Группа ренормализации

В теоретической физике термин группа перенормировки ( RG ) относится к формальному аппарату, который позволяет систематически исследовать изменения физической системы, рассматриваемые в разных масштабах . В физике элементарных частиц он отражает изменения в базовых силовых законах (кодифицированных в квантовой теории поля ) по мере изменения масштаба энергии, в котором происходят физические процессы, при этом масштабы энергии/импульса и расстояния разрешения эффективно сопряжены в соответствии с принципом неопределенности .

Изменение масштаба называется масштабным преобразованием . Группа перенормировки тесно связана с масштабной инвариантностью и конформной инвариантностью , симметриями, в которых система выглядит одинаково во всех масштабах ( самоподобие ). ^[a]

При изменении масштаба это похоже на изменение увеличительной способности воображаемого микроскопа, рассматривающего систему. В так называемых перенормируемых теориях система в одном масштабе обычно состоит из самоподобных копий самой себя при рассмотрении в меньшем масштабе с различными параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты или фундаментальные переменные могут относиться к атомам, элементарным частицам, атомным спинам и т. д. Параметры теории обычно описывают взаимодействия компонентов. Это могут быть переменные связи , которые измеряют силу различных сил, или сами массовые параметры. Сами компоненты могут казаться состоящими из большего количества тех же самых компонентов по мере перехода к более коротким расстояниям.

Например, в квантовой электродинамике (КЭД) электрон представляется состоящим из пар электронов и позитронов и фотонов, если смотреть на него с более высоким разрешением на очень коротких расстояниях. Электрон на таких коротких расстояниях имеет немного другой электрический заряд, чем одетый электрон, наблюдаемый на больших расстояниях, и это изменение, или бег , в значении электрического заряда определяется уравнением ренормгруппы.

История

Идея масштабных преобразований и масштабной инвариантности стара в физике: аргументы масштабирования были обычным явлением для школы Пифагора , Евклида и вплоть до Галилея . ^[1] Они снова стали популярными в конце 19-го века, возможно, первым примером была идея повышенной вязкости Осборна Рейнольдса как способ объяснения турбулентности.

Группа перенормировки была первоначально разработана в физике элементарных частиц, но в настоящее время ее приложения распространяются на физику твердого тела , механику жидкостей , физическую космологию и даже нанотехнологии . Ранняя статья ^[2] Эрнста Штюкельберга и Андре Петерманна в 1953 году предвосхищает идею в квантовой теории поля . Штюкельберг и Петерманн открыли эту область концептуально. Они отметили, что перенормировка демонстрирует группу преобразований, которые переводят величины из голых членов в контрчлены. Они ввели функцию h ( e ) в квантовой электродинамике (КЭД) , которая теперь называется бета-функцией (см. ниже).

Начало

Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу ограничили идею масштабными преобразованиями в КЭД в 1954 году ^[3] , которые являются наиболее физически значимыми, и сосредоточились на асимптотических формах пропагатора фотона при высоких энергиях. Они определили изменение электромагнитной связи в КЭД, оценив простоту масштабной структуры этой теории. Таким образом, они обнаружили, что параметр связи g ( μ ) на шкале энергии μ эффективно задается групповым уравнением (одномерной трансляции)

g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)

или, что эквивалентно , для некоторой функции G (неопределенной — в настоящее время называемой масштабирующей функцией Вегнера ) и константы d , в терминах связи g(M) в опорном масштабе M. $G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}$

Гелл-Манн и Лоу поняли в этих результатах, что эффективный масштаб может быть произвольно взят как μ и может варьироваться для определения теории в любом другом масштабе:

g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)

Суть РГ заключается в этом групповом свойстве: при изменении масштаба μ теория представляет собой самоподобную копию себя, и к любому масштабу можно получить доступ аналогичным образом из любого другого масштаба посредством группового действия, формального транзитивного сопряжения связей ^[4] в математическом смысле ( уравнение Шредера ).

На основе этого (конечного) группового уравнения и его масштабного свойства Гелл-Манн и Лоу смогли сосредоточиться на бесконечно малых преобразованиях и изобрели вычислительный метод, основанный на математической функции потока $ψ (g) = G d /(\partial G /\partial g)$ параметра связи g , который они ввели. Подобно функции h ( e ) Штюкельберга и Петермана, их функция определяет дифференциальное изменение связи g ( μ ) относительно малого изменения масштаба энергии μ через дифференциальное уравнение, уравнение группы ренормализации :

\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)

Современное название также указано, бета-функция , введенная К. Калланом и К. Симанзиком в 1970 году. ^[5] Поскольку это всего лишь функция g , интегрирование по g ее пертурбативной оценки позволяет задать траекторию перенормировки связи, то есть ее изменение с энергией, фактически функцию G в этом пертурбативном приближении. Предсказание группы перенормировки (ср. работы Штюкельберга–Петермана и Гелл-Манна–Лоу) было подтверждено 40 лет спустя в экспериментах на ускорителе LEP : было измерено ^[6],что «константа» тонкой структуры КЭД составляет около 1 ⁄ 127 при энергиях, близких к 200 ГэВ, в отличие от стандартного значения физики низких энергий 1 ⁄ 137 . ^[b]

