Регуляризация (физика)

Метод, используемый в математической физике

В физике , особенно в квантовой теории поля , регуляризация — это метод модификации наблюдаемых , имеющих особенности, с целью сделать их конечными путем введения подходящего параметра, называемого регулятором . Регулятор, также известный как «обрезание», моделирует недостаток наших знаний о физике в ненаблюдаемых масштабах (например, в масштабах небольшого размера или больших энергетических уровней). Он компенсирует (и требует) возможность разделения масштабов, в которых «новая физика» может быть открыта в тех масштабах, которые настоящая теория не может смоделировать, в то же время позволяя современной теории давать точные предсказания как «эффективная теория» в пределах своих возможностей. предполагаемый масштаб использования.

Он отличается от перенормировки , другого метода управления бесконечностями без применения новой физики, путем корректировки обратной связи самодействия.

Регуляризация на протяжении многих десятилетий вызывала споры даже среди ее изобретателей, поскольку она объединяет физические и эпистемологические утверждения в одних и тех же уравнениях. Однако теперь это хорошо изучено и доказало, что дает полезные и точные прогнозы.

Обзор

Процедуры регуляризации имеют дело с бесконечными, расходящимися и бессмысленными выражениями, вводя вспомогательное понятие регулятора (например, минимальное расстояние в пространстве, которое полезно в случае, если расходимости возникают из-за физических эффектов на близких расстояниях). Правильный физический результат получается в пределе, в котором регулятор уходит (в нашем примере ), но достоинство регулятора в том, что при его конечном значении результат конечен. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

Однако результат обычно включает члены, пропорциональные выражениям, подобным которым нет четкого определения в пределе . Регуляризация — это первый шаг к получению полностью конечного и значимого результата; в квантовой теории поля за ним обычно должен следовать родственный, но независимый метод, называемый перенормировкой . Перенормировка основана на требовании, чтобы некоторые физические величины, выраженные, казалось бы, расходящимися выражениями, такими как , были равны наблюдаемым значениям. Такое ограничение позволяет вычислить конечное значение для многих других величин, которые выглядели расходящимися. ${\displaystyle 1/\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle 1/\epsilon }$

Существование предела при стремлении ε к нулю и независимость конечного результата от регулятора — нетривиальные факты. Основная причина их лежит в универсальности , как показали Кеннет Уилсон и Лео Каданофф , и в существовании фазового перехода второго рода . Иногда невозможно достичь предела, когда ε стремится к нулю. Это тот случай, когда у нас есть полюс Ландау и неперенормируемые связи, такие как взаимодействие Ферми . Однако даже для этих двух примеров, если регулятор дает приемлемые результаты только для (где - превосходное ограничение энергии) и мы работаем с масштабами порядка , регуляторы все равно дают довольно точные аппроксимации. Физическая причина, по которой мы не можем довести предел ε до нуля, заключается в существовании новой физики ниже Λ. ${\displaystyle \epsilon \gg \hbar c/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \hbar c/\Lambda '}$ ${\displaystyle \hbar c/\Lambda \ll \epsilon \ll \hbar c/\Lambda '}$

Не всегда возможно определить регуляризацию так, чтобы предел ε, стремящегося к нулю, не зависел от регуляризации. В этом случае говорят, что теория содержит аномалию . Аномальные теории изучены очень подробно и часто основываются на знаменитой теореме Атьи-Зингера об индексе или ее вариациях (см., например, киральную аномалию ).

Пример классической физики

Проблема бесконечностей впервые возникла в классической электродинамике точечных частиц в XIX — начале XX века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле ( электромагнитную массу ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса r _e . Масса-энергия в поле равна

${\displaystyle m_{\mathrm {em} }=\int {1 \over 2}E^{2}\,dV=\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={q^{2} \over 8\pi r_{e}},}$

который становится бесконечным при r _e → 0 . Это означает, что точечная частица будет иметь бесконечную инерцию , что делает ее неспособной ускоряться. Кстати, значение r _e , приравнивающее массу электрона, называется классическим радиусом электрона , который (устанавливающий и восстанавливающий факторы с и ) оказывается равным ${\displaystyle m_{\mathrm {em} }}$ ${\displaystyle q=e}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

${\displaystyle r_{e}={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}m_{\mathrm {e} }c^{2}}=\alpha {\hbar \over m_{\mathrm {e} }c}\approx 2.8\times 10^{-15}\ \mathrm {m} .}$

где – постоянная тонкой структуры , – комптоновская длина волны электрона. ${\displaystyle \alpha \approx 1/137.040}$ ${\displaystyle \hbar /m_{\mathrm {e} }c}$

