Функция Гаусса

Математическая функция

В математике функция Гаусса , часто называемая просто гауссианой , является функцией базовой формы и с параметрическим расширением для произвольных действительных констант a , b и ненулевых c . Он назван в честь математика Карла Фридриха Гаусса . График гауссианы представляет собой характерную симметричную форму колоколообразной кривой . Параметр a — это высота пика кривой, b — положение центра пика, а c ( стандартное отклонение , иногда называемое среднеквадратичной шириной Гаусса ) управляет шириной «колокола». $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$ $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$

Функции Гаусса часто используются для представления функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением µ = b и дисперсией σ ² = c ² . В этом случае гауссиан имеет вид ^[1]

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

Функции Гаусса широко используются в статистике для описания нормального распределения , в обработке сигналов для определения фильтров Гаусса , в обработке изображений , где двумерные гауссианы используются для размытия по Гауссу , а также в математике для решения уравнений теплопроводности и уравнений диффузии , а также для определения уравнения Вейерштрасса. трансформировать .

Характеристики

Гауссовы функции возникают путем составления показательной функции с вогнутой квадратичной функцией : где $${\displaystyle f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),}$$

• ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2},}$
• ${\displaystyle \beta =b/c^{2},}$
• ${\displaystyle \gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).}$

(Примечание: не путать с ) ${\displaystyle a=1/(\sigma {\sqrt {2\pi }})}$ ${\displaystyle \ln a}$ ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2}}$

Таким образом, функции Гаусса — это те функции, логарифм которых является вогнутой квадратичной функцией.

Параметр c связан с полной шириной на половине высоты (FWHM) пика согласно

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

Затем функцию можно выразить через FWHM, представленную w : $${\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.}$$

Альтернативно, параметр c можно интерпретировать, говоря, что две точки перегиба функции происходят в точках x = b ± c .

Полная ширина в десятой части максимума (FWTM) для гауссиана может представлять интерес и составляет $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

Гауссовы функции аналитичны , и их предел при x → ∞ равен 0 (для приведенного выше случая b = 0 ).

Гауссовы функции относятся к элементарным функциям , не имеющим элементарных первообразных ; интеграл функции Гаусса представляет собой функцию ошибок :

$${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

Тем не менее, их несобственные интегралы по всей вещественной линии можно точно вычислить, используя интеграл Гаусса , и получаем $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$$

Нормализованные кривые Гаусса с ожидаемым значением µ и дисперсией σ ² . Соответствующие параметры : b = µ и c = σ . ${\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$

Этот интеграл равен 1 тогда и только тогда, когда ( нормирующая константа ), и в этом случае гауссиан является функцией плотности вероятности нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением µ = b и дисперсией σ ² = c ² : ${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$ $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

Эти гауссианы изображены на прилагаемом рисунке.

Гауссовы функции с центром в нуле минимизируют принцип неопределенности Фурье ^{[ необходимы пояснения ]} .

Произведение двух гауссовых функций является гауссианой, и свертка двух гауссовских функций также является гауссовой, причем дисперсия представляет собой сумму исходных дисперсий: . Однако произведение двух гауссовских функций плотности вероятности (PDF) вообще не является гауссовой PDF. ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$

Принятие преобразования Фурье (унитарное соглашение по угловой частоте) функции Гаусса с параметрами a = 1 , b = 0 и c дает другую функцию Гаусса с параметрами b = 0 и . ^[2] Так, в частности, функции Гаусса с b = 0 фиксируются преобразованием Фурье (они являются собственными функциями преобразования Фурье с собственным значением 1). Физической реализацией является дифракционная картина : например, фотографическое стекло , коэффициент пропускания которого имеет гауссово изменение, также является функцией Гаусса. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle c=1}$

Тот факт, что функция Гаусса является собственной функцией непрерывного преобразования Фурье, позволяет нам вывести следующее интересное ^{[ требуется пояснение ]} тождество из формулы суммирования Пуассона : $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

Интеграл от функции Гаусса

Интеграл от произвольной функции Гаусса равен $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2}}a\,|c|\,{\sqrt {\pi }}.}$$

Альтернативная форма - это когда f должно быть строго положительным, чтобы интеграл сходился. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f{\big (}x-g/(2f){\big )}^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),}$$

Связь со стандартным интегралом Гаусса

Интеграл для некоторых действительных констант a , b , c > 0 можно вычислить, приведя его к форме интеграла Гаусса . Во-первых, константу a можно просто вычесть из интеграла. Затем переменная интегрирования меняется с x на y = x − b : и затем на : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx}$$ $${\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/2c^{2}}\,dy,}$$ ${\displaystyle z=y/{\sqrt {2c^{2}}}}$ $${\displaystyle a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.}$$

Тогда, используя интегральное тождество Гаусса $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},}$$

у нас есть $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.}$$

Двумерная функция Гаусса

Трехмерный график функции Гаусса с двумерной областью определения

Базовая форма: $${\displaystyle f(x,y)=\exp(-x^{2}-y^{2})}$$

В двух измерениях степень, до которой возводится e в функции Гаусса, представляет собой любую отрицательно определенную квадратичную форму. Следовательно, множества уровня гауссианы всегда будут эллипсами.