Более глубокое понимание

Группа перенормировки возникает из перенормировки квантовых полевых переменных, которая обычно должна решать проблему бесконечностей в квантовой теории поля. ^[c] Эта проблема систематической обработки бесконечностей квантовой теории поля для получения конечных физических величин была решена для КЭД Ричардом Фейнманом , Джулианом Швингером и Синъитиро Томонагой , которые получили Нобелевскую премию 1965 года за эти вклады. Они эффективно разработали теорию перенормировки массы и заряда, в которой бесконечность в шкале импульса отсекается сверхбольшим регулятором , Λ. ^[d]

Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электрона, от масштаба Λ скрыта, эффективно заменена на масштабы с большими расстояниями, на которых измеряются физические величины, и, как результат, все наблюдаемые величины оказываются конечными, даже для бесконечного Λ. Таким образом, Гелл-Манн и Лоу поняли в этих результатах, что, в то время как крошечное изменение g обеспечивается приведенным выше уравнением РГ при заданном ψ( g ), самоподобие выражается тем фактом, что ψ( g ) явно зависит только от параметра(ов) теории, а не от масштаба μ . Следовательно, приведенное выше уравнение ренормгруппы может быть решено относительно ( G и, таким образом,) g ( μ ).

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, выходящего за рамки группы дилатации обычных перенормируемых теорий, рассматривает методы, в которых одновременно появляются сильно различающиеся масштабы длин. Это пришло из физики конденсированного состояния : в статье Лео П. Каданова 1966 года была предложена группа перенормировки «блок-спин». ^[8] «Идея блокировки» — это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупности компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку и получил полное вычислительное содержание в обширных важных вкладах Кеннета Уилсона . Сила идей Уилсона была продемонстрирована конструктивным итеративным ренормализационным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1975 году, ^[9], а также предшествующими основополагающими разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений в 1971 году. ^[10]^[11]^[12] За эти решающие вклады он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году. ^[13]

Переформулировка

Между тем, в 1970 году Каллан и Симанзик переформулировали РГ в более практических терминах. ^[5]^[14] Вышеуказанная бета-функция, описывающая «ход параметра связи» с масштабом, также, как было обнаружено, эквивалентна «аномалии канонического следа», которая представляет собой квантово-механическое нарушение симметрии масштаба (дилатации) в теории поля. ^[e] Количество приложений РГ в физике элементарных частиц резко возросло в 1970-х годах с созданием Стандартной модели .

В 1973 году ^[15]^[16] было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных кварков, называемая квантовой хромодинамикой , имеет отрицательную бета-функцию. Это означает, что начальное высокоэнергетическое значение связи приведет к особому значению $μ,$ при котором связь взрывается (расходится). Это особое значение является масштабом сильных взаимодействий , $μ$ = $Λ$ _QCD и происходит примерно при 200 МэВ. Наоборот, связь становится слабой при очень высоких энергиях ( асимптотическая свобода ), и кварки становятся наблюдаемыми как точечные частицы в глубоко неупругом рассеянии , как и предполагалось масштабированием Фейнмана–Бьёркена. Таким образом, КХД была установлена как квантовая теория поля, контролирующая сильные взаимодействия частиц.

Регулятивная модель импульсного пространства также стала высокоразвитым инструментом в физике твердого тела, но ее развитию препятствовало широкое использование теории возмущений, что не позволяло теории успешно применяться в сильно коррелированных системах. ^[f]

Конформная симметрия

Конформная симметрия связана с исчезновением бета-функции. Это может произойти естественным образом, если константа связи притягивается, бегущей к фиксированной точке , в которой β ( g ) = 0. В КХД фиксированная точка возникает на коротких расстояниях, где g → 0, и называется ( тривиальной ) ультрафиолетовой фиксированной точкой . Для тяжелых кварков, таких как верхний кварк , связь с дающим массу бозоном Хиггса движется к фиксированной ненулевой (нетривиальной) инфракрасной фиксированной точке , впервые предсказанной Пендлтоном и Россом (1981), ^[17] и CT Hill . ^[18] Связь Юкавы верхнего кварка лежит немного ниже инфракрасной фиксированной точки Стандартной модели, что предполагает возможность дополнительной новой физики, такой как последовательные тяжелые бозоны Хиггса. ^{[ требуется ссылка ]}

В теории струн конформная инвариантность мирового листа струны является фундаментальной симметрией: β = 0 является требованием. Здесь β является функцией геометрии пространства-времени, в котором движется струна. Это определяет размерность пространства-времени теории струн и навязывает уравнения общей теории относительности Эйнштейна геометрии. РГ имеет фундаментальное значение для теории струн и теорий великого объединения .

