Уравнение Кардара–Паризи–Чжана

Нелинейное стохастическое уравнение в частных производных

В математике уравнение Кардара–Паризи–Чжана (КПЗ) представляет собой нелинейное стохастическое уравнение в частных производных , введенное Мехраном Кардаром , Джорджио Паризи и И-Чэн Чжаном в 1986 году. ^{[1] [2]} Оно описывает временное изменение поля высоты с пространственной координатой и временной координатой : ${\displaystyle h({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;.}$

Здесь, это белый гауссовский шум со средним ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0}$

и второй момент

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t'),}$

${\displaystyle \nu }$, , и — параметры модели, а — размерность. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d}$

В одном пространственном измерении уравнение КПЗ соответствует стохастической версии уравнения Бюргерса с полем посредством подстановки . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u=-\lambda \,\partial h/\partial x}$

С помощью группы перенормировки предполагается, что уравнение KPZ является теорией поля многих моделей поверхностного роста , таких как модель Идена , баллистическое осаждение и слабо асимметричная модель одношагового процесса твердое тело на твердом теле (SOS). Строгое доказательство было дано Бертини и Джакомином в случае модели SOS. ^[3]

Класс универсальности КПЗ

Многие взаимодействующие системы частиц , такие как полностью асимметричный простой процесс исключения , лежат в классе универсальности KPZ . Этот класс характеризуется следующими критическими показателями в одном пространственном измерении (1 + 1 измерение): показатель шероховатости , показатель роста и динамический показатель . Чтобы проверить, находится ли модель роста в классе KPZ, можно вычислить ширину поверхности: ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle z={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle W(L,t)=\left\langle {\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}{\big (}h(x,t)-{\bar {h}}(t){\big )}^{2}\,dx\right\rangle ^{1/2},}$

где — средняя высота поверхности в момент времени , а — размер системы. Для моделей класса KPZ основные свойства поверхности можно охарактеризовать с помощью масштабного соотношения Фамилии — Вичека для шероховатости ^[4] ${\displaystyle {\bar {h}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle h(x,t)}$

${\displaystyle W(L,t)\approx L^{\alpha }f(t/L^{z}),}$

с функцией масштабирования, удовлетворяющей ${\displaystyle f(u)}$

${\displaystyle f(u)\propto {\begin{cases}u^{\beta }&\ u\ll 1\\1&\ u\gg 1\end{cases}}}$

В 2014 году Хайрер и Квастель показали, что в более общем случае следующие уравнения типа KPZ лежат в классе универсальности KPZ: ^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+P\left(\nabla h\right)+\eta ({\vec {x}},t)\;,}$

где — любой многочлен четной степени . ${\displaystyle P}$

Семейство процессов, которые предположительно являются универсальными пределами в классе универсальности (1+1) КПЗ и управляют долговременными флуктуациями, — это процессы Эйри и неподвижная точка КПЗ .

Решение уравнения КПЗ

Из-за нелинейности уравнения и наличия пространственно-временного белого шума решения уравнения КПЗ, как известно, не являются гладкими или регулярными, а скорее « фрактальными » или « грубыми ». Даже без нелинейного члена уравнение сводится к стохастическому уравнению теплопроводности , решение которого не дифференцируемо по пространственной переменной, но удовлетворяет условию Гельдера с показателем, меньшим 1/2. Таким образом, нелинейный член плохо определен в классическом смысле. ${\displaystyle \left(\nabla h\right)^{2}}$

В 2013 году Мартин Хайрер совершил прорыв в решении уравнения KPZ путем расширения преобразования Коула–Хопфа и построения приближений с использованием диаграмм Фейнмана . ^[5] В 2014 году он был награжден медалью Филдса за эту работу по уравнению KPZ, а также за теорию грубых путей и структуры регулярности . Было найдено 6 различных аналитических самоподобных решений для уравнения (1+1) KPZ с различными аналитическими шумовыми членами. ^[6]

Физическое происхождение

Этот вывод взят из ^[7] и. ^[8] Предположим, что мы хотим описать рост поверхности некоторым частным дифференциальным уравнением . Пусть представим высоту поверхности в положении и времени . Их значения непрерывны. Мы ожидаем, что будет своего рода сглаживающий механизм. Тогда простейшим уравнением для роста поверхности может быть уравнение диффузии , ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}}$

Но это детерминированное уравнение, подразумевающее, что поверхность не имеет случайных флуктуаций. Самый простой способ включить флуктуации — добавить шумовой член. Тогда мы можем использовать уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t),}$

с взятым в качестве гауссовского белого шума со средним нулевым и ковариацией . Это известно как уравнение Эдвардса-Уилкинсона (EW) или стохастическое уравнение теплопроводности с аддитивным шумом (SHE). Поскольку это линейное уравнение, его можно решить точно с помощью анализа Фурье . Но поскольку шум является гауссовым, а уравнение линейным, флуктуации, наблюдаемые для этого уравнения, по-прежнему являются гауссовыми. Это означает, что уравнения EW недостаточно для описания интересующего нас роста поверхности, поэтому нам нужно добавить нелинейную функцию для роста. Следовательно, изменение роста поверхности во времени имеет три вклада. Первый моделирует боковой рост как нелинейную функцию формы . Второй - это релаксация , или регуляризация , через член диффузии , а третий - это воздействие белого шума . Следовательно, ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E[\eta (x,t)\eta (x',t')]=\delta (x-x')\delta (t-t')}$ ${\displaystyle F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}}$ ${\displaystyle \eta (x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t)}$

