stringtranslate.com

Точка накопления

В математике предельная точка , точка накопления или точка скопления множества в топологическом пространстве — это точка , которая может быть «аппроксимирована» точками в том смысле, что каждая окрестность содержит точку из , отличную от нее самой . Предельная точка множества сама по себе не обязательно должна быть элементом из Существует также тесно связанное понятие для последовательностей . Точка скопления или точка накопления последовательности в топологическом пространстве — это точка такая, что для каждой окрестности из существует бесконечно много натуральных чисел , таких что Это определение точки скопления или накопления последовательности обобщается на сети и фильтры .

Аналогично названное понятие предельной точки последовательности [1] (соответственно, предельной точки фильтра , [2] предельной точки сети ) по определению относится к точке, к которой сходится последовательность (соответственно, фильтр сходится к , сеть сходится к ). Важно отметить, что хотя «предельная точка множества» является синонимом «точки кластера/накопления множества», это не относится к последовательностям (ни к сетям, ни к фильтрам). То есть термин «предельная точка последовательности» не является синонимом «точки кластера/накопления последовательности».

Предельные точки множества не следует путать с точками прилипания (также называемыми точками замыкания ), для которых каждая окрестность содержит некоторую точку . В отличие от предельных точек, точка прилипания может иметь окрестность, не содержащую точек, отличных от нее самой. Предельную точку можно охарактеризовать как точку прилипания, которая не является изолированной точкой .

Предельные точки множества также не следует путать с граничными точками . Например, является граничной точкой (но не предельной) множества в со стандартной топологией . Однако является предельной точкой (хотя и не граничной) интервала в со стандартной топологией (для менее тривиального примера предельной точки см. первый заголовок). [3] [4] [5]

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и является основой таких концепций, как замкнутое множество и топологическое замыкание . Действительно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операция топологического замыкания может рассматриваться как операция, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

Относительно обычной евклидовой топологии последовательность рациональных чисел не имеет предела (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются предельными точками ), а именно -1 и +1. Таким образом, думая о множествах, эти точки являются предельными точками множества

Определение

Накопление очков набора

Последовательность, перечисляющая все положительные рациональные числа . Каждое положительное действительное число является точкой кластера.

Пусть будет подмножеством топологического пространства Точка в является предельной точкой или точкой кластера или точка накопления множества ,если каждаяокрестностьсодержит хотя бы одну точку ,отличную отсамой себя.

Не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения "открытой окрестности", чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения "общей окрестности", чтобы вывести факты из известной предельной точки.

Если — пространство (такое как метрическое пространство ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек [6] Фактически, пространства характеризуются этим свойством.

Если — пространство Фреше–Урысона (которым являются все метрические пространства и пространства с первой аксиомой счетности ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда существует последовательность точек, в пределе которой есть На самом деле пространства Фреше–Урысона характеризуются этим свойством.

Множество предельных точек называется производным множеством

Специальные типы точек накопления множества

Если каждая окрестность содержит бесконечно много точек, то существует определенный тип предельной точки, называемыйω-точка накопления

Если каждая окрестность содержит несчетное число точек, то существует определенный тип предельной точки, называемый точкой сгущения .

Если каждая окрестность такова , что мощность равна мощности , то существует определенный тип предельной точки, называемыйполная точка накопления

Точки накопления последовательностей и сетей

В топологическом пространстве точка называетсяточка кластера илиточка накопления последовательности , если для каждойокрестностисуществуетбесконечно многотаких, что Это эквивалентно утверждению, что для каждой окрестностиидля каждогосуществует такое, что Еслиявляетсяметрическим пространствомилипространством с первой аксиомой счетности(или, в более общем смысле,пространством Фреше–Урысона), тоявляется точкой скопления ,если и только еслиявляется пределом некоторой подпоследовательности . Множество всех точек скопления последовательности иногда называютпредельным множеством.

