Эффективное действие

Quantum version of the classical action

В квантовой теории поля квантовое эффективное действие представляет собой модифицированное выражение для классического действия, учитывающее квантовые поправки, при этом гарантируя применение принципа наименьшего действия , что означает, что экстремизация эффективного действия дает уравнения движения для значений вакуумного ожидания квантовых полей. Эффективное действие также действует как производящий функционал для одночастичных неприводимых корреляционных функций . Потенциальная составляющая эффективного действия называется эффективным потенциалом , причем ожидаемое значение истинного вакуума является минимумом этого потенциала, а не классического потенциала, что делает его важным для изучения спонтанного нарушения симметрии .

Впервые пертурбативное определение было дано Джеффри Голдстоуном и Стивеном Вайнбергом в 1962 году ^[1] , в то время как непертурбативное определение было введено Брайсом ДеВиттом в 1963 году ^[2] и независимо Джованни Джона-Лазинио в 1964 году ^[3].

В статье описывается эффективное действие для одного скалярного поля , однако аналогичные результаты существуют и для нескольких скалярных или фермионных полей.

Генерация функционалов

Эти производящие функционалы также применяются в статистической механике и теории информации , с немного другими множителями и соглашениями о знаках. ${\displaystyle i}$

Квантовая теория поля с действием может быть полностью описана в формализме интеграла по траекториям с использованием функционала распределения ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{4}x\phi (x)J(x)}.}$

Поскольку он соответствует переходам вакуум-вакуум при наличии классического внешнего тока , его можно оценить пертурбативно как сумму всех связанных и несвязанных диаграмм Фейнмана . Он также является производящим функционалом для корреляционных функций ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle =(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

где скалярные операторы поля обозначены как . Можно определить другой полезный производящий функционал, отвечающий за генерацию связанных корреляционных функций ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$ ${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\cdots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\text{con}}=(-i)^{n-1}{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

которая вычисляется пертурбативно как сумма всех связанных диаграмм. ^[4] Здесь связанность интерпретируется в смысле кластерного разложения , что означает, что корреляционные функции стремятся к нулю при больших пространственноподобных разделениях. Общие корреляционные функции всегда можно записать как сумму произведений связанных корреляционных функций.

Квантовое эффективное действие определяется с помощью преобразования Лежандра ${\displaystyle W[J]}$

${\displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J_{\phi }]-\int d^{4}xJ_{\phi }(x)\phi (x),}$

где — ток источника , для которого скалярное поле имеет математическое ожидание , часто называемое классическим полем, определяемым неявно как решение ${\displaystyle J_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\langle {\hat {\phi }}(x)\rangle _{J}={\frac {\delta W[J]}{\delta J(x)}}.}$

В качестве ожидаемого значения классическое поле можно рассматривать как средневзвешенное значение по квантовым флуктуациям в присутствии тока , который является источником скалярного поля. Взяв функциональную производную преобразования Лежандра по отношению к , получаем ${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle J_{\phi }(x)=-{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

При отсутствии источника вышеизложенное показывает, что вакуумное ожидание полей экстремизирует квантовое эффективное действие, а не классическое действие. Это не более чем принцип наименьшего действия в полной квантовой теории поля. Причина, по которой квантовая теория требует этой модификации, исходит из перспективы интеграла по траектории, поскольку все возможные конфигурации поля вносят вклад в интеграл по траектории, в то время как в классической теории поля вносят вклад только классические конфигурации. ${\displaystyle J_{\phi }(x)=0}$

Эффективное действие также является производящим функционалом для одночастичных неприводимых (1PI) корреляционных функций. Диаграммы 1PI — это связные графы, которые нельзя разъединить на две части, разрезав одну внутреннюю линию. Поэтому мы имеем

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\mathrm {1PI} }=i{\frac {\delta ^{n}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x_{1})\dots \delta \phi (x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

с суммой всех диаграмм Фейнмана 1PI. Тесная связь между и означает, что между их корреляционными функциями существует ряд очень полезных соотношений. Например, двухточечная корреляционная функция, которая есть не что иное, как пропагатор , является обратной функцией двухточечной корреляционной функции 1PI ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle \Delta (x,y)}$

${\displaystyle \Delta (x,y)={\frac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}}={\frac {\delta \phi (x)}{\delta J(y)}}={\bigg (}{\frac {\delta J(y)}{\delta \phi (x)}}{\bigg )}^{-1}=-{\bigg (}{\frac {\delta ^{2}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg )}^{-1}=-\Pi ^{-1}(x,y).}$

Методы расчета эффективного действия

Прямой способ вычисления эффективного действия пертурбативно как суммы диаграмм 1PI заключается в суммировании по всем вакуумным диаграммам 1PI, полученным с использованием правил Фейнмана, полученных из смещенного действия . Это работает, поскольку любое место, где появляется в любом из пропагаторов или вершин, является местом, где может быть присоединена внешняя линия. Это очень похоже на метод фонового поля , который также может быть использован для вычисления эффективного действия. ${\displaystyle \Gamma [\phi _{0}]}$ ${\displaystyle S[\phi +\phi _{0}]}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi }$

В качестве альтернативы, однопетлевое приближение к действию можно найти, рассматривая расширение статистической суммы вокруг классической конфигурации поля вакуумного ожидания , что дает ^{[5] [6]} ${\displaystyle \phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)}$

