Инфимум и супремум

Наибольшая нижняя граница и наименьшая верхняя граница

Множество действительных чисел (пустые и заполненные кружки), подмножество ( заполненные кружки) и инфимум. Обратите внимание, что для полностью упорядоченных конечных множеств инфимум и минимум равны. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S.}$

Набор действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ (красный ромб и кружки) и наименьшая такая верхняя граница, то есть супремум (красный ромб). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В математике инфимум (сокращенно inf ; мн.ч .: infima ) подмножества частично упорядоченного множества — это наибольший элемент в , который меньше или равен каждому элементу из , если такой элемент существует. ^[1] Если инфимум существует, он уникален, и если b является нижней границей , то b меньше или равен инфимуму . Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB ) также широко используется. ^[1] Супремум (сокращенно sup ; мн.ч .: suprema ) подмножества частично упорядоченного множества — это наименьший элемент в , который больше или равен каждому элементу из , если такой элемент существует. ^[1] Если супремум существует, он уникален, и если b является верхней границей , то супремум меньше или равен b . Следовательно, супремум также называют наименьшей верхней границей (или LUB ). ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Инфимум, в точном смысле, двойственен к понятию супремума. Инфима и супрема действительных чисел являются общими частными случаями, которые важны в анализе , и особенно в интегрировании Лебега . Однако общие определения остаются действительными в более абстрактной обстановке теории порядка , где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия инфимума и супремума близки к минимуму и максимуму , но более полезны в анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь минимума или максимума . Например, множество положительных действительных чисел (не включая ) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент из можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему числу, которое все еще находится в Существует, однако, ровно один инфимум положительных действительных чисел относительно действительных чисел: который меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое можно было бы использовать в качестве нижней границы. Инфимум множества всегда и только определяется относительно надмножества рассматриваемого множества. Например, нет инфимума положительных действительных чисел внутри положительных действительных чисел (как их собственного надмножества), и нет инфимума положительных действительных чисел внутри комплексных чисел с положительной действительной частью. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ ${\displaystyle 0,}$

Формальное определение

супремум = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества частично упорядоченного множества — это элемент , такой что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle y\leq x}$для всех ${\displaystyle x\in S.}$

Нижняя граница называется инфимумом ( или наилучшей нижней границей , или пересечением ), если ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• для всех нижних границ in ( больше любой другой нижней границы). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$ ${\displaystyle a}$

Аналогично, верхняя граница подмножества частично упорядоченного множества — это элемент такой , что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle z\geq x}$для всех ${\displaystyle x\in S.}$

Верхняя граница называется супремумом ( или наименьшей верхней границей , или соединением ), если ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• для всех верхних границ in ( меньше любой другой верхней границы). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$ ${\displaystyle b}$

Существование и уникальность

Нижняя и нижняя грань не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества может быть неверным, если оно вообще не имеет нижней границы или если множество нижних границ не содержит наибольшего элемента. (Примером этого является подмножество . Оно имеет верхние границы, например 1,5, но не имеет верхней грани в .) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Следовательно, частично упорядоченные множества, для которых известно, что существуют определенные инфимумы, становятся особенно интересными. Например, решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как супремум, так и инфимум, а полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как супремум, так и инфимум. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, которые возникают из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если супремум подмножества существует, он уникален. Если содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит (или не существует). Аналогично, если инфимум существует, он уникален. Если содержит наименьший элемент, то этот элемент является инфимумом; в противном случае инфимум не принадлежит (или не существует). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Отношение к максимальным и минимальным элементам

Нижняя граница подмножества частично упорядоченного множества , если она существует, не обязательно принадлежит Если принадлежит, то она является минимальным или наименьшим элементом Аналогично , если верхняя граница принадлежит , то она является максимальным или наибольшим элементом ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S.}$

Например, рассмотрим множество отрицательных действительных чисел (исключая ноль). Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для каждого элемента множества существует другой, больший элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа существует другое отрицательное действительное число , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, является наименьшей верхней границей отрицательных действительных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$ ${\displaystyle 0}$

Однако определение максимальных и минимальных элементов является более общим. В частности, множество может иметь много максимальных и минимальных элементов, тогда как инфима и супрема являются единственными.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, инфимум и супремум подмножества не обязательно сами являются членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченное множество может иметь много минимальных верхних границ, не имея наименьшей верхней границы. Минимальные верхние границы — это те верхние границы, для которых нет строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних границ, она просто не больше. Различие между «минимальным» и «наименьшим» возможно только тогда, когда заданный порядок не является полным . В полностью упорядоченном множестве, как и в действительных числах, концепции одинаковы.

