Сбалансированный набор

Построение в функциональном анализе

В линейной алгебре и смежных областях математики сбалансированное множество , окружность или диск в векторном пространстве (над полем с функцией абсолютного значения ) — это множество , такое что для всех скаляров , удовлетворяющих условию ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle aS\subseteq S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$

Сбалансированная оболочка или сбалансированная оболочка множества — это наименьшее сбалансированное множество, содержащее Сбалансированное ядро ​​множества — это наибольшее сбалансированное множество, содержащееся в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Сбалансированные множества повсеместно встречаются в функциональном анализе , поскольку каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве (TVS) содержит сбалансированную окрестность начала координат, а каждая выпуклая окрестность начала координат содержит сбалансированную выпуклую окрестность начала координат (даже если TVS не является локально выпуклым ). Эта окрестность также может быть выбрана как открытое множество или, альтернативно, как замкнутое множество .

Определение

Пусть — векторное пространство над полем действительных или комплексных чисел. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Обозначение

Если — множество, — скаляр, и тогда пусть и и для любого пусть обозначают соответственно открытый шар и замкнутый шар радиуса в скалярном поле с центром в точке , где и Каждое сбалансированное подмножество поля имеет вид или для некоторого ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$ $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$ ${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{\leq r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

Сбалансированный набор

Подмножество называется​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$сбалансированный набор илисбалансированный, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение : для всех и всех скаляров, удовлетворяющих ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$для всех скаляров, удовлетворяющих ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$(где ). ${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}}$
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^[1]
5. Для каждого ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$является (если ) или (если ) мерным векторным подпространством ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • Если тогда приведенное выше равенство становится что является в точности предыдущим условием для сбалансированности набора. Таким образом, сбалансирован тогда и только тогда, когда для каждого является сбалансированным набором (согласно любому из предыдущих определяющих условий). ${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$ ${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$
6. Для каждого одномерного векторного подпространства есть сбалансированное множество (согласно любому определяющему условию, отличному от этого). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle S\cap Y}$
7. Для каждого существует такое , что или ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$является сбалансированным подмножеством (согласно любому определяющему условию «сбалансированности», кроме этого). ${\displaystyle \operatorname {span} S}$
   • Таким образом, является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда оно является сбалансированным подмножеством каждого (эквивалентно, некоторого) векторного пространства над полем, которое содержит Поэтому, предполагая, что поле ясно из контекста, это оправдывает написание « сбалансировано» без упоминания какого-либо векторного пространства. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S}$

Если — выпуклое множество , то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle S}$

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$для всех скаляров, удовлетворяющих ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1.}$

Тогда этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

10. ${\displaystyle S}$симметричен (имеется в виду ) и ${\displaystyle -S=S}$ ${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

Сбалансированный корпус

$${\displaystyle \operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S}$$

TheСбалансированная оболочка подмножества,обозначенного как ,определяется любым из следующих эквивалентных способов: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. Определение : это наименьшее (по отношению к ) сбалансированное подмножество, содержащее ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$является пересечением всех сбалансированных множеств, содержащих ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.}$^[1]

Сбалансированное ядро

$${\displaystyle \operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}}$$

TheСбалансированное ядро ​​подмножества,обозначенного как ,определяется любым из следующих эквивалентных способов: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. Определение : это наибольшее (по отношению к ) сбалансированное подмножество ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$это объединение всех сбалансированных подмножеств ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$если в то время как если ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$ ${\displaystyle 0\in S.}$

Примеры

Пустое множество является сбалансированным множеством. Как и любое векторное подпространство любого (действительного или комплексного) векторного пространства . В частности, всегда является сбалансированным множеством. ${\displaystyle \{0\}}$

Любое непустое множество, не содержащее начало координат, не является сбалансированным, и, более того, сбалансированное ядро ​​такого множества будет равно пустому множеству.