Это также современная ключевая идея, лежащая в основе критических явлений в физике конденсированного состояния. ^[19] Действительно, РГ стала одним из важнейших инструментов современной физики. ^[20] Она часто используется в сочетании с методом Монте-Карло . ^[21]

Блок спина

В этом разделе с педагогической точки зрения представлена картина RG, которую, возможно, легче всего понять: блочная спиновая RG, разработанная Лео П. Кадановым в 1966 году ^{. [8]}

Рассмотрим двумерное твердое тело — набор атомов в форме идеального квадрата, как показано на рисунке.

Предположим, что атомы взаимодействуют между собой только со своими ближайшими соседями, и что система находится при заданной температуре $T.$ Сила их взаимодействия количественно определяется определенной связью $J.$ Физика системы будет описываться определенной формулой, скажем, гамильтонианом $H (T, J)$ .

Теперь приступим к разделению твердого тела на блоки квадратов 2×2; мы попытаемся описать систему в терминах переменных блока , т. е. переменных, которые описывают среднее поведение блока. Далее предположим, что по какому-то счастливому совпадению физика переменных блока описывается формулой того же вида , но с разными значениями для $T$ и $J$ : $H (T', J')$ . (Это не совсем так, в общем случае, но часто это хорошее первое приближение.)

Возможно, первоначальная задача была слишком сложной для решения, поскольку атомов было слишком много. Теперь, в перенормированной задаче, у нас их всего четверть. Но зачем останавливаться сейчас? Еще одна итерация того же рода приводит к $H (T", J")$ и только к одной шестнадцатой части атомов. Мы увеличиваем масштаб наблюдения с каждым шагом RG.

Конечно, лучшей идеей будет итерировать до тех пор, пока не останется только один очень большой блок. Поскольку число атомов в любом реальном образце материала очень велико, это более или менее эквивалентно нахождению поведения RG-преобразования в дальнем диапазоне , которое заняло $(T, J) \to (T', J')$ и $(T', J') \to (T", J")$ . Часто, при многократном итерировании, это RG-преобразование приводит к определенному числу фиксированных точек .

Чтобы быть более конкретным, рассмотрим магнитную систему (например, модель Изинга ), в которой связь $J$ обозначает тенденцию соседних спинов к выравниванию. Конфигурация системы является результатом компромисса между упорядочивающим членом $J$ и разупорядочивающим эффектом температуры.

Для многих моделей такого рода существует три фиксированные точки:

$T = 0$ и $J \to \infty$ . Это означает, что при наибольшем размере температура становится неважной, т.е. фактор разупорядочения исчезает. Таким образом, в больших масштабах система кажется упорядоченной. Мы находимся в ферромагнитной фазе.
$T \to \infty$ и $J \to 0.$ С точностью до наоборот: здесь доминирует температура, а система неупорядочена в больших масштабах.
Нетривиальная точка между ними, $T = T c$ и $J = J c$ . В этой точке изменение масштаба не меняет физику, поскольку система находится во фрактальном состоянии. Она соответствует фазовому переходу Кюри , и также называется критической точкой .

Итак, если нам дан определенный материал с заданными значениями $T$ и $J$ , все, что нам нужно сделать, чтобы выяснить крупномасштабное поведение системы, — это повторять эту пару до тех пор, пока мы не найдем соответствующую неподвижную точку.

Элементарная теория

В более технических терминах предположим, что у нас есть теория, описываемая определенной функцией переменных состояния и определенным набором констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. д. Она должна содержать полное описание физики системы. $Z$ $\{s_{i}\}$ $\{J_{k}\}$

Теперь рассмотрим некоторое блокирующее преобразование переменных состояния , число должно быть меньше числа . Теперь попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достижимо определенным изменением параметров, , то говорят, что теория перенормируема . $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$ ${\tilde {s}}_{i}$ $s_{i}$ $Z$ ${\tilde {s}}_{i}$ $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$

Большинство фундаментальных теорий физики, таких как квантовая электродинамика , квантовая хромодинамика и электрослабое взаимодействие, но не гравитация, являются точно перенормируемыми. Кроме того, большинство теорий в физике конденсированного состояния являются приблизительно перенормируемыми, от сверхпроводимости до турбулентности жидкости.

