Борнологическое пространство

Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны

В математике , в частности в функциональном анализе , борнологическое пространство — это тип пространства, которое в некотором смысле обладает минимальным количеством структуры, необходимым для решения вопросов ограниченности множеств и линейных отображений , точно так же, как топологическое пространство обладает минимальным количеством структуры, необходимым для решения вопросов непрерывности . Борнологические пространства отличаются тем свойством, что линейное отображение из борнологического пространства в любые локально выпуклые пространства непрерывно тогда и только тогда, когда оно является ограниченным линейным оператором .

Борнологические пространства впервые были изучены Джорджем Макки . ^{[ требуется цитата ]} Название было придумано Бурбаки ^{[ требуется цитата ]} от французского слова borné , означающего « ограниченный ».

Борнологии и ограниченные карты

Борнология на множестве — это совокупность подмножеств , удовлетворяющих всем следующим условиям: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$охватывает то есть, ; ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$устойчиво относительно включений; то есть, если и тогда ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$устойчиво относительно конечных объединений; то есть, если то ; ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

Элементы набора называются -ограниченными или просто ограниченными множествами, если это понятно. ^[1] Пара называется ограниченной структурой или борнологическим множеством . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

Базовая или фундаментальная система борнологии — это подмножество , такое что каждый элемент является подмножеством некоторого элемента. Заданная совокупность подмножеств наименьшей борнологии, содержащая , называется борнологией, порожденной ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Если и являются борнологическими множествами, то их борнология произведения на является борнологией, имеющей в качестве базы совокупность всех множеств вида где и ^[2] Подмножество ограничено в борнологии произведения тогда и только тогда, когда его образ при канонических проекциях на и оба ограничены. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ограниченные карты

Если и являются борнологическими множествами, то говорят, что функция является локально ограниченным отображением или ограниченным отображением (относительно этих борнологий), если она отображает -ограниченные подмножества в -ограниченные подмножества то есть, если ^[2] Если, кроме того, является биекцией и также ограничено, то называется борнологическим изоморфизмом . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Векторные борнологии

Пусть — векторное пространство над полем, в котором имеется борнология. Борнология на называется векторной борнологией на, если она устойчива относительно сложения векторов, скалярного умножения и образования сбалансированных оболочек (т. е. если сумма двух ограниченных множеств ограничена и т. д.). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если — топологическое векторное пространство (TVS) и — борнология, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является векторной борнологией;
2. Конечные суммы и сбалансированные оболочки -ограниченных множеств -ограничены; ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. Скалярная карта умножения, определенная как , и карта сложения, определенная как , являются ограниченными, когда их области содержат их борнологии произведений (т.е. они отображают ограниченные подмножества в ограниченные подмножества). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

Векторная борнология называется выпуклой векторной борнологией , если она устойчива относительно образования выпуклых оболочек (т.е. выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена), тогда И векторная борнология называется разделенной , если единственным ограниченным векторным подпространством является 0-мерное тривиальное пространство. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Обычно — это либо действительные, либо комплексные числа, в этом случае векторная борнология будет называться выпуклой векторной борнологией, если имеет базу, состоящую из выпуклых множеств. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подмножества рождающихся животных

Подмножество называется пожирающим и пожирающим, если оно поглощает каждое ограниченное множество. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

В векторной борнологии борнеологический объект является борнеядным, если он поглощает каждое ограниченное сбалансированное множество, а в выпуклой векторной борнологии борнеологический объект является борнеядным, если он поглощает каждый ограниченный диск. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Две топологии TVS на одном и том же векторном пространстве имеют одинаковые ограниченные подмножества тогда и только тогда, когда они имеют одних и тех же прирожденных подмножеств. ^[3]

Каждое подмножество, порождающее метризацию локально выпуклого топологического векторного пространства, является окрестностью начала координат. ^[4]

сходимость Макки

Последовательность в TVS называется сходящейся по Макки к , если существует последовательность положительных действительных чисел, расходящаяся к , такая, что сходится к в ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Борнология топологического векторного пространства