Регуляризация. Теория классической физики не работает на малых масштабах, например, в случае разницы между электроном и точечной частицей, показанной выше. Решение этой проблемы требует новых видов дополнительных физических ограничений. Например, в этом случае предположения о конечном радиусе электрона (т. е. регуляризации массы-энергии электрона) достаточно, чтобы объяснить систему размеров ниже определенного. Подобные аргументы регуляризации работают и в других задачах перенормировки. Например, теория может работать при одном узком наборе условий, но из-за вычислений, включающих бесконечности или особенности, она может не работать при других условиях или масштабах. В случае с электроном другой способ избежать бесконечной массы-энергии, сохраняя при этом точечную природу частицы, — это постулировать крошечные дополнительные измерения, по которым частица могла бы «распространяться», а не ограничивать свое движение исключительно в трехмерном пространстве. Именно эта мотивация лежит в основе теории струн и других многомерных моделей, включающих несколько временных измерений . Вместо существования неизвестной новой физики, предполагающей существование взаимодействий частиц с другими окружающими частицами в окружающей среде, перенормировка предлагает альтернативную стратегию решения бесконечностей в таких классических задачах.

Конкретные типы

Конкретные типы процедур регуляризации включают:

• Размерная регуляризация ^[1]
• Регуляризация Паули – Виллара
• Решетчатая регуляризация
• Регуляризация дзета-функции
• Причинная регуляризация ^[2]
• Регуляризация Адамара

Реалистичная регуляризация

Концептуальная проблема

Пертурбативные предсказания квантовой теории поля о квантовом рассеянии элементарных частиц , подразумеваемые соответствующей лагранжевой плотностью, вычисляются с использованием правил Фейнмана , метода регуляризации для обхода ультрафиолетовых расходимостей и получения конечных результатов для диаграмм Фейнмана, содержащих петли, и схемы перенормировки . . Метод регуляризации приводит к регуляризации n-точечных функций Грина ( пропагаторов ), а подходящая предельная процедура (схема перенормировки) затем приводит к пертурбативным элементам S-матрицы . Они не зависят от конкретного используемого метода регуляризации и позволяют моделировать пертурбативно измеримые физические процессы (сечения, амплитуды вероятности, ширины распада и времена жизни возбужденных состояний). Однако до сих пор ни одна из известных регуляризованных n-точечных функций Грина не может рассматриваться как основанная на физически реалистической теории квантового рассеяния, поскольку при выводе каждой из них игнорируются некоторые основные положения традиционной физики (например, не будучи лоренц-инвариантными). , вводя либо нефизические частицы с отрицательной метрикой или неправильной статистикой, либо дискретное пространство-время, либо понижая размерность пространства-времени, либо некоторую их комбинацию). Таким образом, имеющиеся методы регуляризации понимаются как формалистические технические устройства, лишенные какого-либо прямого физического смысла. Кроме того, существуют сомнения по поводу перенормировки. Историю и комментарии к этой открытой концептуальной проблеме, существующей уже более полувека, см., например, в ^{[3] [4] [5]}

Гипотеза Паули

Поскольку кажется, что вершины нерегуляризованных рядов Фейнмана адекватно описывают взаимодействия при квантовом рассеянии, предполагается, что их ультрафиолетовые расходимости обусловлены асимптотическим высокоэнергетическим поведением фейнмановских пропагаторов. Поэтому разумным и консервативным подходом является сохранение вершин в ряду Фейнмана и изменение только распространителей Фейнмана для создания регуляризованного ряда Фейнмана. Это является причиной формальной ковариантной регуляризации Паули-Вилларса путем модификации фейнмановских пропагаторов с помощью вспомогательных нефизических частиц, ср. ^[6] и представление физической реальности диаграммами Фейнмана.

В 1949 году Паули предположил, что существует реалистичная регуляризация, подразумеваемая теорией, которая учитывает все устоявшиеся принципы современной физики. ^{[6] [7]} Таким образом, его пропагаторы (i) не нуждаются в регуляризации, и (ii) могут рассматриваться как такая регуляризация пропагаторов, используемых в квантовых теориях поля, которая может отражать основную физику. Дополнительные параметры такой теории не нужно удалять (т.е. теория не нуждается в перенормировке) и могут дать некоторую новую информацию о физике квантового рассеяния, хотя экспериментально они могут оказаться незначительными. Напротив, любой существующий метод регуляризации вводит формальные коэффициенты, от которых в конечном итоге необходимо избавиться путем перенормировки.

