Полярная топология

Топология двойственного пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств

В функциональном анализе и смежных областях математики полярная топология , топология -сходимости или ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ топология равномерной сходимости на множествах - это метод определения локально выпуклых топологий на векторных пространствах спаривания . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Предварительные сведения

Спаривание — это тройка, состоящая из двух векторных пространств над полем ( действительных или комплексных чисел ) и билинейного отображения. Двойственная пара или двойственная система — это спаривание , удовлетворяющее следующим двум аксиомам разделения: ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle Y}$разделяет/отличает точки ${\displaystyle X}$ : для всех ненулевых существует такое, что и ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0,}$
2. ${\displaystyle X}$разделяет/отличает точки ${\displaystyle Y}$ : для всех ненулевых существует такое, что ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0.}$

Полярные регионы

Полярной или абсолютной полярой подмножества является множество ^[1] ${\displaystyle A\subseteq X}$

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

Двойственно, полярная или абсолютная полярность подмножества обозначается и определяется как ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B^{\circ },}$

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

В этом случае абсолютная поляра подмножества также называется преполярной и может обозначаться как ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}^{\circ }B.}$

Поляра представляет собой выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат. ^[2]

Если тогда биполярное выражение, обозначаемое через, определяется как Аналогично, если тогда биполярное выражение, определяемое как ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }={}^{\circ }(A^{\circ }).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Слабые топологии

Предположим, что это пара векторных пространств над ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Обозначения : Для всех пусть обозначается линейный функционал на определяемом и пусть ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle b(x,\bullet ):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$ ${\displaystyle b(X,\bullet )=\left\{b(x,\bullet )~:~x\in X\right\}.}$

Аналогично, для всех определим через и пусть ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$ ${\displaystyle b(\bullet ,Y)=\left\{b(\bullet ,y)~:~y\in Y\right\}.}$

Слабая топология на, индуцированная (и ), является самой слабой топологией TVS на, обозначаемой или просто делающей все отображения непрерывными в пределах ^[3]. Аналогично, существует двойное определение слабой топологии на, индуцированной (и ), которое обозначается или просто : это самая слабая топология TVS, позволяющая сделать все отображения непрерывными в пределах ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y),}$ ${\displaystyle b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(x,\bullet ):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Слабая ограниченность и поглощающие поляры

Именно на основании следующей теоремы почти всегда предполагается, что семейство состоит из -ограниченных подмножеств из ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема  .  Для любого подмножества следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. ${\displaystyle A^{\circ }}$представляет собой поглощающее подмножество ${\displaystyle Y.}$
   • Если это условие не выполнено, то не может быть окрестностью начала координат ни в одной топологии TVS на ; ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$
2. ${\displaystyle A}$является -ограниченным множеством ; другими словами, является ограниченным подмножеством ; ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$
3. для всех , где эту верхнюю грань можно также обозначить через ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle \sup _{a\in A}\left|b(a,y)\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle ~\sup \left|b(A,y)\right|.}$

-ограниченные подмножества имеют аналогичную характеристику. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$

Двойные определения и результаты

Каждой паре можно сопоставить соответствующую пару, где по определению ^[3] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$ ${\displaystyle {\hat {b}}(y,x)=b(x,y).}$

В теории двойственности существует повторяющаяся тема: любое определение пары имеет соответствующее двойственное определение пары. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$

Соглашение и определение : учитывая любое определение пары, можно получить двойственное определение , применив его к паре. Если определение зависит от порядка и (например, определение «слабой топологии, определенной на » ), то путем переключения порядка и подразумевается, что это определение должно быть применено (например, это дает нам определение «слабой топологии, определенной на » ). ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Например, после определения « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством »), как указано выше, сразу же получается двойное определение « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством »). Например, если определение определено, то автоматически следует считать, что оно было определено, без упоминания аналогичного определения. То же самое относится ко многим теоремам. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

Соглашение : В соответствии с общепринятой практикой, если не требуется ясность, всякий раз, когда для пары дается определение (или результат), упоминание соответствующего двойного определения (или результата) будет опущено, но, тем не менее, его можно использовать. ${\displaystyle (X,Y,b)}$