В качестве примера, пусть будет множеством всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное путем взятия всех множеств из вместе с множеством целых чисел и множеством положительных действительных чисел, упорядоченных включением подмножества, как указано выше. Тогда очевидно , что и больше, чем все конечные множества натуральных чисел. Тем не менее, ни одно из них не меньше , и обратное не верно: оба множества являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Свойство наименьшей верхней границы

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты , типичных для множества действительных чисел. Это свойство иногда называют полнотой Дедекинда .

Если упорядоченное множество обладает свойством, что каждое непустое подмножество из , имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что оно имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечено выше, множество всех действительных чисел обладает свойством наименьшей верхней границы. Аналогично, множество целых чисел обладает свойством наименьшей верхней границы; если является непустым подмножеством и существует некоторое число, такое что каждый элемент из меньше или равен , то существует наименьшая верхняя граница для целого числа, которое является верхней границей для и меньше или равно любой другой верхней границе для Хорошо упорядоченное множество также обладает свойством наименьшей верхней границы, и пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего множества. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Примером множества, не обладающего свойством наименьшей верхней границы, является множество рациональных чисел. Пусть будет множеством всех рациональных чисел, таких что Тогда имеет верхнюю границу ( например, или ), но не имеет наименьшей верхней границы в : Если мы предположим, что является наименьшей верхней границей, то немедленно выводится противоречие, поскольку между любыми двумя действительными числами и (включая и ) существует некоторое рациональное число , которое само должно было бы быть наименьшей верхней границей (если ) или членом больше (если ). Другим примером являются гипердействительные числа ; наименьшей верхней границы множества положительных бесконечно малых не существует. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{2}<2.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1000,}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

Существует соответствующее свойство наибольшей нижней границы ; упорядоченное множество обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда оно также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница множества нижних границ множества является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница множества верхних границ множества является наименьшей верхней границей множества.

Если в частично упорядоченном множестве каждое ограниченное подмножество имеет супремум, то это применимо также к любому множеству в функциональном пространстве, содержащему все функции от до , где тогда и только тогда, когда для всех Например, это применимо к действительным функциям и, поскольку их можно считать частными случаями функций, к действительным кортежам и последовательностям действительных чисел. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle n}$

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремума.

Нижняя и верхняя грань действительных чисел

В анализе инфимум и супремум подмножеств действительных чисел особенно важны. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их супремум равен (что не является отрицательным действительным числом). ^[1] Полнота действительных чисел подразумевает (и эквивалентна), что любое ограниченное непустое подмножество действительных чисел имеет инфимум и супремум. Если не ограничено снизу, часто формально пишут Если пусто , пишут ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Характеристики

Если — любой набор действительных чисел, то тогда и только тогда, когда и в противном случае ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

Если — наборы действительных чисел, то (если только ) и ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ ${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$ ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Определение инфимы и супремы

Если инфимум существует (то есть является действительным числом) и если является любым действительным числом, то тогда и только тогда, когда является нижней границей и для каждого существует с Аналогично, если является действительным числом и если является любым действительным числом, то тогда и только тогда, когда является верхней границей и для каждого существует с ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Отношение к пределам последовательностей

Если — любой непустой набор действительных чисел, то всегда существует неубывающая последовательность в такая, что Аналогично, будет существовать (возможно, другая) невозрастающая последовательность в такая, что ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

Выражение инфимума и супремума как предела такой последовательности позволяет применять теоремы из различных разделов математики. Рассмотрим, например, известный факт из топологии , что если — непрерывная функция и — последовательность точек в своей области определения, которая сходится к точке , то обязательно сходится к Это подразумевает, что если — действительное число (где все находятся в ), и если — непрерывная функция, область определения которой содержит и тогда , что (например) гарантирует ^{[примечание 1]} , что — точка присоединения множества Если в дополнение к тому, что было предположено, непрерывная функция также является возрастающей или неубывающей функцией , то можно даже заключить, что Это можно применить, например, для заключения, что всякий раз, когда — действительная (или комплексная ) функция с областью определения, норма sup которой конечна, то для каждого неотрицательного действительного числа, поскольку отображение, определяемое как — непрерывная неубывающая функция, область определения которой всегда содержит и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(p).}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S,}$ $${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$ ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$ ${\displaystyle q,}$ $${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$ ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{q}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$ ${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Хотя это обсуждение сосредоточено на подобных выводах, можно прийти к соответствующим изменениям (например, требуя, чтобы было невозрастающим, а не неубывающим). Другие нормы, определенные в терминах или включают слабые нормы пространства (для ), норму в пространстве Лебега и нормы операторов . Монотонные последовательности в , которые сходятся к (или к ), также могут быть использованы для доказательства многих из приведенных ниже формул, поскольку сложение и умножение действительных чисел являются непрерывными операциями. ${\displaystyle \sup ,}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S}$ ${\displaystyle \inf S}$

