Предел последовательности

Значение, к которому стремится бесконечная последовательность

Последовательность, заданная периметрами правильных n -сторонних многоугольников , описывающих единичную окружность, имеет предел, равный периметру окружности, т.е. Соответствующая последовательность для вписанных многоугольников имеет тот же предел. ${\displaystyle 2\pi r}$

По мере того как положительное целое число становится все больше и больше, значение становится сколь угодно близким к . Мы говорим, что «предел последовательности равен ». ${\textstyle n}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$

В математике предел последовательности — это значение, к которому «стремятся» члены последовательности , и его часто обозначают с помощью символа (например, ). ^[1] Если такой предел существует, последовательность называется сходящейся . ^[2] Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся . ^[3] Говорят, что предел последовательности является фундаментальным понятием, на котором в конечном итоге зиждется весь математический анализ . ^[1] ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Пределы могут быть определены в любом метрическом или топологическом пространстве , но обычно сначала они встречаются в действительных числах .

История

Греческий философ Зенон Элейский известен формулировкой парадоксов, включающих ограничивающие процессы .

Левкипп , Демокрит , Антифон , Евдокс и Архимед разработали метод исчерпания , который использует бесконечную последовательность приближений для определения площади или объема. Архимеду удалось суммировать то, что сейчас называют геометрической прогрессией .

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): «Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку». ^[4]

Пьетро Менголи предвосхитил современную идею ограничения последовательности своим исследованием квазипропорций в Geometriae speciosae elementa (1659 г.). Он использовал термин «квазибесконечный» для обозначения неограниченности и «квазинулевой» для обозначения исчезновения .

Ньютон рассматривал ряды в своих работах « Анализ с бесконечными рядами » (написан в 1669 г., распространен в рукописи, опубликован в 1711 г.), « Метод флюксий и бесконечных рядов » (написан в 1671 г., опубликован в английском переводе в 1736 г., латинский оригинал опубликован гораздо позже). и Tractatus de Quadratura Curvarum (написанный в 1693 году, опубликованный в 1704 году как приложение к его «Оптике» ). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение , которое он затем линеаризует, принимая предел при стремлении к . ${\textstyle (x+o)^{n}}$ ${\textstyle o}$ ${\textstyle 0}$

В 18 веке математикам , таким как Эйлер , удалось суммировать некоторые расходящиеся ряды, остановившись в нужный момент; их не очень заботило, существует ли предел, лишь бы его можно было вычислить. В конце века Лагранж в своей «Теории аналитических функций» (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию исчисления. Гаусс в своем этюде о гипергеометрических рядах (1813) впервые строго исследовал условия, при которых ряд сходится к пределу.

Современное определение предела (для любого существует индекс, так что...) было дано Бернаром Больцано ( «Der bomische Lehrsatz» , Прага, 1816 г., на которое в то время мало обращали внимания) и Карлом Вейерштрассом в 1870-х годах. ${\textstyle \varepsilon }$ ${\textstyle N}$

Вещественные числа

График сходящейся последовательности { a _n } показан синим цветом. Здесь видно, что последовательность сходится к пределу 0 с увеличением n .

В действительных числах число является пределом последовательности , если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к , а не к какому-либо другому числу. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle L}$

Примеры

• Если для постоянного , то . ^{[доказательство 1] [5]} ${\displaystyle x_{n}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n}\to c}$
• Если , то . ^{[доказательство 2] [5]} ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• Если когда четное, а когда нечетное, то . (Тот факт, что всякий раз, когда является нечетным, не имеет значения.) ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Учитывая любое действительное число, можно легко построить последовательность, сходящуюся к этому числу, используя десятичные приближения. Например, последовательность сходится к . Обратите внимание, что десятичное представление является пределом предыдущей последовательности, определяемой формулой ${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle 0.3333\dots }$
  $${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• Нахождение предела последовательности не всегда очевидно. Двумя примерами являются (пределом которых является число e ) и среднее арифметико-геометрическое . Теорема о сжатии часто оказывается полезной при установлении таких пределов. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

Определение

Назовем пределом последовательности , которая записана ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$, или

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$,

если выполняется следующее условие:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число , что для любого натурального числа имеем . ^[6] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

Другими словами, для каждой меры близости члены последовательности в конечном итоге оказываются очень близки к пределу. Говорят, что последовательность сходится к пределу или стремится к нему . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Символически это:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Если последовательность сходится к некоторому пределу , то она сходится и является единственным пределом; в противном случае расходится . Последовательность, предел которой равен нулю, иногда называют нулевой последовательностью . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Иллюстрация