В частности, хотя в этой статье будет определено только общее понятие полярных топологий, поскольку они представляют собой совокупность -ограниченных подмножеств, в этой статье, тем не менее, будет использоваться двойное определение для полярных топологий, поскольку они представляют собой совокупность -ограниченных подмножеств ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Идентификация с ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (Y,X)}$

Хотя это технически неверно и является злоупотреблением обозначениями, следующее соглашение распространено почти повсеместно:

Соглашение : в этой статье будет использоваться общепринятая практика взаимозаменяемого отношения к паре , а также обозначения ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$ ${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

Полярные топологии

Везде является парой векторных пространств над полем и является непустым набором -ограниченных подмножеств ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Поскольку каждое и выпукло и уравновешено , а поскольку является -ограниченным, множество поглощает в ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rG^{\circ }=r\left(G^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle rG^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$

Полярная топология , определенная (или порожденная) (и ), также называемая -топологией или топологией равномерной сходимости на множествах, представляет собой уникальную топологию топологического векторного пространства (TVS), для которой ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \left\{rG^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$

образует подбазис окрестности в начале координат . ^[3] Если он наделен этой -топологией, то он обозначается через ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y_{\mathcal {G}}.}$

Если это последовательность положительных чисел, сходящаяся к, то определяющую подбазис окрестностей at можно заменить на ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left\{r_{i}G^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},i=1,2,\ldots \right\}}$

без изменения результирующей топологии.

Когда множество направлено относительно включения подмножества (т.е. если для всех существует такое, что ), то определяющий подбазис окрестности в начале координат фактически образует базис окрестности в ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle K\not \in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$ ${\displaystyle 0.}$

Полунормы, определяющие полярную топологию

Каждый определяет полунорму , определяемую формулой ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle p_{G}:Y\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle p_{G}(y)=\sup _{g\in G}|b(g,y)|=\sup |b(G,y)|}$

где и фактически является функционалом Минковского. Поэтому -топология on всегда является локально выпуклой топологией. ^[3] ${\displaystyle G^{\circ }=\left\{y\in Y:p_{G}(y)\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle p_{G}}$ ${\displaystyle G^{\circ }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$

Модификация ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Если каждое положительное скалярное кратное множества в содержится в некотором множестве, принадлежащем тому, то определяющий подбазис окрестности в начале координат можно заменить на ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \left\{G^{\circ }:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$

без изменения результирующей топологии.

Следующая теорема дает способы модификации без изменения результирующей -топологии на ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y.}$

Теорема ^[3]  —  Пусть — пара векторных пространств над и непустая совокупность -ограниченных подмножеств пространства. -топология не изменяется, если заменяется любым из следующих наборов [ -ограниченных] подмножеств пространства : ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$

1. все подмножества всех конечных объединений множеств в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
2. все скалярные кратные всех наборов в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
3. сбалансированный корпус каждого комплекта ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
4. выпуклая оболочка каждого множества в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
5. -замыкание каждого множества в ; ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
6. -замыкание выпуклой сбалансированной оболочки каждого множества из ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Именно из-за этой теоремы многие авторы часто требуют, чтобы выполнялись еще и следующие дополнительные условия: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• Объединение любых двух множеств содержится в некотором множестве ; ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {G}}}$
• Все скалярные кратные каждого принадлежат ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Некоторые авторы ^[4] далее предполагают, что каждое принадлежит некоторому множеству, поскольку этого предположения достаточно, чтобы гарантировать, что -топология является Хаусдорфовой. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Сходимость сетей и фильтров

Если — сеть в то в -топологии на тогда и только тогда, когда для всякого или словами, тогда и только тогда, когда для всякого сеть линейных функционалов на сходится равномерно к на ; здесь для каждого линейный функционал определяется выражением ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle p_{G}(y_{i})=\sup _{g\in G}|b(g,y_{i})|\to 0,}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle (b(\bullet ,y_{i}))_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle b(\bullet ,y_{i})}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y_{i}).}$

Если то в -топологии тогда и только тогда, когда для всех ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle p_{G}\left(y_{i}-y\right)=\sup \left|b\left(G,y_{i}-y\right)\right|\to 0.}$

Фильтр на сходится к элементу -топологии на, если сходится равномерно на на каждом ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

Характеристики

Результаты статьи Топологии на пространствах линейных отображений могут быть применены к полярным топологиям.

