Топология Зариского

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре топология Зариского — это топология , которая в первую очередь определяется своими замкнутыми множествами . Она сильно отличается от топологий, которые обычно используются в реальном или комплексном анализе ; в частности, это не Хаусдорф . ^[1] Эта топология была введена в первую очередь Оскаром Зариским, а затем обобщена для превращения множества простых идеалов коммутативного кольца ( называемого спектром кольца) в топологическое пространство.

Топология Зариского позволяет использовать инструменты топологии для изучения алгебраических многообразий , даже если лежащее в основе поле не является топологическим полем . Это одна из основных идей теории схем , позволяющая строить общие алгебраические многообразия путем склейки аффинных многообразий аналогично тому, как это делается в теории многообразий , где многообразия строятся путем склейки карт , представляющих собой открытые подмножества вещественных аффинных многообразий . пространства .

Топология Зарисского алгебраического многообразия — это топология, замкнутые множества которой являются алгебраическими подмножествами многообразия. ^[1] В случае алгебраического многообразия над комплексными числами топология Зарисского, таким образом, грубее обычной топологии, поскольку каждое алгебраическое множество замкнуто для обычной топологии.

Обобщение топологии Зариского на множество простых идеалов коммутативного кольца следует из Nullstellensatz Гильберта , который устанавливает биективное соответствие между точками аффинного многообразия, определенного над алгебраически замкнутым полем , и максимальными идеалами кольца его регулярных функций . . Это предполагает определение топологии Зарисского на множестве максимальных идеалов коммутативного кольца как топологии, в которой множество максимальных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех максимальных идеалов, содержащих данный идеал. Другая основная идея теории схем Гротендика состоит в том, чтобы рассматривать в качестве точек не только обычные точки, соответствующие максимальным идеалам, но и все (неприводимые) алгебраические многообразия, соответствующие простым идеалам. Таким образом, топология Зариского на множестве простых идеалов (спектре) коммутативного кольца — это топология, в которой множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал.

Топология многообразий Зариского

В классической алгебраической геометрии (т. е. той части алгебраической геометрии, в которой не используются схемы , введенные Гротендиком около 1960 г.) топология Зарисского определяется на алгебраических многообразиях . ^[2] Топология Зариского, определенная в точках многообразия, — это топология такая, что замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами многообразия. Поскольку наиболее элементарными алгебраическими многообразиями являются аффинные и проективные многообразия , полезно сделать это определение более явным в обоих случаях. Предположим, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем k (в классической алгебраической геометрии k обычно является полем комплексных чисел ).

Аффинные сорта

Сначала мы определяем топологию аффинного пространства , образованного n -кортежами элементов $k$ . Топология определяется путем указания ее закрытых множеств, а не открытых множеств, и под ними понимаются просто все алгебраические множества в. То есть закрытые множества имеют вид $\mathbb {A} ^{n},$ $\mathbb {A} ^{n}.$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}

Snk

V ( S ) = V (( S )), где ( S ) — идеал , порожденный элементами S ;
Для любых двух идеалов многочленов I , J имеем
1. ${\ displaystyle V (I) \ чашка V (J) \, = \, V (IJ);}$
2. ${\ displaystyle V (I) \ cap V (J) \, = \, V (I + J).}$

Отсюда следует, что конечные объединения и произвольные пересечения множеств V ( S ) также имеют такой вид, так что эти множества образуют замкнутые множества топологии (эквивалентно, их дополнения, обозначаемые D ( S ) и называемые главными открытыми множествами , имеют вид сама топология). Это топология Зариского на $\mathbb {A} ^{n}.$

Если X — аффинное алгебраическое множество (неприводимое или нет), то топология Зариского на нем определяется просто как топология подпространства , индуцированная его включением в некоторый эквивалент. Можно проверить, что: $\mathbb {A} ^{n}.$

Элементы аффинного координатного кольца $A(X)\,=\,k[x_{1},\dots,x_{n}]/I (X)$ действуют как функции на X так же, как элементы действуют как функции на ; здесь I ( X ) — идеал всех многочленов, исчезающих на X. $k[x_{1},\dots,x_{n}]$ $\mathbb {A} ^{n}$
Для любого набора многочленов S пусть T будет множеством их образов в A ( X ). Тогда подмножество X $V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}$ (эти обозначения нестандартны) равно пересечению V(S) с X.