• 
  Пример последовательности, сходящейся к пределу . ${\displaystyle a}$
• 
  Независимо от того, что у нас есть, индекс есть , так что последовательность впоследствии полностью лежит в эпсилон-трубке . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  Существует также меньший индекс , чтобы последовательность впоследствии находилась внутри эпсилон-трубки . ${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  Для каждого из них существует лишь конечное число членов последовательности вне эпсилон-трубки. ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Характеристики

Некоторые другие важные свойства пределов реальных последовательностей включают следующее:

• Если он существует, предел последовательности уникален. ^[5]
• Пределы последовательностей хорошо ведут себя по отношению к обычным арифметическим операциям . Если и существует, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$предоставлено ^[5] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• Для любой непрерывной функции если существует, то она тоже существует. Фактически, любая вещественная функция непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей (хотя это не обязательно верно при использовании более общих понятий непрерывности). ${\textstyle f}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ ${\textstyle f}$

• Если для всех больше некоторых , то . ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Теорема о сжатии ) Если для всех больше некоторых , и , то . ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ( Теорема о монотонной сходимости ) Если функция ограничена и монотонна для всех, больших некоторых , то она сходится. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая подпоследовательность.
• Если каждая подпоследовательность последовательности имеет свою собственную подпоследовательность, сходящуюся к той же точке, то исходная последовательность сходится к этой точке.

Эти свойства широко используются для доказательства пределов без необходимости непосредственно использовать громоздкое формальное определение. Например, как только доказано, что , становится легко показать, используя приведенные выше свойства, что (предполагая, что ). ${\displaystyle 1/n\to 0}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

Бесконечные пределы

Говорят, что последовательность стремится к бесконечности , записывается ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$, или

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге больше любого фиксированного . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}>K}$ ${\displaystyle K}$

Символически это:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

Аналогично мы говорим, что последовательность стремится к минус бесконечности , записывая

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$, или

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге становятся меньше любого фиксированного . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}<K}$ ${\displaystyle K}$

Символически это:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность представляет собой один из таких примеров. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

Метрические пространства

Определение

Точка метрического пространства является пределом последовательности , если: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число , что для любого натурального числа имеем . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

Символически это:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Это совпадает с определением, данным для действительных чисел, когда и . ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Характеристики

• Когда он существует, предел последовательности уникален, поскольку отдельные точки разделены некоторым положительным расстоянием, поэтому на расстоянии менее половины этого расстояния члены последовательности не могут находиться на расстоянии от обеих точек. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

• Для любой непрерывной функции f , если она существует, то . Фактически, функция f непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

Последовательности Коши

График последовательности Коши ( x _n ), показанный синим цветом, в сравнении с n . Визуально мы видим, что последовательность приближается к предельной точке, поскольку члены последовательности становятся ближе друг к другу по мере увеличения n . В действительных числах каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу. ${\displaystyle x_{n}}$

Последовательность Коши — это последовательность, члены которой в конечном итоге становятся сколь угодно близкими друг к другу после того, как было отброшено достаточно много начальных членов. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является критерий Коши сходимости последовательностей : последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. Это остается верным и в других полных метрических пространствах .

Топологические пространства

Определение

Точка топологического пространства – это ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ограничить илипредельная точка ^[7][8]последовательности, если: ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

Для каждой окрестности существует такая , что для каждой мы имеем . ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}\in U}$

Это совпадает с определением, данным для метрических пространств, если - метрическое пространство и - топология, порожденная . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$

Предел последовательности точек в топологическом пространстве — это частный случай предела функции : область определения находится в пространстве с индуцированной топологией аффинно расширенной системы действительных чисел , диапазон значений — и аргумент функции стремится до , что в этом пространстве является предельной точкой . ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Характеристики

В хаусдорфовом пространстве пределы последовательностей уникальны, если они существуют. Обратите внимание, что это не обязательно должно быть так в нехаусдорфовых пространствах; в частности, если две точки и топологически неразличимы , то любая последовательность, которая сходится к, должна сходиться к и наоборот. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Гиперреальные числа

Определение предела с использованием гипердействительных чисел формализует интуитивное представление о том, что для «очень большого» значения индекса соответствующий член «очень близок» к пределу. Точнее, действительная последовательность стремится к L , если для каждого бесконечного сверхъестественного член бесконечно близок к (т. е. разница бесконечно мала ). Эквивалентно, L является стандартной частью : ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\textstyle H}$ ${\displaystyle x_{H}}$ ${\textstyle L}$ ${\displaystyle x_{H}-L}$ ${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$.

Таким образом, предел можно определить по формуле

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$.