Везде является парой векторных пространств над полем и является непустым набором -ограниченных подмножеств ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Хаусдорфность

Мы говорим, что это покрытие , если каждая точка принадлежит некоторому множеству. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

В ^[5] мы говорим, что тотально , если линейная оболочка плотна в ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема . Пусть  —  пара векторных пространств над полем и непустой набор -ограниченных подмножеств. Тогда , ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

1. Если накрытия , то -топология на хаусдорфовой . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$
2. Если различает точки и если является -плотным подмножеством, то -топология на хаусдорфовой. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$
3. Если это двойственная система (а не просто спаривание), то -топология на хаусдорфовой тогда и только тогда, когда область ее плотна в ^[3] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Примеры полярных топологий, индуцированных спариванием

Всюду будет пара векторных пространств над полем и будет непустой набор -ограниченных подмножеств ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

В следующей таблице не упоминается топология. Топологии перечислены в порядке, который примерно соответствует первым более грубым топологиям, а последним — более тонким; обратите внимание, что некоторые из этих топологий могут быть не в порядке, например, топология ниже нее (т. е. топология, порожденная -полными и ограниченными дисками), или если она не является Хаусдорфовой. Если в одной и той же строке в крайнем левом столбце появляется более одной коллекции подмножеств, это означает, что эти коллекции создают одну и ту же полярную топологию. ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle c(X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Обозначения : Если обозначает полярную топологию, то наделенная этой топологией будет обозначаться или просто Например, если то так что и все обозначаются с наделенной ${\displaystyle \Delta (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }.}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \Delta (Y,X,b)=\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Слабая топология σ(Да,Икс)

Для любого базисного -окрестности in есть множество вида: ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}}$

для некоторого вещественного и некоторого конечного множества точек из ^[3] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y.}$

Точнее , это означает, что линейный функционал на принадлежит этому непрерывному дуальному пространству тогда и только тогда, когда существует такой, что для всех ^[3] Слабая топология - это самая грубая TVS-топология, для которой это истинный. ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(y)=b(x,y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle Y}$

В общем, выпуклая сбалансированная оболочка -компактного подмножества не обязательно должна быть -компактной. ^[3] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$

Если и являются векторными пространствами над комплексными числами (что означает, что они комплекснозначны), то пусть и обозначают эти пространства, если они рассматриваются как векторные пространства над действительными числами. Пусть обозначают действительную часть и отмечают, что это спаривание. Слабая топология на идентична слабой топологии. В конечном итоге это связано с тем, что для любого комплекснозначного линейного функционала с действительной частью тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle Y_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r:=\operatorname {Re} f.}$

${\displaystyle f=r(y)-ir(iy)}$     для всех ${\displaystyle y\in Y.}$

Топология Макки τ(Да,Икс)

Непрерывное двойственное пространство есть (точно так же, как было описано для слабой топологии). Более того, топология Макки является наилучшей локально выпуклой топологией, для которой это верно, и именно это делает эту топологию важной. ${\displaystyle (Y,\tau (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Поскольку, вообще говоря, выпуклая сбалансированная оболочка -компактного подмножества не обязательно должна быть -компактной, ^[3] топология Макки может быть строго грубее, чем топология. Поскольку каждое -компактное множество -ограничено, топология Макки грубее, чем сильная топология. топология ^[3] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle c(X,Y,b).}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle b(X,Y,b).}$

Сильная топология 𝛽(Да,Икс)

Базис соседства (а не просто подбазис ) в начале топологии : ^[3] ${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

${\displaystyle \left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.}$

Сильная топология тоньше топологии Макки. ^[3] ${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

