stringtranslate.com

Норма (математика)

В математике норма — это функция от действительного или комплексного векторного пространства до неотрицательных действительных чисел, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от начала координат : она коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равна нулю. только в начале. В частности, евклидово расстояние в евклидовом пространстве определяется нормой соответствующего евклидова векторного пространства , называемой евклидовой нормой, 2-нормой или, иногда, величиной вектора . Эту норму можно определить как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя.

Полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат . [1] Векторное пространство с заданной нормой называется нормированным векторным пространством . Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством .

Термин псевдонорма использовался в нескольких связанных значениях. Это может быть синонимом слова «полунорма». [1] Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, с заменой равенства неравенством « » в аксиоме однородности. [2] [ сомнительнообсудить ] Это может также относиться к норме, которая может принимать бесконечные значения, [3] или к определенным функциям, параметризованным направленным множеством . [4]

Определение

В векторном пространстве над подполем комплексных чисел норма представляет собой вещественнозначную функцию со следующими свойствами, где обозначает обычное абсолютное значение скаляра : [5]

  1. Субаддитивность / неравенство треугольника : для всех
  2. Абсолютная однородность : для всех и всех скаляров
  3. Положительная определенность /положительность [6] /Разделение точек : для всех, еслитогда
    • Поскольку свойство (2.) подразумевает, некоторые авторы заменяют свойство (3.) эквивалентным условием: для каждого тогда и только тогда, когда

Полунорма на — это функция , которая обладает свойствами (1.) и (2.) [7] , так что, в частности, каждая норма также является полунормой (и, следовательно, также сублинейным функционалом ). Однако существуют полунормы, которые не являются нормами. Свойства (1) и (2) подразумевают, что если является нормой (или, в более общем смысле, полунормой), то это также обладает следующим свойством:

  1. Неотрицательность : [6] для всех

Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «нормы», хотя в этом нет необходимости. Хотя в этой статье слово « положительный » определяется как синоним «положительно определенного», некоторые авторы вместо этого определяют « положительный » как синоним «неотрицательного»; [8] эти определения не эквивалентны.

Эквивалентные нормы

Предположим, что и - две нормы (или полунормы) в векторном пространстве. Тогда и называются эквивалентными , если существуют две положительные действительные константы и такие , что для каждого вектора Отношение « эквивалентно » рефлексивно , симметрично ( подразумевает ) и транзитивен и, таким образом, определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм в. Нормы и эквивалентны тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию в [9]. Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечное пространство. -мерные пространства. [9]

Обозначения

Если норма задана в векторном пространстве , то норму вектора обычно обозначают, заключая ее в двойные вертикальные линии: такое обозначение также иногда используется, если это только полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (которая, как поясняется ниже, является примером нормы) также широко распространено обозначение одиночными вертикальными линиями.

Примеры

Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: Если это базис Гамеля для векторного пространства , то вещественнозначное отображение, которое отправляет (где все скаляры, кроме конечного числа ) в, является нормой в [10] . также большое количество норм, обладающих дополнительными свойствами, делающими их полезными для решения конкретных задач.

Абсолютная норма

Абсолютное значение — это норма векторного пространства, образованного действительными или комплексными числами . Комплексные числа образуют одномерное векторное пространство над собой и двумерное векторное пространство над действительными числами; абсолютное значение является нормой для этих двух структур.

Любая норма в одномерном векторном пространстве эквивалентна (с точностью до масштабирования) абсолютной норме, а это означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств , где либо или, а сохранение нормы означает, что Этот изоморфизм задается отправкой к вектору нормы , который существует, поскольку такой вектор получается умножением любого ненулевого вектора на обратную его норму.

Евклидова норма

В -мерном евклидовом пространстве интуитивное понятие длины вектора фиксируется формулой [11]

Это евклидова норма , дающая обычное расстояние от начала координат до точки X — следствие теоремы Пифагора . Эту операцию также можно назвать «SRSS», что является аббревиатурой квадратного корня из суммы квадратов . [12]

Евклидова норма, безусловно, является наиболее часто используемой нормой в [11], но существуют и другие нормы в этом векторном пространстве, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию в конечномерных пространствах.

