Набор рожденных

Множество, которое может поглотить любое ограниченное подмножество

В функциональном анализе подмножество действительного или комплексного векторного пространства , имеющее связанную с ним векторную борнологию, называется борноядным , а борноядным — если оно поглощает каждый элемент из Если — топологическое векторное пространство (TVS), то подмножество является борноядным , если оно борноядно относительно борнологий фон Неймана из . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Борноядные множества играют важную роль в определениях многих классов топологических векторных пространств, в частности борнологичных пространств .

Определения

Если это TVS, то подмножество называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$рождённоядный ^[1]ирожденный, еслипоглощаеткаждоеограниченноеподмножество ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Поглощающий диск в локально выпуклом пространстве является порождающим тогда и только тогда, когда его функционал Минковского локально ограничен (т.е. отображает ограниченные множества в ограниченные множества). [ ^1]

Инфраборноядные множества и инфраограниченные карты

Линейное отображение между двумя TVS называетсяинфраограниченным , если он отображаетбанаховы дискив ограниченные диски.^[2]

Диск в называется ${\displaystyle X}$инфраборноядный , если онпоглощаеткаждыйбанахов диск.^[3]

Поглощающий диск в локально выпуклом пространстве является инфраборноядным тогда и только тогда, когда его функционал Минковского инфраограничен. ^[1] Диск в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве является инфраборноядным тогда и только тогда, когда он поглощает все компактные диски (то есть, если он является "компактоядный "). ^[1]

Характеристики

Каждое подмножество, питающееся и питающееся, TVS поглощает . В псевдометризуемом TVS каждое питающееся является окрестностью начала отсчета. ^[4]

Две топологии TVS на одном и том же векторном пространстве имеют одинаковые ограниченные подмножества тогда и только тогда, когда они имеют одних и тех же прирожденных подмножеств. ^[5]

Предположим, что — векторное подпространство конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве и если — бочка (соответственно, рождающаяся бочка, рождающийся диск) в , то существует бочка (соответственно, рождающаяся бочка, рождающийся диск) в , такая, что ^[6] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Примеры и достаточные условия

Каждая окрестность начала координат в TVS является bornivorous. Выпуклая оболочка, замкнутая выпуклая оболочка и сбалансированная оболочка bornivorous множества снова bornivorous. Прообраз bornivore при ограниченном линейном отображении является bornivore. ^[7]

Если — TVS, в котором каждое ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве, то каждое поглощающее множество является пожирателем. ^[5] ${\displaystyle X}$

Контрпримеры

Пусть будет как векторное пространство над вещественными числами. Если — сбалансированная оболочка замкнутого отрезка между и , то не является родоядным, но выпуклая оболочка является родоядным. Если — замкнутый и «заполненный» треугольник с вершинами , то — выпуклое множество, которое не является родоядным, но его сбалансированная оболочка является родоядным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (-1,-1),(-1,1),}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle T}$

Смотрите также

• Ограниченный линейный оператор  – Линейное преобразование между топологическими векторными пространствамиСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Борнологическое пространство  – пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Борнология  – Математическое обобщение ограниченности
• Пространство линейных отображений
• Ультраборнологическое пространство
• Векторная борнология

Ссылки

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–457.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 442.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 443.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 172–173.
5. Wilansky 2013, стр. 50.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 371–423.
7. Вилански 2013, стр. 48.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.