Специальное конформное преобразование

Специальный класс дробно-линейных преобразований

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В проективной геометрии специальное конформное преобразование — это дробно-линейное преобразование , которое не является аффинным преобразованием . Таким образом, генерация специального конформного преобразования включает использование мультипликативной инверсии , которая является генератором дробно-линейных преобразований, которые не являются аффинными.

В математической физике некоторые конформные отображения, известные как преобразования сферических волн, являются специальными конформными преобразованиями .

Векторная презентация

Специальное конформное преобразование можно записать ^[1]

${\displaystyle x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}={\frac {x^{2}}{|x-bx^{2}|^{2}}}(x^{\mu }-b^{\mu }x^{2})\,.}$

Это композиция инверсии ( x µ ^→  x  µ ^/ x ² = y ^µ ), перевода ( y ^µ  →  y ^µ  −  b ^µ = z ^µ ) и другой инверсии ( z ^µ  →  z ^µ /z ² = Икс ′ ^мкм )

${\displaystyle {\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.}$

Его бесконечно малый генератор —

${\displaystyle K_{\mu }=-i(2x_{\mu }x^{\nu }\partial _{\nu }-x^{2}\partial _{\mu })\,.}$

Специальные конформные преобразования были использованы для изучения силового поля электрического заряда в гиперболическом движении . ^[2]

Проективная презентация

Инверсию также можно считать ^[3] мультипликативной инверсией бикватернионов B. Комплексная алгебра B может быть расширена до P( B ) через проективную прямую над кольцом . Гомографии на P( B ) включают в себя переносы:

${\displaystyle U(q:1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t:1).}$

Группа гомографии G( B ) включает в себя трансляции на бесконечности относительно вложения q → U( q :1);

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Матрица описывает действие специального конформного преобразования. ^[4]

Групповая собственность

Переводы образуют подгруппу дробно-линейной группы, действующей на проективной прямой. Существует два вложения в проективную прямую однородных координат : z → [ z :1] и z → [1: z ]. Операция сложения соответствует переносу в первом вложении. Переводы во второе вложение являются специальными конформными преобразованиями, образующими переносы на бесконечности. Сложение этими преобразованиями взаимно меняет члены до сложения, а затем возвращает результат другим взаимным перемещением. Эта операция называется параллельной операцией . В случае комплексной плоскости параллельный оператор образует операцию сложения в альтернативном поле, используя бесконечность, но исключая ноль. Таким образом, переносы на бесконечности образуют другую подгруппу группы гомографии на проективной прямой.

История

Термин «специальная конформная трансформация» («speziellen konformen Transformationen» на немецком языке) впервые был использован в 1962 году Гансом Каструпом. ^{[5] [6]}

Ссылки

1. Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля . Выпускные тексты по современной физике. Springer. С. 97–98. ISBN 978-0-387-94785-3.
2. Галериу, Чалин (2019) «Электрический заряд в гиперболическом движении: специальное конформное решение», Европейский журнал физики 40(6) doi :10.1088/1361-6404/ab3df6
3. Артур Конвей (1911) «О применении кватернионов к некоторым последним разработкам теории электричества», Труды Королевской Ирландской Академии 29:1–9, в частности, стр. 9
4. Ассоциативная композиция алгебры/Гомографии в Wikibooks
5. Каструп, HA (1962). «Zur physikalischen Deutung und darstellungstheoretischen Analysis der konformen Transformationen von Raum und Zeit». Аннален дер Физик . 464 (7–8): 388–428. дои : 10.1002/andp.19624640706. ISSN  0003-3804.
6. Kastrup, HA (2008-09-18). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметриях в геометрии и теоретической физике *». Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. doi :10.1002/andp.200852009-1005. ISSN  0003-3804.