${\displaystyle \Gamma [\phi _{\text{cl}}]=S[\phi _{\text{cl}}]+{\frac {i}{2}}{\text{Tr}}{\bigg [}\ln {\frac {\delta ^{2}S[\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg |}_{\phi =\phi _{\text{cl}}}{\bigg ]}+\cdots .}$

Симметрии

Симметрии классического действия не являются автоматически симметриями квантового эффективного действия . Если классическое действие имеет непрерывную симметрию, зависящую от некоторого функционала ${\displaystyle S[\phi ]}$ ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle F[x,\phi ]}$

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon F[x,\phi ],}$

то это напрямую накладывает ограничение

${\displaystyle 0=\int d^{4}x\langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

Это тождество является примером тождества Славнова–Тейлора . Оно идентично требованию, чтобы эффективное действие было инвариантно относительно преобразования симметрии

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon \langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}.}$

Эта симметрия идентична исходной симметрии для важного класса линейных симметрий

${\displaystyle F[x,\phi ]=a(x)+\int d^{4}y\ b(x,y)\phi (y).}$

Для нелинейных функционалов эти две симметрии, как правило, различаются, поскольку среднее значение нелинейного функционала не эквивалентно функционалу среднего значения.

Выпуклость

Кажущийся эффективный потенциал, полученный с помощью теории возмущений, должен быть скорректирован до истинного эффективного потенциала , показанного пунктирными линиями в области, где они не совпадают. ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Для пространства-времени с объемом эффективный потенциал определяется как . С гамильтонианом эффективный потенциал при всегда дает минимум ожидаемого значения плотности энергии для набора состояний, удовлетворяющих . ^[7] Это определение для нескольких состояний необходимо, поскольку несколько различных состояний, каждое из которых соответствует определенному току источника, могут привести к одному и тому же ожидаемому значению. Можно далее показать, что эффективный потенциал обязательно является выпуклой функцией . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{4}}$ ${\displaystyle V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \langle \Omega |H|\Omega \rangle }$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)}$ ${\displaystyle V''(\phi )\geq 0}$

Вычисление эффективного потенциала пертурбативно иногда может давать невыпуклый результат, такой как потенциал с двумя локальными минимумами . Однако истинный эффективный потенциал все еще выпуклый, становясь приблизительно линейным в области, где кажущийся эффективный потенциал не является выпуклым. Противоречие возникает в вычислениях вокруг нестабильных вакуумов, поскольку теория возмущений обязательно предполагает, что вакуум стабилен. Например, рассмотрим кажущийся эффективный потенциал с двумя локальными минимумами, чьи ожидаемые значения и являются ожидаемыми значениями для состояний и , соответственно. Тогда любой в невыпуклой области также может быть получен для некоторых с помощью ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle |\Omega _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\Omega _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle |\Omega \rangle \propto {\sqrt {\lambda }}|\Omega _{1}\rangle +{\sqrt {1-\lambda }}|\Omega _{2}\rangle .}$

Однако, плотность энергии этого состояния имеет значение, которое не может быть правильным эффективным потенциалом, поскольку оно не минимизировало плотность энергии. Скорее, истинный эффективный потенциал равен или ниже этой линейной конструкции, которая восстанавливает выпуклость. ${\displaystyle \lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Смотрите также

• Метод фонового поля
• Корреляционная функция
• Формулировка интеграла по траектории
• Группа ренормализации
• Спонтанное нарушение симметрии

Ссылки

1. Weinberg, S. ; Goldstone, J. (август 1962 г.). "Broken Symmetries". Phys. Rev . 127 (3): 965–970. Bibcode :1962PhRv..127..965G. doi :10.1103/PhysRev.127.965 . Получено 06.09.2021 .
2. DeWitt, B. ; DeWitt, C. (1987). Relativé, groupes et topologie = Относительность, группы и топология : лекции, прочитанные в Лез-Уш во время сессии 1963 года Летней школы теоретической физики, Университет Гренобля . Гордон и Брич. ISBN 0677100809.
3. Jona-Lasinio, G. (31 августа 1964 г.). «Релятивистские теории поля с решениями, нарушающими симметрию». Il Nuovo Cimento . 34 (6): 1790–1795. Bibcode : 1964NCim...34.1790J. doi : 10.1007/BF02750573. S2CID  121276897. Получено 06.09.2021 .
4. Zinn-Justin, J. (1996). "6". Квантовая теория поля и критические явления . Оксфорд: Oxford University Press. С. 119–122. ISBN 978-0198509233.
5. Кляйнерт, Х. (2016). "22" (PDF) . Частицы и квантовые поля . World Scientific Publishing. стр. 1257. ISBN 9789814740920.
6. Zee, A. (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Princeton University Press. С. 239–240. ISBN 9780691140346.
7. Weinberg, S. (1995). "16". Квантовая теория полей: современные приложения . Том 2. Cambridge University Press. С. 72–74. ISBN 9780521670548.
8. Пескин, ME ; Шредер, DV (1995). Введение в квантовую теорию поля . Westview Press. стр. 368–369. ISBN 9780201503975.

Дальнейшее чтение

• Дас, А.: Теория поля: подход с использованием интеграла по траектории , World Scientific Publishing 2006
• Шварц, доктор медицины: Квантовая теория поля и стандартная модель , Cambridge University Press, 2014
• Томс, DJ: Принцип действия Швингера и эффективное действие , Cambridge University Press 2007
• Вайнберг, С.: Квантовая теория полей: современные приложения , т. II, Cambridge University Press, 1996