Изменение параметров реализуется определенной бета-функцией: , которая, как говорят, индуцирует поток ренормгруппы (или поток РГ ) на -пространстве. Значения под потоком называются бегущими связями . $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$ $J$ $J$

Как было сказано в предыдущем разделе, наиболее важной информацией в потоке RG являются его неподвижные точки . Возможные макроскопические состояния системы в больших масштабах задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность , обладая тем, что называется полюсом Ландау , как в квантовой электродинамике. Для взаимодействия $φ$ ⁴Майкл Айзенман доказал, что эта теория действительно тривиальна, для размерности пространства-времени $D$ ≥ 5. ^[22] Для $D$ = 4 тривиальность еще не доказана строго, но решеточные вычисления предоставили веские доказательства этого. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже предсказания параметров, таких как масса бозона Хиггса в асимптотических сценариях безопасности . Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остается открытым вопросом. ^[23]

Поскольку преобразования RG в таких системах являются потерями (т. е. число переменных уменьшается — см. пример в другом контексте, Сжатие данных с потерями ), то для данного преобразования RG не обязательно должно быть обратное. Таким образом, в таких системах с потерями группа ренормализации фактически является полугруппой , поскольку потеря подразумевает, что для каждого элемента нет уникального обратного.

Релевантные и нерелевантные операторы и классы универсальности

Рассмотрим некоторую наблюдаемую $A$ физической системы, подвергающейся RG-преобразованию. Величина наблюдаемой по мере того, как масштаб длины системы меняется от малого к большому, определяет важность наблюдаемой(ых) для закона масштабирования:

Для описания макроскопического поведения системы требуется релевантная наблюдаемая; нерелевантные наблюдаемые не нужны. Незначительные наблюдаемые могут или не должны приниматься во внимание. Примечательным общим фактом является то, что большинство наблюдаемых нерелевантны , т. е. макроскопическая физика в большинстве систем определяется лишь несколькими наблюдаемыми .

Например, в микроскопической физике для описания системы, состоящей из моля атомов углерода-12, нам необходимо порядка 1023 ⁽ число Авогадро ) переменных, тогда как для описания ее как макроскопической системы (12 граммов углерода-12) нам нужно всего несколько.

До подхода РГ Уилсона существовал удивительный эмпирический факт, требующий объяснения: совпадение критических показателей (т. е. показателей зависимости нескольких величин от приведенной температуры вблизи фазового перехода второго рода ) в весьма разнородных явлениях, таких как магнитные системы, сверхтекучий переход ( лямбда-переход ), физика сплавов и т. д. Таким образом, в общем случае термодинамические характеристики системы вблизи фазового перехода зависят только от небольшого числа переменных , таких как размерность и симметрия, но нечувствительны к деталям основных микроскопических свойств системы.

Это совпадение критических показателей для якобы совершенно разных физических систем, называемое универсальностью , легко объясняется с помощью группы перенормировки, демонстрируя, что различия в явлениях среди отдельных мелкомасштабных компонентов определяются нерелевантными наблюдаемыми , в то время как релевантные наблюдаемые являются общими. Следовательно, многие макроскопические явления могут быть сгруппированы в небольшой набор классов универсальности , определяемых общими наборами релевантных наблюдаемых. ^[g]

Пространство импульса

На практике группы перенормировки бывают двух основных «ароматов». Картина Каданова, изложенная выше, относится в основном к так называемой RG реального пространства .

С другой стороны, RG импульсного пространства имеет более долгую историю, несмотря на свою относительную тонкость. Его можно использовать для систем, где степени свободы могут быть представлены в терминах мод Фурье данного поля. Преобразование RG происходит путем интегрирования определенного набора мод с высоким импульсом (большим волновым числом). Поскольку большие волновые числа связаны с малыми масштабами длины, RG импульсного пространства приводит к по существу аналогичному эффекту грубой зернистости, как и в случае RG реального пространства.

RG в импульсном пространстве обычно выполняется на основе разложения возмущений . Обоснованность такого разложения основана на том, что фактическая физика системы близка к физике свободной полевой системы. В этом случае можно вычислить наблюдаемые, суммируя ведущие члены разложения. Этот подход оказался успешным для многих теорий, включая большую часть физики элементарных частиц, но не работает для систем, физика которых очень далека от любой свободной системы, т. е. систем с сильными корреляциями.

В качестве примера физического смысла RG в физике элементарных частиц рассмотрим обзор перенормировки заряда в квантовой электродинамике (КЭД). Предположим, у нас есть точечный положительный заряд определенной истинной (или голой ) величины. Электромагнитное поле вокруг него имеет определенную энергию и, таким образом, может производить некоторые виртуальные электронно-позитронные пары (например). Хотя виртуальные частицы очень быстро аннигилируют, в течение их короткой жизни электрон будет притягиваться зарядом, а позитрон будет отталкиваться. Поскольку это происходит равномерно всюду вблизи точечного заряда, где его электрическое поле достаточно сильное, эти пары эффективно создают экран вокруг заряда, если смотреть издалека. Измеренная сила заряда будет зависеть от того, насколько близко наш измерительный зонд может приблизиться к точечному заряду, обходя большую часть экрана виртуальных частиц по мере приближения. Отсюда зависимость определенной константы связи (здесь, электрического заряда) от масштаба расстояния .