где предел существует тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от выбора бесконечности . ${\textstyle H}$

Последовательность более чем одного индекса

Иногда можно также рассмотреть последовательность с более чем одним индексом, например, двойную последовательность . Эта последовательность имеет предел , если она становится все ближе и ближе к моменту, когда и n , и m становятся очень большими. ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Пример

• Если для постоянного , то . ${\displaystyle x_{n,m}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• Если , то . ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• Если , то предела не существует. В зависимости от относительной «скорости роста» и эта последовательность может приблизиться к любому значению между и . ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle 1}$

Определение

Назовем двойным пределом последовательности , записанную ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$, или

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$,

если выполняется следующее условие:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число , что для каждой пары натуральных чисел имеем . ^[10] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

Другими словами, для каждой меры близости члены последовательности в конечном итоге оказываются очень близки к пределу. Говорят, что последовательность сходится к пределу или стремится к нему . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle x}$

Символически это:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Обратите внимание, что двойной предел отличается от ограничения сначала в n , а затем в m . Последний известен как итерированный предел . Учитывая, что существуют и двойной предел, и повторный предел, они имеют одно и то же значение. Однако возможно, что один из них существует, а другой нет.

Бесконечные пределы

Говорят, что последовательность стремится к бесконечности , записывается ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$, или

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждой пары натуральных чисел мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге больше любого фиксированного . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}>K}$ ${\displaystyle K}$

Символически это:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

Аналогично, последовательность стремится к минус бесконечности , записанная ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$, или

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждой пары натуральных чисел мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге становятся меньше любого фиксированного . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}<K}$ ${\displaystyle K}$

Символически это:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность представляет собой один из таких примеров. ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

Поточечные пределы и равномерные пределы

Для двойной последовательности мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, чтобы получить одинарную последовательность . Фактически, существует два возможных значения этого предела. Первый из них называется поточечным пределом и обозначается ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$, или

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$,

что значит:

Для каждого действительного числа и каждого фиксированного натурального числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа имеем . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

Символически это:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность сходится поточечно к . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

Второй называется равномерным пределом и обозначается

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$, или

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$,

что значит:

Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа и для каждого натурального числа имеем . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

Символически это:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

В этом определении выбор не зависит от . Другими словами, выбор единообразно применим ко всем натуральным числам . Следовательно, легко видеть, что равномерная сходимость является более сильным свойством, чем поточечная сходимость: существование равномерного предела подразумевает существование и равенство поточечного предела: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$

Если равномерно, то точечно. ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность сходится равномерно к . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

Повторный предел

Для двойной последовательности мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, чтобы получить одинарную последовательность , а затем ограничить другой индекс, а именно , чтобы получить число . Символически, ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

Этот предел известен как итерированный предел двойной последовательности. Обратите внимание, что порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}}$в общем.

Достаточное условие равенства дается теоремой Мура-Осгуда , которая требует, чтобы предел был равномерным по . ^[10] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$ ${\textstyle m}$

Смотрите также

• Предельная точка
• Последующий лимит
• Ограничьте верхнее и ограничьте худшее
• Предел функции
• Предел последовательности функций
• Предел последовательности наборов
• Предел сети
• Поточечная сходимость
• Равномерная сходимость
• Способы конвергенции

Примечания

1. Курант (1961), с. 29.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Сходящаяся последовательность». mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.
3. Курант (1961), с. 39.
4. Ван Лой, Х. (1984). Хронология и исторический анализ математических рукописей Грегориуса Санкто Винченцио (1584–1667). История математики, 11 (1), 57–75.
5. «Пределы последовательностей | Блестящая вики по математике и наукам» . блестящий.орг . Проверено 18 августа 2020 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.
7. Дугунджи 1966, стр. 209–210.
8. Часар 1978, с. 61.
9. Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.
10. Закон, Элиас (2011). «Глава 4. Пределы функций и непрерывность». Математический анализ, том I. п. 223. ИСБН 9781617386473.
11. Хабил, Эйсса (2005). «Двойные последовательности и двойные серии» . Проверено 28 октября 2022 г.

Доказательства

1. Доказательство : Выбирайте . Для каждого , ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-c|=0<\varepsilon }$
2. Доказательство : выберите ( функция пола ). Для каждого , . ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon }$

Рекомендации

• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. ОСЛК  4146011.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Курант, Ричард (1961). «Дифференциальное и интегральное исчисление, том I», Blackie & Son, Ltd., Глазго.
• Фрэнк Морли и Джеймс Харкнесс. Трактат по теории функций (Нью-Йорк: Macmillan, 1893).

Внешние ссылки

• «Предел», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• История исчисления, включая пределы