Каждое топологическое векторное пространство по крайней мере на недискретном нормированном поле дает борнологию на , определяя подмножество как ограниченное (или ограниченное по фон Нейману), тогда и только тогда, когда для всех открытых множеств, содержащих нуль, существует с Если является локально выпуклым топологическим векторным пространством , то ограничено тогда и только тогда, когда все непрерывные полунормы на ограничены на ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq rU.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

Множество всех ограниченных подмножеств топологического векторного пространства называется борнологией или борнологией фон Неймана . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Если — локально выпуклое топологическое векторное пространство , то поглощающий диск в является борнеядным (соответственно инфраборнеядным) тогда и только тогда, когда его функционал Минковского локально ограничен (соответственно инфраограничен). ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Индуцированная топология

Если — выпуклая векторная борнология на векторном пространстве , то совокупность всех выпуклых сбалансированных подмножеств, которые являются борнологиями, образует базис окрестности в начале координат для локально выпуклой топологии на, называемой топологией, индуцированной . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Если — TVS, то борнологическое пространство, связанное с — это векторное пространство, наделенное локально выпуклой топологией, индуцированной борнологией фон Неймана ^[4] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Теорема ^[4]  —  Пусть и — локально выпуклые TVS, и пусть обозначает наделенное топологией, индуцированной борнологией фон Неймана Определим аналогично. Тогда линейное отображение является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда является непрерывным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y_{b}}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X_{b}\to Y}$

Более того, если является борнологическим, является хаусдорфовым и является непрерывным линейным отображением, то также является Если в дополнение является также ультраборнологическим, то непрерывность подразумевает непрерывность где является ультраборнологическим пространством, связанным с ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{b}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{ub},}$ ${\displaystyle Y_{ub}}$ ${\displaystyle Y.}$

Квазиборнологические пространства

Квазиборнологические пространства были введены С. Ияхеном в 1968 году. ^[6]

Топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным называется квазиборнологическим пространством ^[6], если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Каждый ограниченный линейный оператор из в другой TVS является непрерывным . ^[6] ${\displaystyle X}$
2. Каждый ограниченный линейный оператор из в полный метризуемый TVS является непрерывным. ^{[6] [7]} ${\displaystyle X}$
3. Каждый узел в рожденной веревке является окрестностью начала координат. ^[6]

Каждое псевдометризуемое TVS является квазиборнологическим. ^[6] TVS , в котором каждое борноядное множество является окрестностью начала отсчета, является квазиборнологическим пространством. ^[8] Если — квазиборнологический TVS, то наилучшая локально выпуклая топология на нем грубее, чем превращает его в локально выпуклое борнологическое пространство. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Борнологическое пространство

В функциональном анализе локально выпуклое топологическое векторное пространство является борнологическим пространством, если его топология может быть восстановлена ​​из его борнологии естественным образом.

Каждое локально выпуклое квазиборнологическое пространство является борнологическим, но существуют борнологические пространства, которые не являются квазиборнологическими. ^[6]

Топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным называется борнологическим пространством, если оно локально выпукло и выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Каждое выпуклое, сбалансированное и рождающееся множество в является окрестностью нуля. ^[4] ${\displaystyle X}$
2. Каждый ограниченный линейный оператор из в локально выпуклый TVS является непрерывным . ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Напомним, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно отображает любую последовательность, сходящуюся к в области, в ограниченное подмножество области значений. ^[4] В частности, любое линейное отображение, которое последовательно непрерывно в начале координат, ограничено. ${\displaystyle 0}$
3. Каждый ограниченный линейный оператор из в полунормированное пространство непрерывен. ^[4] ${\displaystyle X}$
4. Каждый ограниченный линейный оператор из в банахово пространство непрерывен. ^[4] ${\displaystyle X}$

Если — локально выпуклое пространство Хаусдорфа , то к этому списку можно добавить: ^[7] ${\displaystyle X}$