Внутренний продукт двух векторов евклидова векторного пространства — это скалярное произведение их координатных векторов по ортонормированному базису . Следовательно, евклидову норму можно записать в бескоординатном виде как

Евклидову норму также называют квадратичной нормой , нормой , [13] нормой , 2-нормой или квадратичной нормой ; увидеть космос . Он определяет функцию расстояния , называемую евклидовой длиной , расстоянием или расстоянием .

Множество векторов, в которых евклидова норма является заданной положительной константой, образует -сферу .

Евклидова норма комплексных чисел

Евклидовой нормой комплексного числа является его абсолютное значение (также называемое модулем ), если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью . Это отождествление комплексного числа как вектора в евклидовой плоскости делает величину (как сначала предложенный Эйлером) евклидова норма, связанная с комплексным числом. Для норму можно также записать как где – комплексно-сопряженное число

Кватернионы и октонионы

Над действительными числами существует ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица . Это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и , наконец, октонионы , где размеры этих пространств над действительными числами соответственно равны. Канонические нормы и являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее.

Каноническая норма кватернионов определяется для каждого кватерниона в Это то же самое, что евклидова норма в векторном пространстве. Аналогично , каноническая норма для октонионов - это просто евклидова норма в векторном пространстве.

Конечномерные комплексные нормированные пространства

В -мерном комплексном пространстве наиболее распространенной нормой является

В этом случае норму можно выразить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя: где представлено в виде вектор-столбца и обозначает его сопряженное транспонирование .

Эта формула действительна для любого пространства внутреннего произведения , включая евклидово и комплексное пространство. Для комплексных пространств внутренний продукт эквивалентен комплексному скалярному произведению . Следовательно, формулу и в этом случае можно записать, используя следующие обозначения:

Норма такси или норма Манхэттена

Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать по прямоугольной сетке улиц (например, в нью-йоркском районе Манхэттена ), чтобы добраться от начала координат до точки.

Набор векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность перекрестного многогранника , размерность которого равна размерности векторного пространства минус 1. Норма такси также называется нормой . Расстояние, полученное из этой нормы, называется Манхэттенским расстоянием или расстоянием .

1-норма — это просто сумма абсолютных значений столбцов.

Напротив, это не является нормой, поскольку может привести к отрицательным результатам.

п-норма

Пусть это будет действительное число. -норма (также называемая -нормой) вектора равна [11] Ибо мы получаем норму такси, ибо мы получаем евклидову норму, и по мере приближения -норма приближается к бесконечной норме или максимальной норме: -норма связана с обобщенное среднее или степенное среднее.

Ибо -норма даже индуцируется каноническим внутренним произведением, что означает, что для всех векторов этот внутренний продукт можно выразить через норму, используя тождество поляризации . На этом внутреннем продукте Евклидов внутренний продукт , определяемый while для пространства,связанного спространством меры, которое состоит из всехинтегрируемых с квадратом функций, этот внутренний продукт равен

Это определение все еще представляет некоторый интерес, но результирующая функция не определяет норму, [14] поскольку она нарушает неравенство треугольника . Что верно для этого случая даже в измеримом аналоге, так это то, что соответствующий класс является векторным пространством, а также верно то, что функция (без корня th) определяет расстояние, которое превращается в полное метрическое топологическое векторное пространство . Эти пространства представляют большой интерес в функциональном анализе , теории вероятностей и гармоническом анализе . Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое дуальное пространство содержит только нулевой функционал.

Частная производная -нормы определяется выражением

Производная по отношению к , следовательно, где обозначает произведение Адамара и используется для абсолютного значения каждого компонента вектора.

