Топологическое пространство

Математическое пространство с понятием близости

В математике топологическое пространство — это, грубо говоря, геометрическое пространство , в котором близость определена, но не обязательно может быть измерена числовым расстоянием . Более конкретно, топологическое пространство — это набор , элементы которого называются точками , а также дополнительная структура, называемая топологией , которую можно определить как набор окрестностей для каждой точки, которые удовлетворяют некоторым аксиомам , формализующим концепцию близости. Существует несколько эквивалентных определений топологии, наиболее часто используемым из которых является определение через открытые множества , которыми легче манипулировать, чем другими.

Топологическое пространство — наиболее общий тип математического пространства , позволяющий определять пределы , непрерывность и связность . ^{[1] [2]} Общие типы топологических пространств включают евклидовы пространства , метрические пространства и многообразия .

Несмотря на то, что концепция топологических пространств очень общая, она является фундаментальной и используется практически во всех разделах современной математики. Изучение топологических пространств само по себе называется топологией множества точек или общей топологией .

История

Около 1735 года Леонард Эйлер открыл формулу , связывающую количество вершин (V), ребер (E) и граней (F) выпуклого многогранника и, следовательно, плоского графа . Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши (1789–1857) и Л'Юилье (1750–1840), стимулировали изучение топологии. В 1827 году Карл Фридрих Гаусс опубликовал «Общие исследования искривленных поверхностей» , где в разделе 3 искривленная поверхность определяется аналогично современному топологическому пониманию: «Говорят, что искривленная поверхность обладает непрерывной кривизной в одной из своих точек А, если направление всех прямых, проведенных от А к точкам поверхности, находящимся на бесконечно малом расстоянии от А, бесконечно мало отклоняется от одной и той же плоскости, проходящей через А». ^{[3] [ нужен неосновной источник ]} ${\displaystyle V-E+F=2}$

Тем не менее, «до работы Римана в начале 1850-х годов поверхности всегда рассматривались с локальной точки зрения (как параметрические поверхности), а топологические вопросы никогда не рассматривались». ^[4] « Мёбиус и Йордан, по-видимому, были первыми, кто осознал, что основная проблема топологии (компактных) поверхностей состоит в том, чтобы найти инварианты (предпочтительно числовые), позволяющие определить эквивалентность поверхностей, то есть решить, являются ли две поверхности гомеоморфен или нет». ^[4]

Предмет четко определен Феликсом Клейном в его « Эрлангенской программе » (1872 г.): геометрические инварианты произвольного непрерывного преобразования, разновидность геометрии. Термин «топология» был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 1847 году, хотя он использовал этот термин в переписке несколькими годами ранее вместо использовавшегося ранее «Анализ местоположения». Фундамент этой науки для пространства любого измерения заложил Анри Пуанкаре . Его первая статья на эту тему появилась в 1894 году. ^[5] В 1930-х годах Джеймс Уодделл Александр II и Хасслер Уитни впервые высказали идею о том, что поверхность — это топологическое пространство, локально похожее на евклидову плоскость .

Топологические пространства были впервые определены Феликсом Хаусдорфом в 1914 году в его основополагающих «Принципах теории множеств». Метрические пространства были определены ранее в 1906 году Морисом Фреше , хотя именно Хаусдорф популяризировал термин «метрическое пространство» ( нем . metrischer Raum ). ^{[6] [7] [ нужен лучший источник ]}

Определения

Полезность понятия топологии проявляется в том факте, что существует несколько эквивалентных определений этой математической структуры . Таким образом, выбирают аксиоматизацию, подходящую для приложения. Наиболее часто используется метод в терминах открытых множеств , но, возможно, более интуитивным является метод в терминах окрестностей , поэтому он дается первым.

Определение через окрестности

Эта аксиоматизация принадлежит Феликсу Хаусдорфу . Пусть это (возможно, пустое) множество. Элементы обычно называются точками , хотя они могут быть любым математическим объектом. Пусть – функция , присваивающая каждой (точке) непустой совокупности подмножеств Элементы будем называть окрестностями относительно (или просто окрестностями ). Функция называется топологией окрестности, если выполняются приведенные ниже аксиомы ^[8] ; и тогда с называется топологическим пространством . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. Если является окрестностью (т.е. ), то Другими словами, каждая точка множества принадлежит каждой из его окрестностей относительно . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
2. Если является подмножеством и включает в себя окрестность, то это окрестность Ie, каждое надмножество окрестности точки снова является окрестностью точки. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$
3. Пересечение двух окрестностей есть окрестность ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
4. Любая окрестность включает в себя окрестность такой , которая является окрестностью каждой точки ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$