Частным примером двумерной функции Гаусса является $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

Здесь коэффициент A — это амплитуда, x ₀ ,  y ₀ — центр, а σ _x ,  σ _y — разбросы x и y капли. Рисунок справа был создан с использованием A = 1, x ₀ = 0, y ₀ = 0, σ _x = σ _y = 1.

Объем под функцией Гаусса определяется выражением $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

В общем, двумерная эллиптическая функция Гаусса выражается как где матрица положительно определена . $${\displaystyle f(x,y)=A\exp {\Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{\big )}{\Big )},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$

Используя эту формулировку, фигуру справа можно создать с помощью A = 1 , ( x ₀ , y ₀ ) = (0, 0) , a = c = 1/2 , b = 0 .

Значение параметров общего уравнения

Для общей формы уравнения коэффициент A — это высота пика, а ( x ₀ , y ₀ ) — центр капли.

Если мы установим, то мы повернем каплю на положительный угол против часовой стрелки (для отрицательного вращения по часовой стрелке поменяйте местами знаки в коэффициенте b ). ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta }$

Чтобы получить обратно коэффициенты , и from , и использовать ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in [-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}}$

Пример вращения гауссовых капель можно увидеть в следующих примерах:

Используя следующий код Octave , можно легко увидеть эффект изменения параметров:

А  =  1 ; х0  =  0 ;  у0  =  0 ;сигма_Х  =  1 ; сигма_Y  =  2 ;[ X ,  Y ]  =  сетка ( - 5 : 1 : 5 ,  - 5 : 1 : 5 );для  тета  =  0 : пи / 100 : пи  а  =  cos ( тета ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  sin ( тета ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 );  b  =  sin ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_X ^ 2 )  —  sin ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_Y ^ 2 );  c  =  грех ( тета ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  cos ( тета ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 ); Z  =  A  *  exp ( - ( a  *  ( X  -  x0 ) .^ 2  +  2  *  b  *  ( X  -  x0 )  .*  ( Y  -  y0 )  +  c  *  ( Y  -  y0 ) .^ 2 )); серфинг ( X ,  Y ,  Z );  интерпретация затенения  ; просмотреть ( -36 , 36 ) дождаться кнопки нажать конец   

Такие функции часто используются при обработке изображений и в вычислительных моделях функционирования зрительной системы — см. статьи о масштабном пространстве и адаптации аффинной формы .

Также см. многомерное нормальное распределение .

Функция Гаусса или супергаусса высшего порядка

Более общую формулировку функции Гаусса с плоской вершиной и спадом по Гауссу можно получить, возведя содержимое показателя степени в степень : ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

Эта функция известна как функция супергаусса и часто используется для формулирования гауссова луча. ^[4] Эту функцию также можно выразить через полную ширину на половине высоты (FWHM), представленную w : $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

В двумерной формулировке функция Гаусса вдоль и может быть объединена ^[5] с потенциально различными и для формирования прямоугольного распределения Гаусса: или эллиптического распределения Гаусса: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).}$$ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)}$$

Многомерная функция Гаусса

В -мерном пространстве функция Гаусса может быть определена как где - столбец координат, - положительно определенная матрица и обозначает транспонирование матрицы . ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),}$$ ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Интеграл этой функции Гаусса по всему -мерному пространству задается как ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

Его можно легко вычислить, диагонализовав матрицу и заменив переменные интегрирования собственными векторами . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

В более общем смысле, сдвинутая функция Гаусса определяется как где - вектор сдвига, и матрицу можно считать симметричной, положительно определенной. Следующие интегралы с этой функцией можно вычислить тем же методом: где $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),}$$ ${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}$

Оценка параметров

Ряд областей, таких как звездная фотометрия , характеристика гауссовского пучка и спектроскопия линий излучения/поглощения, работают с выборочными функциями Гаусса и требуют точной оценки параметров высоты, положения и ширины функции. Есть три неизвестных параметра для 1D функции Гаусса ( a , b , c ) и пять для 2D функции Гаусса . ${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

Самый распространенный метод оценки гауссовских параметров — логарифмирование данных и подгонка параболы к полученному набору данных. ^{[6] [7]} Хотя это обеспечивает простую процедуру аппроксимации кривой , полученный алгоритм может быть смещен из-за чрезмерного взвешивания небольших значений данных, что может привести к большим ошибкам в оценке профиля. Эту проблему можно частично компенсировать за счет взвешенной оценки методом наименьших квадратов , уменьшая вес небольших значений данных, но это также может быть смещено, позволяя хвосту гауссианы доминировать при подгонке. Чтобы устранить смещение, вместо этого можно использовать процедуру наименьших квадратов с итеративным перевзвешиванием , в которой веса обновляются на каждой итерации. ^[7] Также возможно выполнить нелинейную регрессию непосредственно на данных, без использования логарифмического преобразования данных ; дополнительные параметры см. в разделе «Подбор распределения вероятностей» .

