Минковского имеет четыре измерения и индексы 3 и 1 (присвоение им знаков «+» и «−» различается в зависимости от соглашений ). ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Чисто алгебраические утверждения (те, которые не используют положительность) обычно полагаются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм ) и, таким образом, справедливы в более общем случае. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Сопутствующие товары

Термин «внутреннее произведение» противопоставляется внешнему произведению , которое является немного более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутреннее произведение является произведением ковектора на вектор , дающим матрицу (скаляр), тогда как внешнее произведение является произведением вектора на ковектор , дающим матрицу. Внешнее произведение определено для разных измерений, тогда как внутреннее произведение требует одинакового измерения. Если измерения одинаковы, то внутреннее произведение является следом внешнего произведения (след правильно определен только для квадратных матриц). В неформальном резюме: «внутреннее — это горизонтальное, умноженное на вертикальное, и сжимается вниз, внешнее — это вертикальное, умноженное на горизонтальное, и расширяется наружу». ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle m\times n}$

Более абстрактно, внешнее произведение — это билинейное отображение, отправляющее вектор и ковектор в линейное преобразование ранга 1 ( простой тензор типа (1, 1)), тогда как внутреннее произведение — это билинейное оценочное отображение, полученное путем вычисления ковектора на векторе; порядок векторных пространств доменов здесь отражает различие ковектора и вектора. ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$ ${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

Внутреннее произведение и внешнее произведение не следует путать с внутренним произведением и внешним произведением , которые на самом деле являются операциями над векторными полями и дифференциальными формами или, в более общем смысле, над внешней алгеброй .

В качестве дальнейшего усложнения, в геометрической алгебре внутреннее произведение и внешнее (грассманово) произведение объединяются в геометрическое произведение (произведение Клиффорда в алгебре Клиффорда ) – внутреннее произведение переводит два вектора (1-векторы) в скаляр (0-вектор), в то время как внешнее произведение переводит два вектора в бивектор (2-вектор) – и в этом контексте внешнее произведение обычно называют внешним произведением (альтернативно, клиновым произведением ). В этом контексте внутреннее произведение правильнее называть скалярным произведением, поскольку рассматриваемая невырожденная квадратичная форма не обязательно должна быть положительно определенной (не обязательно быть внутренним произведением).

Смотрите также

• Билинейная форма  – Скалярнозначная билинейная функция
• Биортогональная система
• Дуальное пространство  – в математике векторное пространство линейных форм.
• Энергетическое пространство  – подпространство заданного реального гильбертова пространства, снабженное новым «энергетическим» внутренним произведением.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• L-полускадровое произведение  – обобщение скалярных произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Расстояние Минковского  – Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
• Ортогональный базис
• Ортогональное дополнение  – Концепция линейной алгебры
• Ортонормальный базис  – Конкретный линейный базис (математика)
• риманово многообразие

Примечания

1. Объединяя линейное свойство первого аргумента со свойством сопряженной симметрии , вы получаете сопряженно-линейное свойство второго аргумента : . Именно так изначально определялось скалярное произведение и используется в большинстве математических контекстов. В теоретической физике и квантовой механике было принято другое соглашение, берущее начало в скобочной нотации Поля Дирака , где скалярное произведение считается линейным по второму аргументу и сопряженно-линейным по первому аргументу ; это соглашение используется во многих других областях, таких как инженерия и компьютерные науки. ${\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}}$

Ссылки

1. Treves 2006, стр. 112–125.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 40–45.
3. Мур, Грегори Х. (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940». Historia Mathematica . 22 (3): 262–303. doi : 10.1006/hmat.1995.1025 .
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 36–72.
5. Джейн, ПК; Ахмад, Халил (1995). "5.1 Определения и основные свойства пространств внутреннего произведения и гильбертовых пространств". Функциональный анализ (2-е изд.). New Age International. стр. 203. ISBN 81-224-0801-X.
6. Prugovečki, Eduard (1981). "Определение 2.1". Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Academic Press. стр. 18 и далее. ISBN 0-12-566060-X.
7. Шефер и Вольф 1999, стр. 44.
8. Оувеханд, Питер (ноябрь 2010 г.). "Пространства случайных величин" (PDF) . AIMS . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-09-05 . Получено 2017-09-05 .
9. Siegrist, Kyle (1997). "Векторные пространства случайных величин". Случайные: вероятность, математическая статистика, стохастические процессы . Получено 2017-09-05 .
10. Bigoni, Daniele (2015). "Приложение B: Теория вероятностей и функциональные пространства" (PDF) . Квантификация неопределенности с приложениями к инженерным проблемам (PhD). Технический университет Дании . Получено 2017-09-05 .
11. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордовая метрика». Mathematics Magazine . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
12. Рудин 1991, стр. 306–312.
13. Рудин 1991

Библиография

• Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98258-8.
• Дьедонне, Жан (1969). Трактат об анализе, т. I [Основы современного анализа] (2-е изд.). Academic Press . ISBN 978-1-4067-2791-3.
• Эмх, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-23900-0.
• Halmos, Paul R. (8 ноября 1982 г.). A Hilbert Space Problem Book . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 19 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC  8169781.
• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Получено 22 июля 2020 г. .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Янг, Николас (1988). Введение в пространство Гильберта . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-33717-5.
• Замани, А.; Мослехиан, М.С.; и Франк, М. (2015) «Отображения, сохраняющие углы», Журнал анализа и приложений 34: 485–500 doi :10.4171/ZAA/1551