Это устанавливает, что приведенное выше уравнение, которое, очевидно, является обобщением приведенного выше определения замкнутых множеств , определяет топологию Зарисского на любом аффинном многообразии. $\mathbb {A} ^{n}$

Проективные многообразия

Напомним, что n -мерное проективное пространство определяется как набор классов эквивалентности ненулевых точек путем идентификации двух точек, которые отличаются скалярным кратным по k . Элементы кольца многочленов обычно не являются функциями, поскольку любая точка имеет множество представителей, которые дают разные значения в многочлене; однако для однородных многочленов условие наличия нулевого или ненулевого значения в любой заданной проективной точке четко определено, поскольку скалярные кратные множители выходят из многочлена. Следовательно, если S — любой набор однородных полиномов, мы можем разумно говорить о $\mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {A} ^{n+1}$ $k[x_{0},\dots,x_{n}]$ $\mathbb {P} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Для этих множеств можно установить те же факты, что и выше, за исключением того, что слово «идеал» должно быть заменено фразой « однородный идеал », так что V ( S ) для множеств S однородных полиномов определяет топологию на As выше дополнения к этим наборам обозначены D ( S ) или, если возможна путаница, D' ( S ). $\mathbb {P} ^{n}.$

Проективная топология Зарисского определяется для проективных алгебраических множеств так же, как аффинная топология определяется для аффинных алгебраических множеств, путем взятия топологии подпространства. Аналогичным образом можно показать, что эта топология внутренне определяется наборами элементов проективного координатного кольца по той же формуле, что и выше.

Характеристики

Важным свойством топологий Зариского является то, что они имеют базу , состоящую из простых элементов, а именно $D (f)$ для отдельных полиномов (или для проективных многообразий однородных многочленов) $f$ . То, что они образуют базис, следует из формулы пересечения двух замкнутых по Зарисскому множеств, приведенной выше (примените ее неоднократно к главным идеалам, порожденным генераторами $(S)$ ). Открытые множества в этой базе называются выделенными или базовыми открытыми множествами. Важность этого свойства обусловлена, в частности, его использованием при определении аффинной схемы .

По базовой теореме Гильберта и тому факту, что нётеровы кольца замкнуты относительно частных , каждое аффинное или проективное координатное кольцо нётерово. Как следствие, аффинные или проективные пространства с топологией Зарисского являются нетеровыми топологическими пространствами , из чего следует, что любое замкнутое подмножество этих пространств компактно .

Однако, за исключением конечных алгебраических множеств, ни одно алгебраическое множество никогда не является хаусдорфовым пространством . В старой топологической литературе слово «компакт» подразумевало свойство Хаусдорфа, и это соглашение до сих пор соблюдается в алгебраической геометрии; поэтому компактность в современном смысле называется в алгебраической геометрии «квазикомпактностью». Однако, поскольку каждая точка ( a ₁ , ..., an ) является нулевым набором полиномов x ₁ - a ₁_, ..., x _n_- an , точки замкнуты, и поэтому каждое многообразие удовлетворяет T ₁ аксиома .

Всякое регулярное отображение многообразий непрерывно в топологии Зарисского. Фактически, топология Зариского — это самая слабая топология (с наименьшим количеством открытых множеств), в которой это верно и в которой точки замкнуты. В этом легко убедиться, заметив, что множества, замкнутые по Зарисскому, представляют собой просто пересечения прообразов 0 полиномиальными функциями, рассматриваемыми как регулярные отображения в $\mathbb {A} ^{1}.$

Спектр кольца

В современной алгебраической геометрии алгебраическое многообразие часто представляется ассоциированной с ним схемой , представляющей собой топологическое пространство (наделенное дополнительными структурами), локально гомеоморфное спектру кольца . ^[3] Спектр коммутативного кольца A , обозначаемый $Spec A$ , представляет собой множество простых идеалов кольца A , снабженных топологией Зариского , для которого замкнутыми множествами являются множества

V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supseteq I\}

где я - идеал.

Чтобы увидеть связь с классической картиной, заметим, что для любого множества S полиномов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности кортежами ( a ₁ , ..., a _n ) такой, что идеал, порожденный полиномами x ₁ − a ₁ , ..., x _n − a _n, содержит S ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет этот вид. Таким образом, V ( S ) «то же самое, что» максимальные идеалы, содержащие S. Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов всеми простыми идеалами; в этой формулировке это наблюдение естественно просто обобщить на определение замкнутого множества в спектре кольца.