Ключевой термин , детерминированная часть роста, предполагается функцией только наклона и симметричной функцией. Великое наблюдение Кардара, Паризи и Чжана (KPZ) ^[1] состояло в том, что в то время как поверхность растет в нормальном направлении (к поверхности), мы измеряем высоту на оси высоты, которая перпендикулярна пространственной оси, и, следовательно, должна появляться нелинейность, вытекающая из этого простого геометрического эффекта. Когда наклон поверхности мал, эффект принимает форму , но это приводит к, казалось бы, неразрешимому уравнению. Чтобы обойти эту трудность, можно взять общее и разложить его в ряд Тейлора , ${\displaystyle F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)}$ ${\displaystyle \partial _{x}h={\tfrac {\partial h}{\partial x}}}$ ${\displaystyle F(\partial _{x}h)=(1+|\partial _{x}h|^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(s)=F(0)+F'(0)s+{\frac {1}{2}}F''(0)s^{2}+...}$

Первый член можно удалить из уравнения сдвигом по времени, так как если решает уравнение КПЗ, то решает ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}(x,t):=h(x,t)-\lambda F(0)t}$

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F(0)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$

Второе должно исчезнуть из-за симметрии , но в любом случае могло бы быть удалено из уравнения с помощью постоянного сдвига скорости координат, поскольку если решает уравнение КПЗ, то решает ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}(x,t):=h(x-\lambda F'(0)t,t-\lambda F'(0)x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F'(0){\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {h}}(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$

Таким образом, квадратичный член является первым нетривиальным вкладом, и он единственный, который сохраняется. Мы приходим к уравнению КПЗ

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda \left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$

Смотрите также

• Уравнение Фоккера–Планка
• Фрактал
• Квантовая теория поля
• Группа ренормализации
• Трудный путь
• Стохастическое уравнение в частных производных
• Поверхностный рост
• Распределение Трейси–Уидома
• Универсальность (динамические системы)

Источники

1. Kardar, Mehran; Parisi, Giorgio; Zhang, Yi-Cheng (3 марта 1986 г.). «Динамическое масштабирование растущих интерфейсов». Physical Review Letters . 56 (9): 889–892. Bibcode : 1986PhRvL..56..889K. doi : 10.1103/PhysRevLett.56.889. PMID  10033312.
2. Hairer, Martin; Quastel, J (2014), Слабая универсальность уравнения KPZ (PDF)
3. Бертини, Лоренцо; Джакомин, Джамбаттиста (1997). «Стохастические уравнения Бюргерса и КПЗ из систем частиц». Сообщения по математической физике . 183 (3): 571–607. Bibcode :1997CMaPh.183..571B. CiteSeerX 10.1.1.49.4105 . doi :10.1007/s002200050044. S2CID  122139894. 
4. Family, F. ; Vicsek, T. (1985). "Масштабирование активной зоны в процессе Идена на перколяционных сетях и модели баллистического осаждения". Journal of Physics A: Mathematical and General . 18 (2): L75–L81. Bibcode :1985JPhA...18L..75F. doi :10.1088/0305-4470/18/2/005.
5. Хайрер, Мартин (2013). «Решение уравнения КПЗ». Annals of Mathematics . 178 (2): 559–664. arXiv : 1109.6811 . doi : 10.4007/annals.2013.178.2.4. S2CID  119247908.
6. Барна, Имре Ференц; Богнар, Габриэлла; Мохаммед, Гуэдда; Хричо, Кристиан; Матьяш, Ласло (2020). «Аналитические самоподобные решения уравнения роста интерфейса Кардара-Паризи-Чжана с различными шумовыми членами». Математическое моделирование и анализ . 25 (2): 241–257. Бибкод : 2019arXiv190401838F. дои : 10.3846/ммма.2020.10459 . S2CID  102487227.
7. «Конспект лекций Джереми Квастела» (PDF) .
8. Томохиро, Сасамото (2016). «Одномерное уравнение Кардара–Паризи–Чжана: распределение по высоте и универсальность». Progress of Theoretical and Experimental Physics . 2016 (2). doi : 10.1093/ptep/ptw002 .

Дальнейшее чтение

• Barabási, A.- L.; Stanley, HE (1995-04-13). "6 - Уравнение Кардара–Паризи–Чжана". Фрактальные концепции в поверхностном росте (1-е изд.). Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511599798.008. ISBN 978-0-521-48308-7.
• Корвин, Иван (2011). «Уравнение Кардара-Паризи-Чжана и класс универсальности». arXiv : 1106.1596 [math.PR].
• «Конспект лекций Джереми Квастела» (PDF) .
• Томохиро, Сасамото (2016). «Одномерное уравнение Кардара–Паризи–Чжана: распределение по высоте и универсальность». Progress of Theoretical and Experimental Physics . 2016 (2). doi : 10.1093/ptep/ptw002 .