В частном случае это становится или

Максимальная норма (частный случай: норма бесконечности, единая норма или высшая норма)

Если есть некоторый вектор такой, что тогда:

Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра

Нулевая норма

В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и F-пространства последовательностей с F-нормой [15]. Здесь под F-нормой мы понимаем некоторую вещественную функцию на F -пространство с расстоянием такое, что Описанная выше F - норма не является нормой в обычном смысле, поскольку ей не хватает требуемого свойства однородности.

Расстояние Хэмминга вектора от нуля

В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение единица для различных точек и ноль в противном случае. При применении по координатам к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в теории кодирования и информации . В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единицей, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.

В области обработки сигналов и статистики Дэвид Донохо ссылался на нулевую « норму » в кавычках. Следуя обозначениям Донохо, нулевая «норма» — это просто количество ненулевых координат или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта «норма» локализована в ограниченном множестве, она является пределом -норм при приближении к 0. Конечно, нулевая «норма» не является истинной нормой, поскольку она не является положительно однородной . Действительно, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна одновременно и по отдельности по отношению к скалярному аргументу при скалярно-векторном умножении и по отношению к своему векторному аргументу. Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры [ кто? ] опускаем кавычки Донохо и неуместно называем функцию числа ненулей нормой , повторяя обозначения пространства Лебега измеримых функций .

Бесконечные размеры

Обобщение указанных норм на бесконечное число компонент приводит к и пространствам для с нормами

для комплекснозначных последовательностей и функций на соответственно, которые можно далее обобщить (см. меру Хаара ). Эти нормы действительны также в пределе а , дающем высшую норму , и называются и

Любой внутренний продукт естественным образом вызывает норму.

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховом пространстве .

Как правило, эти нормы не дают одинаковых топологий. Например, бесконечномерное пространство дает строго более тонкую топологию, чем бесконечномерное пространство, когда

Композитные нормы

Другие нормы могут быть построены путем объединения вышеизложенного; например это норма

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования мы можем определить новую норму, равную In 2D, с поворотом на 45 ° и подходящим масштабированием, это превращает норму такси в максимальную норму. Каждая из них в применении к таксомоторной норме, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает разный единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.

В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).

Есть примеры норм, которые не определяются «поэлементными» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже).

Все приведенные выше формулы также дают нормы без изменений.

Существуют также нормы на пространства матриц (с вещественными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .

В абстрактной алгебре

Пусть — конечное расширение поля неразделимой степени и пусть оно имеет алгебраическое замыкание. Если различные вложения равны , то теоретическая норма Галуа элемента равна значению. Поскольку эта функция однородна степени , теоретическая норма Галуа не является норма в смысле данной статьи. Однако корень -й степени нормы (при условии, что концепция имеет смысл) является нормой. [16]

Композиционные алгебры

Понятие нормы в композиционных алгебрах не имеет обычных свойств нормы, поскольку допускаются нулевые векторы . Композиционная алгебра состоит из алгебры над полем, инволюции и квадратичной формы , называемой «нормой».

Характерной особенностью композиционных алгебр является свойство гомоморфизма : для произведения двух элементов и композиционной алгебры его норма удовлетворяет В случае алгебр с делением и нормой композиционной алгебры является квадрат нормы, обсуждавшейся выше. В этих случаях нормой является определенная квадратичная форма . В расщепленных алгебрах нормой является изотропная квадратичная форма .

Характеристики

Для любой нормы векторного пространства справедливо обратное неравенство треугольника : если это непрерывное линейное отображение между нормированными пространствами, то норма и норма транспонирования равны . [17]

Для норм мы имеем неравенство Гёльдера [18] Частным случаем этого является неравенство Коши–Шварца : [18]

Иллюстрации единичных кругов в разных нормах.

Каждая норма является полунормой и, следовательно, удовлетворяет всем свойствам последней . В свою очередь, каждая полунорма является сублинейной функцией и, следовательно, удовлетворяет всем свойствам последней . В частности, каждая норма является выпуклой функцией .