Первые три аксиомы для окрестностей имеют ясный смысл. Четвертая аксиома имеет очень важное применение в структуре теории, поскольку связывает воедино окрестности различных точек ${\displaystyle X.}$

Стандартным примером такой системы окрестностей является действительная линия, где подмножество определяется как окрестность действительного числа , если оно включает открытый интервал, содержащий ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Учитывая такую ​​структуру, подмножество определяется как открытое , если оно является окрестностью всех точек в. Тогда открытые множества удовлетворяют аксиомам, данным ниже в следующем определении топологического пространства. И наоборот, если даны открытые множества топологического пространства, окрестности, удовлетворяющие вышеуказанным аксиомам, могут быть восстановлены, если определить их как окрестность if, включающую открытое множество такое, что ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U.}$

Определение через открытые множества

Топологию множества X можно определить как совокупность подмножеств X , называемых открытыми множествами и удовлетворяющих следующим аксиомам: [ ¹⁰ ] ${\displaystyle \tau }$

1. Пустое множество и само принадлежат ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. Любое произвольное (конечное или бесконечное) объединение членов принадлежит ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$
3. Пересечение любого конечного числа членов принадлежит ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Поскольку это определение топологии используется наиболее часто, множество открытых множеств обычно называют топологией на ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Подмножество называется замкнутым , если его дополнение является открытым множеством. ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus C}$

Примеры топологий

Пусть обозначены кружками, вот четыре примера и два непримера топологий в трехточечном множестве. Нижний левый пример не является топологией, поскольку объединение и [ie ] отсутствует; нижний правый пример не является топологией, поскольку пересечение и [ie ] отсутствует. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{2\}}$ ${\displaystyle \{3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{2\}}$

1. Учитывая тривиальную или недискретную топологию на , семейство , состоящее только из двух подмножеств требуемых аксиомами, образует топологию на ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Учитывая семейство из шести подмножеств форм, возникает другая топология ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ $${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Дана дискретная топология , степенным множеством которой является семейство, состоящее из всех возможных подмножеств. В этом случае топологическое пространство называется дискретным пространством . ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau =\wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
4. Учитывая набор целых чисел, семейство всех конечных подмножеств целых чисел плюс само себя не является топологией, потому что (например) объединение всех конечных множеств, не содержащих нуля, не является конечным и, следовательно, не является членом семейства конечных множеств. . Объединение всех конечных множеств, не содержащих нулей, также не является полным и поэтому не может быть в ${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau .}$

Определение через закрытые множества

Используя законы де Моргана , приведенные выше аксиомы, определяющие открытые множества, становятся аксиомами, определяющими закрытые множества :

1. Пустое множество и закрыты. ${\displaystyle X}$
2. Пересечение любого набора замкнутых множеств также замкнуто.
3. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств также замкнуто.

Используя эти аксиомы, другой способ определить топологическое пространство — это набор вместе с набором замкнутых подмножеств. Таким образом, множества в топологии являются закрытыми множествами, а их дополнения — открытыми множествами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Другие определения

Существует много других эквивалентных способов определения топологического пространства: другими словами, концепции соседства или концепции открытых или закрытых множеств могут быть реконструированы из других отправных точек и удовлетворять правильным аксиомам.

Другой способ определить топологическое пространство — использовать аксиомы замыкания Куратовского , которые определяют замкнутые множества как неподвижные точки оператора на множестве степеней ${\displaystyle X.}$

Сеть — это обобщение понятия последовательности . Топология является полностью определенной, если для каждой сети из множества ее точек накопления задано. ${\displaystyle X}$

Сравнение топологий

Многие топологии могут быть определены на множестве для формирования топологического пространства. Когда каждое открытое множество топологии также открыто для топологии, говорят, что оно тоньше и грубее , чем Доказательство, основанное только на существовании определенных открытых множеств, также будет справедливым для любой более тонкой топологии, и аналогично доказательство, которое опирается только на неоткрытость некоторых множеств применима к любой более грубой топологии. Термины «больше» и «меньше» иногда используются вместо слов «тонче» и «грубее» соответственно. Термины сильнее и слабее также используются в литературе, но с небольшим согласием по значению, поэтому при чтении всегда следует быть уверенным в авторской условности. ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2},}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1},}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$

Совокупность всех топологий на данном фиксированном множестве образует полную решетку : если - совокупность топологий на , то соединение - это пересечение и соединение - это собрание совокупности всех топологий, содержащих каждый член ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F.}$

Непрерывные функции

Функция между топологическими пространствами называется непрерывной , если для любой и каждой ее окрестности существует окрестность такая , что Это легко соотносится с обычным определением в анализе. Эквивалентно, является непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт. ^[11] Это попытка интуитивно понять, что в функции нет «скачков» или «разделений». Гомеоморфизм — это биекция , непрерывная и обратная которой также непрерывна. Два пространства называются гомеоморфными , если между ними существует гомеоморфизм. С точки зрения топологии гомеоморфные пространства по существу тождественны. ^[12] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$ ${\displaystyle f}$

В теории категорий одной из фундаментальных категорий является Top , которая обозначает категорию топологических пространств , объекты которых являются топологическими пространствами и чьи морфизмы являются непрерывными функциями. Попытка классифицировать объекты этой категории ( с точностью до гомеоморфизма ) с помощью инвариантов мотивировала такие направления исследований, как теория гомотопий , теория гомологий и К-теория .