5. Локально выпуклая топология, индуцированная борнологией фон Неймана на , совпадает с заданной топологией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X}$
6. Всякая ограниченная полунорма на непрерывна. ^[4] ${\displaystyle X}$
7. Любая другая топология Хаусдорфа локально выпуклого топологического векторного пространства на , имеющая ту же (фон Неймана) борнологию, что и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$является индуктивным пределом нормированных пространств. ^[4]
9. ${\displaystyle X}$является индуктивным пределом нормированных пространств , поскольку изменяется по замкнутым и ограниченным кругам (или поскольку изменяется по ограниченным кругам ). ^[4] ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$несет топологию Макки , и все ограниченные линейные функционалы на являются непрерывными. ^[4] ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$
11. ${\displaystyle X}$обладает обоими следующими свойствами:
    • ${\displaystyle X}$является выпукло-последовательным или C-последовательным , что означает, что каждое выпуклое последовательно открытое подмножество является открытым, ${\displaystyle X}$
    • ${\displaystyle X}$является последовательно борнологическим или S-борнологическим , что означает, что каждое выпуклое и борноядное подмножество является последовательно открытым. ${\displaystyle X}$
    где подмножество называется последовательно открытым, если каждая последовательность, сходящаяся к в конечном итоге принадлежит ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A.}$

Каждый последовательно непрерывный линейный оператор из локально выпуклого борнологического пространства в локально выпуклое TVS является непрерывным, ^[4] где напомним, что линейный оператор является последовательно непрерывным тогда и только тогда, когда он последовательно непрерывен в начале координат. Таким образом, для линейных отображений из борнологического пространства в локально выпуклое пространство непрерывность эквивалентна последовательной непрерывности в начале координат. В более общем смысле, мы даже имеем следующее:

• Любое линейное отображение из локально выпуклого борнологического пространства в локально выпуклое пространство , которое отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества , обязательно непрерывно. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Достаточные условия

Теорема Макки–Улама ^[9]  —  Произведение набора локально выпуклых борнологических пространств является борнологическим тогда и только тогда, когда не допускает меры Улама . ${\displaystyle X_{\bullet }=(X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$

Как следствие теоремы Макки–Улама, «для всех практических целей произведение борнологических пространств является борнологическим» ^{[9] .}

Все следующие топологические векторные пространства являются борнологическими:

• Любое локально выпуклое псевдометризуемое TVS является борнологическим. ^{[4] [10]}
  • Таким образом, каждое нормированное пространство и пространство Фреше является борнологическим.
• Любой строгий индуктивный предел борнологических пространств, в частности любое строгое LF -пространство , является борнологическим.
  • Это показывает, что существуют борнологические пространства, которые не метризуются.
• Счетное произведение локально выпуклых борнологических пространств является борнологическим. ^{[11] [10]}
• Факторы хаусдорфовых локально выпуклых борнологических пространств являются борнологичными. ^[10]
• Прямая сумма и индуктивный предел хаусдорфовых локально выпуклых борнологических пространств являются борнологичными. ^[10]
• Пространства Фреше- Монтеля имеют борнологические сильные дуалы .
• Сильный дуал каждого рефлексивного пространства Фреше является борнологическим. ^[12]
• Если сильное сопряженное пространство метризуемого локально выпуклого пространства сепарабельно , то оно борнологично. ^[12]
• Вектор подпространства хаусдорфова локально выпуклого борнологического пространства , имеющего конечную коразмерность в , является борнологическим. ^{[4] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Самая тонкая локально выпуклая топология на векторном пространстве — борнологичная. ^[4]

Контрпримеры

Существует борнологическое LB-пространство , сильное бидуальное которого не является борнологическим. ^[13]

Замкнутое векторное подпространство локально выпуклого борнологического пространства не обязательно является борнологическим. ^{[4] [14]} Существует замкнутое векторное подпространство локально выпуклого борнологического пространства, которое является полным (и, следовательно, последовательно полным), но не является ни бочечным, ни борнологическим. ^[4]

Борнологические пространства не обязательно должны быть бочоночными , а бочоночные пространства не обязательно должны быть борнологическими. ^[4] Поскольку каждое локально выпуклое ультраборнологическое пространство является бочоночным, ^[4] отсюда следует, что борнологическое пространство не обязательно является ультраборнологическим.