Полярные топологии и топологические векторные пространства

На протяжении всего этого раздела будет топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойственным пространством и будет каноническое спаривание , где по определению векторное пространство всегда различает/разделяет точки, но может не различать точки (это обязательно происходит, если , например, не является Хаусдорфом), и в этом случае спаривание не является дуальной парой. По теореме Хана-Банаха , если это хаусдорфово локально выпуклое пространство, то оно разделяет точки и, таким образом, образует двойственную пару. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle (X,X',\langle \bullet ,\bullet \rangle )}$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X',\langle \bullet ,\bullet \rangle )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X',\langle \bullet ,\bullet \rangle )}$

Характеристики

• Если накрывает , то каноническое отображение from в корректно определено. То есть для всех функционалов оценки по смыслу отображение непрерывно на ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,}$ ${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}.}$
  • Если дополнительно разделяет точки на, то каноническое отображение в является инъекцией. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$
• Предположим, что является непрерывным линейным числом и что и являются наборами ограниченных подмножеств и соответственно, каждое из которых удовлетворяет аксиомам и. Тогда транспонирование является непрерывным, если для каждого существует такое, что ^[6] ${\displaystyle u:E\to F}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle u(G)\subseteq H.}$
  • В частности, транспонирование является непрерывным, если переносит топологию (соответственно ) и переносит любую топологию, более сильную, чем топология (соответственно ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle \gamma (X',X),}$ ${\displaystyle c(X',X),}$ ${\displaystyle b(X',X)}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle \sigma (Y',Y)}$ ${\displaystyle \gamma (Y',Y),}$ ${\displaystyle c(Y',Y),}$ ${\displaystyle b(Y',Y)}$
• Если — локально выпуклая хаусдорфова ТВС над полем и представляет собой совокупность ограниченных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам , то билинейное отображение, определенное выражением, непрерывно тогда и только тогда, когда оно нормируемо, а -топология на является сильной двойственной топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}}$ ${\displaystyle X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle b(X',X).}$
• Предположим, что это пространство Фреше и совокупность ограниченных подмножеств, удовлетворяющая аксиомам, и если оно содержит все компактные подмножества, то полно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}}$

Полярные топологии в непрерывном дуальном пространстве.

Всюду будет ТВС над полем с непрерывным дуальным пространством и будет ассоциироваться с каноническим спариванием. В таблице ниже определены многие из наиболее распространенных полярных топологий на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'.}$

Обозначение : Если обозначает полярную топологию, то наделенная этой топологией будет обозначаться (например, если тогда и так что обозначается с наделенной ). Если дополнительно, то эту ТВС можно обозначить (например, ). ${\displaystyle \Delta (X',Z)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'_{\Delta (X',Z)}}$ ${\displaystyle \tau (X',X'')}$ ${\displaystyle \Delta =\tau }$ ${\displaystyle Z=X''}$ ${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \tau (X',X'')}$
${\displaystyle Z=X}$ ${\displaystyle X'_{\Delta }}$ ${\displaystyle X'_{\sigma }:=X'_{\sigma (X',X)}}$

Причина, по которой некоторые из приведенных выше наборов (в одном ряду) индуцируют одни и те же полярные топологии, связана с некоторыми фундаментальными результатами. Замкнутое подмножество полной ТВС является полным, а полное подмножество хаусдорфовой и полной ТВС замкнуто. ^[7] Более того, в каждом TVS компактные подмножества полны ^[7] и сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) подмножества снова компактна (соответственно полностью ограничена). ^[8] Кроме того, банахово пространство может быть полным, но не быть слабо полным.

Если ограничено, то поглощает в ( обратите внимание, что поглощение является необходимым условием для того, чтобы быть окрестностью начала координат в любой TVS-топологии на ). ^[2] Если пространство является локально выпуклым и поглощающим, то оно ограничено. Кроме того, подмножество слабо ограничено тогда и только тогда, когда оно поглощает . По этой причине принято ограничивать внимание семействами ограниченных подмножеств ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle X.}$

Слабая/слабая* топологияσ(X ' , X)

