Поглощающий набор

Набор, который можно «раздуть» до любой точки

В функциональном анализе и смежных областях математики поглощающее множество в векторном пространстве — это множество , которое может быть «раздуто» или «масштабировано» так, чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку векторного пространства. Альтернативные термины — радиальное или поглощающее множество . Каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве является поглощающим подмножеством. ${\displaystyle S}$

Определение

Обозначение скаляров

Предположим, что — векторное пространство над полем действительных чисел или комплексных чисел и для любого пусть обозначим открытый шар (соответственно, замкнутый шар ) радиуса в с центром в Определим произведение набора скаляров на набор векторов как и определим произведение на один вектор как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle -\infty \leq r\leq \infty ,}$ $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{ and }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\},}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\}.}$

Предварительные

Сбалансированное ядро ​​и сбалансированный корпус

Подмножество называется​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$сбалансировано, еслидля всехи всех скаляров,удовлетворяющихэтому условию, можно записать более кратко каки это выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

Для данного набора наименьшее сбалансированное множество , содержащее обозначение, называется ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$сбалансированная оболочка ,в то время как наибольшее сбалансированное множество, содержащееся внутри,обозначено какназывается ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$сбалансированное ядро ​​Эти множества задаются формулами и (эти формулы показывают, что сбалансированная оболочка и сбалансированное ядро ​​всегда существуют и являются уникальными). Множествосбалансировано тогда и только тогда, когда оно равно своей сбалансированной оболочке () или своему сбалансированному ядру (), в этом случае все три из этих множеств равны: ${\displaystyle T.}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

Если — любой скаляр, то в то время как если — ненулевой или если , то также ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle 0\in T}$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

Один набор поглощает другой

Если и являются подмножествами, то говорят, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$поглощать , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle S}$

1. Определение : существует действительное число такое, что для каждого скаляра, удовлетворяющего . Или, выражаясь более кратко, для некоторого ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Если скалярное поле интуитивно « поглощает », то это означает, что если оно постоянно «масштабируется» или «раздувается» (имея в виду ) , то в конечном итоге (для всех положительных достаточно больших величин) все будет содержать и, аналогично, в конечном итоге должно содержать для всех отрицательных достаточно больших величин. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t<0}$
   • Это определение зависит от канонической нормы базового скалярного поля (то есть от абсолютного значения ), что таким образом связывает это определение с обычной евклидовой топологией скалярного поля. Следовательно, определение поглощающего множества (приведенное ниже) также связано с этой топологией. ${\displaystyle |\cdot |}$
2. Существует действительное число такое, что для каждого ненулевого ^{[примечание 1]} скаляра, удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, для некоторого ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Поскольку это объединение равно тому , где находится замкнутый шар с удаленным началом координат, это условие можно переформулировать следующим образом: для некоторых ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$ ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Нестрогое неравенство можно заменить строгим неравенством , которое является следующей характеристикой. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,,}$
3. Существует действительное число такое, что для каждого ненулевого ^{[примечание 1]} скаляра, удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, для некоторого ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Вот открытый шар с удаленным началом координат и ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

Если — сбалансированный набор , то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle A}$

4. Существует ненулевой скаляр такой, что ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • В таком случае требование может быть снято. ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$
5. Существует ненулевой ^{[примечание 1]} скаляр такой, что ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

Если (необходимое условие для того, чтобы быть поглощающим множеством или быть окрестностью начала координат в топологии), то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$

6. Существует такое, что для каждого скаляра, удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. Существует такое, что для каждого скаляра, удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • Включение эквивалентно (поскольку ). Поскольку это можно переписать , что даст следующее утверждение. ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$
8. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • Следующие характеристики вытекают из приведенных выше и того факта, что для каждого скаляра сбалансированная оболочка удовлетворяет и (поскольку ) ее сбалансированное ядро ​​удовлетворяет ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. Существует такое, что Иными словами, множество поглощается, если оно содержится в некотором положительном скалярном кратном сбалансированному ядру ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
12. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. Существует ненулевой ^{[примечание 1]} скаляр такой, что Другими словами, сбалансированное ядро ​​содержит некоторый ненулевой скаляр, кратный ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
14. Существует скаляр, такой что, говоря словами, может быть масштабирован так, чтобы содержать сбалансированную оболочку ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
15. Существует скаляр такой, что ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
16. Существует скаляр, такой что, говоря словами, его можно масштабировать так, чтобы его сбалансированное ядро ​​содержало ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
17. Существует скаляр такой, что ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
18. Существует скаляр такой, что, говоря словами, сбалансированное ядро ​​может быть масштабировано так, чтобы содержать сбалансированную оболочку ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
19. Сбалансированное ядро ​​поглощает сбалансированный корпус (в соответствии с любым определяющим условием «поглощения», кроме этого). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$

Если или тогда этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

20. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$поглощает (в соответствии с любым определяющим условием «поглощает», кроме этого). ${\displaystyle S}$
    • Другими словами, можно заменить на в приведенных выше характеристиках, если (или тривиально, если ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

Множество, поглощающее точку

Говорят, что наборпоглощает точку, если она поглощаетединичное множество.Множествопоглощает начало координат тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат; то есть тогда и только тогда, когда. Как подробно описано ниже, множество называется поглощающим,еслионо поглощает каждую точку ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Это понятие поглощения одного множества другим используется и в других определениях: Подмножество топологического векторного пространства называется ограниченным , если оно поглощается каждой окрестностью начала координат. Множество называется пожирающим, если оно поглощает каждое ограниченное подмножество. ${\displaystyle X}$

Первые примеры

Каждое множество поглощает пустое множество, но пустое множество не поглощает никакое непустое множество. Одноэлементное множество, содержащее начало, является единственным одноэлементным подмножеством, которое поглощает само себя. ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$

Предположим, что равно либо или Если — единичная окружность (с центром в начале координат ) вместе с началом координат, то — единственное непустое множество, которое поглощает. Более того, не существует непустого подмножества , которое поглощается единичной окружностью Напротив, каждая окрестность начала координат поглощает каждое ограниченное подмножество ( и, в частности, поглощает каждое одноэлементное подмножество/точку). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ ${\displaystyle X}$

Поглощающий набор

Подмножество векторного пространства над полем называется ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$поглощающее (или абсорбирующее ) подмножество иназывается ${\displaystyle X}$поглощающим ${\displaystyle X}$ , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий (здесь они упорядочены таким образом, что каждое условие является простым следствием предыдущего, начиная с определения):

1. Определение : поглощает каждую точку того , что есть, ибо каждый поглощает ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
   • Так, в частности, не может быть поглощающим, если Каждое поглощающее множество должно содержать начало координат. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\not \in A.}$
2. ${\displaystyle A}$поглощает каждое конечное подмножество ${\displaystyle X.}$
3. Для каждого существует действительное число такое, что для любого скаляра, удовлетворяющего ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. Для каждого существует действительное число такое, что для любого скаляра, удовлетворяющего ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in A}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. Для каждого существует действительное число такое, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • Вот открытый шар радиуса в скалярном поле с центром в начале координат и ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • Закрытый мяч можно использовать вместо открытого мяча.
   • Поскольку включение выполняется тогда и только тогда, когда Это доказывает следующее утверждение. ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
6. Для каждого существует такое действительное число, что где ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • Связь с топологией : Если задана его обычная хаусдорфова евклидова топология , то множество является окрестностью начала отсчета в Таким образом, существует действительное такое, что тогда и только тогда, когда является окрестностью начала отсчета в Следовательно, удовлетворяет этому условию тогда и только тогда, когда для каждого является окрестностью в когда задана евклидова топология. Это дает следующую характеристику. ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle B_{r}x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x;}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$
   • Единственными топологиями TVS ^{[примечание 2]} на одномерном векторном пространстве являются (нехаусдорфова) тривиальная топология и хаусдорфова евклидова топология. Каждое одномерное векторное подпространство имеет вид для некоторого ненулевого и если это одномерное пространство наделено (единственным) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x}$Хаусдорфова векторная топология , то отображение,определяемое с помощью ,обязательно является TVS-изоморфизмом (где, как обычно,наделено своей стандартной евклидовой топологией, индуцированной евклидовой метрикой ). ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
7. ${\displaystyle A}$содержит начало координат и для каждого одномерного векторного подпространства является окрестностью начала координат в , когда задана его уникальная векторная топология Хаусдорфа (т.е. евклидова топология ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • Причина, по которой евклидова топология выделяется в этой характеристике, в конечном итоге вытекает из определяющего требования к топологиям TVS ^{[примечание 2]} , согласно которому скалярное умножение должно быть непрерывным, когда скалярному полю задана эта (евклидова) топология. ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
   • ${\displaystyle 0}$-Окрестности поглощают : Это условие дает представление о том, почему каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве (TVS) обязательно поглощает: Если является окрестностью начала координат в TVS , то для каждого одномерного векторного подпространства является окрестностью начала координат в , когда наделено топологией подпространства, индуцированной на нем Эта топология подпространства всегда является векторной топологией ^{[примечание 2]} и поскольку является одномерным, единственными векторными топологиями на нем являются хаусдорфова евклидова топология и тривиальная топология , которая является подмножеством евклидовой топологии. Поэтому независимо от того, какая из этих векторных топологий находится на множестве, будет окрестностью начала координат в относительно ее уникальной хаусдорфовой векторной топологии (евклидовой топологии). ^{[примечание 3]} Таким образом, является поглощающим. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$
8. ${\displaystyle A}$содержит начало координат и для каждого одномерного векторного подпространства является поглощающим (согласно любому определяющему условию «поглощения», отличному от этого). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • Эта характеристика показывает, что свойство быть поглощающим в зависит только от того, как ведет себя по отношению к 1 (или 0)-мерным векторным подпространствам В отличие от этого, если конечномерное векторное подпространство из имеет размерность и наделено своей уникальной топологией TVS Хаусдорфа, то быть поглощающим в уже недостаточно, чтобы гарантировать, что является окрестностью начала координат в (хотя это все еще будет необходимым условием). Для того чтобы это произошло, достаточно, чтобы было поглощающим множеством, которое также выпукло, сбалансировано и замкнуто в (такое множество называется бочкой , и оно будет окрестностью начала координат в, поскольку каждое конечномерное евклидово пространство, включая является бочкообразным пространством ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z,}$

Если тогда к этому списку можно добавить: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

9. Алгебраическая внутренность содержит начало координат (то есть ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$

Если сбалансировано , то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle A}$

10. Для каждого существует скаляр такой, что ^[1] (или, что эквивалентно, такой, что ). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle cx\in A}$
11. Для каждого существует скаляр такой, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\in cA.}$

Если выпукло или сбалансировано, то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle A}$

12. Для каждого существует положительное действительное число такое, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rx\in A.}$
    • Доказательство того, что сбалансированное множество , удовлетворяющее этому условию, обязательно является поглощающим в , немедленно следует из условия (10) выше и того факта, что для всех скаляров (где является действительным). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle cA=|c|A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle r:=|c|>0}$
    • Доказательство того, что выпуклое множество, удовлетворяющее этому условию, обязательно поглощает в менее тривиально (но не сложно). Подробное доказательство приведено в этой сноске ^{[доказательство 1]} , а резюме приведено ниже. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
      • Краткое изложение доказательства : По предположению, для любого ненулевого можно выбрать положительное действительное и такое, что и так, что выпуклое множество содержит открытый подынтервал , содержащий начало координат ( называется интервалом, поскольку мы отождествляем с и каждое непустое выпуклое подмножество из является интервалом). Приведите его уникальную топологию вектора Хаусдорфа, так что остается показать, что является окрестностью начала координат в Если то мы закончили, поэтому предположим, что Множество представляет собой объединение двух интервалов, каждый из которых содержит открытый подынтервал, содержащий начало координат; более того, пересечение этих двух интервалов является в точности началом координат. Таким образом, четырехугольная -образная выпуклая оболочка которой содержится в выпуклом множестве, очевидно, содержит открытый шар вокруг начала координат. ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle r(-y)\in A}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} y.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
13. Для каждого существует положительное действительное число такое, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rA.}$
    • Это условие эквивалентно следующему: каждый принадлежит множеству Это происходит тогда и только тогда, когда что дает следующую характеристику. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • Можно показать, что для любого подмножества тогда и только тогда, когда для всех где ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )T=X}$ ${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. Для каждого ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

Если (что необходимо для того, чтобы быть поглощающим), то достаточно проверить любое из вышеперечисленных условий для всех ненулевых, а не для всех ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Примеры и достаточные условия

Чтобы один набор поглотил другой

Пусть будет линейным отображением между векторными пространствами, и пусть и будут сбалансированными множествами. Тогда поглощает тогда и только тогда, когда поглощает ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F^{-1}(C)}$ ${\displaystyle B.}$

Если множество поглощает другое множество , то любое надмножество также поглощает Множество поглощает начало тогда и только тогда, когда начало является элементом ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Множество поглощает конечное объединение множеств тогда и только тогда, когда оно поглощает каждую индивидуальность множества (то есть тогда и только тогда, когда поглощает для каждого ). В частности, множество является поглощающим подмножеством тогда и только тогда, когда оно поглощает каждое конечное подмножество ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Чтобы набор был поглощающим

Единичный шар любого нормированного векторного пространства (или полунормированного векторного пространства ) поглощает. В более общем смысле, если является топологическим векторным пространством (TVS), то любая окрестность начала координат в поглощает в Этот факт является одним из основных мотивов для определения свойства «поглощение в » ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

Каждое надмножество поглощающего множества является поглощающим. Следовательно, объединение любого семейства (одного или более) поглощающих множеств является поглощающим. Пересечение конечного числа поглощающих подмножеств снова является поглощающим подмножеством. Однако открытые шары радиуса все поглощающие, хотя их пересечение не является поглощающим. ${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$ ${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$

Если — диск (выпуклое и сбалансированное подмножество), то и, в частности, диск всегда является поглощающим подмножеством ^[3] Таким образом, если — диск в , то является поглощающим в тогда и только тогда, когда Этот вывод не гарантируется, если множество сбалансировано, но не выпукло; например, объединение осей и в является невыпуклым сбалансированным множеством, которое не является поглощающим в ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

Образ поглощающего множества под действием сюръективного линейного оператора снова поглощает. Обратный образ поглощающего подмножества (области определения) под действием линейного оператора снова поглощает (в области определения). Если поглощает, то то же самое верно и для симметричного множества ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

Вспомогательные нормированные пространства

Если является выпуклым и поглощающим в , то симметричное множество будет выпуклым и сбалансированным (также известным как абсолютно выпуклое множество или диск ) в дополнение к тому, чтобы быть поглощающим в Это гарантирует, что функционал Минковского будет полунормой на , тем самым превращаясь в полунормированное пространство , которое несет свою каноническую псевдометризуемую топологию. Множество скалярных кратных как пробеги по (или по любому другому множеству ненулевых скаляров, имеющему в качестве предельной точки) образует базис окрестностей поглощающих дисков в начале координат для этой локально выпуклой топологии. Если является топологическим векторным пространством и если это выпуклое поглощающее подмножество также является ограниченным подмножеством , то все это также будет верно для поглощающего диска, если в дополнение не содержит никакого нетривиального векторного подпространства, то будет нормой и будет образовывать то, что известно как вспомогательное нормированное пространство . ^[4] Если это нормированное пространство является банаховым пространством , то называется банаховым диском . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Характеристики

Каждое поглощающее множество содержит начало координат. Если есть поглощающий диск в векторном пространстве , то существует поглощающий диск в такой, что ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq D.}$

Если является поглощающим подмножеством , то и, в более общем случае, для любой последовательности скаляров такой, что Следовательно, если топологическое векторное пространство является нетощим подмножеством самого себя (или, что эквивалентно для TVS, если оно является пространством Бэра ) и если является замкнутым поглощающим подмножеством , то обязательно содержит непустое открытое подмножество (другими словами, топологическая внутренность не будет пустой), что гарантирует, что является окрестностью начала координат в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \left|s_{n}\right|\to \infty .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle X.}$

Каждое поглощающее множество является полным множеством , что означает, что каждое поглощающее подпространство является плотным .

Смотрите также

• Алгебраическая внутренность  – Обобщение топологической внутренности
• Абсолютно выпуклое множество  – Выпуклое и сбалансированное множество
• Сбалансированный набор  – Построение в функциональном анализе
• Множество  , которое может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Радиальный набор
• Звездная область  – Свойство точечных множеств в евклидовых пространствах
• Симметричное множество  – Свойство групповых подмножеств (математика)
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Примечания

1. Требование, чтобы скаляр был ненулевым, не может быть исключено из этой характеристики. ${\displaystyle c}$
2. Топология на векторном пространстве называется векторной топологией или TVS-топологией, если она делает сложение векторов и скалярное умножение непрерывными, когда скалярному полю задана его обычная норма -индуцированная евклидова топология (эта норма является абсолютным значением ). Поскольку ограничения непрерывных функций непрерывны, если является векторным подпространством TVS , то операции сложения векторов и скалярного умножения также будут непрерывными. Таким образом, топология подпространства , которую любое векторное подпространство наследует от TVS, снова будет векторной топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\times Y\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times Y\to Y}$
3. Если является окрестностью начала координат в TVS, то это было бы патологическим, если бы существовало любое одномерное векторное подпространство, в котором не было бы окрестности начала координат хотя бы в некоторой топологии TVS на Единственными топологиями TVS на являются топология Хаусдорфа Евклида и тривиальная топология , которая является подмножеством евклидовой топологии. Следовательно, эта патология не возникает тогда и только тогда, когда быть окрестностью в евклидовой топологии для всех одномерных векторных подпространств , что является в точности условием того, что быть поглощающим в Тот факт, что все окрестности начала координат во всех TVS обязательно поглощающие, означает, что это патологическое поведение не возникает. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательства

1. Доказательство : Пусть будет векторным пространством над полем с бытием или и наделим поле его обычной нормированной евклидовой топологией. Пусть будет выпуклым множеством таким, что для каждого существует положительное вещественное число такое, что Поскольку если то доказательство завершено, то предположим Очевидно, что каждое непустое выпуклое подмножество вещественной прямой является интервалом (возможно, открытым, замкнутым или полузамкнутым; возможно, вырожденным (то есть одноэлементным множеством ); возможно, ограниченным или неограниченным). Напомним, что пересечение выпуклых множеств выпукло, так что для каждого множества и являются выпуклыми, где теперь выпуклость (которая содержит начало координат и содержится в прямой ) подразумевает, что является интервалом, содержащимся в прямой Лемма : Если то интервал содержит открытый подынтервал, содержащий начало координат. Доказательство леммы : По предположению, поскольку мы можем выбрать некоторые такие, что и (потому что ), мы также можем выбрать некоторые такие, что где и (поскольку ). Поскольку является выпуклым и содержит различные точки и он содержит выпуклую оболочку точек , которая (в частности) содержит открытый подинтервал , где этот открытый подинтервал содержит начало координат (чтобы понять почему, возьмите , который удовлетворяет ), что доказывает лемму. Теперь зафиксируем пусть Поскольку было произвольным, для доказательства того, что является поглощающим в необходимо и достаточно показать, что является окрестностью начала координат в , когда задана его обычная хаусдорфова евклидова топология, где напомним, что эта топология превращает отображение, определенное с помощью в TVS-изоморфизм. Если то тот факт, что интервал содержит открытый подинтервал вокруг начала координат, означает в точности, что является окрестностью начала координат в , в котором завершает доказательство. Итак, предположим, что Запишите так, что и (наивно, является " -осью" и является " -осью" из ). Множество содержится в выпуклом множестве , так что выпуклая оболочка содержится в По лемме каждое из и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rz\in A.}$ ${\displaystyle 0\in A,}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} X\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y=\{ry:-\infty <r<\infty \}.}$ ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle -y\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r(-y)\in A,}$ ${\displaystyle r(-y)=(-r)y}$ ${\displaystyle -ry\neq Ry}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle -ry}$ ${\displaystyle Ry,}$ ${\displaystyle \{-ry,Ry\},}$ ${\displaystyle (-r,R)y=\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle (-r,R)y}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle -r<t=0<R}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle Y:=\operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\cap Y=A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle ix\in Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x=(\mathbb {R} x)+(\mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (ix)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (ix)}$ ${\displaystyle S:=(A\cap \mathbb {R} x)\cup (A\cap \mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle A\cap Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} (ix)}$являются отрезками прямых (интервалами), каждый из которых содержит начало координат в открытом подинтервале; более того, они явно пересекаются в начале координат. Выберите действительное число такое, что и Пусть обозначает выпуклую оболочку , которая содержится в выпуклой оболочке и, таким образом, также содержится в выпуклом множестве Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что является окрестностью в Рассматриваемое как подмножество комплексной плоскости имеет форму открытого квадрата с четырьмя углами на положительной и отрицательной осях и (то есть в и ). Таким образом, легко проверить, что содержит открытый шар радиуса с центром в начале координат Таким образом, является окрестностью начала координат в как и требовалось. ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle (-d,d)x=\{tx:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle (-d,d)ix=\{tix:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} (ix).}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [(-d,d)x]\cup [(-d,d)ix],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cong Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,\infty )x,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)x,}$ ${\displaystyle (0,\infty )ix,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)ix}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{d/2}x:=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<d/2\}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x.}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–110.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–457.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 149–153.

Ссылки

• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Николя, Бурбаки (2003). Топологические векторные пространства Глава 1-5 (перевод на английский язык) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. I.7. ISBN 3-540-42338-9.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Diestel, Joe (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Том 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 9781470424831. OCLC  185095773.
• Динин, Шон (1981). Комплексный анализ в локально выпуклых пространствах . North-Holland Mathematics Studies. Том 57. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087168-4. OCLC  16549589.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и конядерные пространства: вводный курс по ядерным и конядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . North-Holland Mathematics Studies. Том 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Келлер, Ганс (1974). Дифференциальное исчисление в локально выпуклых пространствах . Конспект лекций по математике . Том 417. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-06962-1. OCLC  1103033.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Робертсон, А. П.; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Cambridge University Press . стр. 4.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Томпсон, Энтони К. (1996). Геометрия Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений. Cambridge University Press . ISBN 0-521-40472-X.
• Шефер, Хельмут Х. (1971). Топологические векторные пространства . GTM . Т. 3. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 11. ISBN 0-387-98726-6.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шефер, ХХ (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.