Характеристики

• Сильное двойственное пространство локально выпуклого борнологического пространства является полным . ^[4]
• Каждое локально выпуклое борнологическое пространство является инфрабочечным . ^[4]
• Каждый Хаусдорфово последовательно полный борнологический TVS является ультраборнологическим . ^[4]
  • Таким образом, каждое полное хаусдорфово борнологическое пространство является ультраборнологическим.
  • В частности, каждое пространство Фреше является ультраборнологическим. ^[4]
• Конечное произведение локально выпуклых ультраборнологических пространств является ультраборнологическим. ^[4]
• Каждое борнологическое пространство Хаусдорфа является квазибочечным . ^[15]
• Для борнологического пространства с непрерывным сопряженным топологией, которая совпадает с топологией Макки ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • В частности, борнологические пространства являются пространствами Макки .
• Каждое квазиполное (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества полны) борнологическое пространство является бочечным . Однако существуют борнологические пространства, которые не являются бочечными.
• Каждое борнологическое пространство является индуктивным пределом нормированных пространств (и банаховых пространств, если пространство также является квазиполным).
• Пусть — метризуемое локально выпуклое пространство с непрерывным сопряженным Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$является борнологическим.
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$является квазиствольным .
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$бочкообразный .​
  4. ${\displaystyle X}$это выдающееся пространство .
• Если — линейное отображение между локально выпуклыми пространствами и если — борнологично, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$является непрерывным.
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$последовательно непрерывен. ^[4]
  3. Ведь каждое множество , ограниченное в , ограничено. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(B)}$
  4. Если это нулевая последовательность в то это нулевая последовательность в ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
  5. Если — сходящаяся нулевая последовательность Макки в, то — ограниченное подмножество ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
• Предположим, что и являются локально выпуклыми TVS и что пространство непрерывных линейных отображений наделено топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах Если является борнологическим пространством и если является полным , то является полным TVS. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • В частности, сильное двойственное пространство локально выпуклого борнологического пространства является полным. ^[4] Однако оно не обязательно должно быть борнологическим.

Подмножества

• В локально выпуклом борнологическом пространстве каждое выпуклое борноядное множество является окрестностью ( не обязательно должно быть диском). ^[4] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$
• Каждое подмножество, порождающее метризацию локально выпуклого топологического векторного пространства, является окрестностью начала координат. ^[4]
• Замкнутые векторные подпространства борнологического пространства не обязательно должны быть борнологическими. ^[4]

Ультраборнологические пространства

Диск в топологическом векторном пространстве называется инфраборноядным, если он поглощает все банаховы диски . ${\displaystyle X}$

Если локально выпукло и хаусдорфово, то диск является инфраборноядным тогда и только тогда, когда он поглощает все компактные диски. ${\displaystyle X}$

Локально выпуклое пространство называется ультраборнологическим, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Каждый инфраборноядный диск является окрестностью источника.
2. ${\displaystyle X}$индуктивный предел пространств , который изменяется по всем компакт-дискам в ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$
3. Полунорма на , ограниченная на каждом банаховом диске, обязательно непрерывна. ${\displaystyle X}$
4. Для каждого локально выпуклого пространства и каждого линейного отображения, если оно ограничено на каждом банаховом диске, то оно непрерывно. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
5. Для каждого банахова пространства и каждого линейного отображения, если оно ограничено на каждом банаховом диске, то оно непрерывно. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Характеристики

Конечное произведение ультраборнологических пространств ультраборнологично. Индуктивные пределы ультраборнологических пространств ультраборнологичны.

Смотрите также

• Борнология  – Математическое обобщение ограниченности
• Множество  , которое может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство линейных отображений
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости
• Векторная борнология

Ссылки

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 168.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
3. Вилански 2013, стр. 50.
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
5. Шварц 1992, стр. 15–16.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 453–454.
7. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 60–61.
8. Вилански 2013, стр. 48.
9. Narici & Beckenstein 2011, стр. 450.
10. Adasch, Ernst & Keim 1978, стр. 60–65.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 453.
12. Schaefer & Wolff 1999, стр. 144.
13. Халилулла 1982, стр. 28–63.
14. Шефер и Вольф 1999, стр. 103–110.
15. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 70–73.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co. стр. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. МР  0500064.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная обстановка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . ISBN 9780821807804.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.