Масштабы импульса и длины связаны обратно пропорционально, согласно соотношению де Бройля : чем выше масштаб энергии или импульса, которого мы можем достичь, тем ниже масштаб длины, который мы можем исследовать и разрешить. Поэтому практикующие RG импульсного пространства иногда заявляют, что интегрируют высокие импульсы или высокую энергию из своих теорий.

Точные уравнения ренормгруппы

Точное уравнение ренормгруппы ( ERGE ) — это уравнение, которое учитывает нерелевантные связи. Существует несколько формулировок.

ERGE Вильсона является самым простым концептуально, но практически нереализуемым. Преобразование Фурье в импульсное пространство после поворота Вика в евклидово пространство . Настаивайте на жестком обрезании импульса , $p 2 \leq Λ 2 ,$ так что единственными степенями свободы будут те, у которых импульсы меньше $Λ$ . Функция распределения имеет вид

Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].

Для любого положительного $Λ',$ меньшего $Λ$ , определим $S Λ'$ (функционал над конфигурациями поля $φ$ , преобразование Фурье которого имеет импульсный носитель в пределах $p 2 \leq Λ' 2$ ) как

\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].

Если $S Λ$ зависит только от $ϕ$ , а не от производных $ϕ$ , это можно переписать как

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],$

в котором становится ясно, что, поскольку интегрируются только функции $ϕ$ с носителем между $Λ'$ и $Λ , левая часть может по-прежнему зависеть от$ $ϕ$ с носителем вне этого диапазона. Очевидно,

Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].

На самом деле, это преобразование транзитивно . Если вы вычисляете $S Λ'$ из $S Λ$ , а затем вычисляете $S Λ''$ из $S Λ''$ , это дает вам то же самое действие Вильсона, что и вычисление S _Λ″ напрямую из S _Λ .

Polchinski ERGE включает плавное обрезание УФ -регулятора . По сути, эта идея является улучшением по сравнению с Wilson ERGE. Вместо резкого обрезания импульса он использует плавное обрезание. По сути, мы сильно подавляем вклады от импульсов, больших $Λ$ . Однако плавность обрезания позволяет нам вывести функциональное дифференциальное уравнение в масштабе обрезания $Λ$ . Как и в подходе Wilson, у нас есть другой функционал действия для каждого масштаба энергии обрезания $Λ$ . Каждое из этих действий должно описывать одну и ту же модель, что означает, что их функционалы разбиения должны точно совпадать.

Другими словами, (для действительного скалярного поля; обобщения на другие поля очевидны),

Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)

и Z _Λ на самом деле независим от $Λ$ ! Здесь мы использовали сжатую нотацию ДеВитта . Мы также разделили голое действие S _Λ на квадратичную кинетическую часть и взаимодействующую часть S _{int Λ} . Это разделение, безусловно, не является чистым. «Взаимодействующая» часть также может содержать квадратичные кинетические члены. Фактически, если есть какая-либо перенормировка волновой функции , она, безусловно, будет. Это можно несколько уменьшить, введя перемасштабирование поля. R _Λ является функцией импульса p, а второй член в показателе степени равен

{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)

при расширении.

Когда , $R$ $Λ$ $($ $p$ $)/$ $p$ $2$ по сути равен 1. Когда , $R$ $Λ$ $($ $p$ $)/$ $p$ $2$ становится очень-очень огромным и стремится к бесконечности. $R$ $Λ$ $($ $p$ $)/$ $p$ $2$ всегда больше или равно 1 и является гладким. По сути, это оставляет флуктуации с импульсами, меньшими, чем обрезание $Λ,$ неизменными, но сильно подавляет вклады флуктуаций с импульсами, большими, чем обрезание. Это, очевидно, огромное улучшение по сравнению с Уилсоном. $p\ll \Lambda$ $p\gg \Lambda$

Условие, что

{\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0

может быть удовлетворено (но не только)

{\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].

Жак Дистлер утверждал без доказательств, что это ERGE не является верным непертурбативно . ^[24]

Эффективное среднее действие ERGE включает плавное обрезание IR-регулятора. Идея состоит в том, чтобы учесть все флуктуации вплоть до шкалы IR $k .$ Эффективное среднее действие будет точным для флуктуаций с импульсами больше $k$ . При уменьшении параметра $k эффективное среднее действие приближается к$ эффективному действию, которое включает все квантовые и классические флуктуации. Напротив, при больших $k$ эффективное среднее действие близко к «голому действию». Таким образом, эффективное среднее действие интерполируется между «голым действием» и эффективным действием .

Для реального скалярного поля добавляется ИК-отсечение

{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)

к действию $S$ , где R _k является функцией как $k,$ так и $p$ , такой что для , R _k (p) очень мала и стремится к 0 и для , . R _k является как гладким, так и неотрицательным. Его большое значение для малых импульсов приводит к подавлению их вклада в статистическую сумму, что фактически то же самое, что и пренебрежение крупномасштабными флуктуациями. $p\gg k$ $p\ll k$ $R_{k}(p)\gtrsim k^{2}$

Можно использовать сокращенную нотацию ДеВитта

{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi

для этого ИК-регулятора.