Топология имеет следующие свойства: ${\displaystyle \sigma (X',X)}$

• Теорема Банаха – Алаоглу : каждое равностепенно непрерывное подмножествоотносительно компактно для ^[9] ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X).}$
  • отсюда следует, что -замыкание выпуклой сбалансированной оболочки равностепенно непрерывного подмножества в равностепенно непрерывно и -компактно. ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$
• Теорема (С. Банах): Предположим, что и являются пространствами Фреше или что они двойственны рефлексивным пространствам Фреше и что это непрерывное линейное отображение. Тогда сюръективно тогда и только тогда , когда транспонирование взаимно однозначно и образ слабо замкнут в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X',}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}.}$
• Предположим, что и — пространства Фреше , — хаусдорфово локально выпуклое пространство и отдельно-непрерывное билинейное отображение. Тогда непрерывно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }}$ ${\displaystyle u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}}$
  • В частности, любые отдельно непрерывные билинейные отображения произведения двух двойственных рефлексивным пространствам Фреше в третье являются непрерывными.
• ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}}$нормируется тогда и только тогда, когда конечномерно. ${\displaystyle X}$
• В случае бесконечномерности топология строго грубее, чем сильная двойственная топология. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle b(X',X).}$
• Предположим, что это локально выпуклое хаусдорфово пространство и это его пополнение. Если то строго тоньше, чем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X\neq {\hat {X}}}$ ${\displaystyle \sigma (X',{\hat {X}})}$ ${\displaystyle \sigma (X',X).}$
• Любое равнонепрерывное подмножество в двойственном к сепарабельному хаусдорфову локально выпуклому векторному пространству метризуемо в топологии. ${\displaystyle \sigma (X',X)}$
• Если локально выпукло, то подмножество ограничено тогда и только тогда, когда существует бочка в таком, что ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$

Компактно-выпуклая сходимостьγ(X ' , X)

Если — пространство Фреше, то топологии ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma \left(X',X\right)=c\left(X',X\right).}$

Компактная конвергенцияс(Х ' , Х)

Если — пространство Фреше или LF-пространство , то оно полно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c(X',X)}$

Предположим, что это метризуемое топологическое векторное пространство и что если пересечение с каждым равнонепрерывным подмножеством слабо открыто, то открыто в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W'\subseteq X'.}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle c(X',X).}$

Предкомпактная сходимость

Теорема Банаха – Алаоглу : равнонепрерывное подмножествоимеет компактное замыкание в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах. Более того, эта топология насовпадает стопологией. ${\displaystyle K\subseteq X'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$

Топология Маккиτ( Икс ' , Икс )

Полагая, что множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств будет иметь топологию Макки или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных множествах , которая обозначается и с этой топологией обозначается через ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \tau (X',X)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'_{\tau (X',X)}.}$

Сильная двойная топологияб(Х ' , Х)

Из-за важности этой топологии непрерывное двойственное пространство обычно обозначается просто Следовательно, ${\displaystyle X'_{b}}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle (X'_{b})'=X''.}$

Топология имеет следующие свойства: ${\displaystyle b(X',X)}$

• Если локально выпукла, то эта топология тоньше всех других -топологий, если рассматривать только те, множества которых являются подмножествами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• Если — борнологическое пространство (например, метризуемое или LF-пространство ), то оно полно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
• Если пространство нормированное, то сильная двойственная топология на нем может быть определена нормой где ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \left\|x'\right\|:=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\left|\left\langle x',x\right\rangle \right|,}$ ${\displaystyle x'\in X'.}$
• Если - LF-пространство , которое является индуктивным пределом последовательности пространства (при ), то оно является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все они нормируемы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1\dots }$ ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$ ${\displaystyle X_{k}}$
• Если — пространство Монтеля , то ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$обладает свойством Гейне-Бореля (т.е. каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно в ) ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$ ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
  • На ограниченных подмножествах сильная и слабая топологии совпадают (а значит, и все остальные топологии тоньше и грубее ). ${\displaystyle X'_{b(X',X)},}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle b(X',X)}$
  • Любая слабо сходящаяся последовательность в сильно сходится. ${\displaystyle X'}$

Топология Маккиτ( Икс , Икс ' ' )

Полагая, что множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств будет иметь топологию Макки, индуцированную или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах , которая обозначается и с этой топологией обозначается ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,'\,'}$ ${\displaystyle X''=\left(X'_{b}\right)',X'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \tau (X',X'')}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}.}$