Арифметические операции над множествами

Следующие формулы основаны на обозначении, которое удобно обобщает арифметические операции над множествами. Везде — это множества действительных чисел. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

Сумма множеств

Сумма Минковского двух множеств и действительных чисел — это множество, состоящее из всех возможных арифметических сумм пар чисел, по одному из каждого множества. Нижняя и верхняя грань суммы Минковского удовлетворяет и ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$ $${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$ $${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Произведение множеств

Умножение двух множеств и действительных чисел определяется аналогично их сумме Минковского: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Если и — непустые множества положительных действительных чисел, то и аналогично для супремумов ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$ ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

Скалярное произведение множества

Произведение действительного числа и множества действительных чисел — это множество ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Если то тогда как если то Используя и обозначения следует, что ${\displaystyle r\geq 0}$ $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$ ${\displaystyle r\leq 0}$ $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$ ${\displaystyle r=-1}$ ${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$ $${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Мультипликативная обратная величина множества

Для любого набора , который не содержит пусть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0,}$ $${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Если непусто, то где это уравнение также выполняется, когда используется определение . ^{[примечание 2]} Это равенство можно также записать как Более того, тогда и только тогда, когда где если ^{[примечание 2]} то ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$ ${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ ${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

Двойственность

Если обозначить через частично упорядоченное множество с противоположным отношением порядка ; то есть для всех объявить: , то инфимум подмножества в равен супремуму в и наоборот. ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ $${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: где ${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$ ${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

Примеры

Инфима

• Нижняя грань множества чисел равна Число является нижней границей, но не точной нижней границей, и, следовательно, не является нижней гранью. ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle 1}$
• В более общем смысле, если множество имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является инфимумом для множества. В этом случае он также называется минимумом множества .
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Если — убывающая последовательность с пределом , то ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

Супрема

• Супремум множества чисел равен числу Это число является верхней границей, но не является наименьшей верхней границей и, следовательно, не является супремумом. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle 3.}$ ${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

В последнем примере супремум множества рациональных чисел является иррациональным , что означает, что рациональные числа неполны .

Одним из основных свойств супремума является то, что для любых функционалов и $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Супремум подмножества , где обозначает « делит », — это наименьшее общее кратное элементов ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$ ${\displaystyle \,\mid \,}$ ${\displaystyle S.}$

Супремум множества, содержащего подмножества некоторого множества, — это объединение подмножеств при рассмотрении частично упорядоченного множества , где — множество -степень множества , а — подмножество . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Смотрите также

• Эссенциальная супремум и эссенциальная нижняя грань  - Нижняя грань и супремум почти везде.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Наибольший элемент и наименьший элемент  – Элемент ≥ (или ≤) каждого другого элемента
• Максимальные и минимальные элементы  – Элемент, который не ≤ (или ≥) любого другого элемента
• Верхний предел и нижний предел  – Границы последовательности Pages displaying short descriptions of redirect targets(нижний предел)
• Верхние и нижние границы  – Мажоранта и миноранта в математике

Примечания

1. Так как есть последовательность , которая сходится к этому, гарантирует, что принадлежит замыканию ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle f(\sup S),}$ ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S).}$
2. Определение обычно используется с расширенными действительными числами ; на самом деле, при таком определении равенство будет также иметь место для любого непустого подмножества. Однако обозначение обычно остается неопределенным, поэтому равенство дается только для случая, когда ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty ].}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0.}$

Ссылки

1. Рудин, Уолтер (1976). "«Глава 1. Действительные и комплексные системы чисел»". Принципы математического анализа (печать) (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 4. ISBN 0-07-054235-X.
2. Рокафеллар и Ветс 2009, стр. 1–2.
3. Закон, Элиас (2004). Математический анализ I. Trillia Group. С. 39–42.

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.

Внешние ссылки

• «Верхние и нижние границы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. «Инфимум и супремум». MathWorld .