Так,

\exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)

где $J$ — исходное поле . Преобразование Лежандра W _k обычно дает эффективное действие . Однако действие, с которого мы начали, на самом деле равно S[φ]+1/2 φ⋅R _k ⋅φ и поэтому, чтобы получить эффективное среднее действие, мы вычитаем 1/2 φ⋅R _k ⋅φ. Другими словами,

\phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]

можно инвертировать, чтобы получить J _k [φ], и мы определяем эффективное среднее действие Γ _k как

\Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .

Следовательно,

{\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}

таким образом

{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]

является ERGE, которое также известно как уравнение Веттериха . Как показал Моррис, эффективное действие Γ _k на самом деле просто связано с эффективным действием Полчинского S _int через соотношение преобразования Лежандра. ^[25]

Поскольку существует бесконечно много вариантов выбора $R$ _k , существует также бесконечно много различных интерполирующих ERGE. Обобщение на другие поля, такие как спинорные поля, является простым.

Хотя Polchinski ERGE и эффективное среднее действие ERGE выглядят похожими, они основаны на совершенно разных философиях. В эффективном среднем действии ERGE голое действие остается неизменным (и шкала отсечки УФ — если она есть — также остается неизменной), но вклады IR в эффективное действие подавляются, тогда как в Polchinski ERGE QFT фиксируется раз и навсегда, но «голое действие» варьируется в разных энергетических масштабах для воспроизведения предопределенной модели. Версия Polchinski, безусловно, гораздо ближе к идее Уилсона по духу. Обратите внимание, что одна использует «голые действия», тогда как другая использует эффективные (средние) действия.

Ренормгрупповое улучшение эффективного потенциала

Группа перенормировки может также использоваться для вычисления эффективных потенциалов в порядках выше 1-петлевого. Такой подход особенно интересен для вычисления поправок к механизму Коулмена–Вайнберга ^[26] . Для этого необходимо записать уравнение группы перенормировки в терминах эффективного потенциала. Для случая модели : $\phi ^{4}$

\left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.

Для определения эффективного потенциала полезно записать как $V_{\text{eff}}$

V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},

где — степенной ряд в : $S_{\text{eff}}$ $L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}$

S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .

Используя приведенный выше анзац , можно решить уравнение группы ренормализации пертурбативно и найти эффективный потенциал до желаемого порядка. Педагогическое объяснение этого метода приведено в ссылке. ^[27]

Смотрите также

Замечания

^ Обратите внимание, что масштабные преобразования являются строгим подмножеством конформных преобразований , в общем случае, последние включают дополнительные генераторы симметрии, связанные со специальными конформными преобразованиями .
^ Ранние приложения к квантовой электродинамике обсуждаются в влиятельной книге 1959 года «Теория квантованных полей» Николая Боголюбова и Дмитрия Ширкова . ^[7]
^ Хотя следует отметить, что RG существует независимо от бесконечностей.
^ Параметр регулятора Λ в конечном итоге можно считать бесконечным — бесконечности отражают наложение вкладов бесконечности степеней свободы в бесконечно больших энергетических масштабах.
^ Примечательно, что аномалия следа и работающие квантово-механические процедуры связывания сами по себе могут индуцировать массу.
^ Для сильно коррелированных систем вариационные методы являются лучшей альтернативой.
^ Превосходное техническое изложение Дж. Зинн-Жюстина (2010) представлено в классической статье Зинн-Жюстина, Жана (2010). "Критические явления: теоретический подход поля". Scholarpedia . 5 (5): 8346. Bibcode :2010SchpJ...5.8346Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8346 .. Например, для систем типа Изинга с симметрией или, в более общем случае, для моделей с симметрией O(N), гауссова (свободная) неподвижная точка является устойчивой на больших расстояниях выше пространственного измерения четыре, маргинально устойчивой в измерении четыре и неустойчивой ниже измерения четыре. См. Квантовая тривиальность . $\mathbb {Z} _{2}$