Нормированные и топологические векторные пространства

Открытые и закрытые шары с центром в начале координат в нормированном векторном пространстве являются сбалансированными множествами. Если — полунорма (или норма ) на векторном пространстве, то для любой константы множество сбалансировано. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$

Если — любое подмножество, то — сбалансированное множество. В частности, если — любая сбалансированная окрестность начала координат в топологическом векторном пространстве , то ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}}$ ${\displaystyle B_{1}S}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

Сбалансированные наборы и ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пусть будет полем действительных чисел или комплексных чисел, обозначим абсолютное значение на , а обозначим векторное пространство над . Например, если — поле комплексных чисел, то — одномерное комплексное векторное пространство, тогда как если — одномерное действительное векторное пространство. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$

Сбалансированные подмножества в точности следующие: ^[3] ${\displaystyle X=\mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$для некоторых реальных ${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$для некоторых реальных ${\displaystyle r>0.}$

Следовательно, как сбалансированное ядро, так и сбалансированная оболочка каждого набора скаляров равны одному из перечисленных выше наборов.

Сбалансированные множества — это само пустое множество и открытые и закрытые диски с центром в нуле. Напротив, в двумерном евклидовом пространстве существует гораздо больше сбалансированных множеств: подойдет любой отрезок прямой со средней точкой в ​​начале координат. В результате и совершенно различны в том, что касается скалярного умножения . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Сбалансированные наборы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Пусть (также есть векторное пространство над ) и пусть есть замкнутый единичный шар в с центром в начале координат. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle X}$

Если не равно нулю, то множество является замкнутой, симметричной и сбалансированной окрестностью начала координат в Более общем смысле, если является любым замкнутым подмножеством из , таким что , то является замкнутой, симметричной и сбалансированной окрестностью начала координат в Этот пример можно обобщить для любого целого числа ${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$ ${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$ ${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Пусть будет объединением отрезка прямой между точками и и отрезка прямой между и Тогда является сбалансированным, но не выпуклым. И не поглощающим (несмотря на то, что является всем векторным пространством). ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$

Для каждого пусть будет любым положительным действительным числом и пусть будет (открытым или замкнутым) отрезком прямой между точками и Тогда множество является сбалансированным и поглощающим множеством, но оно не обязательно выпукло. ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle B^{t}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$ ${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$

Сбалансированная оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть замкнутой. Возьмем, к примеру, график в ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

Следующий пример показывает, что сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой (однако выпуклая оболочка сбалансированного множества всегда сбалансирована). Например, пусть выпуклое подмножество будет , которое является горизонтальным замкнутым отрезком прямой, лежащим над осью в Сбалансированная оболочка является невыпуклым подмножеством, которое имеет форму « песочных часов » и равно объединению двух замкнутых и заполненных равнобедренных треугольников и , где и — заполненный треугольник, вершины которого являются началом координат вместе с конечными точками (иначе говоря, является выпуклой оболочкой , в то время как является выпуклой оболочкой ). ${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$ ${\displaystyle x-}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2},}$ ${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$

Достаточные условия

Множество сбалансировано тогда и только тогда, когда оно равно своей сбалансированной оболочке или своему сбалансированному ядру, и в этом случае все три из этих множеств равны: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

Декартово произведение семейства сбалансированных множеств сбалансировано в пространстве произведений соответствующих векторных пространств (над тем же полем ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• Сбалансированная оболочка компактного ( соответственно, полностью ограниченного , ограниченного ) множества обладает тем же свойством. ^[4]
• Выпуклая оболочка сбалансированного множества выпукла и сбалансирована (то есть абсолютно выпукла ). Однако сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой (противоположный пример приведен выше).
• Произвольные объединения сбалансированных множеств сбалансированы, и то же самое верно для произвольных пересечений сбалансированных множеств.
• Скалярные кратные и (конечные) суммы Минковского сбалансированных множеств снова сбалансированы.
• Образы и прообразы сбалансированных множеств при линейных отображениях снова сбалансированы. Явно, если — линейное отображение и и — сбалансированные множества, то и — сбалансированные множества. ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L^{-1}(C)}$

Сбалансированные районы

В любом топологическом векторном пространстве замыкание сбалансированного множества сбалансировано. ^[5] Объединение начала координат и топологической внутренности сбалансированного множества сбалансировано. Следовательно, топологическая внутренность сбалансированной окрестности начала координат сбалансирована. ^{[5] [доказательство 1]} Однако, является сбалансированным подмножеством , которое содержит начало координат , но чья (непустая) топологическая внутренность не содержит начало координат и, следовательно, не является сбалансированным множеством. ^[6] Аналогично для действительных векторных пространств, если обозначает выпуклую оболочку и (заполненный треугольник , вершинами которого являются эти три точки), то является сбалансированным подмножеством (в форме песочных часов ) , чья непустая топологическая внутренность не содержит начало координат и, следовательно, не является сбалансированным множеством (и хотя множество, образованное добавлением начала координат, сбалансировано, оно не является ни открытым множеством, ни окрестностью начала координат). ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)\in X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (\pm 1,1)}$ ${\displaystyle B:=T\cup (-T)}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B}$

Каждая окрестность (соответственно, выпуклая окрестность) начала координат в топологическом векторном пространстве содержит сбалансированную (соответственно, выпуклую и сбалансированную) открытую окрестность начала координат. Фактически, следующая конструкция создает такие сбалансированные множества. Учитывая, что симметричное множество будет выпуклым (соответственно, замкнутым, сбалансированным, ограниченным , окрестностью начала координат, поглощающим подмножеством ) всякий раз, когда это верно для Оно будет сбалансированным множеством, если имеет форму звезды в начале координат, ^{[примечание 2]} что верно, например, когда является выпуклым и содержит В частности, если является выпуклой окрестностью начала координат, то будет сбалансированной выпуклой окрестностью начала координат и, таким образом, его топологическая внутренность будет сбалансированной выпуклой открытой окрестностью начала координат. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$

Доказательство

Пусть и определяют (где обозначает элементы поля скаляров). Взятие показывает, что если выпукло, то так же (так как пересечение выпуклых множеств выпукло) и, таким образом, таково и внутреннее пространство . Если то и, таким образом, если имеет форму звезды в начале координат ^{[примечание 2],} то таковы все (для ), что подразумевает, что для любого , таким образом доказывая, что является сбалансированным. Если выпукло и содержит начало координат, то оно имеет форму звезды в начале координат и, таким образом, будет сбалансированным. ${\displaystyle 0\in W\subseteq X}$ ${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle u:=1}$ ${\displaystyle A\subseteq W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |s|=1}$ $${\displaystyle sA=\bigcap _{|u|=1}suW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$ ${\displaystyle sA=A.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle uW}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1,}$ $${\displaystyle rA=\bigcap _{|u|=1}ruW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$

Теперь предположим, что является окрестностью начала координат в Поскольку скалярное умножение (определяемое как ) непрерывно в начале координат и существует некоторая базовая открытая окрестность (где и ) начала координат в топологии произведения на такая, что множество сбалансировано, и оно также открыто, поскольку его можно записать как где является открытой окрестностью начала координат всякий раз, когда Наконец, показывает, что также является окрестностью начала координат. Если сбалансировано, то, поскольку его внутренняя часть содержит начало координат, также будет сбалансированным. Если выпукло, то выпукло и сбалансировано, и, таким образом, то же самое верно для ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle M:\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle M(a,x)=ax}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M(0,0)=0\in W,}$ ${\displaystyle B_{r}\times V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}:=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)\subseteq W;}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)=B_{r}V}$ $${\displaystyle B_{r}V=\bigcup _{|a|<r}aV=\bigcup _{0<|a|<r}aV\qquad {\text{ (since }}0\cdot V=\{0\}\subseteq aV{\text{ )}}}$$ ${\displaystyle aV}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$ $${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW\supseteq \bigcap _{|u|=1}uB_{r}V=\bigcap _{|u|=1}B_{r}V=B_{r}V}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Предположим, что является выпуклым и поглощающим подмножеством Тогда будет выпуклым сбалансированным поглощающим подмножеством , которое гарантирует, что функционал Минковского будет полунормой на , тем самым превращаясь в полунормированное пространство , которое несет свою каноническую псевдометризуемую топологию. Набор скалярных кратных как пробеги по (или по любому другому набору ненулевых скаляров, имеющих в качестве предельной точки) образует базис окрестностей поглощающих дисков в начале координат для этой локально выпуклой топологии. Если является топологическим векторным пространством и если это выпуклое поглощающее подмножество также является ограниченным подмножеством , то то же самое будет верно для поглощающего диска , если в дополнение не содержит никакого нетривиального векторного подпространства , то будет нормой и будет образовывать то, что известно как вспомогательное нормированное пространство . ^[7] Если это нормированное пространство является банаховым пространством , то называется банаховым диском . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Характеристики

Свойства сбалансированных множеств

Сбалансированное множество не пусто тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат. По определению множество абсолютно выпукло тогда и только тогда, когда оно выпукло и сбалансировано. Каждое сбалансированное множество имеет форму звезды (в 0) и является симметричным множеством . Если является сбалансированным подмножеством, то: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

• для любых скаляров и если то и Таким образом, если и являются любыми скалярами, то ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle |c|\leq |d|}$ ${\displaystyle cB\subseteq dB}$ ${\displaystyle cB=|c|B.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$поглощает тогда и только тогда , когда для всех существует такое, что ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rB.}$
• для любого одномерного векторного подпространства множества является выпуклым и сбалансированным. Если не пусто и если является одномерным векторным подпространством то либо либо оно поглощает в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle Y.}$
• для любого , если содержит более одной точки, то оно является выпуклой и сбалансированной окрестностью в одномерном векторном пространстве , когда это пространство наделено топологией Хаусдорфа Евклида ; и множество является выпуклым сбалансированным подмножеством действительного векторного пространства , которое содержит начало координат. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$

Свойства сбалансированных оболочек и сбалансированных ядер

Для любого набора подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

В любом топологическом векторном пространстве сбалансированная оболочка любой открытой окрестности начала координат снова открыта. Если — хаусдорфово топологическое векторное пространство и если — компактное подмножество , то сбалансированная оболочка компактна. ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$

Если множество замкнуто (соответственно, выпукло, поглощающе , является окрестностью начала координат), то то же самое верно и для его сбалансированного ядра.

Для любого подмножества и любого скаляра ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

Для любого скаляра Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда Таким образом, если или тогда для каждого скаляра ${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$ ${\displaystyle c.}$

Связанные понятия

Функция в действительном или комплексном векторном пространстве называется ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$сбалансированная функция , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:^[9]

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$всякий раз, когда скаляр удовлетворяет и ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$всякий раз, когда и являются скалярами, удовлетворяющими и ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|\leq |b|}$ ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$является сбалансированным набором для каждого неотрицательного действительного числа ${\displaystyle t\geq 0.}$

Если — сбалансированная функция, то для каждого скаляра и вектора , в частности, для каждого скаляра единичной длины (удовлетворяющего ) и каждого ^[9] Использование показывает, что каждая сбалансированная функция является симметричной функцией . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in X;}$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle u:=-1}$

Действительная функция является полунормой тогда и только тогда, когда она является сбалансированной сублинейной функцией . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Смотрите также

• Абсолютно выпуклое множество  – Выпуклое и сбалансированное множество
• Поглощающий набор  – набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.
• Звездная область  – Свойство точечных множеств в евклидовых пространствах
• Симметричное множество  – Свойство групповых подмножеств (математика)
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Ссылки

1. Swartz 1992, стр. 4–8.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 107–110.
3. Ярхов 1981, стр. 34.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
5. Рудин 1991, стр. 10–14.
6. Рудин 1991, стр. 38.
7. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
8. Трев 2006, стр. 56.
9. Шехтер 1996, стр. 313.

1. Предполагая, что все векторные пространства, содержащие множество, находятся над одним и тем же полем, при описании множества как «сбалансированного» нет необходимости упоминать векторное пространство, содержащее То есть « сбалансирован» можно записать вместо « является сбалансированным подмножеством ». ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
2. имеющий форму звезды в начале координат, означает, что и для всех и ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W.}$

Доказательства

1. Пусть будет сбалансированным. Если его топологическая внутренность пуста, то он сбалансирован, поэтому предположим обратное и пусть будет скаляром. Если то отображение, определяемое является гомеоморфизмом , что подразумевает, что является открытым, так что остается только показать, что это верно для Однако, может быть неверным, но когда это верно, то будет сбалансированным. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B=\operatorname {Int} _{X}(sB)\subseteq sB\subseteq B;}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s=0.}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Источники

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (24 октября 1996 г.). Справочник по анализу и его основам. Academic Press. ISBN 978-0-08-053299-8.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.