Точность параметра

Если у вас есть алгоритм оценки параметров функции Гаусса, важно также знать, насколько точны эти оценки. Любой алгоритм оценки методом наименьших квадратов может предоставить числовые оценки дисперсии каждого параметра (т. е. дисперсии предполагаемой высоты, положения и ширины функции). Можно также использовать теорию границ Крамера – Рао, чтобы получить аналитическое выражение для нижней границы дисперсии параметров при определенных предположениях относительно данных. ^{[8] [9]}

1. Шум в измеренном профиле либо является гауссовым , либо шум распределен по Пуассону .
2. Расстояние между каждой выборкой (т.е. расстояние между пикселями, измеряющими данные) является одинаковым.
3. Пик является «хорошо дискретизированным», поэтому менее 10% площади или объема под пиком (площадь, если 1D-гауссиан, объем, если 2D-гауссиан) находится за пределами области измерения.
4. Ширина пика намного больше, чем расстояние между точками выборки (т.е. пиксели детектора должны быть как минимум в 5 раз меньше гауссовой полувысоты).

Когда эти предположения выполняются, следующая ковариационная матрица K применяется для параметров 1D профиля , , и при iid гауссовском шуме и при пуассоновском шуме: ^[8] где - ширина пикселей, используемых для выборки функции, - квантовая эффективность детектора и указывает стандартное отклонение шума измерения. Таким образом, индивидуальные дисперсии параметров в случае гауссовского шума равны ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&{\frac {-1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\{\frac {-1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,}$$ ${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}}$$

а в случае шума Пуассона $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}}$$

Для параметров 2D-профиля, задающих амплитуду , положение и ширину профиля, применяются следующие ковариационные матрицы: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{\pi \delta _{X}\delta _{Y}Q^{2}}}&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{A\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}\\0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{y}}}&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}&0&0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}\\[6pt]\mathbf {K} _{\operatorname {Poisson} }={\frac {1}{2\pi }}&{\begin{pmatrix}{\frac {3A}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{\sigma _{X}}}\\0&{\frac {\sigma _{X}}{A\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {\sigma _{Y}}{A\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{3A\sigma _{Y}}}&{\frac {1}{3A}}\\{\frac {-1}{\sigma _{X}}}&0&0&{\frac {1}{3A}}&{\frac {2\sigma _{Y}}{3A\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$где дисперсии отдельных параметров задаются диагональными элементами ковариационной матрицы.

Дискретный гауссов

Дискретное ядро ​​Гаусса (сплошная линия) по сравнению с дискретным ядром Гаусса (пунктир) для шкал ${\displaystyle t=0.5,1,2,4.}$

Можно попросить дискретный аналог гауссова; это необходимо в дискретных приложениях, особенно в цифровой обработке сигналов . Простой ответ — выбрать непрерывную гауссову диаграмму, получив выборочное ядро ​​Гаусса . Однако эта дискретная функция не имеет дискретных аналогов свойств непрерывной функции и может привести к нежелательным эффектам, описанным в статье Реализация масштабного пространства .

Альтернативный подход заключается в использовании дискретного ядра Гаусса : ^[10] где обозначает модифицированные функции Бесселя целого порядка. $${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$ ${\displaystyle I_{n}(t)}$

Это дискретный аналог непрерывного гауссиана в том смысле, что он является решением дискретного уравнения диффузии (дискретное пространство, непрерывное время), точно так же, как непрерывный гауссиан является решением непрерывного уравнения диффузии. ^{[10] [11]}

Приложения

Функции Гаусса появляются во многих контекстах в естественных науках , социальных науках , математике и технике . Вот некоторые примеры:

• В статистике и теории вероятностей функции Гаусса появляются как функция плотности нормального распределения , которое представляет собой предельное распределение вероятностей сложных сумм в соответствии с центральной предельной теоремой .
• Функции Гаусса — это функция Грина для (однородного и изотропного) уравнения диффузии (и уравнения теплопроводности , что одно и то же), уравнения в частных производных , которое описывает эволюцию во времени массы-плотности при диффузии . В частности, если плотность массы в момент времени t = 0 задается дельтой Дирака , что по сути означает, что масса изначально сконцентрирована в одной точке, тогда распределение массы в момент времени t будет задаваться функцией Гаусса с параметр a линейно связан с 1/ √ t и c линейно связан с √ t ; эта изменяющаяся во времени гауссиана описывается тепловым ядром . В более общем смысле, если начальная плотность массы равна φ( x ), то плотность массы в более поздние моменты времени получается путем свертки φ с функцией Гаусса. Свертка функции с гауссианом также известна как преобразование Вейерштрасса .
• Функция Гаусса — это волновая функция основного состояния квантового гармонического осциллятора .
• Молекулярные орбитали , используемые в вычислительной химии, могут представлять собой линейные комбинации гауссовских функций, называемых гауссовскими орбиталями (см. также базисный набор (химия) ).
• Математически производные функции Гаусса можно представить с помощью функций Эрмита . Для единичной дисперсии n -я производная гауссовой функции представляет собой саму функцию Гаусса, умноженную на n -й полином Эрмита с точностью до масштаба.
• Следовательно, функции Гаусса также связаны с вакуумным состоянием в квантовой теории поля .
• Гауссовы пучки используются в оптических системах, микроволновых системах и лазерах.
• В представлении масштабного пространства функции Гаусса используются в качестве ядер сглаживания для создания многомасштабных представлений в компьютерном зрении и обработке изображений . В частности, производные гауссианов ( функций Эрмита ) используются в качестве основы для определения большого количества типов зрительных операций.
• Функции Гаусса используются для определения некоторых типов искусственных нейронных сетей .
• В флуоресцентной микроскопии двумерная функция Гаусса используется для аппроксимации диска Эйри , описывающего распределение интенсивности, создаваемое точечным источником .
• При обработке сигналов они служат для определения фильтров Гаусса , например, при обработке изображений , где 2D-гауссианы используются для размытия по Гауссу . При цифровой обработке сигналов используется дискретное ядро ​​Гаусса , которое может быть аппроксимировано биномиальным коэффициентом ^[12] или дискретизацией гауссианы.
• В геостатистике они использовались для понимания изменчивости моделей сложного обучающего изображения. Они используются с методами ядра для кластеризации шаблонов в пространстве признаков. ^[13]

Смотрите также

• Нормальное распределение
• Распределение Коши
• Ядро радиальной базисной функции

Рекомендации

1. Сквайрс, GL (30 августа 2001 г.). Практическая физика (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Фурье - Гауссово». Математический мир . Проверено 19 декабря 2013 г.
3. Наури, Николай. «Берехнунг фон Коварианцеллипсен» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 августа 2019 г. Проверено 14 августа 2019 г. .
4. Пэрент, А., М. Морен и П. Лавин. «Распространение супергауссовых полей». Оптическая и квантовая электроника 24.9 (1992): S1071–S1079.
5. «Руководство по командам оптического программного обеспечения GLAD, Ввод команды GAUSSIAN» (PDF) . Прикладные оптические исследования . 15 декабря 2016 г.
6. Каруана, Ричард А.; Сирл, Роджер Б.; Хеллер, Томас; Шупак, Саул И. (1986). «Быстрый алгоритм разрешения спектров». Аналитическая химия . 58 (6). Американское химическое общество (ACS): 1162–1167. дои : 10.1021/ac00297a041. ISSN  0003-2700.
7. Хунвэй Го, «Простой алгоритм подбора функции Гаусса», IEEE Sign. Учеб. Маг. 28(9): 134–137 (2011).
8. Н. Хаген, М. Купинский и Э. Л. Дереняк, «Оценка гауссовского профиля в одном измерении», Appl. Опция 46:5374–5383 (2007)
9. Н. Хаген и Э. Л. Дерениак, «Оценка гауссовского профиля в двух измерениях», Appl. Опция 47: 6842–6851 (2008)
10. Линдеберг, Т., «Масштабное пространство для дискретных сигналов», PAMI (12), № 3, март 1990 г., стр. 234–254.
11. Кэмпбелл, Дж, 2007, Модель SMM как краевая задача с использованием дискретного уравнения диффузии , Theor Popul Biol. Декабрь 2007 г.;72(4):539–46.
12. Хаддад, Р.А. и Акансу, А.Н., 1991, Класс быстрых гауссовских биномиальных фильтров для обработки речи и изображений , IEEE Trans. по обработке сигналов, 39-3: 723–727.
13. Хонарка М. и Каерс Дж., 2010, Стохастическое моделирование закономерностей с использованием дистанционного моделирования закономерностей , Mathematical Geosciences, 42: 487–517.

Внешние ссылки

• Mathworld включает доказательство связи между c и FWHM.
• «Интегрирование колоколообразной кривой». MathPages.com .
• Реализация гауссовского распределения на Haskell, Erlang и Perl
• Бенсимхун Майкл, N-мерная кумулятивная функция и другие полезные факты о гауссианах и нормальных плотностях (2009)
• Код для подгонки гауссианов в ImageJ и Fiji.