Цитаты

^ "Введение в законы масштабирования". av8n.com .
^ Штюкельберг, ЭКГ ; Петерманн, А. (1953). «Перенормировка констант в теории квантов». Хелв. Физ. Акта (на французском языке). 26 : 499–520.
^ Гелл-Манн, М.; Лоу , Ф. Э. (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF) . Physical Review . 95 (5): 1300–1312. Bibcode : 1954PhRv...95.1300G. doi : 10.1103/PhysRev.95.1300.
^ Curtright, TL ; Zachos, CK (март 2011 г.). "Renormalization Group Functional Equations". Physical Review D . 83 (6): 065019. arXiv : 1010.5174 . Bibcode :2011PhRvD..83f5019C. doi :10.1103/PhysRevD.83.065019. S2CID 119302913.
^ ab Callan, CG (1970). «Нарушенная масштабная инвариантность в скалярной теории поля». Physical Review D. 2 ( 8): 1541–1547. Bibcode :1970PhRvD...2.1541C. doi :10.1103/PhysRevD.2.1541.
^ Фрич, Харальд (2002). «Фундаментальные константы при высоких энергиях». Fortschritte der Physik . 50 (5–7): 518–524. arXiv : hep-ph/0201198 . Бибкод : 2002ForPh..50..518F. doi :10.1002/1521-3978(200205)50:5/7<518::AID-PROP518>3.0.CO;2-F. S2CID 18481179.
^ Боголюбов, НН ; Ширков, ДВ (1959). Теория квантованных полей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Interscience.
^ ab Каданофф, Лео П. (1966). "Законы масштабирования для моделей Изинга вблизи T c {\displaystyle T_{c}} ". Physics Physique Fizika . 2 (6): 263. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 .
^ Уилсон, КГ (1975). «Группа перенормировки: критические явления и проблема Кондо». Rev. Mod. Phys . 47 (4): 773. Bibcode :1975RvMP...47..773W. doi :10.1103/RevModPhys.47.773.
^ Wilson, KG (1971). «Ренормгруппа и критические явления. I. Ренормгруппа и масштабная картина Каданова». Physical Review B. 4 ( 9): 3174–3183. Bibcode :1971PhRvB...4.3174W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3174 .
^ Уилсон, К. (1971). «Группа перенормировки и критические явления. II. Анализ критического поведения с помощью ячеек фазового пространства». Physical Review B. 4 ( 9): 3184–3205. Bibcode :1971PhRvB...4.3184W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3184 .
^ Уилсон, К. Г.; Фишер, М. (1972). «Критические показатели в 3,99 измерениях». Physical Review Letters . 28 (4): 240. Bibcode : 1972PhRvL..28..240W. doi : 10.1103/physrevlett.28.240.
^ Уилсон, Кеннет Г. «Выступление Уилсона по случаю вручения Нобелевской премии» (PDF) . NobelPrize.org .
^ Symanzik, K. (1970). "Поведение на малых расстояниях в теории поля и подсчет мощности". Communications in Mathematical Physics . 18 (3): 227–246. Bibcode :1970CMaPh..18..227S. doi :10.1007/BF01649434. S2CID 76654566.
^ Гросс, DJ; Вильчек, Ф. (1973). «Ультрафиолетовое поведение неабелевых калибровочных теорий». Physical Review Letters . 30 (26): 1343–1346. Bibcode : 1973PhRvL..30.1343G. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1343 .
^ Политцер, HD (1973). «Надежные результаты теории возмущений для сильных взаимодействий». Physical Review Letters . 30 (26): 1346–1349. Bibcode :1973PhRvL..30.1346P. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1346 .
^ Пендлтон, Брайан; Росс, Грэм (1981). «Предсказания массы и угла смешивания из инфракрасных фиксированных точек». Physics Letters B. 98 ( 4): 291–294. Bibcode :1981PhLB...98..291P. doi :10.1016/0370-2693(81)90017-4.
^ Хилл, Кристофер Т. (1981). «Массы кварков и лептонов из неподвижных точек группы ренормализации». Physical Review D. 24 ( 3): 691–703. Bibcode : 1981PhRvD..24..691H. doi : 10.1103/PhysRevD.24.691.
^ Шанкар, Р. (1994). «Подход ренормгруппы к взаимодействующим фермионам». Обзоры современной физики . 66 (1): 129–192. arXiv : cond-mat/9307009 . Bibcode :1994RvMP...66..129S. doi :10.1103/RevModPhys.66.129.(Для не подписчиков см. Shankar, R. (1993). "Подход ренормгруппы к взаимодействующим фермионам". Reviews of Modern Physics . 66 (1): 129–192. arXiv : cond-mat/9307009 . Bibcode :1994RvMP...66..129S. doi :10.1103/RevModPhys.66.129..)
^ Аджемян, Л.Ц.; Ким, ТЛ; Компаниец, МВ; Сазонов, ВК (август 2015). "Ренормгруппа в бесконечномерной турбулентности: определение РГ-функций без констант перенормировки". Наносистемы: физика, химия, математика . 6 (4): 461. doi : 10.17586/2220-8054-2015-6-4-461-469 .
^ Callaway, David JE; Petronzio, Roberto (1984). «Определение критических точек и диаграмм потоков методами ренормгруппы Монте-Карло». Physics Letters B. 139 ( 3): 189–194. Bibcode : 1984PhLB..139..189C. doi : 10.1016/0370-2693(84)91242-5. ISSN 0370-2693.
^ Айзенман, М. (1981). «Доказательство тривиальности Φ⁴
_дн.теория поля и некоторые особенности среднего поля моделей Изинга для d > 4". Physical Review Letters . 47 (1): 1–4. Bibcode :1981PhRvL..47....1A. doi :10.1103/PhysRevLett.47.1.
^ Callaway, David JE (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode : 1988PhR...167..241C. doi : 10.1016/0370-1573(88)90008-7.
^ Дистлер, Жак . "000648.html". golem.ph.utexas.edu .
^ Моррис, Тим Р. (1994). "Точная группа перенормировки и приближенные решения". Int. J. Mod. Phys. A . 9 (14): 2411. arXiv : hep-ph/9308265 . Bibcode :1994IJMPA...9.2411M. doi :10.1142/S0217751X94000972. S2CID 15749927.
^ Коулмен, Сидней; Вайнберг, Эрик (1973-03-15). «Радиационные поправки как источник спонтанного нарушения симметрии». Physical Review D. 7 ( 6): 1888–1910. arXiv : hep-th/0507214 . Bibcode : 1973PhRvD...7.1888C. doi : 10.1103/PhysRevD.7.1888. ISSN 0556-2821. S2CID 6898114.
^ Соуза, Хуан; Бевилаква, Л. Ибиапина; Лехум, А.С. (2020-08-05). "Ренормгрупповое улучшение эффективного потенциала в шести измерениях". Physical Review D. 102 ( 4): 045004. arXiv : 2005.03973 . Bibcode : 2020PhRvD.102d5004S. doi : 10.1103/PhysRevD.102.045004 .