Мнения

Поль Дирак настойчиво и крайне критически относился к процедурам перенормировки. В 1963 году он писал: «… в теории перенормировки мы имеем теорию, которая бросила вызов всем попыткам математиков обосновать ее. Я склонен подозревать, что теория перенормировки — это нечто такое, что не выживет в будущем… [ ^8] Далее он заметил, что «можно различать две основные процедуры для физика-теоретика. Одна из них — работать на экспериментальной основе… Другая процедура — работать на математической основе. Одна исследует и критикует "Существующая теория. Человек пытается выявить в ней недостатки, а затем пытается их устранить. Трудность здесь состоит в том, чтобы устранить недостатки, не разрушая при этом очень большие успехи существующей теории". ^[9]

Абдус Салам заметил в 1972 году: «Теоретико-полевые бесконечности, впервые встреченные Лоренцем при расчете электрона, сохраняются в классической электродинамике в течение семидесяти, а в квантовой электродинамике в течение примерно тридцати пяти лет. Эти долгие годы разочарований оставили у этого предмета любопытную привязанность к бесконечности и страстная вера в то, что они являются неизбежной частью природы; настолько, что даже предположение о надежде, что их все-таки можно обойти - и вычислить конечные значения констант перенормировки - считается иррациональным». ^{[10] [11]}

Однако, по мнению Джерарда 'т Хофта , «История говорит нам, что если мы столкнемся с каким-то препятствием, даже если оно выглядит как чистая формальность или просто техническое усложнение, его следует тщательно изучить. Природа может нам что-то подсказать, и мы должны выяснить, что это такое». ^[12]

Трудность с реалистичной регуляризацией заключается в том, что ее до сих пор нет, хотя подходом «снизу вверх» ничего нельзя разрушить; и для этого нет экспериментальной базы.

Минимальная реалистичная регуляризация

Рассматривая отдельные теоретические проблемы, Дирак в 1963 году предположил: «Я считаю, что для решения этих отдельных проблем потребуются отдельные идеи, и что они будут решаться одна за другой на последовательных этапах будущей эволюции физики. В этот момент я нахожусь в разногласия с большинством физиков.Они склонны думать, что будет открыта одна главная идея, которая решит все эти проблемы вместе.Я думаю, что слишком многого требует надежда, что кто-то сможет решить все эти проблемы вместе.Нужно разделить их по одному. от другого, насколько это возможно, и попытаться заняться ими по отдельности. И я верю, что будущее развитие физики будет состоять в решении их по одному, и что после того, как какая-либо из них будет решена, все еще останется великая загадка о том, как атаковать дальнейшие». ^[8]

По словам Дирака, « Квантовая электродинамика — это область физики, о которой мы знаем больше всего, и, по-видимому, ее придется привести в порядок, прежде чем мы сможем надеяться на какой-либо фундаментальный прогресс в других теориях поля, хотя они будут продолжать развиваться на экспериментальная база». ^[9]

Два предыдущих замечания Дирака предполагают, что мы должны начать поиск реалистичной регуляризации в случае квантовой электродинамики (КЭД) в четырехмерном пространстве-времени Минковского , начиная с исходной лагранжевой плотности КЭД. ^{[8] [9]}

Формулировка интеграла по путям обеспечивает наиболее прямой путь от лагранжевой плотности к соответствующему ряду Фейнмана в его лоренц-инвариантной форме. ^[5] Часть лагранжевой плотности в свободном поле определяет пропагаторы Фейнмана, тогда как остальная часть определяет вершины. Поскольку считается, что вершины КЭД адекватно описывают взаимодействия в КЭД-рассеянии, имеет смысл модифицировать только часть лагранжианской плотности в свободном поле, чтобы получить такой регуляризованный ряд Фейнмана, что формула редукции Лемана – Симанзика – Циммермана дает пертурбативный S -матрица, которая: (i) является лоренц-инвариантной и унитарной; (ii) включает только частицы КЭД; (iii) зависит исключительно от параметров КЭД и параметров, введенных модификацией фейнмановских пропагаторов — для конкретных значений этих параметров он равен пертурбативной S-матрице КЭД; и (iv) обладает той же симметрией, что и пертурбативная S-матрица КЭД. Назовем такую ​​регуляризацию минимальной реалистической регуляризацией и начнем поиск соответствующих модифицированных частей лагранжиана КЭД в свободном поле.

