топология Макки

В функциональном анализе и смежных областях математики топология Макки , названная в честь Джорджа Макки , является лучшей топологией для топологического векторного пространства , которая по-прежнему сохраняет непрерывное двойственное . Другими словами, топология Макки не делает линейные функции непрерывными, которые были разрывными в топологии по умолчанию. Топологическое векторное пространство (TVS) называется пространством Макки, если его топология совпадает с топологией Макки.

Топология Макки противоположна слабой топологии , которая является самой грубой топологией на топологическом векторном пространстве , сохраняющей непрерывность всех линейных функций в непрерывном сопряженном пространстве.

Теорема Макки –Аренса утверждает, что все возможные двойственные топологии тоньше слабой топологии и грубее топологии Макки.

Определение

Определение для сопряжения

При наличии спаривания топология Макки на , индуцированная обозначением , является полярной топологией, определенной на с использованием множества всех -компактных дисков в ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Если наделено топологией Макки, то оно будет обозначаться просто или , если не может возникнуть двусмысленности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau (X,Y,b)}}$ ${\displaystyle X_{\tau (X,Y)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Линейное отображение называется непрерывным по Макки (относительно пар и ), если оно непрерывно. ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

Определение топологического векторного пространства

Определение топологии Макки для топологического векторного пространства (TVS) является специализацией приведенного выше определения топологии Макки спаривания. Если — TVS с непрерывным дуальным пространством , то отображение оценки на называется каноническим спариванием . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle X\times X^{\prime }}$

Топология Макки на TVS, обозначенная как , является топологией Макки на , индуцированной каноническим спариванием ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

То есть топология Макки — это полярная топология на , полученная с использованием множества всех слабых*-компактных дисков в Если наделено топологией Макки, то оно будет обозначаться просто или , если не может возникнуть двусмысленности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Линейное отображение между TVS является непрерывным по Макки, если является непрерывным. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F:\left(X,\tau \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\tau \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$

Примеры

Каждое метризуемое локально выпуклое пространство с непрерывным сопряженным пространством несет топологию Макки, то есть, или, выражаясь короче, каждое метризуемое локально выпуклое пространство является пространством Макки . ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$

Каждое локально выпуклое пространство Хаусдорфа является пространством Макки.

Каждое пространство Фреше несет топологию Макки, и эта топология совпадает с сильной топологией , то есть ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)=\beta \left(X,X^{\prime }\right).}$

Приложения

Топология Макки применима в экономиках с бесконечным количеством товаров. ^[1]

Смотрите также

• Двойная система
• Пространство Макки  – Математическая концепция
• Полярная топология  – двойственная топология пространства равномерной сходимости на некоторой подгруппе ограниченных подмножеств
• Сильная топология
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология  – Математический термин

Цитаты

1. Бьюли, ТФ (1972). «Существование равновесий в экономиках с бесконечным количеством товаров». Журнал экономической теории . 4 (3): 514–540. doi :10.1016/0022-0531(72)90136-6.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1977). Топологические векторные пространства . Элементы математики. Эддисон–Уэсли.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Mackey, GW (1946). «О выпуклых топологических линейных пространствах». Trans. Amer. Math. Soc . 60 (3). Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 60, No. 3: 519–537. doi :10.2307/1990352. JSTOR  1990352. PMC  1078623 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, А. П.; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Т. 53. Cambridge University Press . С. 62.
• Шефер, Хельмут Х. (1971). Топологические векторные пространства . GTM . Т. 3. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 131. ISBN 0-387-98726-6.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• А.И. Штерн (2001) [1994], «Топология Макки», Энциклопедия математики , Издательство EMS Press