Ссылки

Исторические справки

Фишер, Майкл (1974). «Группа перенормировки в теории критического поведения». Rev. Mod. Phys . 46 (4): 597. Bibcode :1974RvMP...46..597F. doi :10.1103/RevModPhys.46.597.

Педагогические и исторические обзоры

Уайт, SR (1992). «Формулировка матрицы плотности для квантовых ренормализационных групп». Phys. Rev. Lett . 69 (19): 2863–2866. Bibcode : 1992PhRvL..69.2863W. doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2863. PMID 10046608.Самый успешный вариационный метод РГ.
Голденфельд, Н. (1993). Лекции по фазовым переходам и группе ренормализации . Эддисон-Уэсли.
Ширков, Дмитрий В. (1999). "Эволюция ренормализационной группы Боголюбова". arXiv : hep-th/9909024 . Bibcode :1999hep.th....9024S. {{cite journal}}: Cite journal required |journal=( помощь ) Математическое введение и исторический обзор с упором на теорию групп и ее применение в физике высоких энергий.
Delamotte, B. (февраль 2004 г.). «Намек на перенормировку». American Journal of Physics . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th/0212049 . Bibcode :2004AmJPh..72..170D. doi :10.1119/1.1624112. S2CID 2506712.Краткое введение в перенормировку и ренормгруппу.
Maris, HJ; Kadanoff, LP (июнь 1978). «Обучение ренормализационной группе». American Journal of Physics . 46 (6): 652–657. Bibcode : 1978AmJPh..46..652M. doi : 10.1119/1.11224. S2CID 123119591.Краткое введение в ренормгруппу, применяемую в физике конденсированного состояния.
Хуан, К. (2013). «Критическая история перенормировки». International Journal of Modern Physics A. 28 ( 29): 1330050. arXiv : 1310.5533 . Bibcode : 2013IJMPA..2830050H. doi : 10.1142/S0217751X13300500.
Ширков, ДВ (31 августа 2001 г.). "Пятьдесят лет ренормализационной группы". CERN Courier . Получено 12 ноября 2008 г.
Bagnuls, C.; Bervillier, C. (2001). "Точные уравнения ренормгруппы: вводный обзор". Physics Reports . 348 (1–2): 91–157. arXiv : hep-th/0002034 . Bibcode :2001PhR...348...91B. doi :10.1016/S0370-1573(00)00137-X. S2CID 18274894.

Книги

TD Lee ; Физика элементарных частиц и введение в теорию поля , Harwood Academic Publications, 1981, ISBN 3-7186-0033-1 . Содержит краткое, простое и четкое изложение структуры группы, в открытии которой он также принимал участие, как признано в статье Гелл-Манна и Лоу.
Л. Ц. Аджемян, Н. В. Антонов и А. Н. Васильев; Теоретико-полевая ренормгруппа в полностью развитой турбулентности ; Гордон и Брич, 1999. ISBN 90-5699-145-0 .
Васильев, А. Н.; Теоретико-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике ; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Автономное рассмотрение приложений ренормгруппы с полными вычислениями);
Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (исключительно основательный и подробный трактат по обеим темам);
Zinn-Justin, Jean : Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergens to the concept of effective field theories , in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective , June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999) [ISBN]. Полный текст доступен в PostScript.
Kleinert, H. и Schulte Frohlinde, V; Критические свойства $φ$ ⁴ -теорий , World Scientific (Сингапур, 2001); Мягкая обложка ISBN 981-02-4658-7 . Полный текст доступен в формате PDF.