Транспортно-теоретический подход

По мнению Бьоркена и Дрелла , было бы физически разумно обойти ультрафиолетовые расходимости , используя более детальное описание, чем то, которое может быть предоставлено дифференциальными уравнениями поля. А Фейнман отмечал по поводу использования дифференциальных уравнений: «... для диффузии нейтронов это лишь приближение, которое хорошо, когда расстояние, на которое мы смотрим, велико по сравнению со средней длиной свободного пробега. Если бы мы посмотрели внимательнее, мы бы увидели увидеть бегающие отдельные нейтроны». И затем он задался вопросом: «Может ли быть так, что реальный мир состоит из маленьких икс-онов, которые можно увидеть только на очень крошечных расстояниях? И что в наших измерениях мы всегда наблюдаем в таком большом масштабе, что не можем видеть эти маленькие Х-оны, и именно поэтому мы получаем дифференциальные уравнения? ... Являются ли они [поэтому] также правильными только как сглаженная имитация действительно гораздо более сложного микроскопического мира?» ^[13]

Уже в 1938 году Гейзенберг ^[14] предположил, что квантовая теория поля может обеспечить только идеализированное, крупномасштабное описание квантовой динамики, справедливое для расстояний, превышающих некоторую фундаментальную длину , чего также ожидали Бьоркен и Дрелл в 1965 году . Предыдущее замечание Фейнмана дает возможную физическую причину его существования; либо так, либо это просто еще один способ сказать то же самое (существует фундаментальная единица расстояния), но без новой информации.

Намеки на новую физику

Потребность в терминах регуляризации в любой квантовой теории поля квантовой гравитации является основной мотивацией для физики, выходящей за рамки стандартной модели . Бесконечностью негравитационных сил в КТП можно управлять только посредством перенормировки , но дополнительная регуляризация – и, следовательно, новая физика – требуется исключительно для гравитации. Регуляризаторы моделируют и обходят разрушение КТП в малых масштабах и, таким образом, ясно показывают необходимость использования какой-то другой теории, помимо КТП, в этих масштабах. А. Зи («Квантовая теория поля в двух словах», 2003) считает это преимуществом структуры регуляризации: теории могут хорошо работать в своих предполагаемых областях, но также содержат информацию о своих собственных ограничениях и четко указывают, где необходима новая физика.

Рекомендации

1. 'т Хоофт, Г.; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей» (PDF) . Ядерная физика Б . 44 (1): 189–213. Бибкод : 1972NuPhB..44..189T. дои : 10.1016/0550-3213(72)90279-9. hdl : 1874/4845. ISSN  0550-3213.
2. Шарф, Г.: Конечная квантовая электродинамика: причинный подход , Springer 1995.
3. Цао, Тянь Юй; Швебер, Сильван С. (1993). «Концептуальные основы и философские аспекты теории перенормировки». Синтезируйте . 97 (1): 33–108. дои : 10.1007/bf01255832. ISSN  0039-7857. S2CID  46968305.
4. Л.М.Браун, редактор журнала Renormalization (Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1993).
5. С. Вайнберг (1995). Квантовая теория полей . Том. 1. Издательство Кембриджского университета. Разд. 1.3 и гл.9.
6. Ф. Вилларс (1960). «Регуляризация и несингулярные взаимодействия в квантовой теории поля». У М. Фирца; В. Ф. Вейскопф (ред.). Теоретическая физика в двадцатом веке . Нью-Йорк: Издательство Interscience. стр. 78–106.
7. Паули, В.; Вилларс, Ф. (1 июля 1949 г.). «Об инвариантной регуляризации в релятивистской квантовой теории». Обзоры современной физики . 21 (3): 434–444. Бибкод : 1949RvMP...21..434P. дои : 10.1103/revmodphys.21.434 . ISSN  0034-6861.
8. PAM Dirac (май 1963 г.). «Эволюция картины природы физиков». Научный американец . 208 (5): 45–53. Бибкод : 1963SciAm.208e..45D. doi : 10.1038/scientificamerican0563-45.
9. ПАМ Дирак (1990) [1968]. «Методы теоретической физики». В А. Саламе (ред.). Объединение фундаментальных сил . Издательство Кембриджского университета. стр. 125–143. ISBN 9780521371407.
10. Ишам, CJ; Салам, Абдус; Стратди, Дж. (15 апреля 1971 г.). «Подавление бесконечности в гравитационно-модифицированной квантовой электродинамике». Физический обзор D . 3 (8): 1805–1817. Бибкод : 1971PhRvD...3.1805I. doi :10.1103/physrevd.3.1805. ISSN  0556-2821.
11. Ишам, CJ; Салам, Абдус; Стратди, Дж. (15 мая 1972 г.). «Подавление бесконечности в гравитационно-модифицированной электродинамике. II». Физический обзор D . 5 (10): 2548–2565. Бибкод : 1972PhRvD...5.2548I. doi :10.1103/physrevd.5.2548. ISSN  0556-2821.
12. Г. 'т Хоофт, В поисках идеальных строительных блоков (Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1997).
13. Фейнмановские лекции по физике. Том. II, раздел 12–7: «Основное единство» природы
14. В. Гейзенберг (1938). «Uber умирает в теории элементарных элементов auftretende Universelle Lange». Аннален дер Физик . 32 (1): 20–33. Бибкод : 1938AnP...424...20H. дои : 10.1002/andp.19384240105.