Примеры топологических пространств

Данный набор может иметь множество различных топологий. Если множеству задана другая топология, оно рассматривается как другое топологическое пространство. Любому множеству можно придать дискретную топологию , в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге становятся постоянными. Кроме того, любому множеству можно придать тривиальную топологию (также называемую недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходятся к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть пространствами Хаусдорфа , где предельные точки единственны.

Метрические пространства

Метрические пространства воплощают в себе метрику — точное понятие расстояния между точками.

Каждому метрическому пространству можно задать метрическую топологию, в которой основными открытыми множествами являются открытые шары, определяемые метрикой. Это стандартная топология любого нормированного векторного пространства . В конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Существует много способов определения топологии на множестве действительных чисел . Стандартная топология генерируется открытыми интервалами . Набор всех открытых интервалов образует основу или основу топологии, а это означает, что каждое открытое множество представляет собой объединение некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество открыто, если вокруг каждой точки множества существует открытый интервал ненулевого радиуса. В более общем смысле, евклидовым пространствам можно задать топологию. В обычной топологии основными открытыми множествами являются открытые шары . Аналогично, набор комплексных чисел и имеет стандартную топологию, в которой основными открытыми множествами являются открытые шары. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Другие помещения

Если фильтр на множестве , то это топология на множестве. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания того, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.

Любое локальное поле имеет собственную топологию, и ее можно расширить до векторных пространств над этим полем.

Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Точно так же каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию от .

Топология Зарисского определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия . Замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами .

Пространство Серпинского — простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теории вычислений и семантике.

На любом заданном конечном множестве существует множество топологий . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются для предоставления примеров или контрпримеров гипотезам о топологических пространствах в целом.

Любому множеству можно придать коконечную топологию, в которой открытыми множествами являются пустое множество и множества, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T 1 на любом бесконечном множестве. ^[13]

Любому множеству можно придать косчетную топологию , в которой множество определяется как открытое, если оно либо пусто, либо его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология во многих ситуациях служит контрпримером.

Реальной линии также может быть задана топология нижнего предела . Здесь основными открытыми множествами являются полуоткрытые интервалы. Эта топология строго тоньше, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий. ${\displaystyle [a,b).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Если – порядковый номер , то набор может быть наделен топологией порядка , порожденной интервалами и где и – элементы ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$ ${\displaystyle [0,\beta ),}$ ${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Космическое пространство свободной группы состоит из так называемых «маркированных метрических графовых структур» тома 1 книги ^[14]. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Топологические конструкции

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства , в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств продукту может быть задана топология продукта , которая генерируется обратными образами открытых наборов факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях основа топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование: в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, представляют собой все пространство.

Факторпространство определяется следующим образом: если это топологическое пространство и множество, и если это сюръективная функция , то фактор-топология на является совокупностью подмножеств, которые имеют открытые прообразы под другими словами, фактор - топология тончайшая топология, для которой непрерывна. Типичным примером фактортопологии является ситуация, когда отношение эквивалентности определено в топологическом пространстве. Тогда карта является естественной проекцией на множество классов эквивалентности . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

Топология Виеториса на множестве всех непустых подмножеств топологического пространства , названного в честь Леопольда Виеториса , порождается следующим базисом: для каждого кортежа открытых множеств в мы строим базисный набор, состоящий из всех подмножеств объединения которые имеют непустые пересечения с каждым ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}.}$

Топология Фелла на множестве всех непустых замкнутых подмножеств локально компактного польского пространства является вариантом топологии Вьеториса и названа в честь математика Джеймса Фелла. Он порождается следующим базисом: для каждого -кортежа открытых множеств в и для каждого компактного множества множество всех его подмножеств, которые не пересекаются с каждым из них и имеют непустые пересечения с каждым, является членом базиса. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Классификация топологических пространств

Топологические пространства можно широко классифицировать, с точностью до гомеоморфизма, по их топологическим свойствам . Топологическое свойство — это свойство пространств, инвариантное относительно гомеоморфизмов. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которое им не присуще. Примеры таких свойств включают связность , компактность и различные аксиомы разделения . Для алгебраических инвариантов см. алгебраическую топологию .