• Эта топология тоньше и, следовательно, тоньше, чем ${\displaystyle b(X',X)}$ ${\displaystyle \tau (X',X).}$

Полярные топологии, индуцированные подмножествами непрерывного дуального пространства

Повсюду будет TVS над полем с непрерывным дуальным пространством, и каноническое спаривание будет связано с и. В таблице ниже определены многие из наиболее распространенных полярных топологий на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle X.}$

Обозначение : Если обозначает полярную топологию, то наделенная этой топологией будет обозначаться или (например, для нас было бы так, что и оба обозначаются с наделенным ). ${\displaystyle \Delta \left(X,X'\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\Delta \left(X,X'\right)}}$ ${\displaystyle X_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,X')}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$

Замыкание равностепенно непрерывного подмножества слабо компактно и равностепенно непрерывно, более того, выпуклая сбалансированная оболочка равностепенно непрерывного подмножества равностепенно непрерывна. ${\displaystyle X'}$

Слабая топология𝜎( Х , Х ' )

Предположим, что и являются хаусдорфовыми локально выпуклыми пространствами с метризуемыми и являются линейными отображениями. Тогда непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно. То есть является непрерывным, когда и несет свои заданные топологии тогда и только тогда, когда непрерывно, когда и несет свои слабые топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:\sigma \left(X,X'\right)\to \sigma \left(Y,Y'\right)}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Сходимость на равнонепрерывных множествах𝜀( Х , Х ' )

Если бы множество всех выпуклых сбалансированных слабокомпактных подмножеств было равнонепрерывным, то была бы индуцирована та же самая топология. ${\displaystyle {\mathcal {G}}'}$ ${\displaystyle X',}$

Если локально выпукло и хаусдорфово, то заданная топология (т. е. топология, с которой началась ) в точности равна . начало координат тогда и только тогда, когда оно равнонепрерывно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon (X,X').}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\subset X'}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{\circ }}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$

Важно отметить, что набор непрерывных линейных функционалов на ТВС является равнонепрерывным тогда и только тогда, когда он содержится в поляре некоторой окрестности начала координат в (т.е. ). Поскольку топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями начала координат, это означает, что посредством операции взятия полярного множества совокупность равнонепрерывных подмножеств «кодирует» всю информацию о топологии TVS (т. е. различные топологии TVS на производстве различные наборы равнонепрерывных подмножеств, и по любому такому набору можно восстановить исходную топологию TVS, взяв поляры множеств в наборе). Таким образом, равномерная сходимость на совокупности равнонепрерывных подмножеств есть по существу «сходимость по топологии ». ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Топология Маккиτ( Икс , Икс ' )

Предположим, что это локально выпуклое хаусдорфово пространство. Если метризуемо или бочкообразно , то исходная топология идентична топологии Макки ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X'\right).}$

Топологии, совместимые с парами

Пусть - векторное пространство и пусть - векторное подпространство алгебраически двойственного к нему, которое разделяет точки на. Если есть какая-либо другая топология локально выпуклого топологического векторного пространства Хаусдорфа на, то совместима с двойственностью между , и если когда она оснащена то она имеет в качестве своей непрерывной двойное пространство. Если задана слабая топология, то это хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) и совместимо с двойственностью между и (т.е. ). Возникает вопрос: каковы все локально выпуклые ТВС-топологии Хаусдорфа, которые можно разместить и которые совместимы с двойственностью между и ? Ответ на этот вопрос называется теоремой Макки–Аренса . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}'=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)'=Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Смотрите также

• Двойная топология
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Полярное множество  - подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственной пары (в дуальной паре).
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топология, согласующаяся с двойственностью
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Рекомендации

1. Тревес 2006, с. 195.
2. Treves 2006, стр. 195–201.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
4. Робертсон и Робертсон 1964, III.2
5. Шефер и Вольф 1999, стр. 80.
6. Тревес 2006, стр. 199–200.
7. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
9. Шефер и Вольф 1999, стр. 85.
10. Тревес 2006, с. 198.
11. Тревес 2006, стр. 433.

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, AP; Робертсон, В. (1964). Топологические векторные пространства . Издательство Кембриджского университета.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.