Алгебраическая внутренность

Обобщение топологического интерьера

В функциональном анализе , разделе математики, алгебраическая внутренность или радиальное ядро ​​подмножества векторного пространства является уточнением концепции внутренности .

Определение

Предположим, что является подмножеством векторного пространства. Алгебраическая внутренность (или радиальное ядро ​​) относительно является множеством всех точек, в которых является радиальным множеством . Точка называется внутренней точкой [ ^{1] [2]} и считается радиальной в , если для каждого существует действительное число такое, что для каждого Это последнее условие можно также записать как где множество является отрезком прямой (или замкнутым интервалом), начинающимся в и заканчивающимся в этот отрезок прямой является подмножеством которого является луч , исходящий из в направлении (то есть параллельный/перенос ). Таким образом, геометрически внутренняя точка подмножества является точкой со свойством, что в каждом возможном направлении (векторе) содержит некоторый (невырожденный) отрезок прямой, начинающийся в и направленный в этом направлении (то есть подмножество луча ). Алгебраическая внутренность (относительно ) является множеством всех таких точек. То есть это подмножество точек, содержащихся в данном множестве, относительно которого оно является радиальными точками множества. ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t_{x}>0}$ ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$ $${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}+t_{x}x;}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,\infty )x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Если — линейное подпространство и то это определение можно обобщить на алгебраическую внутренность относительно is: ^[4] где всегда выполняется и если то где — аффинная оболочка ( которая равна ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ for all }}m\in M,{\text{ there exists some }}t_{m}>0{\text{ such that }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}$

Алгебраическое замыкание

Говорят, что точка ${\displaystyle x\in X}$линейно достижим из подмножества,если существует такое, что отрезок прямойсодержится в^[5] Алгебраическоезамыканиеотносительно, ​​обозначаемое как ,состоит изи всех точек в ,которые линейно достижимы из^[5] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$

Алгебраическая внутренняя часть (ядро)

В частном случае, когда множество называется ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$алгебраический интерьер илиЯдро ${\displaystyle A}$ и обозначается какилиФормально , если— векторное пространство, то алгебраическая внутренностьравна^[6] ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {core} A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ for all }}x\in X,{\text{ there exists some }}t_{x}>0,{\text{ such that for all }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$$

Если непусто, то эти дополнительные подмножества также полезны для формулировок многих теорем выпуклого функционального анализа (например, теоремы Урсеску ): ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Если — пространство Фреше , выпукло и замкнуто в , то но в общем случае возможно, что пока не пусто. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$ ${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}A}$

Примеры

Если тогда но и ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A),}$ ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$ ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).}$

Свойства сердечника

Предполагать ${\displaystyle A,B\subseteq X.}$

• В общем случае, если — выпуклое множество , то: ${\displaystyle \operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).}$ ${\displaystyle A}$
  • ${\displaystyle \operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),}$и
  • для всех тогда ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$ ${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.}$
• ${\displaystyle A}$является поглощающим подмножеством действительного векторного пространства тогда и только тогда, когда ^[3] ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A).}$
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)}$^[7]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$если ^[7] ${\displaystyle B=\operatorname {core} B.}$

И ядро, и алгебраическое замыкание выпуклого множества снова выпуклы. ^[5] Если является выпуклым, то отрезок прямой содержится в ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {core} C,}$ ${\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C}$ ${\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b}$ ${\displaystyle \operatorname {core} C.}$

Отношение к топологическому интерьеру

Пусть — топологическое векторное пространство , обозначим внутренний оператор, и тогда: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} }$ ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• Если непусто, выпукло и конечномерно, то ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Если выпукло с непустой внутренностью, то ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Если — замкнутое выпуклое множество и — полное метрическое пространство , то ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$

Относительная алгебраическая внутренность

Если то множество обозначается и называется относительной алгебраической внутренностью ^[7]. Это название происходит от того факта, что тогда и только тогда, когда и (где тогда и только тогда, когда ). ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$ ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle a\in A^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ ${\displaystyle a\in {}^{i}A}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$

Относительный интерьер

Если — подмножество топологического векторного пространства , то относительная внутренность — это множество То есть это топологическая внутренность A, в которой находится наименьшее аффинное линейное подпространство, содержащее Следующий набор также полезен: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ $${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Квазиотносительный интерьер

Если — подмножество топологического векторного пространства , то квазиотносительная внутренность — это множество ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}$$

В конечномерном топологическом векторном пространстве Хаусдорфа , ${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

Смотрите также

• Граница точки  – математическая концепция, связанная с подмножествами векторных пространств.
• Интерьер (топология)  – наибольшее открытое подмножество некоторого заданного множества.
• Единица порядка  – элемент упорядоченного векторного пространства
• Квазиотносительная внутренность  – Обобщение алгебраической внутренности
• Радиальный набор
• Относительная внутренность  – Обобщение топологической внутренности
• Теорема Урсеску  – Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Ссылки

1. Aliprantis & Border 2006, стр. 199–200.
2. Джон Кук (21 мая 1988 г.). "Разделение выпуклых множеств в линейных топологических пространствах" (PDF) . Получено 14 ноября 2012 г.
3. Яшке, Стефан; Кюхлер, Уве (2000). «Последовательные меры риска, границы оценки и оптимизация портфеля» (μ, ρ {\displaystyle \mu,\rho}) (PDF) .
4. Залинеску 2002, стр. 2.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 109.
6. Николай Капитонович Никольский (1992). Функциональный анализ I: линейный функциональный анализ . Springer. ISBN 978-3-540-50584-6.
7. Zălinescu 2002, стр. 2–3.
8. Канторовиц, Шмуэль (2003). Введение в современный анализ . Oxford University Press . стр. 134. ISBN 9780198526568.
9. Боннан, Дж. Фредерик; Шапиро, Александр (2000), Анализ возмущений задач оптимизации, серия Springer в исследовании операций, Springer, замечание 2.73, стр. 56, ISBN 9780387987057.

Библиография

• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .