Структура регулярности

Структура исследования стохастических уравнений в частных производных

Теория структур регулярности Мартина Хайрера обеспечивает основу для изучения большого класса докритических параболических стохастических уравнений в частных производных, возникающих из квантовой теории поля . ^[1] Структура охватывает уравнение Кардара-Паризи-Чжана , уравнение и параболическую модель Андерсона, все из которых требуют перенормировки , чтобы иметь четко определенное представление о решении. ${\displaystyle \Phi _{3}^{4}}$

Хайрер получил Премию за прорыв в математике 2021 года за введение структур регулярности. ^[2]

Определение

Структура регулярности представляет собой тройку, состоящую из: ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$

• его подмножество (множество индексов) ограничено снизу и не имеет точек накопления ; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• пространство модели: градуированное векторное пространство , каждое из которых является банаховым пространством ; и ${\displaystyle T=\oplus _{\alpha \in A}T_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$
• структурная группа: группа непрерывных линейных операторов такая , что для каждого и каждого имеем . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \colon T\to T}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$ ${\displaystyle (\Gamma -1)\tau \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta }}$

Еще одним ключевым понятием в теории структур регулярности является понятие модели структуры регулярности, которая представляет собой конкретный способ ассоциирования с любым и «полиномом Тейлора», основанным на и представленным , при соблюдении некоторых требований согласованности. Точнее, модель для on , с состоит из двух карт ${\displaystyle \tau \in T}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 1}$

${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathrm {Lin} (T;{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d}))}$,

${\displaystyle \Gamma \colon \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to G}$.

Таким образом, каждой точке присваивается линейное отображение , которое является линейным отображением из в пространство распределений на ; присваивает любым двум точкам и ограниченному оператору , роль которого заключается в преобразовании расширения, основанного на , в расширение, основанное на . Эти отображения и необходимы для удовлетворения алгебраических условий ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pi _{x}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Gamma _{xy}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma _{xy}\Gamma _{yz}=\Gamma _{xz}}$,

${\displaystyle \Pi _{x}\Gamma _{xy}=\Pi _{y}}$,

и аналитические условия, что для любого любого компактного множества и любого существует константа такая, что границы ${\displaystyle r>|\inf A|}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle |(\Pi _{x}\tau )\varphi _{x}^{\lambda }|\leq C\lambda ^{|\tau |}\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

${\displaystyle \|\Gamma _{xy}\tau \|_{T_{\beta }}\leq C|x-y|^{\alpha -\beta }\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

выполнять равномерно для всех времен непрерывно дифференцируемые пробные функции с единичной нормой, поддерживаемые в единичном шаре относительно начала координат в , для всех точек , всех и всех с . Здесь обозначает сдвинутую и масштабированную версию выражения ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$ ${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beta <\alpha \leq \gamma }$ ${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }(y)=\lambda ^{-d}\varphi \left({\frac {y-x}{\lambda }}\right)}$.

Рекомендации

1. Хайрер, Мартин (2014). «Теория регулярности структур». Математические изобретения . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303.5113 . Бибкод : 2014InMat.198..269H. дои : 10.1007/s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
2. Образец, Ян (10 сентября 2020 г.). «Британский математик получил самую большую награду в академических кругах» . Хранитель . ISSN  0261-3077 . Проверено 13 сентября 2020 г.