Топологические пространства с алгебраической структурой

Для любых алгебраических объектов можно ввести дискретную топологию, при которой алгебраические операции являются непрерывными функциями. Для любой такой структуры, которая не является конечной, мы часто имеем естественную топологию, совместимую с алгебраическими операциями, в том смысле, что алгебраические операции по-прежнему непрерывны. Это приводит к таким понятиям, как топологические группы , топологические векторные пространства , топологические кольца и локальные поля .

Топологические пространства с порядковой структурой

• Спектральное : Пространство является спектральным тогда и только тогда, когда оно является простым спектром кольца ( теорема Хохстера ).
• Предварительный порядок специализации : В пространстве предварительный порядок специализации (или канонический предварительный порядок ) определяется тогда и только тогда, когда где обозначает оператор, удовлетворяющий аксиомам замыкания Куратовского . ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Смотрите также

• Полная алгебра Гейтинга . Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.
• Компактное пространство  - Тип математического пространства.
• Пространство сходимости  - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Внешнее пространство
• Пространство Хаусдорфа  - Тип топологического пространства.
• Гильбертово пространство  - тип топологического векторного пространства.
• Геминепрерывность
• Линейное подпространство  . В математике векторное подпространство.
• Квазитопологическое пространство  - множество X, снабженное функцией, которая ставит в соответствие каждому бикомпакту K набор отображений K→C, удовлетворяющих определенным естественным условиям.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Относительно компактное подпространство  - подмножество топологического пространства, замыкание которого компактно.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство (математика)  - математический набор с некоторой дополнительной структурой.

Цитаты

1. Шуберт 1968, с. 13
2. Сазерленд, Вашингтон (1975). Введение в метрические и топологические пространства. Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. ISBN 0-19-853155-9. ОСЛК  1679102.
3. Гаусс 1827.
4. Gallier & Xu 2013.
5. Дж. Стиллвелл, Математика и ее история.
6. «метрическое пространство» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
7. Хаусдорф, Феликс (1914) [1914]. «Punktmengen in allgemeinen Räumen». Grundzüge der Mengenlehre. Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (на немецком языке). Лейпциг: Фон Файт (опубликовано в 2011 г.). п. 211. ИСБН 9783110989854. Проверено 20 августа 2022 г. Unter einem metrischen R aume verstehen wir eine Menge E , [...].
8. Браун 2006, раздел 2.1.
9. Браун 2006, раздел 2.2.
10. Армстронг 1983, определение 2.1.
11. Армстронг 1983, теорема 2.6.
12. Манкрес, Джеймс Р. (2015). Топология . Пирсон. стр. 317–319. ISBN 978-93-325-4953-1.
13. Андерсон, бакалавр; Стюарт, Д.Г. (1969). « -дополнения топологий». Труды Американского математического общества . 23 : 77–81. дои : 10.2307/2037491. JSTOR  2037491. МР  0244927. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$
14. Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Математические изобретения . 84 (1): 91–119. Бибкод : 1986InMat..84...91C. дои : 10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.

Библиография

• Армстронг, Массачусетс (1983) [1979]. Базовая топология . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN 0-387-90839-0.
• Бредон, Глен Э. , Топология и геометрия (тексты для выпускников по математике), Springer; 1-е издание (17 октября 1997 г.). ISBN 0-387-97926-3 . 
• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: общая топология , Аддисон-Уэсли (1966).
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды. Книжный всплеск. ISBN 1-4196-2722-8.(3-е издание книг с разными названиями)
• Чех, Эдуард ; Наборы точек , Academic Press (1969).
• Фултон, Уильям , Алгебраическая топология , (Тексты для выпускников по математике), Спрингер; 1-е издание (5 сентября 1997 г.). ISBN 0-387-94327-7 . 
• Галье, Жан; Сюй, Дайанна (2013). Руководство к теореме классификации компактных поверхностей . Спрингер.
• Гаусс, Карл Фридрих (1827). Общие исследования искривленных поверхностей .
• Липшуц, Сеймур; «Очерк общей топологии» Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN 0-07-037988-2 . 
• Манкрес, Джеймс ; Топология , Прентис Холл; 2-е издание (28 декабря 1999 г.). ISBN 0-13-181629-2 . 
• Рунде, Волкер; Вкус топологии (Universitext) , Springer; 1-е издание (6 июля 2005 г.). ISBN 0-387-25790-X . 
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
• Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Вайдьянатхасвами, Р. (1960). Установить топологию . ISBN издательства Челси 0486404560.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

• «Топологическое пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]