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности , означающее точку, к которой сходится последовательность (то есть каждая окрестность содержит все элементы последовательности, кроме конечного числа). Вот почему мы не используем термин предельная точка последовательности как синоним точки накопления последовательности.

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть — это функция , где — направленное множество , а — топологическое пространство. Точка называетсяточка кластера илиточка накопления сети , если для каждойокрестностии для каждойсуществуетнекотораятакая , чтоэквивалентно, еслиимеетподсеть, которая сходится кТочки кластеризации в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления.Кластеризацияипредельные точкитакже определены дляфильтров.

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления множества

Каждая последовательность по определению является просто картой , поэтому ее изображение можно определить обычным способом.

Наоборот, если задано счетное бесконечное множество в , мы можем перечислить все элементы множеством способов, даже с повторениями, и таким образом связать с ним множество последовательностей , которые будут удовлетворять

Характеристики

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой присоединения .

Замыкание множества — это непересекающееся объединение его предельных точек и изолированных точек , то есть,

Точка является предельной точкой тогда и только тогда , когда она находится в замыкании

Доказательство

Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки соответствует множеству. Теперь, является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку, отличную от тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку тогда и только тогда, когда находится в замыкании

Если мы используем для обозначения множества предельных точек , то мы имеем следующую характеристику замыкания : Замыкание равно объединению и Этот факт иногда принимается за определение замыкания .

Доказательство

("Левое подмножество") Предположим, что находится в замыкании Если находится в, то все готово. Если не находится в , то каждая окрестность содержит точку и эта точка не может быть Другими словами, является предельной точкой и находится в

(«Правое подмножество») Если принадлежит , то каждая окрестность очевидно пересекается , поэтому принадлежит замыканию Если принадлежит , то каждая окрестность содержит точку (отличную от ), поэтому принадлежит замыканию Это завершает доказательство.

Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство

Доказательство 1: замкнуто тогда и только тогда, когда равно своему замыканию тогда и только тогда, когда и только тогда, когда содержится в

Доказательство 2: Пусть будет замкнутым множеством и предельной точкой для Если не входит в то дополнение к содержит открытую окрестность для Поскольку является предельной точкой любой открытой окрестности для должно иметь нетривиальное пересечение с Однако множество не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. Обратно, предположим, что содержит все свои предельные точки. Мы покажем, что дополнение к является открытым множеством. Пусть будет точкой в ​​дополнении к По предположению не является предельной точкой, и, следовательно, существует открытая окрестность для , которая не пересекается и, таким образом, целиком лежит в дополнении к Поскольку это рассуждение справедливо для произвольного в дополнение к дополнению к можно выразить как объединение открытых окрестностей точек в дополнении к Следовательно, дополнение к открыто.

Ни одна изолированная точка не является предельной точкой какого-либо множества.

Доказательство

Если — изолированная точка, то — окрестность , не содержащая точек, отличных от

Пространство дискретно тогда и только тогда , когда ни одно подмножество не имеет предельной точки.

Доказательство

Если является дискретным, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой любого множества. Наоборот, если не является дискретным, то существует синглтон, который не является открытым. Следовательно, каждая открытая окрестность содержит точку и, следовательно, является предельной точкой

Если пространство имеет тривиальную топологию и является подмножеством с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками Если пространство является синглетоном, то каждая точка является предельной точкой

Доказательство

Пока непусто, его замыкание будет Оно пусто только тогда, когда пусто или является уникальным элементом

Смотрите также

Цитаты

  1. Дугунджи 1966, стр. 209–210.
  2. Бурбаки 1989, стр. 68–83.
  3. ^ "Разница между граничной точкой и предельной точкой". 2021-01-13.
  4. ^ "Что такое предельная точка". 2021-01-13.
  5. ^ "Примеры накопления баллов". 2021-01-13. Архивировано из оригинала 2021-04-21 . Получено 2021-01-14 .
  6. Манкрес 2000, стр. 97–102.

Ссылки