Эквивалентность

Понятие единичной окружности (набора всех векторов нормы 1) в разных нормах различно: для 1-нормы единичная окружность представляет собой квадрат , ориентированный ромбом; для 2-нормы (евклидовой нормы) это известный единичный круг ; в то время как для нормы бесконечности это квадрат, выровненный по оси. Для любой -нормы это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. сопроводительную иллюстрацию). В силу определения нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, причем для -нормы).

С точки зрения векторного пространства полунорма определяет топологию пространства, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать разные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенную таким образом топологию (нормой или полунормой) можно понимать либо в терминах последовательностей, либо в терминах открытых множеств. Говорят, что последовательность векторов сходится по норме к, если : Эквивалентно , топология состоит из всех множеств, которые можно представить как объединение открытых шаров . Если — нормированное пространство, то [19]

Две нормы и в векторном пространстве называютсяэквивалентны , если они порождают одну и ту же топологию,[9]что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числаитакие, что для всех. Например, еслиonthen[20]

В частности, то есть, если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.

Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей их не нужно различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами векторного пространства, является равномерно изоморфной .

Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества.

Все полунормы в векторном пространстве можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств . Каждому такому подмножеству соответствует полунорма, называемая калибровкой , определяемая как где - нижняя грань , со свойством, что обратное:

Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальную базу , состоящую из абсолютно выпуклых множеств. Распространенный метод построения такого базиса состоит в использовании семейства полунорм , разделяющих точки : совокупность всех конечных пересечений множеств превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждое p является непрерывным .

Такой метод используется для проектирования слабых и слабых* топологий .

Нормальный случай:

Предположим теперь, что он содержит единственный , поскольку является разделяющим , является нормой и является его открытым единичным шаром . Тогда — абсолютно выпуклая ограниченная окрестность точки 0 и непрерывна.
Обратное утверждение принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . Именно так:
Если — абсолютно выпуклая ограниченная окрестность точки 0, то калибровка (так что это норма.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ аб Кнапп, AW (2005). Базовый реальный анализ . Биркхойзер. п. [1]. ISBN 978-0-817-63250-2.
  2. ^ "Псевдонорма - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 12 мая 2022 г.
  3. ^ «Псевдонорма». www.spektrum.de (на немецком языке) . Проверено 12 мая 2022 г.
  4. ^ Хайерс, Д.Х. (1 сентября 1939 г.). «Псевдонормированные линейные пространства и абелевы группы». Математический журнал Дьюка . 5 (3). дои : 10.1215/s0012-7094-39-00551-x. ISSN  0012-7094.
  5. ^ Пью, CC (2015). Реальный математический анализ . Спрингер. п. стр. 28. ISBN 978-3-319-17770-0. Пруговечки, Э. (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . п. страница 20.
  6. ^ аб Кубруслый 2011, с. 200.
  7. ^ Рудин, В. (1991). Функциональный анализ . п. 25.
  8. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 120–121.
  9. ^ abc Конрад, Кейт. «Эквивалентность норм» (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Проверено 7 сентября 2020 г.
  10. ^ Виланский 2013, стр. 20–21.
  11. ^ abc Вайсштейн, Эрик В. «Векторная норма». mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
  12. ^ Чопра, Анил (2012). Динамика структур, 4-е изд . Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-285803-8.
  13. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Норм». mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
  14. ^ За исключением случаев , когда это совпадает с евклидовой нормой и где это тривиально.
  15. ^ Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), том. 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: Издательство Д. Рейделя; PWN — Польское научное издательство, стр. xvi, 524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN. 90-277-2186-6, МР  0920371, OCLC  13064804
  16. ^ Ланг, Серж (2002) [1993]. Алгебра (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 284. ИСБН 0-387-95385-Х.
  17. ^ Тревес 2006, стр. 242–243.
  18. ^ аб Голуб, Джин ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления (Третье изд.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ИСБН 0-8018-5413-Х.
  19. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–113.
  20. ^ «Связь между p-нормами». Математический обмен стеками .

Библиография