Другой способ, возможно, более похожий на оригинал, интерпретировать современное определение — это осознать, что элементы A на самом деле можно рассматривать как функции простых идеалов A ; а именно, как функции на Spec A. Проще говоря, любому простому идеалу P соответствует поле вычетов , которое является полем частных частного A / P , и любой элемент A имеет отражение в этом поле вычетов. Более того, элементы, которые на самом деле находятся в P, — это именно те элементы, отражение которых исчезает в точке P. Итак, если мы подумаем о карте, связанной с любым элементом a из A :

e_{a}\colon {\bigl (}P\in \operatorname {Spec} A{\bigr)}\mapsto \left({\frac {a\;{\bmod {P}}}{1 }}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)

(«оценка a »), которая каждой точке присваивает ее отражение в поле вычетов там, как функцию от Spec A (значения которой, правда, лежат в разных полях в разных точках), то имеем

e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)

В более общем смысле, V ( I ) для любого идеала I — это общее множество, на котором все «функции» из I исчезают, что формально аналогично классическому определению. Фактически, они согласны в том смысле, что, когда A является кольцом многочленов над некоторым алгебраически замкнутым полем k , максимальные идеалы A отождествляются (как обсуждалось в предыдущем параграфе) с n -наборами элементов поля k , их полями вычетов. являются просто k , а карты «оценки» на самом деле являются оценкой полиномов в соответствующих n -кортежах. Поскольку, как показано выше, классическое определение по сути является современным определением, в котором рассматриваются только максимальные идеалы, это показывает, что интерпретация современного определения как «нулевых наборов функций» согласуется с классическим определением, где они оба имеют смысл.

Подобно тому, как Spec заменяет аффинные многообразия, конструкция Proj заменяет проективные многообразия в современной алгебраической геометрии. Как и в классическом случае, для перехода от аффинного к проективному определению достаточно заменить «идеальное» на «однородный идеал», хотя здесь возникает сложность, связанная с «нерелевантным максимальным идеалом», о котором говорится в цитируемой статье.

Примеры

Spec k , спектр поля k - это топологическое пространство с одним элементом.
Spec ℤ, спектр целых чисел имеет замкнутую точку для каждого простого числа p , соответствующую максимальному идеалу ( p ) ⊆ ℤ, и одну незамкнутую точку общего положения (т. е., замыканием которой является все пространство), соответствующую нулевому идеалу. (0). Таким образом, замкнутые подмножества Spec ℤ — это в точности все пространство и конечные объединения замкнутых точек.
Spec k [ t ], спектр кольца многочленов над полем k : такое кольцо многочленов, как известно, является областью главных идеалов , а неприводимые многочлены являются простыми элементами поля k [ t ]. Если k алгебраически замкнуто , например поле комплексных чисел , непостоянный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он линейный, формы t - a , для некоторого элемента a из k . Итак, спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого элемента a из k и точки общего положения, соответствующей нулевому идеалу, а множество замкнутых точек гомеоморфно аффинной прямой k , снабженной ее топологией Зарисского. Из-за этого гомеоморфизма некоторые авторы используют термин аффинная линия для спектра k [ t ]. Если k не является алгебраически замкнутым, например поле действительных чисел , картина усложняется из-за существования нелинейных неприводимых многочленов . В этом случае спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого монического неприводимого многочлена и точки общего положения, соответствующей нулевому идеалу. Например, спектр ℝ[ t ] состоит из замкнутых точек ( x − a ), для a в ℝ, замкнутых точек ( x ² + px + q ), где p , q находятся в ℝ и с отрицательным дискриминантом p ² − 4 q < 0 и, наконец, точка общего положения (0). Для любого поля замкнутые подмножества Spec k [ t ] представляют собой конечные объединения замкнутых точек и всего пространства. (Это следует из того факта, что k [ t ] является областью главных идеалов , а в области главных идеалов простые идеалы, содержащие идеал, являются простыми факторами простой факторизации генератора идеала).

Дополнительные свойства

Наиболее драматическое изменение топологии от классической картины к новой состоит в том, что точки больше не обязательно замкнуты; расширив определение, Гротендик ввел общие точки , которые являются точками с максимальным замыканием, то есть минимальными простыми идеалами . Замкнутые точки соответствуют максимальным идеалам A . Однако спектр и проективный спектр по-прежнему являются пространствами T0 : учитывая две точки P , Q , которые являются простыми идеалами A , по крайней мере одна из них, скажем P , не содержит другую. Тогда D ( Q ) содержит P , но , конечно, не Q.

Как и в классической алгебраической геометрии, любой спектр или проективный спектр (квази) компактен, и если рассматриваемое кольцо нётерово, то пространство является нётеровым топологическим пространством. Однако эти факты противоречат здравому смыслу: мы обычно не ожидаем, что открытые множества, отличные от компонентов связности , будут компактными, а для аффинных многообразий (например, евклидова пространства) мы даже не ожидаем, что само пространство будет компактным. Это один из примеров геометрической непригодности топологии Зарисского. Гротендик решил эту проблему, определив понятие правильности схемы (фактически морфизма схем), что восстанавливает интуитивное представление о компактности: Proj является правильным, а Spec — нет .

Смотрите также

Спектральное пространство

Цитаты

^ аб Хулек 2003, с. 19, 1.1.1..
^ Мамфорд 1999.
^ Даммит и Фут 2004.